Jn Nwrocki MATEMATYKA cz ALGEBRA i GEOMETRIA ANALITYCZNA Politechnik Wrszwsk
Politechnik Wrszwsk Wydził Smochodów i Mszyn Roboczych Kierunek "Edukcj techniczno informtyczn" -54 Wrszw, ul Nrbutt 84, tel () 849 4 7, () 4 8 48 ipbmvrsimrpwedupl/spin/, e-mil: sto@simrpwedupl Opiniodwc: prof dr hb Krzysztof CHEŁMIŃSKI Projekt okłdki: Norbert SKUMIAŁ, Stefn TOMASZEK Projekt ukłdu grficznego tekstu: Grzegorz LINKIEWICZ Skłd tekstu: Jnusz BONAROWSKI, Jn NAWROCKI Publikcj bepłtn, przeznczon jest dl studentów kierunku "Edukcj techniczno informtyczn" Copyright Politechnik Wrszwsk Utwór w cłości ni we frgmentch nie moŝe być powielny ni rozpowszechniny z pomocą urządzeń elektronicznych, mechnicznych, kopiujących, ngrywjących i innych bez pisemnej zgody posidcz prw utorskich ISBN 8-897-9-4 Druk i oprw: Drukrni Expol P Rybiński, J Dąbek Spółk Jwn, 87-8 Włocłwek, ul Brzesk 4
Spis treści ALGEBRA I Elementy logiki mtemtycznej i lgebry zbiorów 7 Elementy logiki mtemtycznej 8 Algebr zbiorów II Relcje i odwzorowni 7 Relcje 8 Odwzorowni i funkcje III Liczby zespolone i wielominy zespolone 5 Zbiór liczb zespolonych 6 Postć trygonometryczn liczby zespolonej 8 Wielominy w dziedzinie zespolonej Funkcje wymierne 4 IV Przestrzeń liniow 7 Liniow zleŝność wektorów 9 Bz i wymir przestrzeni 4 V Mcierze i wyznczniki 4 Mcierze 44 Wyznczniki 46 Mcierz odwrotn 5 VI Równni liniowe 55 GEOMETRIA ANALITYCZNA VII Przestrzeń metryczn i unormown, iloczyny wektorów 6 Przestrzeń metryczn 64 Przestrzeń unormown 67 Iloczyn sklrny 68 Iloczyn wektorowy 7 Iloczyn mieszny 7 VIII Płszczyzn i prost w R 77 Płszczyzn w R 78 Prost w R 8 Wzjemne połoŝenie prostych i płszczyzn 8 IX Powierzchnie stopni drugiego 87 Powierzchnie obrotowe 89 Powierzchnie prostokreślne 9 Litertur
Przedmow Niniejsze mteriły zostły oprcowne w rmch relizcji Progrmu Rozwojowego Politechniki Wrszwskiej finnsownego ze środków PROGRAMU OPERACYJNEGO KAPI- TAŁ LUDZKI Przeznczone są dl studentów pierwszego roku studiów inŝynierskich kierunku nuczni Edukcj techniczno-informtyczn prowdzonych n Wydzile Smochodów i Mszyn Roboczych Politechniki Wrszwskiej Swoim zkresem obejmują pierwszą część temtyki określonej w progrmie studiów dl przedmiotu pn Mtemtyk opisnym w sylbusie oprcownym dl tego przedmiotu Jest to przedmiot z grupy przedmiotów podstwowych W plnie studiów przewidzino jego relizcję n pierwszym i drugim roku studiów N pierwszym semestrze są to dw wykłdy -godzinne i 5-godzinne ćwiczeni dl kŝdego z nich: Mtemtyk cz Algebr i geometri nlityczn, Mtemtyk cz Anliz N drugim semestrze wykłdy -godzinne i -godzinne ćwiczeni dl kŝdego wykłdu: Mtemtyk cz Anliz, 4 Mtemtyk cz 4 Szeregi funkcyjne i równni róŝniczkowe zwyczjne N trzecim semestrze - godzinny wykłd: 5 Mtemtyk cz 5 Elementy probbilistyki i sttystyki mtemtycznej Niniejsze mteriły przeznczone są dl studentów pierwszego semestru Skrypt ten zwier podstwowe treści z lgebry i geometrii nlitycznej potrzebne studentom wydziłów technicznych Politechniki Wrszwskiej Postnowiłem pominąć niektóre dowody, strjąc się jednocześnie ilustrowć kŝde twierdzenie przykłdem NjwŜniejsze definicje i wszystkie twierdzeni zostły zpisne w rmkch, co pozwl studentom zwrócić uwgę n te wŝne w mtemtyce zdni Komentrze przy rozwiązywniu zdń są oszczędne, strłem się jednk odwoływć do twierdzeń, wniosków i uwg podnych wcześniej; uŝywm oznczeni T n twierdzeni, W n wnioski i U n uwgi podjąc numer po literze, przed literą oddję rzymski numer rozdziłu, w którym znjduje się dne twierdzenie, wniosek lub uwg Komentrze podję tkŝe w specjlnych nwisch w ciągu wywodów, by skrócić zpisy
I Elementy logiki i lgebry zbiorów
ROZDZIAŁ I Elementy logiki mtemtycznej Zdniem prostym w mtemtyce nzywmy tkie zdnie proste w sensie grmtycznym, o którym moŝn orzec, czy jest prwdziwe, czy fłszywe Zdni proste oznczmy litermi: p, q, r, JeŜeli zdnie p jest prwdziwe, to przypisujemy mu wrtość logiczną (piszemy wtedy w(p)=), jeśli zś p jest zdniem fłszywym, to przypisujemy mu wrtość logiczną (piszemy wtedy w(p)= ) Aby ze zdń prostych otrzymć zdni złoŝone uŝywmy tzw funktorów (spójników) zdniotwórczych Funktory te, to: negcj, lterntyw, koniunkcj, implikcj i równowŝność Negcj: p' (lbo ~p) będzie oznczć negcję zdni p, tzn zdnie: nie p (lbo nieprwd, Ŝe p ), którego wrtość logiczn podn jest w tbeli: p p' Alterntyw: p q będzie oznczć lterntywę zdń p i q (czytj p lub q ), czyli zdnie złoŝone, którego wrtość logiczn podn jest w tbeli: p q p q Koniunkcj: p q będzie oznczć koniunkcję zdń p i q (czytj p i q ), czyli zdnie złoŝone, którego wrtość logiczn podn jest w tbeli: p q p q Stron 8
ELEMENTY LOGIKI I ALGEBRY ZBIORÓW 4 Implikcj: p q będzie oznczć implikcję zdni q ze zdni p (czytj: jeśli p, to q lub z p wynik q ), czyli zdnie złoŝone, którego wrtość logiczn podn jest w tbeli: p q p q 5 RównowŜność: p q będzie oznczć równowŝność zdń p i q (czytj p wtedy i tylko wtedy, gdy q ), czyli zdnie złoŝone, którego wrtość logiczn podn jest w tbeli: p q p q Przykłd Niech zdnie p będzie: + = 7 zś zdnie q: 4 + 4 = 8, wtedy zdni p', p q, p q są prwdziwe, zś zdni p q i p q są fłszywe W mtemtyce często mmy do czynieni ze zdnimi, które są prwdziwe niezleŝnie od tego, jką wrtość logiczną mją zdni proste Zdni złoŝone, które są prwdziwe bez względu n to, jką wrtość logiczną mją zdni proste skłdowe nzywmy prwmi rchunku zdń lub tutologimi NjwŜniejszymi tutologimi ze względu n ich zstosownie w mtemtyce są: (p q) p q - I prwo de Morgn, (p q) p q - II prwo de Morgn, [ (p q) (q r)] (p r) - prwo sylogizmu, 4 (p q) (q p ) - prwo kontrpozycji, 5 (p q) p q - prwo negcji implikcji, 6 p (q r) (p q) (p r) - rozdzielność koniunkcji względem lterntywy, 7 p (q r) (p q) (p r) - rozdzielność lterntywy względem koniunkcji W mtemtyce mmy do czynieni nie tylko z pojedynczymi zdnimi, lecz równieŝ ze zbiormi zdń, które w logice nzywmy formmi zdniowymi, w mtemtyce wrunkmi Formę zdniową zleŝną od jednej zmiennej x, przyjmującej wrtości z pewnego zbioru X, oznczmy: p(x) Przykłdem formy zdniowej jest nstępujący zbiór zdń: x 5x + 6 <, x R Łtwo moŝemy ustlić zbiór tych x, dl których zdnie jest prwdziwe; jest to przedził otwrty: (, ) Stron 9
ROZDZIAŁ I Uogólnieniem n formy zdniowe funktor lterntywy jest tzw kwntyfiktor szczegółowy o symbolu : Zpis postci : x : p(x) ozncz zdnie: istnieje tk wrtość zmiennej x, Ŝe zdnie p(x) jest prwdziwe lbo istnieje tkie x, dl którego zchodzi p(x) Jeśli X = {x, x,, x n }, to zdnie : x : p(x) jest równowŝne zdniu: p (x ) p(x ) p(x n ) Uogólnieniem n formy zdniowe funktor koniunkcji jest tzw kwntyfiktor ogólny o symbolu: Zpis postci: x : p(x) ozncz zdnie: dl kŝdej wrtości zmiennej x zdnie p(x) jest prwdziwe lbo dl kŝdego x zchodzi p(x) JeŜeli X = {x, x,, x n }, to zdnie: x : p(x) jest równowŝne zdniu: p(x ) p(x ) p(x n ) Przykłd Zdnie prwdziwe z uŝyciem kwntyfiktor szczegółowego: x R: x - = Zdnie prwdziwe z uŝyciem kwntyfiktor ogólnego: x R: x + > Zdnie fłszywe z uŝyciem kwntyfiktor szczegółowego: n N : n = 7 Zdnie fłszywe z uŝyciem kwntyfiktor ogólnego: n N : (n + ) = n + Do njczęściej stosownych w mtemtyce tutologii dl rchunku kwntyfiktorów nleŝą uogólnione prw de Morgn: ( x : p(x) ) x : p (x); ( x : p(x) ) x : p (x) Algebr zbiorów Pojęcie zbioru jest w mtemtyce tzw pojęciem pierwotnym, tzn tkim, którego nie definiujemy, le którego sens jest intuicyjnie zrozumiły Zbiory będziemy oznczć duŝymi litermi, zś ich elementy młymi litermi PrzynleŜność elementu do zbioru jest tkŝe pojęciem pierwotnym Zdnie: element nleŝy do zbioru A zpisujemy nstępująco: A Negcję tego zdni: element nie nleŝy do zbioru A zpisujemy: A Podmy terz oznczeni zbiorów szczególnych: N = {,,, } zbiór liczb nturlnych, N zbiór liczb nturlnych z zerem, Z zbiór liczb cłkowitych, Q zbiór liczb wymiernych, R zbiór liczb rzeczywistych, C zbiór liczb zespolonych Stron
ELEMENTY LOGIKI I ALGEBRY ZBIORÓW Zbiór A jest podzbiorem zbioru B, jeŝeli kŝdy element zbioru A nleŝy do zbioru B Mówimy teŝ wtedy, Ŝe zbiór B zwier zbiór A, lub, Ŝe zbiór A zwier się w zbiorze B Zwiernie się jednego zbioru w drugim nzywmy równieŝ inkluzją zbiorów i oznczmy symbolem Definicję zwierni się zbiorów moŝn zpisć nstępująco: lub krócej: A B ( A : A B ), A B ( A : B ) Dw zbiory A i B nzywmy równymi (co zpisujemy: A = B), jeŝeli kŝdy z nich jest podzbiorem drugiego, ztem A = B (A B B A) lub A = B [ A : ( A B)] W mtemtyce dl kŝdego zgdnieni ustl się pewien zbiór zwierjący wszystkie inne zbiory występujące w tym zgdnieniu Zbiór tki nzywmy przestrzenią i oznczmy literą Ω Wtedy podzbiór A przestrzeni Ω moŝemy zdefiniowć podjąc wrunek p(x), który spełniją wszystkie elementy x tego zbioru i tylko te elementy: A : = {x Ω : p(x)} Oto kilk przykłdów tkiego definiowni zbiorów: {x R : x < } = (-,), {x N : x < 8} = {,}, {x R : x + > 7} = (,+ ) Zbiór nie zwierjący Ŝdnego elementu nzywmy zbiorem pustym i oznczmy symbolem, tk więc : = {x Ω : x Ω } Dopełnieniem zbioru A do przestrzeni Ω nzywmy zbiór tych elementów przestrzeni Ω, które nie nleŝą do zbioru A Oznczjąc dopełnienie zbioru A symbolem A moŝemy npisć: A : = {x Ω : x A} Zbiór, którego elementmi są wszystkie podzbiory przestrzeni Ω nzywmy rodziną podzbiorów przestrzeni Ω i oznczmy symbolem Ω, tk więc A Ω A Ω Stron
