Stosowana Analiza Regresji

Transkrypt

1 Model jako : Stosowana Analiza Regresji Wykład XI 21 Grudnia / 11

2 Analiza kowariancji Model jako : Oprócz czynnika o wartościach nominalnych chcemy uwzględnić wpływ predyktora o wartościach ilościowych (kozmienna ciągła). Często kozmienna występuje jako zmienna zakłócająca, której nieuwzględnienie może prowadzić do błędnych wyników analizy. : Dwie grupy pacjentów: 1. grupa eksperymentalna - przyjmuje nowe lekarstwo na obniżenie poziomu cholesterolu, 2. grupa kontrolna - przyjmuje lekarstwo dotychczas używane. Dla każdego pacjenta zmierzono procentowy spadek poziomu cholesterolu. Chcemy zbadać, czy rodzaj przyjmowanego lekarstwa ma wpływ na efektywność leczenia. 2 / 11

3 Model jako Otrzymane wyniki: średni spadek poziomu cholest. w grupie kontrolnej: 10%, średni spadek poziomu cholest. w grupie eksperymentalnej: 0%. : Redukcja chol. 10% 0% 10% 20% 10% 0% Gr. kontrolna Gr. eksperymentalna 3 / 11

4 Model jako - c.d. Ale: nie uwzględniono wieku pacjentów! Np. dla pacjentów grupy eksperymentalnej będących w wieku 50 lat zanotowano 10% poprawę. : Redukcja chol Wiek 4 / 11

5 Model jako - c.d. Z liniowego charakteru wykresu rozproszenia wynika, że możemy dopasować proste oddzielnie dla danych uzyskanych w grupie eksperymentalnej i dla danych uzyskanych w grupie kontrolnej. : Redukcja chol Wiek 5 / 11

6 Model jako : Model analizy kowariancji : dla i = 1,..., k, j = 1,..., n. Y ij = µ+β i + γx ij + ε ij β i - wpływ i-tego poziomu czynnika, γ - współczynik wiążący Y z x, (ε ij ) - i.i.d. o rozkładzie N(0, σ 2 ). Założenie: β 1 = 0 lub k i=1 β i = 0. Brak interakcji między czynnikiem a kozmienną oznacza, że współczynnik nachylenia przy kozmiennej jest taki sam dla wszystkich poziomów czynnika. 6 / 11

7 Model jako : Założenia, które należy sprawdzać: normalność błędów i ich nieskorelowanie, równość wariancji błędów, liniowy charakter zależności Y od x, brak interakcji między czynnikiem i kozmienną. W wartości kozmiennej nie mogą zależeć od poziomu czynnika. Model jest szczególnym przypadkiem wielokrotnej, zatem wnioskowanie odbywa się tu w analogiczny sposób. 7 / 11

8 jako Model jako : Przenumerujmy indeksy obserwacji z podwójnych na pojedyncze: Y 1, Y 2,..., Y kn. Zdefiniujmy zmienne I 2,..., I k takie, że { 1, gdy czynnik jest na poziomie i dla j-tej obserwacji I i,j = 0, w p.p. dla i = 2,..., k, j = 1, 2,..., kn. Równanie modelowe: Y j = β 0 + β 2 I 2,j +...+β k I k,j + γx j + ε j, gdzie j = 1,..., kn, (ε j ) j - i.i.d. o rozkładzie N(0, σ 2 ). Mamy tu: β 1 = 0. 8 / 11

9 Model jako : Czy czynnik wpływa na odpowiedź? H 0 oznacza model: H 0 : β 2 =... = β k = 0 H 1 : β j 0 dla pewnego j ω : Y j = β 0 + γx j + ε j H 1 oznacza model: Ω : Y j = β 0 + β 2 I 2,j +...+β k I k,j + γx j + ε j Stosujemy ogólny test liniowy F porównujący modele ω i Ω, gdzie ω Ω. 9 / 11

10 Model jako : Czy kozmienna wpływa na odpowiedź? H 0 oznacza model: H 0 : γ = 0 H 1 : γ 0 H 1 oznacza model: ω : Y j = β 0 + β 2 I 2,j +...+β k I k,j + ε j Ω : Y j = β 0 + β 2 I 2,j +...+β k I k,j + γx j + ε j Stosujemy ogólny test liniowy F porównujący modele ω i Ω, gdzie ω Ω. 10 / 11

11 Model jako : Czy brak interakcji? Przyjmijmy dla ustalenia uwagi k = 3. Brak interakcji: Y j = β 0 + β 2 I 2,j + β 3 I 3,j + γx j + ε j Istnienie interakcji: Y j = β 0 + β 2 I 2,j + β 3 I 3,j + γx j + τ 2 I 2,j x j + τ 3 I 3,j x j + ε j Jeśli współczynniki τ 2 i τ 3 są różne od zera, to każdemu poziomowi czynnika odpowiada inny współczynnik nachylenia przy zmiennej x: γ dla poziomu 1, γ + τ 2 dla poziomu 2, γ + τ 3 dla poziomu 3. Aby wykluczyć istnienie interakcji, przeprowadzamy test liniowy F dla hipotez: H 0 : τ 2 = τ 3 = 0 H 1 : τ 2 0 lub τ / 11