Dynamika punktu materialnego

Transkrypt

1 Dynaia punu aerialnego dr inż. Sebaian Pauła Wydział Inżynierii Mechanicznej i Roboyi Kaedra Mechanii i Wibroauyi ail: paula@agh.edu.pl www: hoe.agh.edu.pl/~paula/ dr inż. Sebaian Pauła - Kaedra Mechanii i Wibroauyi AGH Srona 1

2 Zadanie 1. Przy wyrzale z działa poci opuzcza lufę z prędością v=7/. Maa pociu wynoi =6g. Jai je średni naci gazów prochowych, jeżeli poci przebywa wewnąrz działa drogę =. Po jai czaie poci opuści lufę działa, jeżeli ię przyjie, że naci gazów je niezienny. Zadanie. Po jai czaie i na jai odcinu oże zarzyać ię w ue haowania wagon rawajowy jadący po pozioy orze z prędością 36/h, jeżeli opór ruchu powający przy haowaniu wynoi 3G na onę ciężaru wagonu. Zadanie 3. Pun aerialny o aie poruza ię prooliniowo pod działanie iły zieniającej ię według wzoru F=F co(ω), gdzie F i ω ą ałe. W chwili począowej pun a prędość x v. Znaleźć równanie ruchu punu. F 1 co x v Zadanie 4. Ciało o ciężarze G rzucono pionowo do góry z prędością / poonuje opór powierza, óry przy prędości v =1 / wynoi w ilograach-iła,4; g=9,8 /. Obliczyć, po ilu eundach ciało oiągnie najwyżze położenie. (przeliczyć are jednoi [G], [T] na nowe [N] ) Zadanie. Moorniczy rawajowy wyłączając opniowo opory w obwodzie eleryczny ilnia, zwięza jego oc a, że iła pociągowa wzraa od zera proporcjonalnie do czau o 1 G w ciągu ażdej eundy. Znaleźć równanie drogi wagonu dla naępujących danych. Ciężar wagonu 1 T, opór jazdy je ały i wynoi,t, a prędość począowa równa je zeru. (1,7) (M.69) (przeliczyć are jednoi [G], [T] na nowe [N] ) dr inż. Sebaian Pauła - Kaedra Mechanii i Wibroauyi AGH Srona

3 DRGANIA Zadanie 1. Aby zierzyć lepość cieczy Coulob użył naępującej eody. Zawieił na prężynie cieną płyę A i wprawił ją w ruch drgający, najpierw w powierzu, a poe w badanej cieczy i zierzył w obu przypadach ore jednego wahnięcia T 1, T. Siła arcia płyi o ciecz wyrażona je wzore Sbv, gdzie S o pole powierzchni płyi, v - jej prędość, b - wpółczynni lepości. Poijając arcie płyi o powierze, obliczyć wpółczynni lepości ze zierzonych doświadczalnie czaów T 1 i T, jeżeli aa płyi wynoiła. Odp.: b T T1 Podpowiedź: ST T 1 T ore drgań ZADANIE. Cząa o aie =1 g wyonuje drgania haroniczne wzdłuż oi x, woół położenia równowagi x=. Mayalna prędość cząi v ax =c/, zaś ayalne wychylenia A=3 c. Wiedząc, że w chwili 1 = wychylenie wynoiło x 1 = c, obliczyć: a) częoliwość ołową ω, ore T i fazę począową φ; b) prędość i przyśpiezenie cząi w chwili =1 ; c) ayalną iłę działającą na cząę oraz jej energię całowią. (parz przyład 3) ZADANIE 3. Mała ula o aie = g zoała zawiezona na prężynie o ałej =1 N/c. Kulę odciągnięo o x=3 c od położenia równowagi i puzczono nadając jej prędość v p =1 c/ do góry. Obliczyć: a) apliudę, ore drgań ej uli i fazę począową; b) ayalną prędość i przyśpiezenie w jej ruchu; c) energię całowią uli. ZADANIE 4. W ciągu =1 ciało wyonuje n=1 drgań łuionych. W y czaie apliuda drgań aleje =1, razy. W chwili począowej wychylenie było x =1 c, zaś prędość v =-1 c/. Obliczyć: a) apliudę począową A i fazę począową α, dr inż. Sebaian Pauła - Kaedra Mechanii i Wibroauyi AGH Srona 3

4 b) apliudę i wychylenie w chwili czau 1 =. Przyład 1. Walec o proieniu r, wyoości h i aie wii na prężynie AB, órej oniec B je nieruchoy. Walec zanurzony je w wodzie. W położeniu równowagi walec zanurza ię na głęboość h/. W chwili począowej walec zanurzony był w wodzie na /3 wojej wyoości. Naępnie puzczono go bez prędości począowej. Przyjując, że zywność prężyny a warość oraz że działanie wody prowadza ię do iły wyporu wg prawa Archiedea, wyznaczyć ruch walca względe położenia równowagi. Przyjąć, że ciężar właściwy wody równa ię. A B h r ROZWIĄZANIE: Położenie równowagi: h h g r x g r x Równanie ruchu: h x g x x r x h h x g x g r r r x x x r x x r x x dr inż. Sebaian Pauła - Kaedra Mechanii i Wibroauyi AGH Srona 4