ROZDZIAŁ I Włsności: A A; (A B B C) (A C); A Ω : A; 4 = Ω, Ω = Dl zbiorów A,B Ω mnogościową określmy ich sumę mnogościową, iloczyn mnogościowy i róŝnicę Unią (sumą mnogościową) zbiorów A,B Ω nzywmy zbiór tych elementów przestrzeni Ω, które nleŝą do zbioru A lub do zbioru B Oznczjąc unię zbiorów A i B symbolem A B moŝemy npisć: A B : ={x Ω : x A x B} Sumownie mnogościowe zbiorów jest przemienne i łączne, tzn A, B, C Ω : A B = B A i A ( B C ) = ( A B ) C Przekrojem (iloczynem mnogościowym) zbiorów A,B Ω nzywmy zbiór tych elementów przestrzeni Ω, które nleŝą do jednego i do drugiego zbioru Oznczjąc przekrój zbiorów A i B symbolem A B moŝemy npisć: A B : = {x Ω : x A x B } Stron
ELEMENTY LOGIKI I ALGEBRY ZBIORÓW TkŜe iloczyn mnogościowy zbiorów jest przemienny i łączny, tzn A,B,C Ω : A B = B A i (A B) C = A (B C) Pondto iloczyn mnogościowy jest rozdzielny względem sumy mnogościowej: A,B,C Ω : A (B C) = (A B) (A C), orz sum mnogościow jest rozdzieln względem iloczynu mnogościowego: A,B,C Ω : A (B C) = (A B) (A C) RóŜnicą (róŝnicą mnogościową) zbiorów A,B Ω nzywmy zbiór tych elementów przestrzeni Ω, które nleŝą do zbioru A i nie nleŝą do zbioru B Oznczjąc róŝnicę zbiorów A i B symbolem A\B moŝemy npisć: A \ B : = { x Ω : x A x B } Oprócz podnych wcześniej włsności dziłń n zbiorch, podmy jeszcze kilk JeŜeli A, B, C Ω, to: A B A, A B B; A A B, B A B; A A = Ω, A A = ; 4 (A B) = A B - prwo de Morgn dl dopełnień; 5 (A B) = A B - prwo de Morgn dl dopełnień; 6 A \ B A; 7 A B A \ B = ; 8 A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) - prwo de Morgn dl róŝnic zbiorów; 9 A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) - prwo de Morgn dl róŝnic zbiorów Przykłd Wykzć, Ŝe A B A Z określeni inkluzji orz przekroju zbiorów wynik, iŝ nleŝy wykzć, Ŝe zdnie: x Ω : (x A x B) x A jest prwdziwe Jeśli oznczymy przez p zdnie: x A zś przez q zdnie: x B, to wystrczy sprwdzić, czy zdnie: p q p jest tutologią Stron
ROZDZIAŁ I p q p q p q p Zdnie to jest tutologią, więc dl kŝdego x zdnie: (x A x B) x A jest prwdziwe, więc A B A Przykłd 4 Wykzć, Ŝe A\ (B C) = (A \ B) (A \ C) x [ A \ (B C)] [ x A x (B C)] [x A x (B C) ] [x A (x B x C) ] Wykorzystując I prwo de Morgn, osttnie zdnie piszemy w postci równowŝnej: [x A (x B x C)] [x A x B x C] [x A x B x A x C] (x A x B) (x A x C)] ]x (A \ B) x (A \ C)] x (A \ B) (A \ C) Wykzliśmy więc, Ŝe x Ω : x [A \ (B C)] x (A \ B) (A \ C) ztem A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) Stron 4
ELEMENTY LOGIKI I ALGEBRY ZBIORÓW Ćwiczeni Sprwdzić, czy prwdziwe są nstępujące zdni: ) Jeśli dzieli 5, to 7 dzieli 9; b) + = 5 lub jeśli + = 5, to + = 6; c) jeśli liczb dzieli się przez i dzieli się przez 5, to z fktu, iŝ nie dzieli się przez, wynik, Ŝe nie dzieli się przez 5 Sprwdzić, czy nstępujące zdni są tutologimi: ) p (p) ; b) (p q) (p q) ; c) p (p q) ; d) (p q) [ p (q r)] ; e) [(p q) (p q )] p q Wyznczyć A B, A B, A \ B, B \ A dl nstępujących zbiorów A i B ) A = {, b, c, e, f}, B = {, c, e} b) A = {,, 5, 7, 8}, B = {, 4, 6, 7, 8} c) A = { n N : n < 4}, B = {n N : n 4} d) A = { x R : x }, B = {x R : x } e) A = { x R : x x = }, B = { x R : x (x ) } 4 Wykzć, Ŝe dl dowolnych zbiorów A, B, C Ω zchodzą relcje: ) A B A B = A b) (A B)C = (AC) (BC) c) (A\B = B\A) A = B d) (A B) (C\B C\A) Stron 5
ROZDZIAŁ I Stron 6
II Relcje i odwzorowni
ROZDZIAŁ II Relcje RozwŜmy dwuelementowy zbiór A = {, b} Rodziną wszystkich jego podzbiorów będzie zbiór czteroelementowy A = {φ, {}, {b}, {,b}} Dwuelementową podrodzinę tej rodziny złoŝoną ze zbiorów: {} i {,b} nzywmy prą uporządkowną elementów i b i oznczmy symbolem (, b) Element nzywmy poprzednikiem (lbo pierwszą współrzędną) element b nstępnikiem (lbo drugą współrzędną) pry (, b) Dwie pry są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich poprzedniki i ich nstępniki są równe, więc [(, b) = (c, d)] [ = c b = d] Oczywiste jest, Ŝe gdy b, to (, b) (b, ) Pojęcie pry uporządkownej uogólnimy n większą liczbę elementów (współrzędnych), np uporządkowną trójkę elementów, b, c określmy nstępująco: (, b, c) : = ( (, b), c) Wykorzystując definicję pry uporządkownej, wprowdzimy brdzo wŝne w mtemtyce pojęcie iloczynu krtezjńskiego zbiorów Iloczynem krtezjńskim niepustego zbioru A przez niepusty zbiór B nzywmy zbiór, którego elementmi są wszystkie pry uporządkowne o poprzednikch ze zbioru A i nstępnikch ze zbioru B Oznczjąc iloczyn krtezjński zbioru A przez zbiór B symbolem A B mmy: A B : = { (, b) : A b B } W szczególności, gdy A = B, iloczyn A A oznczmy A krtezjńskim zbioru A, więc A : = {(, b) :,b A} i nzywmy kwdrtem JeŜeli A B, to A B B A Przykłd Jeśli A = {,, }, B = {5, 6}, to A B = {(,5), (,6), (,5), (,6), (,5), (,6)}, orz B A = {(5,), (5,), (5,), (6,), (6,), (6,)} Stron 8
RELACJE I ODWZOROWANIA Przykłd Niech A będzie odcinkiem [,] B odcinkiem [,5], wtedy A B i B A mogą być interpretowne n płszczyźnie XOY jko kwdrty: A B = {(x,y) : x [-,] y [,5]}, B A = {(x,y) : x [,5] y [-,]} Przykłd Jeśli A = R, to R = {(x,y) : x R y R}, tk więc kwdrt krtezjński zbioru liczb rzeczywistych jest płszczyzną Anlogicznie R = {(x,y,z) : x R y R z R} jest przestrzenią trójwymirową Relcją dwurgumentową między elementmi zbiorów A i B nzywmy dowolny podzbiór R iloczynu krtezjńskiego A B Jeśli A = B, to zbiór R A nzywmy relcją określoną w zbiorze A Zdnie jest w relcji R z b oznczmy: (, b) R lub Rb Często literę R zstępujemy symbolem grficznym dnej relcji (np, >, ) jk to widć w nstępnym przykłdzie Przykłd 4 RozwŜmy trzy podzbiory R, R i R kwdrtu krtezjńskiego R tkie, Ŝe: R R określ relcję większości w zbiorze R, bo x R y x > y R R określ relcję równości w zbiorze R, bo x R y x = y R R określ relcję mniejszości w zbiorze R, bo x R y x < y Dziedziną relcji R A B nzywmy zbiór D R A, który definiujemy nstępująco: D R : = { A : b B : R b} Stron 9
ROZDZIAŁ II Z pomocą relcji wprowdz się w mtemtyce wiele podstwowych pojęć Określimy terz fundmentlne pojęcie, jkim jest odwzorownie i funkcj Odwzorowni i funkcje Niepustą relcję ƒ A B, tką, Ŝe: A b B : ƒ b, A b,b B : (ƒ b ƒ b ) b = b, nzywmy odwzorowniem (funkcją) zbioru A w zbiór B i oznczmy nstępująco: ƒ : A B W przypdku odwzorowń zmist oznczeni (,b) ƒ ƒ b, uŝywmy zpisu b = ƒ(), wtedy b nzywmy obrzem elementu w odwzorowniu ƒ, lbo wrtością odwzorowni ƒ n elemencie, zś D ƒ nzywmy rgumentem odwzorowni ƒ Czsmi D ƒ nzywmy zmienną niezleŝną, zś b =ƒ() zmienną zleŝną odwzorowni ƒ Odwzorownie f : A R nzywmy funkcjonłem rzeczywistym, w szczególności: - gdy A R, to jest to funkcj rzeczywist jednej zmiennej rzeczywistej; - gdy A R, to jest to funkcj rzeczywist dwóch zmiennych (rzeczywistych); - gdy A R, to jest to funkcj rzeczywist trzech zmiennych (rzeczywistych); - gdy A = N, to jest to ciąg liczbowy nieskończony Przykłd 5 Sprwdzić, czy relcj R R jest funkcją, jeŝeli xry x = y Sprwdzmy, czy prwdziwe jest nstępujące zdnie: x R y,z R : (x = y x = y ) (y = z) Łtwo wskzć tkie x, y, i z, dl których implikcj jest fłszyw Jeśli x = y =, z =, to x = y x = z, zś y z Tk więc dn relcj nie jest funkcją Przykłd 6 Sprwdzić, czy relcj R R jest funkcją, jeŝeli xry x = y + Sprwdzmy, czy prwdziwe jest zdnie: x R y,z R : (x = y + x = z + ) (y = z) PoniewŜ x = y + i x = z +, więc y + = z +, czyli y = z, ztem zdnie to jest prwdziwe Stron
RELACJE I ODWZOROWANIA Mmy pondto x R y = x : xry ( x = x + ), czyli dn relcj jest funkcją (jest to funkcj określon wzorem y = x ) Aby określić pewne szczególne włsności funkcji, wprowdzimy pojęcie przeciwdziedziny (zbioru wrtości funkcji) Przeciwdziedziną funkcji ƒ : A B nzywmy zbiór ƒ(a) zdefiniowny nstępująco: ƒ(a) = { b B : A : b = ƒ()} Określimy terz trzy rodzje funkcji z pomocą ich podstwowych włsności Funkcję ƒ : A B, której przeciwdziedzin jest identyczn ze zbiorem B (tzn B = ƒ(a)), nzywmy funkcją n (zbiór B) lub suriekcją Funkcję ƒ : A B, któr spełni wrunek lewostronnej jednoznczności :, A : ( ) [ f() f( )] nzywmy funkcją róŝnowrtościową lub iniekcją Funkcję ƒ jednocześnie suriektywną i iniektywną nzywmy funkcją wzjemnie jednoznczną lub bijekcją (zbioru A n zbiór B) i oznczmy: ƒ : A B Zbiór wszystkich odwzorowń postci f: A B będziemy oznczć B A ozncz, Ŝe f jest funkcją o dziedzinie A i przeciwdziedzinie B) ( zpis f B A Przykłd 7 Zbdć rodzj funkcji ƒ : N N, gdzie ƒ (n,k) = min(n,k) Funkcj t jest n zbiór N, bo m N (m, m+) N : ƒ(m,m+) = m, tzn kŝd liczb nturln m jest obrzem pry (m,m+) Nie jest to funkcj róŝnowrtościow, bo np ƒ(,) = ƒ(,), zś (,) (,) Ztem ƒ jest funkcją n (suriekcją) Przykłd 8 Zbdć, czy funkcj ƒ : R R, gdzie ƒ(x) = x, jest bijekcją? Funkcj t jest n, poniewŝ dl kŝdego y R, istnieje x = y Jest to tkŝe funkcj róŝnowrtościow, bo jeśli x x, to x (x ), ztem f jest bijekcją Stron
