KOMPOZYTY (COMPOIT (3 Andrzej P. ilczyńki Marian Klazorny Poliechnika arzawka Inyu Mechaniki i Konrukcji ul. Narua 85-54 arzawa MODLOANI POLIMROYCH KOMPOZYTÓ ŁÓKNITYCH ZAKRI LPKOPRĘŻYTYM Opracowano analiyczną meodę modelowania kompozyu polimerowego wzmocnionego włóknem ciągłym ułożonym jednokierunkowo (pojedyncza warwa laminau. Przyjęo że onowa polimerowa je maeriałem izoropowym lepkoprężyym opianym przez model HKK naomia włókna ą wykonane z maeriału monoropowego prężyego. formułowano przyliżone równania konyuywne lepkoprężyości kompozyu po homogenizacji opiane przez 5 ałych prężyości i 3 ałych lepkoprężyości. Opracowano algorym wyznaczania ych ałych kóry zaprogramowano w Pacalu. Podano przykład modelowania kompozyu w zakreie prężyym i lepkoprężyym. MODLLING OF FIBROU POLYMRIC COMPOIT IN TH VICOLATIC RANG An analyical mehod for vicoelaic modelling of a fire-reinforced rein-marix compoie ha een developed aed on he ilczynki reinforcemen heory he HKK rheological model for rein and he elaic-vicoelaic analogy. The following aumpion have een adoped: he marix i a linear vicoelaic ioropic maerial decried y he HKK model [6; he fire are made of a linear elaic monoropic maerial wih he direcion of monoropy coinciding he fire axi; 3 he fire are uniformly diriued in a hexagonal cheme; 4 he marix - fire conac i proeced during loading; 5 an ulra-hin inermediae layer eween he marix and he fire i negleced; 6 he homogenied compoie i modelled a a linear vicoelaic monoropic maerial wih he direcion of monoropy coinciding he fire alignmen. The ilczynki reinforcemen heory ued in he mehod of vicoelaic modelling i aed on four ak of he Lamé ype and Hill aumpion. Coniuive equaion of vicoelaiciy decriing he HKK model of a rein marix are formulaed in he hear- -ulk decripion (q (-(5 uing hree generaing funcion i.e. a fracional exponenial funcion and wo normal exponenial funcion. Thi model reflecing hor-laing and long-laing fir-rank reverile creep i decried y 9 maerial conan [6 colleced in Tale for wo aic rein (epoxy and polyeer. The approximae coniuive equaion for he homogenied compoie decried y 5 elaic conan and 3 vicoelaic conan have een formulaed a q (6 (7. An analyic mehod for deriving he vicoelaic conan of he final maerial i compoed of five age: analyic derivaion of he elaic compliance of he compoie; analyic derivaion of he hear and ulk complex compliane of he marix; 3 analyic derivaion of he exac complex compliance of he compoie uing he elaic - vicoelaic analogy; 4 analyic derivaion of he approximae complex compliance of he compoie; 6 analyic derivaion of vicoelaic conan of he homogenied compoie. The reul of vicoelaic modelling of a compoie are verified y comparion of he approximae and he exac complex compliance of he compoie. All age have een decried in deail (q (9-(8. A compuer aided algorihm for eimaion of he compoie maerial conan ha een formulaed programmed and eed on eleced maerial. The reul of modelling wih he oained high accuracy for he VHDP Tenfor NA polyehylene/pidian 53 epoxy compoie are preened (Fig.. TĘP Kompozyy polimerowe wzmocnione włóknem ciągłym ułożonym jednokierunkowo oznaczone w niniejzej pracy ymolem PK przejawiają właściwości lepkoprężye wynikające przede wzykim z relaywnie dużych odkzałceń lepkoprężyych onowy. Koncepcję modelowania PK w zakreie lepkoprężyym opracował ilczyńki i opulikował w pracach [-3. Rozwinięcie ej koncepcji oraz rozwiązanie prolemów zczegółowych zawierają prace [4-6. Na podawie adań ekperymenalnych włanych przeprowadzonych na prókach pręowych wykona- nych z żywicy epokydowej lu polierowej rozciąganych jednooiowo w emperaurze pokojowej wykazano że przy poziomach naprężeń rozciągających σ 3R m (R m - wyrzymałość doraźna na rozciąganie wyępuje ylko pełzanie pierwzorzędowe odwracalne. pracy [6 opracowano model reologiczny żywicy epokydowej i polierowej oznaczony ymolem HKK odwzorowujący z dużą dokładnością ww. warunki. Model HKK opiany przez ałe prężye oraz 7 ałych lepkoprężyych zaoowano do modelowania onowy PK. prof. dr ha. inż. dr ha. inż.