5 x r x x gdzie częość drgań włanych uładu CORJ: (Cała ogólna równania jednorodnego) x Ain B co x A co B in Waruni począowe x h h h, 1 A, B h 6 1 r x h co 6 x Przyład. Odważni o aie M wii na prężynie AB, órej góry oniec wyonuje drgania haroniczne o apliudzie a i częości ołowej ω wzdłuż proej pionowej. Odległość OC 1 ain. Wyznacz równanie ruchu odważnia przy naępujących 1 danych. 1g. Siła 1N rozciąga prężynę o 1c. a c, 7. Załóży, że w oencie uruchoienia urządzenia, uład znajdował ię w położeniu równowagi. C O 1 ain O 1 C x x ROZWIĄZANIE: Obliczanie wpółczynnia prężyości : dr inż. Sebaian Pauła - Kaedra Mechanii i Wibroauyi AGH Srona

6 P 1 N 1 x,1 Równanie różniczowe ruchu: x ( ain x) / : x x a in gdzie (częość drgań włanych uładu) CORJ: (Cała ogólna równania jednorodnego) RJ: x x x Ain Bco j x A co B in j x A in B co j Załadając waruni począowe x()=, v()= A, B CSRN: (Cała zczególna równania niejednorodnego) x Cin Dco, x C co D in, x C in D co Podawiay przewidywane rozwiązania zczególne do RJ. C in D co C in D co ain Przyrównujey wpółczynnii wyępujące przy inω i coω C a D C D a CSRN: x a in CORN=CORJ+CSRN (Cała ogólna równania niejednorodnego) a x in dr inż. Sebaian Pauła - Kaedra Mechanii i Wibroauyi AGH Srona 6

7 x 3,9in 7 c Przyład 3. Cząa o aie =4g wyonuje drgania haroniczne wzdłuż oi x, woół położenia równowagi x=. Wychylenie cząi w chwili 1 = wynoi x 1 = c, zaś w chwili = wychylenie wynoi x = c. Wiedząc, że apliuda drgań A=c, obliczyć: a) częoliwość ołową ω, ore T i fazę począową φ; b) wychylenie i prędość cząi w chwili = 1 ; c) energię ineyczną i poencjalną w chwili =1. ROZWIĄZANIE: A) Ogólne równanie ruchu haronicznego a poać: in (1) x A co () v A w ai wypadu podawy do ego równania dwa rozwiązania: x1 in x in Orzyaliśy uład dwóch równań o dwóch niewiadoych ω i φ. Podziely oba równania przez i poługując ię funcją odwroną do inu j. ain. Obliczyy w en poób warość arguenu funcji inu. x1 a in x a in Odejijy od drugiego równania pierwze, aby wyrugować φ. Orzyujey: x x 1 ain ain 3 ąd: (3) dr inż. Sebaian Pauła - Kaedra Mechanii i Wibroauyi AGH Srona 7

8 , 379 3, 4994 in x in x a a a in a in, rad 3 3 Aby obliczyć ą fazowy φ, wyorzyay jedno z równań z uładu (3). x a 1 in 1, 47 rad Ore drgań policzyy na podawie znanej częości ołowej ω wg. wzoru: B) T 66,6 (4) Mając już znane równanie ruchu (1) oraz prędości () wyznaczyy wychylenie i prędość w 1 eundzie ruchu. x 1 in, , c c v 1, co, , C) Energia ineyczna i poencjalna wyrażone ą odpowiednio wzorai: v 1, 4 g, E 4,396 1 J 43,96 nj x U 1 gdzie wpółczynni o ała prężyości. Można ją obliczyć znając częość drgań włanych ω: Energia poencjalna będzie wyrażona wzore: rad.4g , x U 1, 6nJ Sprawdźy jezcze jednoi: dr inż. Sebaian Pauła - Kaedra Mechanii i Wibroauyi AGH Srona 8

9 E g / g N J U rad g g N J Policzy jezcze energię całowią: E E U 43,96 nj 1, 6nJ 4, 16nJ C ZADANIE! OBLICZ ENERGIE CAŁKOWITĄ W 1 SEKUNDZIE RUCHU I PORÓWNAJ Z CAŁKOWITĄ ENERGIĄ W 1 SEKUNDZIE RUCHU! dr inż. Sebaian Pauła - Kaedra Mechanii i Wibroauyi AGH Srona 9