ROZDZIAŁ II Do tworzeni funkcji o brdziej złoŝonej budowie uŝyw się, oprócz opercji rytmetycznych, tkŝe opercji skłdni (superpozycji) funkcji Superpozycją (złoŝeniem) funkcji: f : A B i funkcji g : B C nzywmy funkcję, którą oznczmy g o f, spełnijącą wrunek: A : (g f)() = g[ƒ()] Z pomocą tego pojęci moŝemy zdefiniowć funkcję odwrotną do dnej Funkcją odwrotną do funkcji ƒ : A B nzywmy funkcję ƒ : B A spełnijącą wrunki: A : (ƒ ƒ)() = ; b B : (ƒ ƒ )(b) =b Dl funkcji tych mmy nstępujące twierdzeni Twierdzenie Funkcj ƒ : A B m funkcję odwrotną wtedy i tylko wtedy, gdy ƒ jest bijekcją Twierdzenie JeŜeli funkcje f i g są bijekcjmi i f : A B, g : B C, to równieŝ ich superpozycj g ƒ jest bijekcją ( zbioru A n zbiór C) orz zchodzi równość: (g ƒ) = ƒ g Przykłd 9 JeŜeli f : R R dne jest wzorem: f(x) = x +, zś g : R R dn jest wzorem: g(x) = x, to g f : R R i (g f)(x) = g[f(x)] = (x + ) = x 9 + x 6 + x + orz f g : R R i (f g)(x) = f[g(x)] = (x ) + = x 9 + N ogół więc: f g f g Stron
RELACJE I ODWZOROWANIA Ćwiczeni Nszkicowć w ukłdzie współrzędnych prostokątnych n płszczyźnie zbiory A B i B A, jeŝeli: ) A = {x R : x = x}, B = {y R : y > }; b) A = {x R + : log x > }, B = {y R : < y }; c) A = {x R : x < x > }, B = {y R : y < } Wyznczyć iloczyn krtezjński A B i B A dl nstępujących zbiorów A i B: ) A = {, b, c,}, B = {, }; b) A = {}, B= {,,, 4}; c) A = {,, 4}, B = {,, 5} Niech A = {,,,4,5,6} Określić nstępujące relcje określone w zbiorze A: ) R A, R = {(,), (,), (,)} ; b) R A, R = {(,6), (,6), (,6), (4,6), (5,6), (6,6), (6,5), (6,4), (6,), (6,), (6,)} ; c) R A, R = {(,6), (6,), (4,5), (5,4)} ; d) R 4 A, R 4 = {(,), (,4),(,5), (4,6), (6,4), (5,), (4,), (,)} 4 Zbdć rodzj funkcji (suriekcj, iniekcj, bijekcj), jeŝeli: ) f : R R +, f(x) = x ; b) f : R <, + ), f(x) = x + x ; c) g : N R, g(n) = n + ; d) h : R <, + ), h(x) = x e x Stron
ROZDZIAŁ II Stron 4
III Liczby zespolone i wielominy zespolone
ROZDZIAŁ III Zbiór liczb zespolonych Zbiór liczb rzeczywistych nie wystrcz do opisu rzeczywistości (tkŝe do opisu zjwisk w zstosownich inŝynierskich), dltego zbiór ten zostł rozszerzony do zbioru liczb zespolonych W zbiorze tym wykonuje się wszystkie dziłni, które wykonujemy w zbiorze liczb rzeczywistych dodtkowo moŝliwe jest pierwistkownie liczb rzeczywistych ujemnych Zbiór liczb zespolonych zdefiniujemy w tki sposób, by podkreślić fkt geometryczny, Ŝe liczb zespolon moŝe być utoŝsmin z punktem n płszczyźnie Niech (x, y) i (x, y ) będą prmi uporządkownymi ze zbioru R Określmy n zbiorze tych pr dziłnie dodwni i mnoŝeni w nstępujący sposób: (x, y) + (x, y ) : = (x + x, y + y ) (x, y) (x, y ) : = (xx yy, xy + x y) Zbiór R z dziłnimi dodwni i mnoŝeni spełni wszystkie włsności, jkie mją liczby rzeczywiste, w szczególności mnoŝenie i dodwnie jest przemienne i łączne, mnoŝenie jest rozdzielne względem dodwni, pr (,) spełni rolę zer pr (,) rolę jedynki Zbiór ten z tk określonymi dziłnimi dodwni i mnoŝeni nzywmy zbiorem liczb zespolonych i oznczmy symbolem C PoniewŜ x, x R: (x, ) + (x, ) = (x + x,), (x,) (x, ) = (xx, ), więc zrówno sum, jk i iloczyn liczb zespolonych postci (x,) są liczbmi tej smej postci, więc liczbę zespoloną (x,) utoŝsmimy z liczbą rzeczywistą x Tk więc w dlszym ciągu przyjmujemy, Ŝe (x, ) x, w szczególności (,) i (,) Łtwo zuwŝyć, Ŝe liczby zespolone postci (, y) nie mją tej włsności, bo np: (, y) (, y ) = (yy, ) Liczby zespolone postci (,y) (y ) nzywmy liczbmi urojonymi, w szczególności liczbę (,) nzywmy jedynką urojoną i oznczmy literą i, tk więc i : = (,) ZuwŜmy, Ŝe: i = (,) (,) = (,) = Stron 6
LICZBY ZESPOLONE I WIELOMIANY ZESPOLONE PoniewŜ (,y) = (,) (y,) = iy, więc dowolną liczbę zespoloną (x,y) moŝemy zpisć w postci dwuminu: (x,y) = (x,) + (,y) = x + iy Jest to tzw postć lgebriczn liczby zespolonej (x,y) JeŜeli liczbę zespoloną x + iy oznczymy literą z, tzn jeśli z = x + iy, to liczbę rzeczywistą x nzywmy częścią rzeczywistą liczby zespolonej z i oznczmy rez, ntomist liczbę rzeczywistą y nzywmy częścią urojoną liczby zespolonej z i oznczmy imz Tk więc: z = x + iy = rez + i imz Liczby zespolone w postci lgebricznej dodje i mnoŝy się jk dwuminy, np: ( 5i) + ( + i) = + + (5 + )i = 4 i, ( 5i) ( + i) = + 9i 5i 5i = 8 + 4i PoniewŜ liczby zespolone są prmi uporządkownymi liczb rzeczywistych, więc ich równość zchodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zchodzi równość części rzeczywistych i równość części urojonych tych liczb Tk więc: z, z' C : (z = z') (rez = rez imz = imz ) Liczbą sprzęŝoną z liczbą zespoloną z = x + iy nzywmy liczbę zespoloną z postci: z = x iy PoniewŜ z z = x + y, więc istnieje pierwistek kwdrtowy z liczby nieujemnej z z Liczbę tę nzywmy modułem liczby zespolonej z i oznczmy przez z : z : = z z JeŜeli z = x + iy, zś z = x + iy, to róŝnicę liczb zespolonych określmy nstępująco: ( y y ) z z = x x + i Jeśli z', to ilorz liczb zespolonych moŝemy obliczyć nstępująco: z z ' = z z' z' z ' = z z, z np: 5 i + i = (5 -i)(- i) ( + i)( i) 5 i i + 6i + = = i 5 = i 5 5 Stron 7
ROZDZIAŁ III Podstwowe włsności liczb zespolonych: z C : z = z =; z C : rez z imz z, z,z C : z + z' = z + z', 4 z,z C : z - z = z - z, 5 z,z C : zz' = z z', z z 6 z,z C : =, (z ), z z' 7 z C : z = z, 8 z,z C : zz' = z z', 9 z,z C : z z = z z', (z ), z,z C : z + z' z + z, z,z C : z z z z Postć trygonometryczn liczby zespolonej Liczbę zespoloną z = (x,y) = x + iy moŝn interpretowć jko punkt P(x,y) płszczyzny XOY lbo jko wektor o początku O(,) i końcu P(x,y) Y y P(x,y) z O ϕ x X Długość wektor OP jest równ modułowi liczby zespolonej z : z = x + y PoniewŜ x = z cosϕ i y = z sin ϕ, więc róŝną od zer liczbę zespoloną z = x + iy moŝn zwsze przedstwić w postci: z = z (cos ϕ +i sin ϕ), którą nzywmy postcią trygonometryczną tej liczby, przy czym ϕ nzywmy rgumentem liczby zespolonej z Stron 8
LICZBY ZESPOLONE I WIELOMIANY ZESPOLONE Ze względu n okresowość funkcji sinus i cosinus kŝd liczb zespolon z m nieskończenie wiele rgumentów, których zbiór oznczmy Argz, ztem Argz : = { ϕ R : cos ϕ = rez z imz sin ϕ = z } Argumentem głównym liczby zespolonej z nzywmy ten jej rgument, który nleŝy do przedziłu (-π,π, oznczmy go przez rgz, tk więc Argument liczby nie jest określony Argz = { ϕ k = rgz + kπ, k Z} Przykłd Wyznczyć postć trygonometryczną liczby zespolonej: ) z = i; b) z = + i; c) z= 5; d) z = i; e) z= ) z = i, z = ( ) + ( ) =, cos ϕ = b) z = + i, z = ( ) i sin ϕ = - stąd ϕ = π 6, więc i = π π cos + isin 6 6 + = 8 =, - cos ϕ = = - i sin ϕ = =, stąd ϕ = 4 π i = (cos π + i sin π ) 4 4, tk więc: c) z = 5, z = 5 + = 5, cos ϕ = 5 5 = i sin ϕ = =, stąd ϕ =, ztem 5 5 = 5(cos + i sin) d) z = i, z = + =, cos ϕ = = i sin ϕ = =, stąd ϕ = π, i = cos π + i sin π czyli e) z = -, z = ( ) + - = (cosπ + i sinπ) =, cos ϕ = - = i sin ϕ = =, stąd ϕ = π, czyli Równość dwóch róŝnych od zer liczb zespolonych w postci trygonometrycznej określon jest wrunkiem: z,z C\{} : (z = z ) ( z = z Argz = Argz ) JeŜeli z = z (cos ϕ + i sin ϕ ) zś z = z (cosϕ + i sin ϕ ), to Stron 9
ROZDZIAŁ III zz = z z ( cos ϕ + i sin ϕ ) (cosϕ + i sin ϕ ) = = z z [cosϕ cosϕ - sin ϕ sin ϕ + i(cos ϕ sin ϕ + sin ϕ cosϕ )]= = z z [cos(ϕ + ϕ ) + i sin(ϕ + ϕ )] z Podobnie: = z z' z' [cos(ϕ - ϕ ) + i sin(ϕ - ϕ )] Udowodnione zostło więc Twierdzenie JeŜeli liczby zespolone z i z są róŝne od zer, ϕ i ϕ są dowolnymi rgumentmi tych liczb, to sum ϕ + ϕ jest rgumentem iloczynu zz zś róŝnic ϕ - ϕ jest rgumentem ilorzu z z Przykłd Oblicz zz orz z z' zz = 8[cos ( 9 π + π ) + i sin ( 8 z = [cos ( z' 9 π π ) + i sin ( 8 9 π 8, jeŝeli z = 4(cos 9 π + i sin 9 π) i z = (cos π π + i sin8 ) 8 π 5 )] = 8(cos π + i sin π ), 9 π + 5 8 8 8 π π π )] = (cos + i sin ) = ( 6 6 + i ) = + i Twierdzenie JeŜeli liczb zespolon z jest róŝn od zer, ϕ jest jej dowolnym rgumentem, to liczb rzeczywist nϕ, gdzie n N, jest rgumentem liczby z n Wniosek ( wzór de Moivre ) (cos ϕ + i sin ϕ) n = cos nϕ + i sin nϕ n n Tk więc, jeśli z = z ( cosϕ + isinϕ ), to z z ( cosnϕ + isinnϕ ) = 995 Przykłd Oblicz: + i Ze wzoru de Moivre : + i 995 = cos π + isin π = + i =i 995 5 5 π π = cos π + isin π = cos66π + + isin66π + = 6 6 Stron
LICZBY ZESPOLONE I WIELOMIANY ZESPOLONE KŜdą liczbę zespoloną w spełnijącą równnie w n = z nzywmy pierwistkiem n-tego stopni z liczby zespolonej z Zbiór wszystkich pierwistków n-tego stopni z liczby zespolonej z oznczmy symbolem n z Twierdzenie JeŜeli z i = z ( cosϕ isinϕ ) n n z +, to z jest zbiorem n - elementowym postci: ϕ + kπ ϕ + kπ z = z = n k z cos + isin ; k =,,,n n n Uwg PoniewŜ wszystkie pierwistki z liczby zespolonej z mją ten sm moduł, więc w interpretcji geometrycznej leŝą one n okręgu o środku w punkcie z = i promieniu ρ = n z PoniewŜ róŝnic rgumentów dwóch kolejnych pierwistków jest równ n π, więc pierwistki te są wierzchołkmi n-kąt foremnego wpisnego w ten okrąg Przykłd 4 Wyznczyć 4 6 z = 6, z = 6, rgz = π więc z = 6(cos π + i sin π) π π = 6cos + isin = i = i 4 4 +, 4 z + π + π π + π = 6cos + isin = i = i 4 4 +, 4 z + 4 π + 4π π + 4π z = 6cos + isin = i = i 4 4, π + 6π π + 6π = 6cos + isin = i = i 4 4 4 z Tk więc { + i, + i, i, i } 4 6 = Stron