98 A.P. ilczyńki M. Klazorny TRUKTURA KOMPOZYTU I ZAŁOŻNIA Kompozy kłada ię z onowy i włókien ciągłych ułożonych jednokierunkowo. Onowa je żywicą epokydową lu polierową kóre należą do polimerów amorficznych ermouwardzalnych. łókna mogą yć m.in. węglowe polieylenowe lu zklane. modelowaniu PK w zakreie prężyym i lepkoprężyym przyjęo naępujące założenia:. Onowa je maeriałem izoropowym liniowo lepkoprężyym opianym przez model HKK.. łókna ą wykonane z maeriału monoropowego liniowo prężyego o kierunku monoropii pokrywającym ię z oią włókna. 3. Rozmiezczenie włókien w onowie je równomierne hekagonalne w przekroju. 4. Po ociążeniu konak onowa-włókno je zachowany. 5. Nie wyróżnia ię warwy pośredniej na yku onowa-włókno. 6. Kompozy po homogenizacji je maeriałem monoropowym liniowo lepkoprężyym. Kierunek monoropii pokrywa ię z kierunkiem ułożenia włókien. 7. Kompozy pozoaje w warunkach izoermicznych w emperaurze pokojowej. Homogenizację kompozyu przeprowadza ię zgodnie z eorią wzmocnienia PK formułowaną w pracach [7 8 i rozwinięą w [4. Kompozy przed homogenizacją je rakowany jako ziór walców włókno- -onowa zanurzonych w hekagonalnych pryzmach. Zgodnie z założeniem Hilla [9 przyjmuje ię że maeriał uzupełniający walce do pryzm hekagonalnych ma właściwości kompozyu po homogenizacji. RÓNANIA KONTYTUTYN LPKOPRĘŻYTOŚCI ONOY Równania konyuywne opiujące model reologiczny HKK onowy przedawione w pracy [6 mogą yć przekzałcone do poaci eparowanej (poaciowoojęościowej gdzie: ε ( ( σ ( ε ( ( σ ( ( ε col(ε xx ε ε yy ε ε zz ε ε yz ε xz ε xy ε col(ε ε ε σ col(σ xx σ σ yy σ σ zz σ σ yz σ xz σ xy σ col(σ σ σ ( ε ( ε xx ε yy ε zz σ ( σ xx σ yy σ zz 3 3 e wzorach ( i ( wprowadzono naępujące oznaczenia: xyz - dowolnie przyjęy karezjańki układ wpółrzędnych; ε ε - dewiaor i akjaor enora odkzałcenia (w noacji macierzowej σ σ - dewiaor i akjaor enora naprężenia (w noacji macierzowej ( ( - poaciowa i ojęościowa podaność czaowa (prężyo-lepkoprężya maeriału izoropowego. Podaności czaowe wyrażają ię wzorami: gdzie: ( ω Φ ( ϑ dϑ ω F ( ϑ ( ω Φ ( ϑ dϑ ω F ( ϑ dϑ (3 dϑ G G 3B ( ω x ω y ω x ω y B ω ω 3( ω x ω y ω x ω y ω ω (4 przy czym: Φ ( α e Φ ( γφ( ( γ F ( < γ < F ( α e K ξ Λ( ξ; dξ >> τ τ αi τ K inπ ξ Λ( ξ; π ξ coπ ξ i αξ i τ αi Ki α τ i < < (5 ymole wyępujące we wzorach (3-(5 mają naępujące znaczenie: - poaciowa i ojęościowa podaność prężya; G B - moduły prężyości poaciowej i ojęościowej maeriału izoropowego wyrażone przez moduł Younga i ałą Poiona ; ω ω - wpółczynniki określające podaność poaciową w czaie nieograniczonym; ω ω - wpółczynniki określające podaność ojęościową w czaie nieograniczonym; Φ ( - funkcja worząca odpowiadająca pełzaniu krókorwałemu (LC; Φ( F ( - funkcja wykładnicza ułamkowa oraz funkcja wykładnicza zwykła odpowiadające LC; F ( - funkcja worząca (wykładnicza zwykła odpowiadająca pełzaniu długorwałemu (LLC; ω x ω y ω x ω y - wpółczynniki określające podaności kierunkowe w czaie nieograniczonym; - ułamek definiujący rozkład czau prężyego naępwa Λ(ξ; ; γ - ułamek definiujący kominację liniową funkcji Φ(