ROZDZIAŁ III Przykłd 5 Wyznczyć 5 i PoniewŜ rgument liczby z = 5 i nie jest chrkterystyczny, wyznczmy więc pierwistki z definicji Jeśli liczb + ib jest pierwistkiem, to ( + ib) = 5 i, czyli b = 5 i b = Rozwiązując ten ukłd równń dl,b R otrzymmy rozwiąznie: = + i b = lub = i b =, więc 5 i = i, + i { } Wielominy w dziedzinie zespolonej Funkcję zespoloną p zmiennej zespolonej o postci n z C : p(z) = + z + + z, n gdzie n, n N, nzywmy wielominem stopni n w dziedzinie zespolonej; liczby zespolone,,, n noszą nzwę współczynników tego wielominu Miejscem zerowym lbo pierwistkiem wielominu p nzywmy tkie z C, dl którego p(z ) = Wielomin p jest podzielny przez wielomin q jeŝeli istnieje tki wielomin s, Ŝe p = q s, piszemy wtedy: q p (q dzieli p) Twierdzenie 4 (Bèzout) JeŜeli z jest miejscem zerowym wielominu p, to wielomin ten jest podzielny przez dwumin z z i odwrotnie, czyli p(z) = (z - z) p(z) Miejsce zerowe z wielominu p nzywmy k-krotnym miejscem zerowym tego k k+ wielominu, jeŝeli (z z ) p(z) ( z z ) nie dzieli p(z) O istnieniu pierwistków wielominu w dziedzinie zespolonej rozstrzyg tzw zsdnicze twierdzenie lgebry : Twierdzenie 5 (d Alembert) KŜdy wielomin w dziedzinie zespolonej stopni n m co njmniej jedno miejsce zerowe Wniosek Wielomin stopni n m dokłdnie n pierwistków liczonych z krotnościmi, czyli moŝn go rozłoŝyć n czynniki pierwszego stopni, tzn p(z) = (z z )(z z )(z z ), n n Stron
LICZBY ZESPOLONE I WIELOMIANY ZESPOLONE gdzie z są miejscmi zerowymi wielominu p, z,, zn Wielominy w dziedzinie zespolonej o współczynnikch rzeczywistych mją specjlną włsność Twierdzenie 6 JeŜeli liczb zespolon z jest pierwistkiem wielominu p o współczynnikch rzeczywistych, to równieŝ pierwistkiem tego wielominu jest liczb sprzęŝon z Dowód Oczywiste są nstępujące równowŝności, jeŝeli powołmy się n podstwowe włsności liczb zespolonych: p(z ) = p(z ) = + z + + n + + = + z + n = n z + nz + z + + n z = p( z ) = n n z n z = i = i, i=,,,,n, bo i R Uwg Miejsc zerowe nierzeczywiste wielominu o współczynnikch rzeczywistych występują więc zwsze prmi i jeśli wielomin jest stopni nieprzystego, to co njmniej jeden pierwistek jest rzeczywisty JeŜeli z = + ib jest pierwistkiem wielominu p o współczynnikch rzeczywistych, to wielomin ten jest podzielny przez ( z z )( z z ) = z z + + b, czyli przez trójmin kwdrtowy o współczynnikch rzeczywistych Uwg KŜdy wielomin zmiennej rzeczywistej x o współczynnikch rzeczywistych moŝn rozłoŝyć n czynniki stopni co njwyŝej drugiego, czyli x R : p(x) + k k M n n L n (x x) (x x m ) (x + bx + c) (x + b Lx cl ) =, gdzie x,, x m są pierwistkmi rzeczywistymi o krotnościch odpowiednio k,,k M, zś n,,nl są krotnościmi pr pierwistków sprzęŝonych tego wielominu, przy czym k + + k + n + + n ( ) n M L = Przykłd 6 6 5 4 RozłoŜyć n czynniki wielomin p(x) = x x + 5x x + x 5, x R, wiedząc, Ŝe i jest pierwistkiem tego wielominu PoniewŜ wielomin ten m współczynniki rzeczywiste, więc tkŝe +i jest pierwistkiem tego wielominu, ztem wielomin ten dzieli się przez (x i)(x + i) = x x + 5 : p(x) : ( x x + 4 5) = x = ( x )(x + ) = (x )(x + )( x + ) Osttecznie: p(x) = (x - )(x + )(x + )(x - x + 5) Stron
ROZDZIAŁ III Funkcje wymierne JeŜeli p i q są dwom wielominmi zmiennej rzeczywistej, to funkcję rzeczywistą p(x) f(x) = określoną dl x { x R : q(x) } nzywmy funkcją wymierną q(x) Funkcję wymierną, dl której stopień wielominu p jest mniejszy od stopni wielominu q nzywmy funkcją wymierną włściwą KŜdą funkcję wymierną moŝn przedstwić w postci: p r = s +, q q gdzie s jest wielominem, zś Funkcję wymierną włściwą postci x R \{ } r q funkcją wymierną włściwą α u (x) =, gdzie x, α R, n N, I ( x x ) n x nzywmy ułmkiem prostym I rodzju Funkcję wymierną włściwą postci u II β x + γ (x) =, gdzie n N, ( x + bx + c) n β,γ,b, c R orz b 4c <, nzywmy ułmkiem prostym II rodzju Nstępne twierdzenie określi, jk funkcję wymierną włściwą moŝn przedstwić z pomocą skończonej sumy ułmków prostych Twierdzenie 7 KŜdą funkcję wymierną włściwą q p moŝn przedstwić w postci sumy pewnej liczby ułmków prostych, przy czym: k KŜdemu czynnikowi postci (x x ) w rozkłdzie minownik q n czynniki odpowidją w tej sumie skłdniki: α k αk α + + + + k k (x x ) (x x ) x x, gdzie Stron 4 α,, R α k k KŜdemu czynnikowi postci (x + bx + c) w rozkłdzie minownik q n czynniki odpowidją w tej sumie skłdniki: β k x + γ k βx + γ + + k (x + bx + c) x + bx + c gdzie β,,βk,γ,,γ k,b,c R orz b 4c < Przykłd 7
LICZBY ZESPOLONE I WIELOMIANY ZESPOLONE 5x 8x + 8 RozłoŜyć n ułmki proste funkcję wymierną f(x) = x(x ) f ( x) = x ( + b) x b c + + x ( x ) ( x ) + bx( x ) + cx = = x( x ) + ( 4 b + c) x + 4 5x 8x + 8 =, x ( x ) x( x ) stąd x R : ( + b) x + ( 4 b + c) x 4 = 5x 8x + 8, czyli + b = 5 4 b + c = 8 4 = 8 = b = c = 4 5x 8x + 8 4 Tk więc = + + x ( x ) x x ( x ) Przykłd 8 x x + 9x 9 Podć postć rozkłdu n ułmki proste funkcji wymiernej f( x) = ( x ) ( x )( x + ) b c dx + e f( x) = + + + ( x ) x x x + Stron 5
ROZDZIAŁ III Ćwiczeni Wyznczyć liczby rzeczywiste x i y spełnijące równnie: (4i)x+(+i)y = 5i 47 i i 4i Wyznczyć rez i imz, jeŝeli: ) z =, b) z =, c) z = 5 4i (+ i) i Wyznczyć postć trygonometryczną liczby z, jeŝeli: ) z=5, b) z=, c) z=i, c) z= + i, d) z= i, d) -i, e) + i 4 Określić geometrycznie zbiór A punktów płszczyzny zespolonej: ) A = {z C: < z+i <}, b) A = {z C: <rgz< π, z-i }, z c) A = {z C: z+i >rez+}, d) A = {z C: re = } z + 4 Wykorzystując postć trygonometryczną liczb: + i orz + i, wyznczyć 5π i sin 5 Stosując wzór Moivre, obliczyć: ) ( i) 7, b) ( ) 5 i, c) ( i), d) + i 6 Stosując wzór Newton i wzór Moivre do wyrŝeni ( cos isinϕ ) 5 i sin5ϕ przy pomocy cosϕ i sinϕ 7 Wyznczyć pierwistki: 4 6 4 ) 8 8 i, b), c) i, d) n kπ cos n i, e) 99 + 4i kπ + isin, n n 5π cos ϕ + zpisć cos5ϕ 8 Wykzć, Ŝe z k =, jeŝeli z k = k= o 9 Wyznczyć pierwistki wielominów: ) p(z) = z + z +, b) p(z) = z (+i)z + 5i, c) p(z) = iz 4 + z + +i, d) p(z) = z 4 6 Rozwiązć równnie: (z-i) (z +z +z+)= Wiedząc, ze liczb + i jest jednym z pierwistków, wyznczyć pozostłe pierwistki wielominów: ) p(z) = z 4 4z +6z 4z + 5, b) p(z) = z 5 5z 4 +9z z 8z + RozłoŜyć n ułmki proste: ) ( x) =, b) ( x) f x x + 4 ( x + x ) f x + c) ( x) =, d) f ( x) ( x ) ( x ) f x + c) ( x) =, d) f ( x) ( x ) ( x ) x + f = ( x + ) ( x ) x + x + = x ( x + x + ) x + x + = x ( x + x + ), Stron 6
IV Przestrzeń liniow (wektorow)
ROZDZIAŁ IV Zdefiniujemy jedno z podstwowych pojęć w mtemtyce, które jest brdzo uŝyteczne w nukch inŝynierskich Niech (V, ) będzie zbiorem, w którym określone jest dziłnie wewnętrzne spełnijące wrunki: u,v V: u v=v u, (przemienność) u,v,w V: (u v) w=u (v w), (łączność) o V u V: u o=u, (istnienie elementu neutrlnego) 4 u V u V: u u =o (element przeciwny) JeŜeli dodtkowo w zbiorze V określone jest mnoŝenie przez sklry (liczby) ze zbioru liczb rzeczywistych (lub zespolonych) spełnijące nstępujące wrunki: 5 v,u V α K: α(v u) = αv αu, 6 v V α,β K: (α+β)v = αv βv, 7 v V α,β K: (α β)v = α(βv), 8 V: v= v, to V nzywmy przestrzenią liniową ( wektorową ) nd zbiorem liczb rzeczywistych (liczb zepolonych) i oznczmy V(R)( V(C)) lub V, elementy zbioru V nzywmy wektormi Odwzorownie występujące w powyŝszej definicji nosi nzwę mnoŝeni wektorów (elementów zbioru V) przez sklry (elementy zbioru R lub C) Uwg Wprost z definicji wynikją nstępujące włsności: v V : v = o; α K : αo = o; v V : ()v = v (element przeciwny do elementu v); 4 v V α K : α(v) = (α)v = (αv) Przykłd PoniewŜ zbiór liczb rzeczywistych (zbiór liczb zespolonych) spełni wrunki 4, gdy dziłnie jest dodwniem więc w szczególności, gdy przyjmiemy, Ŝe sklry pochodzą ze zbioru liczb rzeczywistych (liczb zespolonych), to spełnione są wszystkie ksjomty definicji przestrzeni liniowej, tk więc zbiór liczb rzeczywistych (liczb zespolonych) jest przestrzenią liniową nd smym sobą (zbiór C jest tkŝe przestrzenią liniową nd R) Przykłd JeŜeli w produkcie krtezjńskim K n określimy dodwnie n-tek uporządkownych =(,,, n ), b=(b, b,,b n ) i mnoŝenie tych n-tek przez sklry ze zbioru K w nstępujący sposób: Stron 8
PRZESTRZEŃ LINIOWA (WEKTOROWA),b K n : b := ( + b, + b,, n +b n ); K n α K: α(,,, n ) := ( α, α,, α n ), to otrzymmy przestrzeń liniową nd zbiorem K W szczególności, gdy K = R, to R n nzywmy liniową przestrzenią rytmetyczną Przykłd Przykłdem przestrzeni liniowej wŝnej w zstosownich jest przestrzeń, której elementmi są odcinki skierowne (pr punktów uporządkownych), których dodwnie definiujemy z pomocą reguły równoległoboku, mnoŝenie przez sklry określmy jko wydłuŝnie względnie skrcnie odcinków z zchowniem lub ze zminą ich skierowni Liniow zleŝność wektorów Kombincją liniową n elementów v, v,, v n V o współczynnikch λ, λ,,λ n K nzywmy element v V postci: v= λ v + λ v + + λ n v n = λ i v i Jeśli wszystkie współczynniki tej kombincji są równe zeru, to kombincję nzywmy trywilną, w przeciwnym przypdku nietrywilną Elementy v, v,, v n V, dl których istnieje nietrywiln kombincj liniow n v = i= λ i v i = o, nzywmy liniowo zleŝnymi JeŜeli zchodzi implikcj λ v + λ v + + λ n v n = o λ = λ = λ n =, to elementy v, v,, v n nzywmy liniowo niezleŝnymi n i= Twierdzenie Elementy v, v,, v n V(K) są liniowo zleŝne wtedy i tylko wtedy, gdy co njmniej jeden z nich jest kombincją liniową pozostłych Dowód (konieczność): jeŝeli elementy v, v,, v n są liniowo zleŝne, to istnieje tkie λ k, Ŝe λ v + λ v + + λ k v k + + λ n v n = o, stąd wynik, Ŝe λ v k = λ v λ - λ v k k+ λ vk- vk+ n vn, co ozncz, Ŝe element v k jest λk λk λk λk λk kombincją pozostłych elementów (dostteczność): Niech element v m będzie kombincją pozostłych elementów, wtedy: v m =µ v + µ v + + µ m- v m- + µ m+ v m+ + +µ n v n µ v + µ v + + µ m- v m- +()v m + µ m+ v m+ + +µ n v n =o, czyli elementy v, v,, v n są liniowo zleŝne Stron 9
ROZDZIAŁ IV Przykłd 4 Zbdć liniową zleŝność elementów przestrzeni liniowej wielominów stopni co njwyŝej drugiego o współczynnikch rzeczywistych, jeŝeli: p (x)=x, p (x) = x x+, p (x)=x +6 λ p + λ p + λ p = λ (x)+ λ (x x+) + λ (x +6) = λ + λ =, (λ + λ )x + (λ λ )x +(λ +λ +6λ ) = λ λ =, λ =λ =λ =, tk λ + λ + 6λ =, więc wielominy te są liniowo niezleŝne Zstępując w definicji przestrzeni liniowej zbiór V przez jego podzbiór V zmknięty ze względu n dziłnie otrzymmy definicję podprzestrzeni liniowej V przestrzeni V Twierdzenie JeŜeli V i V są podprzestrzenimi liniowymi przestrzeni liniowej V, to zbiór V V jest tkŝe podprzestrzenią liniową przestrzeni V Twierdzenie Zbiór wszystkich kombincji liniowych dowolnego podzbioru A przestrzeni liniowej V jest njmniejszą podprzestrzenią liniową przestrzeni V zwierjącą zbiór A Njmniejszą podprzestrzenią liniową zwierjącą podzbiór A nzywmy powłoką liniową tego podzbioru i oznczmy przez L(A) Jeśli L(A) = V, to mówimy, Ŝe podzbiór A generuje przestrzeń V Bz i wymir przestrzeni liniowej KŜdy podzbiór B liniowo niezleŝnych elementów przestrzeni V generujący tę przestrzeń nzywmy bzą przestrzeni liniowej V KŜd bz przestrzeni V m tyle smo elementów Moc bzy przestrzeni V nzywmy wymirem tej przestrzeni i oznczmy symbolem dimv Uwg Bzą przestrzeni jest więc niepusty jej podzbiór {e i } i I, (I jest zbiorem skończonym) którego elementy są liniowo niezleŝne, przy czym kŝdy wektor przestrzeni V d się przedstwić jko kombincj liniow wektorów bzy, tzn v = vie i jest to rozkłd wektor v w bzie {e i } i I, przy czym współczynniki v i i I występujące w tym rozwinięciu nzywmy współrzędnymi wektor v w tej bzie Twierdzenie 4 W ustlonej bzie rozkłd dowolnego wektor w przestrzeni liniowej jest jednoznczny Stron 4
PRZESTRZEŃ LINIOWA (WEKTOROWA) Dowód Przypuśćmy, Ŝe wektor v m w bzie {e i } i I dw rozkłdy: v = v e i v = i i v e, wtedy z równości i i v e = i i v e mmy: i i (v i - vi )ei = i I i I i I i I i I Otrzymliśmy więc kombincję trywilną wektorów liniowo niezleŝnych, więc współczynniki tej kombincji są równe, tzn v i v i =, czyli v i = v i dl i I Przykłd 5 Podmy przykłdy bz ( będą to bzy knoniczne) w pewnych przestrzenich liniowych: ) W przestrzeni rytmetycznej R n bzą knoniczną jest: e =(,,,), e =(,,,), e =(,,,,,),, e n =(,,,, ) Łtwo wyznczyć rozkłd dowolnego wektor w tej bzie: v= ( v, v,, v n ) = v e + v e + v e + + v n e n Oczywiście wymir tej przestrzeni jest równy n b) W przestrzeni W n wielominów stopni co njwyŝej n, bzę knoniczną tworzą wielominy:, x, x,,x n Współczynniki dowolnego wielominu są jednocześnie współrzędnymi tego wektor w tej bzie; dimw n =n+ Stron 4
ROZDZIAŁ IV Ćwiczeni Wykzć, Ŝe zbiór wielominów zmiennej rzeczywistej stopni mniejszego równego n jest przestrzenią liniową nd zbiorem R Wykzć, Ŝe zbiór ciągów nieskończonych o wyrzch rzeczywistych jest przestrzenią liniową nd zbiorem R, jeŝeli dziłni n ciągch ( n )=(,,, ) i (b n )=(b,b,b, ) określmy nstępująco: ( n ) (b n ) = ( +b, +b, +b, ), α( n )=(α,α,α, ), α R Zbdć liniową niezleŝność wektorów w dnej przestrzeni: ) (,,,4), (,,,), (,4,6,8) w R 4 ; ) (,,), (,,), (,,) w R ; b) p (x)=x, p (x)=x +x+, p (x)=4x + w przestrzeni wielominów stopni 4 Sprwdzić, czy wektor v nleŝy do podprzestrzeni generownej przez wektory i b, jeŝeli: ) v=[,6,5], =[,,], b=[,,]? b) v=[,,,], =[,,,], b=[,,,]? 5 Wyznczyć współrzędne wektor v w dnej bzie, jeŝeli: ) v=[,4], e =[,], e =[,]; b) v=[4,,], e =[,,], e =[,,], e =[,,] 6 Sprwdzić, które z podnych zbiorów wektorów tworzą bzę w przestrzeni R : ) (,,), (,,), (,,), (,,); b) (,,), (,,), (,,); c) (,,), (,,); d) (,,), (,,), (,,)? Stron 4
V Mcierze i wyznczniki
ROZDZIAŁ V Mcierze Mcierzą o wymirze m n nzywmy zbiór wrtości odwzorowni iloczynu krtezjńskiego {,,, m} {,,,n} w zbiór K, co zpisujemy: {,,, m} {,,,n} (i,j) ij K Uporządkowny, m n-elementowy zbiór wrtości tego odwzorowni będziemy zpisywć z pomocą tblicowej i oznczć przez A: A = m m n n mn Mcierz o wymirze m n oznczć będziemy tkŝe: [ ij ] m n, A m n, A K mn ( K mn ozncz więc zbiór mcierzy o tym smym wymirze m n) JeŜeli w powyŝszym zpisie ustlimy pierwszy wskźnik, to otrzymmy wiersz mcierzy A, ustljąc zś drugi wskźnik kolumnę mcierzy A Mcierz mjącą tę smą liczbę wierszy i kolumn, więc mcierz wymiru n n, nzywmy mcierzą kwdrtową stopni n Oznczjąc krótko przez j j-tą kolumnę, przez i i-ty wiersz mcierzy A, moŝn ją zpisć w postci: wierszowej : A =[,,, n ]; kolumnowej: A = m Uporządkowną n-tkę wyrzów mcierzy kwdrtowej A, których ob wskźniki są te sme, ( więc zbiór postci {,,, nn }) nzywmy główną przekątną mcierzy A Mcierz, której wyrzy poz główną przekątną są równe zeru nzywmy mcierzą digonlną Mcierz digonlną, której główn przekątn skłd się z smych jedynek nzywmy mcierzą jednostkową i oznczmy symbolem E W zbiorze mcierzy K mn określimy dodwnie i mnoŝenie mcierzy przez sklry z cił K: + ; sumą mcierzy A = [ ij ] m n i B = [ b ij] m n jest mcierz A + B = [ ij b ij ] m n iloczynem mcierzy A = [ ij ] m n przez sklr λ K jest mcierz λa = [ ij ] m n λ Elementem neutrlnym względem dodwni w zbiorze mcierzy K mn jest mcierz zerow (O = A A ), tzn mcierz, której wszystkie elementy są zermi, mcierzą przeciwną do Stron 44
MACIERZE I WYZNACZNIKI mcierzy A jest mcierz ()A= A RóŜnicą mcierzy A i B jest mcierz A B = A + ()A Łtwo wykzć, Ŝe dodwnie mcierzy jest łączne i przemienne, i uzsdnić nstępujący wniosek Wniosek Zbiór mcierzy K mn jest przestrzenią liniową nd zbiorem K Niech t: K mn K mn będzie odwzorowniem bijektywnym, w którym obrzem mcierzy A =[ ij ] m n jest mcierz A T T T =t(a) = [ ij ] m n spełnijąc wrunek: i,j: ji = ij Mcierz A T nzywmy mcierzą trnsponowną (przestwioną) do mcierzy A Prwdziwe są nstępujące równości: A K mn : (A T ) T = A; A,B K mn : (A+B) T = A T + B T ; A K mn λ R: (λa) T = λa T Przykłd Wyznczyć A B T, jeŝeli A=, B = PoniewŜ B T =, więc A B T 4 6 6 = 4 6 9 9 9 = 4 5 MnoŜenie mcierzy moŝn określić tylko dl mcierzy szczególnych wymirów Odwzorownie s: K mp K pn A = [ ij ] m p i B = [ ij ] p n K mn, w którym obrzem pry mcierzy (A,B), gdzie b jest mcierz AB=s(A,B) o postci : p AB m n = ik b kj, k = m n nzywmy mnoŝeniem mcierzy, mcierz AB jest iloczynem mcierzy A i B Uwg Z powyŝszej definicji wynik, Ŝe nie dl kŝdych dwóch mcierzy A i B, dl których istnieje iloczyn AB, będzie istnił iloczyn BA, poniewŝ mnoŝenie jest wykonlne, jeśli pierwsz mcierz m tyle kolumn, ile drug wierszy Nwet jeśli istnieją obydw iloczyny AB i BA, to n ogół AB BA Przykłd Wyznczyć obydw iloczyny AB i BA (o ile istnieją), jeŝeli: ) A =, B = ; b) A =, B = c) A =, B = ; Stron 45
ROZDZIAŁ V Stron 46 46 46 46 ) AB = = 8 9 4 8, BA = = 6 9 6 4 4 5 4 b) AB niewykonlne, BA = = 6 5 c) AB = =, BA = = Wykorzystując definicję mnoŝeni, łtwo wykzć nstępujące włsności Wniosek ) A K mn : AO n p =O m p, O p m A= O p n ; b) A K nn : AE = EA = A; c) A K mp B K pq C K qn : (AB)C = A(BC); d) A K mp B K pn C K pn : A(B+C) = AB + AC; e) A K mp B K mp C K pn : (A + B)C= AC + BC; f) jeśli istnieje iloczyn AB, to istnieje równieŝ iloczyn B T A T i zchodzi równość: (AB) T =B T A T Wyznczniki Dlsze bdnie włsności mcierzy wymg wprowdzeni pojęci wyzncznik Wyzncznikiem mcierzy kwdrtowej A =[,,, n ] nzywmy wrtość odwzorowni, det : K nn K, które spełni nstępujące ksjomty: i K n λ K : det[,,λ i,, n ] = λ det[,, i,, n ] (jednorodność); i, b i K n : det[,, i +b i,, n ] = det[,, i,, n ] + det[,,b i,, n ] (ddytywność); i, k K n : det[,, i,, k,, n ] = det[,, k,, i,, n ](ntysymetri); 4 dete = (unormownie)
MACIERZE I WYZNACZNIKI Stron 47 47 47 47 Wyzncznik mcierzy A będziemy oznczć symbolmi: deta = det[,, n ] = nn n n n n przenosząc jednocześnie terminologię mcierzową n ten symbol (np wiersz, przekątn wyzncznik) Przykłd Posługując się definicją, wyznczyć wyzncznik mcierzy A = Zpiszemy kolumny wyzncznik w postci kombincji kolumn jednostkowych: det A = det + +, = ksjomt =det +, +det +, = ksjomt = det, +det, +det, +det, = = ksjomt = det, + det, + det, + det, = z ksjomtu mmy: det, =, det, =, det, = det, = det, det, = det det = ksjomt 4 = Przy wyznczniu wyznczników wyŝszych stopni będziemy stosowli twierdzenie orz nstępujące włsności Włsność deta = deta T Z włsności tej wynik, Ŝe wszystkie włsności sformułowne dl kolumn mcierzy, prwdziwe są tkŝe dl wierszy tej mcierzy Włsność Mcierz o dwóch identycznych kolumnch m wyzncznik równy zeru Dowód JeŜeli i = k, to z ksjomtu mmy deta = deta, to ozncz, Ŝe deta= Włsność Mcierz o dwóch proporcjonlnych kolumnch m wyzncznik równy zeru Włsność 4 Mcierz mjąc kolumnę zerową m wyzncznik równy zeru