Modelowanie polimerowych kompozyów włókniych w zakreie lepkoprężyym 99 F (; τ τ K τ K - czay prężyego naępwa elemenów lepkoprężyych modelu HKK. arości paramerów λ ą predefiniowane (λ 5 5. Po dokonaniu przeliczeń określonych we wzorach (4 z uwzględnieniem wyników idenyfikacji podanych w pracy [6 ałe maeriałowe adanych żywic przyjmują warości podane w aeli. TABLA. ałe maeriałowe opiujące model poaciowo- -ojęościowy HKK dla adanych żywic TABL. Maerial conan decriing he HKK hear-ulk model for examined rein ała maeriałowa GPa ω ω τ h τ K h ω ω τ K h pidian 53 Polimal 9 34 48 39 99 3 6 45 9 RÓNANIA KONTYTUTYN LPKOPRĘŻYTOŚCI KOMPOZYTU PO HOMOGNIZACJI 48 363 89 443 3 7 68 6 Zgodnie z wymienionymi założeniami w wyniku homogenizacji kompozy je modelowany jako maeriał monoropowy liniowo lepkoprężyy. Kierunek monoropii (x pokrywa ię z kierunkiem ułożenia włókien naomia płazczyzna izoropii (yz je proopadła do włókien. Równania konyuywne lepkoprężyości kompozyu po homogenizacji przewiduje ię w poaci [5 gdzie: ε( ( σ( (6 ε col(ε xx ε yy ε zz ε yz ε xz ε xy σ col(σ xx σ yy σ zz σ yz σ xz σ xy 3 3 33 (7 44 55 ym. 66 ( ω / Φ( ϑ dϑ ω / F ( ϑ dϑ xx 3 55 3 zy yy yy 55 G e wzorach (6 i (7 pozczególne ymole mają naępującą inerpreację: xyz - karezjańki układ wpół- rzędnych w kórym oś x wyznacza kierunek monoropii; ε σ - enor odkzałcenia i naprężenia (w zapiie macierzowym; ( - macierz podaności czaowych (podaności prężyo-lepkoprężyych maeriału monoropowego; ( 3 55 - pięć niezależnych kierunkowych podaności czaowych maeriału monoropowego; 3 55 - pięć niezależnych kierunkowych podaności prężyych ma-eriału monoropowego; xx yy yx zy G xy - pięć nieza- leżnych ałych prężyych kompozyu po homogeni-zacji (moduły Younga ałe Poiona moduł Kirchhoffa. Nieznane pozoają ałe lepkoprężye ω / ω / 3 55 określające podaności kierunkowe nieograniczone w czaie opiujące odpowiednio LC i LLC kompozyu. Algorym wyznaczenia ych ałych zoanie formułowany w naępnym rozdziale. Pięć niezależnych ałych prężyych kompozyu po homogenizacji ( xx yy yx zy G xy wyznacza ię z eorii wzmocnienia kompozyu azującej na zadaniach ypu Lamé zczegółowo omówionej w [7. ałe e ą częściowo nieliniowymi funkcjami ałych prężyych onowy izoropowej ( ałych prężyych włókna monoropowego ( xx yy yx zy Gxy oraz zredukowanego ojęościowego opnia wzmocnienia f. ałe prężye kompozyu wyznaczono analiycznie w pracy [4. Podumowując proponowany model reologiczny PK je opiany przez 5 ałych prężyych ( xx yy yx zy G xy oraz 3 ałych lepkoprężyych (ω / ω / 3 55 τ τ K τ K. Czay prężyego naępwa τ τ K τ K ą równe odpowiednim czaom dla onowy. MTODA YZNACZANIA TAŁYCH LPKOPRĘŻYTYCH KOMPOZYTU Meoda wyznaczania ałych lepkoprężyych ω / ω / 3 55 je modyfikacją meody formułowanej w pracach [4 5. Algorym meody kłada ię z naępujących eapów: analiyczne wyznaczenie podaności prężyych kompozyu jako funkcji podaności prężyych xy yx xx