ROZDZIAŁ V Włsność 5 Wyzncznik mcierzy nie zmieni wrtości, jeŝeli do kolumny mcierzy dodmy dowolną kombincję liniową pozostłych kolumn tej mcierzy Dowód det(,, i, i + λ k k, i+,, n ) = ksjomt =det(,, i, i, i+,, n ) + k i λ det(,, i,, i+,, n ) + +λ i det(,, i, i, i+,, n )+ λ i+ det(,, i, i+, i+,, n ) + + λ n det(,, i, n, i+,, n ) = we wszystkich wyzncznikch poz pierwszym występują dwie jednkowe kolumny, więc zgodnie z włsnością, wyznczniki te są równe zeru = det(,, i, i, i+,, n ) = deta Wnioskiem z włsności 5 jest nstępn włsność Włsność 6 (Wyzncznik mcierzy jest równy ) (kolumny (wiersze) tej mcierzy są liniowo zleŝne) Włsność 7 (twierdzenie Cuchy ego) det(ab) = deta detb Uwg Nwet jeśli AB BA, to det(ab) = det(ba) 75 76 77 Przykłd 4 Wyznczyć wyzncznik mcierzy A = 8 8 8 9 9 94 Wyzncznik mcierzy A nie ulegnie zminie, jeŝeli pierwszy wiersz odejmiemy od wiersz drugiego i od wiersz trzeciego (włsność 5) Otrzymmy wtedy: 75 76 77 deta = det 5 5 5 PoniewŜ drugi i trzeci wiersz mcierzy są proporcjonlne, więc 7 7 7 n mocy włsności, mmy deta = Aby sformułowć twierdzenie, które podje prosty sposób n oblicznie wyznczników wyŝszych stopni, wprowdzimy nowe pojęci minor i dopełnieni lgebricznego Minorem M ik odpowidjącym wyrzowi ik mcierzy kwdrtowej A = [ ik ] nzywmy wyzncznik mcierzy, któr powstje przez usunięcie z mcierzy A i-tego wiersz i k-tej kolumny Dopełnieniem lgebricznym A ik wyrzu ik nzywmy liczbę określoną wzorem: A ik = () i+k M ik Trnsponowną mcierz, której wyrzmi są dopełnieni lgebriczne wyrzów mcierzy A nzywmy mcierzą dołączoną i oznczmy symbolem A D, czyli A D = [A ik ] T PoniŜsze twierdzenie określ sposób obliczni wyzncznik przy pomocy wyznczników stopni niŝszego i często przyjmuje się je jko tzw rekurencyjną definicję wyzncznik Stron 48
MACIERZE I WYZNACZNIKI Twierdzenie (Lplce ) k {,,,n}: deta = det[ ik ] = n jk A j= jk Biorąc pod uwgę włsność, tezę twierdzeni tzw rozwinięcie wyzncznik względem k-tej kolumny, moŝn zpisć w postci rozwinięci wyzncznik względem i-tego wiersz Wniosek i {,,,n}: deta = det[ ik ] = ij A Wniosek 4 gdzie δ ik =,, n ij A j= kj gdy i = k gdy i k n j= = deta, gdy i = k = δ ik deta,, gdy i k jest tzw symbolem Kronecker ij Wniosek 5 n ij A j= ik = deta, gdy j = k, gdy j k = δ jk deta Wniosek 6 A D A = (deta)e, AA D = (deta)e Uwg Wyzncznik mcierzy trójkątnej jest równy iloczynowi wyrzów n głównej przekątnej Przykłd 5 5 Wyznczyć wyzncznik mcierzy A = 4 5 Wyzncznik mcierzy nie zmieni się, zgodnie z włsnością 5, gdy wykonmy nstępujące opercje n wierszch mcierzy: osttni wiersz pomnoŝymy przez () i dodmy do pierwszego wiersz; pomnoŝymy przez i dodmy do drugiego wiersz; pomnoŝymy przez () i dodmy do trzeciego wiersz Otrzymmy wtedy stosując rozwinięcie Lplce względem pierwszej kolumny: 7 4 7 4 8 4 9 det A = = () 4+ 8 4 9 = pierwszy wiersz dodjemy do 7 4 7 4 drugiego, orz pomnoŝony przez () dodjemy do trzeciego = () ()4() + 8 4 = 4(8 4) =45 7 4 4 8 = Stron 49
ROZDZIAŁ V Uwg 4 MoŜn wykzć, Ŝe wyzncznik Vndermonde : równy nstępującemu iloczynowi: ( ) ( ) ( n ) ( ) ( 4 )( n ) ( n n ) = ( j i ) j> i r n- n- n n- n jest Mcierz odwrotn Pojęcie wyzncznik pozwl n wyodrębnienie wśród mcierzy kwdrtowych tych mcierzy, dl których istnieje element odwrotny względem mnoŝeni (mcierz odwrotn) Mcierz A, której wyzncznik jest róŝny od zer, nzywmy mcierzą nieosobliwą Jeśli deta =, to mcierz A nzywmy osobliwą Niech A,B K nn, jeŝeli AB = BA = E, to mcierz B nzywmy mcierzą odwrotną do mcierzy A i oznczmy symbolem A Twierdzenie (o odwrcniu mcierzy) Mcierz A m mcierz odwrotną mcierz A jest nieosobliw Dowód ( ) Jeśli mcierz A m mcierz odwrotną, to AA =E, wtedy z włsności 7 mmy: Det(AA ) = deta deta =dete =, stąd wynik, Ŝe det A, czyli mcierz jest A nieosobliw ( ) PoniewŜ deta, moŝn więc określić mcierz B= A D Jest to mcierz deta odwrotn do mcierzy A, bo zgodnie z wnioskiem 6 mmy: AB = AA D == (deta)e = E deta deta Przykłd 6 Wyznczyć mcierz odwrotną do mcierzy A, jeŝeli A = 4 Wyzncznik mcierzy deta = 7, więc mcierz jest nieosobliw i istnieje A Twierdzenie podje metodę konstrukcji mcierzy odwrotnej do dnej mcierzy Wyznczymy njpierw mcierz dopełnień lgebricznych Stron 5
MACIERZE I WYZNACZNIKI Stron 5 5 5 5 [ ] ij A = + + + + + 4 4 4 4 = 5 7 4 Mcierz dołączon m postć A D = 5 7 4, więc A = 7 5 7 4 Wniosek 7 Jeśli A i B są mcierzmi nieosobliwymi stopni n i λ K, to () deta = deta ; (b) (A ) = A; (c) (AB) = B A ; (d) (A ) T = (A T ) ; (e) (λa) = λ A Istnienie mcierzy odwrotnej do mcierzy nieosobliwej moŝn wykorzystć do rozwiązywni równń mcierzowych, w których występuje iloczyn dnej mcierzy kwdrtowej nieosobliwej i mcierzy niewidomej RozwŜymy trzy główne typy tkich równń: A n n X n p =B n p, deta, wtedy X = A B; X n p A p p = B n p, det A, wtedy X = BA ; A n n X n p B p p = C n p, det A, det B, wtedy X = A CB Przykłd 7 Rozwiązć równnie mcierzowe: 4 X = 5 5 5 Jest to równnie typu trzeciego, gdzie A = 4, B =, C = 5 5 5 Det A =, więc istnieje mcierz odwrotn do tej mcierzy, którą wyznczmy metodą podną w przykłdzie : A = 4
ROZDZIAŁ V Stron 5 5 5 5 Podobnie, poniewŝ det B = 5, wyznczmy mcierz odwrotną do mcierzy B: B = 5 5 5 5 4 Osttecznie X = A CB = 4 5 5 5 5 5 5 4 = 4 4 5 5 5 4 = = 4 5 5 5 5 5 4 = 5 7 4 75 5 Podmy terz definicję wŝnego w mtemtyce odwzorowni, które pojwi się tkŝe w podstwowych pojęcich nlizy (np opercj róŝniczkowni i cłkowni) Niech U i V będą dwiem przestrzenimi liniowymi nd tym smym zbiorem K Odwzorownie f: U V spełnijące wrunki:,b U: f(+b) = f() + f(b) (ddytywność); U λ K: f(λ) = λf() (jednorodność), nzywmy przeksztłceniem liniowym przestrzeni U w przestrzeń V W szczególności, gdy U=V przeksztłcenie liniowe przestrzeni V w siebie nzywmy opertorem liniowym, gdy V=R formą liniową Uwg 5 Obydw wrunki występujące w definicji moŝn zpisć przy pomocy jednego wrunku:,b U λ,λ K : f(λ +λ b) = λ f() + λ f(b)
MACIERZE I WYZNACZNIKI Ćwiczeni Dl dnych mcierzy A = i B = wyznczyć ( o ile istnieją ) 4 4 nstępujące mcierze: AB, BA, B T A, A, B T B, BB T A, AB4B T Wyznczyć A n, jeŝeli A = Wyznczyć wszystkie mcierze digonlne stopni spełnijące równnie: X 5X+4E=O 4 Zbdć liniową niezleŝność mcierzy w przestrzeni mcierzy kwdrtowych stopni nd ciłem R:,, 5 Wyznczyć jedną z bz orz określić wymir przestrzeni liniowej: ) mcierzy kwdrtowych stopni o wyrzch zespolonych nd zbiorem R; b) mcierzy kwdrtowych stopni o wyrzch zespolonych nd zbiorem C 6 Obliczyć wyznczniki: 7 7 7 b c ) 4 5 6, b) 7 74 75, c), d) 6 9 76 77 78 + b + c + 7 Rozwiązć równni lub nierówności: x z ) x > (x R), b) z = (z C), c) x z sinx cosx sinx d) x 4 x x x 4 = (x R), e) cosx sinx = tgx tgx z i z 6 i 4 z = i+ (z C), i 8 Wyznczyć mcierz odwrotną do mcierzy A jeŝeli: ) A =, 4 i b) A =, c) A = i i i Stron 5
ROZDZIAŁ V Stron 54 54 54 54 9 Wyznczyć A, jeŝeli A = Rozwiązć równni mcierzowe: ) AX=B, gdzie A = i 4 i, B = i i 4 i ; b) XA=B, gdzie A =, B = ; c) AXB=C, gdzie A =, B = 4, C = 6 4
VI Równni liniowe
ROZDZIAŁ VI Równnie liniowe zpisujemy w postci: równni mcierzowego równni wektorowego ukłdu równń liniowych Ax = b, x + x + + n x n = b, x + x x + x mx + mx + + + + + + n n mn x x x n n = b, n = b = b m,, gdzie A = [ ij ] m n = [,,, n ] jest mcierzą ukłdu równń, b x b= b kolumną wyrzów wolnych, zś x = x kolumną wyrzów niewidomych bm x n Mcierz A =[,,, n ] nzywmy mcierzą podstwową ukłdu równń, mcierz A b =[,,, n, b] mcierzą rozszerzoną tego ukłdu Ukłd równń, w którym b=o (b =, b =,,b m =) nzywmy jednorodnym, w przeciwnym przypdku niejednorodnym RozwŜmy njpierw przypdek, gdy m = n, tzn przypdek, gdy mcierz główn ukłdu jest mcierzą kwdrtową stopni n Twierdzenie (Crmer) JeŜeli mcierz podstwow A = [,,, n ] ukłdu n równń z n niewidomymi jest mcierzą nieosobliwą, to istnieje dokłdnie jedno rozwiąznie tego ukłdu określone wzormi (Crmer): deta x i = i det = (,,,i,b, i+,,n ), i =,,,n, deta det(,,,n ) lub w postci mcierzowej : x = A b Stron 56
RÓWNANIA LINIOWE Dowód JeŜeli deta, to istnieje mcierz odwrotn A MnoŜąc lewostronnie obie strony równni Ax = b przez mcierz odwrotną A, otrzymmy A Ax = A b, stąd wynik, Ŝe x = A b Wektor ten spełni dne równnie, bo Ax = A(A b) = (AA )b = Eb = b Aby wykzć prwdziwość wzorów Crmer, obliczmy wyzncznik mcierzy A i = [,,, i-,b, i+,, n ] powstłej z mcierzy A przez zstąpienie w niej i-tej kolumny wektorem b (kolumną wyrzów wolnych) deta i = det [,,, i-,b, i+,, n ] = det [,,, i-, x + + n x n, i+,, n ] = det [,,, i-, x, i+,, n ] + + det [,,, i-, i- x i-, i+,, n ] + det [,,, i-, i x i, i+,, n ]+ det [,,, i-, i+ x i+, i+,, n ]+ + det [,,, i-, n x n, i+,, n ] = wszystkie wyznczniki poz itym wyzncznikiem są równe zeru, bo mją kolumny proporcjonlne = x i det [,,, i-, i, i+,, n ] = x i deta, stąd przy złoŝeniu, Ŝe deta, otrzymmy wzory Crmer W dlszym ciągu ukłd równń liniowych, w którym mcierz podstwow jest kwdrtow i nieosobliw, będziemy nzywć ukłdem Crmer Wniosek Jednorodny ukłd Crmer m jedynie rozwiąznie zerowe Przykłd x + y z = Rozwiązć ukłd równń: 4x y + z = x + y + z = Mcierz podstwow ukłdu A = 4 jest kwdrtow i nieosobliw, bo deta = 5, ztem ukłd równń jest ukłdem Crmer Aby zstosowć wzory Crmer, obliczmy: deta = = 5, deta = 4 =, deta = 4 =, deta stąd x = deta =, y = deta =, z = = deta deta deta Twierdzenie Jednorodny ukłd równń o kwdrtowej mcierzy głównej A m rozwiąznie niezerowe wtedy i tylko wtedy, gdy det A = Dowód ( ) (nie wprost) Jeśli det A, to z wniosku wynik, Ŝe ukłd m tylko rozwiąznie zerowe, otrzymliśmy więc sprzeczność z złoŝeniem ( ) JeŜeli ukłd równń x + x + + n x n = o m rozwiąznie niezerowe, to wektory,,, n są liniowo zleŝne Z włsności 6 (VW6) wynik, Ŝe deta =det[,,, n ]= Stron 57
ROZDZIAŁ VI Aby określić istnienie rozwiązń ukłdu równń o dowolnej mcierzy głównej, wprowdzimy pojęcie rzędu mcierzy Rzędem niezerowej mcierzy A=[,,, n ] (który oznczmy r(a)) nzywmy ilość liniowo niezleŝnych kolumn tej mcierzy Uwg Z definicji powłoki liniowej rozpiętej n wektorch,,, n wynik, Ŝe r(a) = diml(,,, n ) Uwg Z uwgi n włsność 6 wyzncznik (VW6), rząd mcierzy moŝn określić jko stopień njwiększego minor tej mcierzy róŝnego od zer Z powyŝszych określeń wynikją nstępujące wnioski Wniosek r(a T ) = r(a); r(a m n ) min(m,n); r(a) = A = ; 4 rząd mcierzy nie ulegnie zminie gdy: ) przestwimy kolumny (wiersze) mcierzy; b) dowolną kolumnę pomnoŝymy przez liczbę róŝną od zer; c) do dowolnej kolumny (wiersz) dodmy inną kolumnę (wiersz) pomnoŝoną przez dowolną liczbę; d) usuniemy z mcierzy kolumnę (wiersz) zerową; e) usuniemy jedną z dwóch jednkowych lub proporcjonlnych kolumn (wierszy) Przykłd 4 Wyznczyć rząd mcierzy A, jeŝeli A = 6 9 5 R(A) = rząd mcierzy nie zmieni się, gdy drugi wiersz pomnoŝony przez dodmy do trzeciego wiersz i pomnoŝony przez () dodmy do czwrtego wiersz = 4 = r = wiersz czwrty jest proporcjonlny do wiersz pierwszego, więc 5 4 8 4 n mocy wniosku 4e = r = rząd mcierzy nie zmieni się, gdy kolumnę 5 piątą pomnoŝoną przez odpowiednią (tką, by otrzymć zero w drugim wierszu) liczbę Stron 58
RÓWNANIA LINIOWE 4 dodmy do pozostłych kolumn = r 5 = kolumn trzeci jest proporcjonln do pierwszej, więc = r = pierwszą kolumnę mnoŝymy 5 przez () i dodjemy do kolumny drugiej orz pomnoŝoną przez () dodjemy do kolumny trzeciej = r = kolumn drug i trzeci są proporcjonlne = r = 5 = poniewŝ det =, więc = Twierdzenie (Kronecker-Cpelli ego) Ukłd równń liniowych Ax = b m rozwiąznie wtedy i tylko wtedy, gdy r(a)=r(a b ) Dowód Wektor c=(c,,c n ) jest rozwiązniem równni Ax = b, czyli równni x + x + + n x n = b, wtedy i tylko wtedy, gdy c + c + + n c n = b b L(,,, n ) = L(,,, n,b) dim L(,,, n ) = diml(,,, n,b) r(a) = r(a b ) Komentrz JeŜeli r(a) = r(a b ) = k ( k m, k n ), to dokłdnie k wierszy mcierzy A jest liniowo niezleŝnych, z uwgi n włsność r(a) = r(a T ) tkŝe dokłdnie k kolumn tej mcierzy jest liniowo niezleŝnych Dokonując przestwieni równń w dnym ukłdzie i ewentulnie zmienijąc kolejność niewidomych, moŝemy przyjąć, Ŝe pierwszych k wierszy i pierwszych k kolumn jest liniowo niezleŝnych Jeśli mk >, to mk osttnich równń moŝemy pominąć, bo kŝde z nich jest kombincją liniową pierwszych k równń (co ozncz, Ŝe kŝde pominięte równnie będzie spełnione przez rozwiąznie otrzymne z k pierwszych równń) Otrzymmy wtedy nstępujący ukłd równń: A x=b x + x + + n x n = b, gdzie A =[,,, n ] jest mcierzą bez mk osttnich wierszy, b kolumną bez mk osttnich elementów Jeśli k = n, to równnie A x=b jest ukłdem Crmer (deta ) i jego jedyne rozwiąznie jest rozwiązniem ukłdu Ax = b Jeśli k < n, to równnie A x=b zpisujemy w postci: x + x + + k x k = b k+ t k+ n t n, gdzie t k+i ( i =,,, nk) są prmetrmi przyjmującymi dowolne wrtości z e zbioru K W tym przypdku ukłd równń A x=b, więc tkŝe ukłd równń Ax = b m rozwiązni zleŝne od nk prmetrów Resumując otrzymujemy nstępujący wniosek: Stron 59
ROZDZIAŁ VI Stron 6 6 6 6 Wniosek JeŜeli r(a) = r(a b )=k n jest ilością niewidomych, to: gdy n = k, to ukłd równń m dokłdnie jedno rozwiąznie; gdy k < n, to ukłd m rozwiązni zleŝne od n-k prmetrów; gdy r(a) < r(a b ), to ukłd jest sprzeczny (nie m rozwiązń) Przykłd Przedyskutowć istnienie rozwiązń w zleŝności od prmetru λ R nstępującego ukłdu równń: = + + = + + = + + λ u 4z 7y x, 4u z y x, u z y x Mcierz główn A= 4 7 4, mcierz rozszerzon A b = λ 4 7 4 Bdmy rząd mcierzy A: r(a) = kolumnę drugą mnoŝymy przez dodjemy do pierwszej orz dodjemy do kolumny trzeciej i czwrtej = r 8 7 5 6 5 = kolumn pierwsz jest proporcjonln do kolumny trzeciej i czwrtej = r 7 5 5 = minor 5 jest róŝny od zer, więc Bdmy rząd mcierzy A b : r(a b ) = wykonujemy te sme opercje n kolumnch mcierzy A b, które wykonliśmy n kolumnch mcierzy A = r λ 8 7 5 6 5 = kolumny pierwsz, trzeci i czwrt są proporcjonlne, więc usuwmy dwie z nich, nstępnie kolumnę drugą dodjemy do kolumny piątej = r + 7 λ 7 5 4 5 = poniewŝ det + 7 λ 7 5 4 5 = 5λ5 = = 5 gdyλ, 5 gdyλ, Jeśli λ 5, to ukłd równń jest sprzeczny, bo r(a)=, r(a b ) =
RÓWNANIA LINIOWE Jeśli λ=5, to r(a) = r(a b ) =, więc n mocy twierdzeni KroneckerCpelli ego ukłd m rozwiąznie, z uwgi n wniosek (punkt ) rozwiązni tego ukłdu są zleŝne od prmetrów Jeśli przyjmiemy, Ŝe minor mcierzy A róŝny od zer to, wtedy jko prmetry przyjmujemy niewidome x orz u Odrzucjąc trzecie równnie i przyjmując x = t, u = s, gdzie t,s R, mmy ukłd: y + z = t s, y z = t 4s którego rozwiąznie otrzymujemy stosując wzory Crmer: y = t 5s, t,s R z = 4 5t 6s Osttecznie rozwiąznie ukłdu równń m postć: x = t, y = t 5s, t,s R z = 4 5t 6s, u = s, Stron 6
ROZDZIAŁ VI Ćwiczeni Rozwiązć ukłd równń stosując; ) metodę mcierzową, b) wzory Crmer : x + y + z + t = x + y + z = 4 x + y + z = 6 x y z + t = 5 ) 4x + y z = 7 b) 4x + 5y + z =, c) x y + z = x y + z = 7 x y + z t = x + y z + t = 6 Wyznczyć rząd mcierzy A, jeŝeli: ) A =, b) A = 6 7 5, c) A = Wyznczyć rząd mcierzy A w zleŝności od prmetru k R: k ) A = 4, b) A = 7 4 k 5 k 4 Przedyskutowć istnienie rozwiązń (w zleŝności od prmetru k R) ukłdu równń AX=b, gdzie A R wiedząc, Ŝe : deta=(k)(k+), deta =(k) (k+), deta =(k+)(k+), deta =(k)(k+) 5 Wyznczyć rozwiązni ukłdu równń w zleŝności od prmetru,b R: ) x + y + z = x + y + z = x + y = x + y z =, b) x + y + z =, c) x y + z =, f) x y = 4, 4x + y z = 4 x + y + z = y + 4z = x y = x + y + z = x + by + ( + b)z = x y + z t = + d) x + ( + )y + z =, e) bx + y + ( + b)z =, g) x + y z + t = x + y + ( + )z = x + y + z = x + y z + t = 4 6 Wyznczyć rozwiązni ukłdu równń w zleŝności od prmetru C: x y + iz = x + iy + z = 5 ) x + y + z =, b) x y + iz = 6 y + z = x + y + z = 7 Stron 6
VII Przestrzeń metryczn i unormown, iloczyny wektorów
ROZDZIAŁ VII Przestrzeń metryczn Funkcjonł rzeczywisty d: A R, gdzie A, spełnijący wrunki: (),b A: d(,b) = = b (jednoznczność); (),b A: d(,b) = d(b,) (symetri); (),b,c A: d(,b) + d(b,c) d(,c) (nierówność trójkąt) nzywmy metryką w zbiorze A Liczbę rzeczywistą d(,b) nzywmy odległością elementów i b zbioru A Jest to liczb nieujemn, bo: d(,b) = z wrunku () = ( b) d(b,) ) d(,) = z wrunku () d(, + = z wrunku () Zbiór A wrz z metryką d, czyli prę (A,d) nzywmy przestrzenią metryczną Przykłd Odwzorownie d: A + R określone wzorem:,b A: d(,b) =,, jest metryką w A Jest to tzw metryk dyskretn Tk więc kŝdy niepusty zbiór moŝn zmetryzowć gdy = b gdy b Przykłd Funkcj d N : R R określon wzorem: x,y R: d N (x,y) = xy spełni wrunki () () jest więc metryką w R Jest to tzw metryk nturln w R Przykłd Przestrzeń rytmetyczną R n zmetryzowć z pomocą róŝnych metryk Dl x = (x, x,,x n ), y =(y, y,,y n ), określimy: Stron 64
PRZESTRZEŃ METRYCZNA I UNORMOWANA, ILOCZYNY WEKTORÓW () metrykę krtezjńską postci: d K = ( ) (b) metrykę miejską postci: d M = n i= n i= i y i x ; x ; i y i (c) metryką Czebyszw postci: d C = mx { x y, i,,,n } i i = Dl n= wszystkie trzy metryki pokrywją się z metryką nturlną d N w R Wprowdzenie metryki w zbiorze A pozwl wyróŝnić pewne podzbiory zbioru A zwne sfermi i kulmi Sferą o środku i promieniu r nzywmy zbiór: S(,r):= {x A: d(,x) = r } Kulą o środku i promieniu r nzywmy zbiór: B(,r):= {x A: d(,x) r } Punkt nzywmy środkiem sfery (kuli) nieujemną liczbę rzeczywistą r promieniem sfery (kuli) Zbiór B (,r) = B(,r) S(,r) nzywmy kulą otwrtą Kulę otwrtą o środku i dowolnym promieniu ε R + nzywmy otoczeniem punktu w przestrzeni metrycznej (A,d) i oznczmy przez U(,ε) lub U(), tk więc U() = { B (,ε), ε R + } Zbiór N() = U() {} nzywmy sąsiedztwem punktu w przestrzeni metrycznej (A,d) Przykłd 4 Zbiór A z metryką dyskretną m mło sfer, bo dl A mmy: S(,) = A\{}, S(,) = {}, S(,r) =, gdy r i r Przykłd 5 Sfermi o środku (,) i promieniu r= w przestrzeni R w metrykch (), (b), (c) z przykłdu będą zbiory tych (x,y) R, które spełniją wrunki: () x + y = ; (b) x + y = ; (c) mx( x, y ) = Korzystjąc z pojęci odległości między elementmi przestrzeni metrycznej (A,d) wprowdzmy pojęcie odległości elementu od podzbioru X tej przestrzeni i odległości dwóch podzbiorów X i Y tej przestrzeni Stron 65