A.P. ilczyńki M. Klazorny onowy poaciowej i ojęościowej zn. wyznaczenie ( 3 55 analiyczne wyznaczenie podaności zepolonych onowy poaciowej i ojęościowej na podawie odpowiednich podaności czaowych onowy ( ( przy czym p je częością kołową proceu harmonicznego 3 analiyczne wyznaczenie podaności zepolonych ściłych kompozyu po homogenizacji meodą analogii prężyej-lepkoprężyej zgodnie ze wzorem [ 3 55; i i (8 4 analiyczne wyznaczenie podaności zepolonych przyliżonych kompozyu po homogenizacji 3 55 na podawie podaności czaowych ( 3 55 określonych przez wzory (7 3 5 analiyczne wyznaczenie ałych lepkoprężyych ω / ω / 3 55 z warunku równości części rzeczywiej ściłej i przyliżonej w dwóch punkach kolokacji 6 ocena dokładności modelowania lepkoprężyego PK na podawie dopaowania wykreu przyliżonego i ściłego oraz wykreu przyliżonego i ściłego (oddzielnie dla każdej pary indeków. ap zoał w całości omówiony w pracy [4. eapie 3 wykonuje ię ylko działania na liczach zepolonych. ap 6 (konrolny ędzie zilurowany w naępnym punkcie pracy. Omówienia wymagają eapy 4 i 5. Tranformay Laplace a funkcji worzących Φ( F j ( j mają poać [4: Φ ( F ( j e e Φ ( d ( τ F j ( d τ Kj j (9 gdzie je zepolonym paramerem ranformay. Jeśli naprężenia w marycy ą zmienne harmonicznie z częością p [h zn. ip σ ( σ e σ ( σ e ( gdzie σ σ ą wekorami ampliud naprężeń o dla proceu ualonego ( orzymamy ip ε ( σ ( ε ( σ ( ( gdzie ą pozukiwanymi podanościami zepolonymi onowy poaciową i ojęościową. Indek górny określa wielkości zepolone. poó wyznaczenia podaności zepolonych opiano w pracy [4. Końcowe formuły odpowiadające modelowi HKK mają poać: { { [ γφ ( ip ( γ F ( ip ω ω F ( ip } ω γ ( ipτ ω ( γ ω ipτ K ipτ K i [ γφ ( ip ( γ F ( ip ω ω F ( ip } ω γ ( ipτ ω ( γ ω ipτ K ipτ K i ( Rozparujemy ponownie proce ualony w kórym naprężenia w kompozycie po homogenizacji ą zmienne quai-aycznie harmonicznie z częością p [h zn. gdzie gdzie ip σ ( σ e (3 σ je wekorem ampliud. ówcza ip ε ( ( σ e σ ( (4 3 3 33 (5 44 55 ym. 66 je macierzą podaności zepolonych przy czym i 3 55 [ / f ω / f [ ω f ( p ω f ( p / / ω (6
Modelowanie polimerowych kompozyów włókniych w zakreie lepkoprężyym π ( pτ co f γ π ( pτ co ( pτ ( γ ( pτ f ( pτ K K π ( pτ in f γ π ( pτ co ( pτ pτ K ( γ ( pτ K pτ f ( pτ K K (7 Ay wyznaczyć ałe ω / ω / 3 55 (oddzielnie dla każdej pary indeków wyarczy przyrównać część rzeczywią ściłą (eap 3 i przyliżoną (eap 4. Opymalne dopaowanie uzykuje ię przyjmując punky zgodności rozwiązań p p α p p α przy czym oznacza u en am rząd wielkości. Na podawie wzoru (6 orzymujemy ziór pięciu układów algeraicznych równań liniowych z niewiadomymi ω / ω / 3 55: yy 468GPa yx 38 zy 55 G r xy 65GPa. Na podawie wzorów (-(8 opracowano część programu kompuerowego FCVIC v.3 w języku Pacal łużącego do modelowania PK w zakreie prężyym i lepkoprężyym. yniki liczowe modelowania prężyego i lepkoprężyego kompozyu ą naępujące: xx 38 GPa yy 44 GPa yx 399 zy 67 G xy 35 GPa ω / ω / 7 ω / 54 ω / 64 ω / 9 ω / 6 ω 3/ 8 ω 3/ 659 ω 55/ 58 ω 55/ 536. Na ryunku pokazano przykładowy wykre ściłej i przyliżonej podaności zepolonej ( 3 i 3 3 p oddzielnie część rzeczywią i urojoną. ykrey (ściły i przyliżony prawie pokrywają ię; różnice przejawiają ię w odcinkowych nieznacznych przeunięciach wykreów. Podonie zachowują ię pozoałe podaności zepolone. Świadczy o o pozyywnej weryfikacji proponowanych równań konyuywnych lepkoprężyości PK. f ω f ( p ω / / f ( p ω f ( p ω / / ( p ( p (8 przy czym ( p ( p ą warościami ściłymi wyznaczonymi w eapie 3. PRZYKŁAD MODLOANIA KOMPOZYTU Onowa kompozyu je żywicą epokydową pidian 53. Jako wzmocnienie przyjęo włókna polieylenowe VHDP Tenfor NA. Ojęościowy opień wzmocnienia wynoi f a 55 naomia jego warość zredukowana (wykorzyana w eorii wzmocnienia je równa f 5. arości ałych maeriałowych pidia- nu 53 zeawiono w aeli. arości ałych prężyych włókna polieylenowego wynozą: 6 4 GPa xx Ry.. Podaność zepolona 3( p kompozyu VHDP Tenfor NA polyehylene/pidian 53 epoxy Fig.. The compliance 3( p for he VHDP Tenfor NA polyehylene/pidian 53 epoxy compoie PODUMOANI Opracowana meoda przewidywania właściwości lepkoprężyych PK je złożoną meodą analiyczną z kompuerowym wpomaganiem oliczeń. Przedawiono opi konyuywny modelu reologicznego PK algorymu wyznaczania ałych maeriałowych oraz podano przykład modelowania PK. Licza ałych maeriałowych opiujących proponowany model reologiczny PK (5 ałych prężyych 3 ałych lepkoprężyych je relaywnie mała a jednocześnie umożliwiająca ymulację odpowiedzi maeriału na dowolny program ociążenia. zykie ałe
A.P. ilczyńki M. Klazorny ą zinerpreowane fizycznie i dorze wyczuwalne przez projekanów. Opracowany model odnoi ię do pojedynczej warwy laminau. LITRATURA [ ilczyńki A.P. The fracional exponenial funcion a a maer funcion for mechanical ehaviour of plaic Proc. 36 h ANTC Conf. 978 -. [ ilczyńki A.P. Vicoelaiciy of firou polymeric compoie. A heoreical approach (arac Proc. 3 rd In. Conf. on Compoie ngineering ICC/3 New Orlean 996 97-98. [3 ilczyńki A.P. Polimerowe kompozyy włóknie Meody numeryczne w modelowaniu maeriału Ma. 36 ymp. n. Modelowanie w mechanice iła 997 93-97. [4 ilczyńki A.P. Klazorny M. Deerminaion of complex compliance of firou polymeric compoie J. Compoie Maerial 34-7. [5 Klazorny M. ilczyńki A.P. Coniuive equaion of vicoelaiciy and eimaion of vicoelaic parameer of unidirecional firou polymeric compoie J. Compoie Maerial 34 9 64-639. [6 Klazorny M. Gielea R. Modelowanie lepkoprężyych żywic jako onów polimerowych kompozyów włókniych VI em. Kompozyy - Teoria i Prakyka Uroń - Jazowiec. [7 ilczyńki A.P. A aic heory of reinforcemen for unidirecional firou compoie Compoie cience & Technology 99 38 37-337. [8 ilczyńki A.P. Lewińki J. Predicing he properie of unidirecional firou compoie wih monoropic reinforcemen Compoie cience & Technology 995 55 39-43. [9 Hill R. Theory of mechanical properie of firerenghened maerial elf-conien model J. Mech. Phy. olid 965 89:3. Recenzen Andrzej Bochenek