ROZDZIAŁ VII Odległością elementu A od zbioru X A nzywmy nieujemną liczbę rzeczywistą d(,x) określoną wzorem:, gdy X, d(,x) := inf d(,x), gdy X x X Odległością dwóch zbiorów X, Y A nzywmy nieujemną liczbę rzeczywistą d(x,y) określoną wzorem:, gdy X Y, d(x,y) := inf d(x, y), gdy X Y = x X, y Y Średnicą zbioru X nzywmy nieujemną liczbę rzeczywistą δ ( o ile istnieje)określoną wzorem: δ= sup d(x,x ) x, x X Przykłd 6 W przestrzeni R + z metryką nturlną kul B(, 9) zwier się w kuli B(5,6), czyli kul o promieniu mniejszym zwier kulę o promieniu większym PoniewŜ B(,9) = {x R + : x 9 } = (,], B(5,6) = {x R + : x5 6 } = (,], więc B(, 9) B(5,6) Uwg Wśród przeksztłceń przestrzeni metrycznej w siebie szczególne zstosowni mją dw nstępujące przeksztłceni Przeksztłcenie f: A A jest izometrią, gdy,b A: d(f(),f(b)) = d(,b) Przeksztłcenie f: A A jest zwęŝjące (kontrkcją), gdy λ (,),b A: d(f(),f(b)) λ d(,b) Izometrie zchowują odległość między dwom dowolnymi punktmi przestrzeni metrycznej, więc zchowują ksztłt i rozmiry figur w tej przestrzeni i mją szczególne zstosowni w geometrii i fizyce Przeksztłceni zwęŝjące odgrywją istotną rolę w nlizie mtemtycznej, gdyŝ przy pewnych dodtkowych złoŝenich o przestrzeni mją punkty stłe Przykłd 7 Wykzć, Ŝe odwzorownie f: (,+ ) (,+ ) określone wzorem f(x) = x + jest zwęŝjące w przedzile [, + ) x Niech x,y [, + ), wtedy: Stron 66
PRZESTRZEŃ METRYCZNA I UNORMOWANA, ILOCZYNY WEKTORÓW f(x) f(y) = x + y = (xy) x y xy PoniewŜ dl x,y [, + ) iloczyn xy, więc λ (,) x,y [, + ) : f(x) f(y) λ x y, przy czym λ =, co ozncz, Ŝe odwzorownie f jest zwęŝjące w przedzile [, + ) Przestrzeń unormown Niech V będzie dowolną przestrzenią liniową nd zbiorem R Funkcjonł rzeczywisty : V R spełnijący wrunki: () v V : v = v=; (b) λ R v V : λv = λ v ; (c) v,u V : v+u v + u, nzywmy normą w przestrzeni V, liczbę v normą elementu (wektor) v V Przestrzeń liniow V, w której zostł zdefiniown norm nosi nzwę przestrzeni unormownej Funkcjonł rzeczywisty d: V R postci: v,u V : d(v,u) = vu jest metryką w przestrzeni V, jest to tzw metryk generown przez normę Metryki d K, d M, d C określone w przykłdzie są generowne przez odpowiednie normy: x K = n i= x, i n x M = i= x i, x C = mx( x i, i=,,,n) Między tymi normmi zchodzą nierówności: x C x K x M Stron 67
ROZDZIAŁ VII Iloczyn sklrny Niech V będzie dowolną przestrzenią liniową nd ciłem R Funkcjonł g: V R tki, Ŝe : () u,v,w V: g(u+v,w) = g(u,w) + g(v,w), g(u,v+w) = g(u,v) + g(u,w), () u,v V λ R: g(λu,v) = λg(u,v), g(u,λv) = λg(u,v), () u,v V: g(u,v) = g(v,u), (4) o u V: g(u,u) >, nzywmy mnoŝeniem sklrnym w przestrzeni V, wrtość tego funkcjonłu n prze elementów u,v V, czyli liczbę rzeczywistą g(u,v) iloczynem sklrnym tych elementów Iloczyn sklrny elementów u i v będziemy oznczć uv (stosuje się tkŝe inne oznczeni: (u,v), u v, <u/v>) Przestrzeń liniową, w której wprowdzono iloczyn sklrny, czyli prę (V,g) nzywmy przestrzenią unitrną Uwg Wrunek () w definicji mnoŝeni sklrnego ozncz rozdzielność mnoŝeni sklrnego względem dodwni Uwzględnijąc wrunek() widzimy, Ŝe mnoŝenie sklrne jest liniowe ze względu n kŝdą ze zmiennych Z wrunku (4) wynik, Ŝe vv = v (kwdrt sklrny) jest liczbą nieujemną, określony więc jest pierwistek z tej liczby, który nzywmy modułem elementu v i oznczmy przez v, tzn v = v v = v Element, którego moduł jest równy nzywmy wersorem Oczywiście, dl v element v v jest wersorem Łtwo uzsdnić, Ŝe moduł elementu v spełni wszystkie ksjomty normy, tk więc zdefiniownie w przestrzeni wektorowej iloczynu sklrnego pozwl n wyznczenie normy tym smym odległości w tej przestrzeni Twierdzenie JeŜeli V jest przestrzenią unitrną, to: λ R v V : λv = λ v, v,u V : vu v u, (nierówność Schwrz) v,u V : v+u v + u (nierówność Minkowskiego) Dowód () λv = ( λv ) = ( ) ( λv) λv = λ v = λ v = λ v ; Stron 68
PRZESTRZEŃ METRYCZNA I UNORMOWANA, ILOCZYNY WEKTORÓW () λ : (λv+u) = λ v + λvu + u (vu) v u vu v u vu v u ; () ( v + u ) = v + v u + u nierówność Schwrz v + vu + u v +vu+u = (v+u) v+u v + u Uwg Z nierówności Schwrz, dl elementów niezerowych, otrzymujemy nstępującą równowŝność: uv uv ϕ R: cosϕ=, u v u v w której liczbę rzeczywistą ϕ [,π] nzywmy mirą kąt między niezerowymi elementmi u i v Wynik stąd równość : uv = u v cosϕ, prwdziw dl dowolnych elementów u i v W przestrzeni unitrnej definiujemy relcję ortogonlności elemenów: dw elementy u i v nzywmy ortogonlnymi, jeŝeli ich iloczyn sklrny jest równy zeru, tzn uv = Z uwgi wynik, Ŝe niezerowe elementy przestrzeni V są ortogonlne wtedy i tylko wtedy, gdy ϕ = π, stąd pojęcie prostopdłości (zmist ortogonlności) stosowne w geometrii Bzę {e, e,,e n } w nwymirowej przestrzeni unitrnej (V,g) nzywmy bzą ortonormlną, jeśli wszystkie elementy tej bzy są prmi ortogonlne i kŝdy z nich jest wersorem Uwg 4 Dl elementów bzy ortonormlnej, n mocy uwgi, mmy nstępujące równości: Oblicznie iloczynu sklrnego i,j {,,,n} : e i e j = δ ij Wyprowdzimy terz wzór n oblicznie iloczynu sklrnego w n wymirowej przestrzeni unitrnej Niech {e, e,,e n } będzie bzą w nwymirowej przestrzeni unitrnej V i niech n u = u ie i, v= u je j, wtedy: i= n j= uv = n n u i e i i= je j j= i Jeśli bz jest ortonormln, to n mocy uwgi, mmy: n n v = wykorzystując uwgę = iv j( eie j) = j= u Wniosek Jeśli elementy u i v mją w bzie ortonormlnej postć: u = u ie i, n v = j= u je j, to ich iloczyn sklrny jest liczbą rzeczywistą postci: n i= Stron 69
ROZDZIAŁ VII n uv = u iv jδ n i= j= ij n = u iv i Uwg 5 Bz knoniczn w przestrzeni R n jest otonormln i dltego w bzie tej mmy: uv = u v + u v + + u n v n, i= v = v + +, v + vn cosϕ = n i= n ui i= u v i i n i= v i Przykłd 8 Sprwdzić, czy trójkąt o wierzchołkch A(,,), B(,4,6), C(,7,) jest prostokątny Wyznczyć długości boków i kąty tego trójkąt PoniewŜ AB =[,,], AC=[,5,] orz AB AC=4+6=, czyli kąt A jest prosty i dny trójkąt jest prostokątny Stosując wzory podne w uwdze 4, mmy: AB = 4 + 4 + 9 = 7, AC = 4 5 + 4 cos B ) BA BC = BA BC = [,, ][ 4,, 5 ] 7 5 + =, BC = [,, 5] = 4 = 6 + 9 + 5 =5, 7 4 ) 4 ) π ) =, stąd B = rccos, C = B 5 4 Iloczyn wektorowy MnoŜenie wektorowe, ze względu n moŝliwość interpretcji poglądowej, wprowdzimy tylko w trójwymirowej przestrzeni unitrnej (V,g) MnoŜeniem wektorowym w trójwymirowej przestrzeni unitrnej (V,g) z ustloną w niej bzą ortonormlną e, e, e, nzywmy odwzorownie f: V V, spełnijące nstępujące wrunki ( wrtość tego odwzorowni n prze wektorów (u,v) V, czyli wektor f(u,v), będziemy oznczć u v i nzywć iloczynem wektorowym wektorów u i v ): () v u = u v, () u (v+w) = u v + u w, (v+w) u = v u + w u, () (λ u) v = u (λv) =λ(u v), (4) e e = e, e e = e, e e = e Stron 7
PRZESTRZEŃ METRYCZNA I UNORMOWANA, ILOCZYNY WEKTORÓW Włsności iloczynu wektorowego wynikjące wprost z jego definicji: Wniosek v V λ R: v (λv) = o Dowód Z wrunku () definicji mmy: v v = v v, czyli v v = o, stąd n mocy wrunku () mmy: v (λv) = λ(v v) = o Wniosek JeŜeli wektory u i v mją w bzie ortonormlnej {e, e, e }rozkłdy: u = u e +u e +u e, v = v e +v e +v e, to u v = (u v u v )e + (u v u v )e + (u v u v )e, lub w zpisie symbolicznym: e u v = u v e u v e u v Dowód Wykorzystując wrunek () definicji (rozdzielność mnoŝeni wektorowego względem dodwni) mmy: u v = (u e +u e +u e ) (v e +v e +v e ) = u v (e e ) + u v (e e ) + u v (e e ) + u v (e e ) + u v (e e ) + u v (e e ) + u v (e e ) + u v (e e ) + u v (e e ) = = wykorzystując wniosek orz wrunek (4) w definicji mnoŝeni wektorowego = = u v (o) + u v (e ) + u v (e ) + u v (e ) + u v (o) + u v (e ) + u v (e ) + u v (e ) + e e + u v (o) =(u v u v )e + (u v u v )e + (u v u v )e = u e v u v u v Podobnie dowodzimy nstępującego wniosku: Wniosek 4 Wektor u v jest ortogonlny do wektor u i do wektor v, tzn iloczyn sklrny u(u v) = i v(u v) = Przykłd 9 Wyznczyć wektor prostopdły do wektorów u, v R, jeŝeli u = [,,], v=[,,] Z uwgi n wniosek, wektorem tkim będzie iloczyn wektorowy tych wektorów, więc i j k u v = = i j = 6i+4j+k = [6,4,] - + k W przestrzeni unitrnej trójwymirowej określ się tkŝe iloczyn mieszny wektorów Stron 7
ROZDZIAŁ VII Iloczyn mieszny Iloczynem miesznym uporządkownej trójki wektorów (u, v, w) nzywmy iloczyn u(v w), który oznczmy symbolem uvw Uwg 6 JeŜeli u, v, w R, to wykorzystując wniosek, łtwo wykzć, Ŝe iloczyn mieszny uvw = u(v w) = (u v)w = det(u, v, w) W trójwymirowej przestrzeni wektorowej dw wektory liniowo zleŝne nzywmy wektormi kolinernymi (współliniowymi)( w przestrzeni R równoległymi), trzy wektory liniowo zleŝne noszą nzwę komplnrnych (współpłszczyznowych) Uwg 7 Z włsności wyznczników (włsność 6) wynik, Ŝe trzy wektory u,v,w są współpłszczyznowe wtedy i tylko wtedy, gdy uvw = Uwg 8 PoniewŜ iloczyn mieszny trójki wektorów u,v, u v jest równy (u v)( u v) = u v >, więc wektory te, n mocy uwgi, są liniowo niezleŝne, o ile u v Twierdzenie W trójwymirowej przestrzeni unitrnej V zchodzą nstępujące toŝsmości wektorowe: u ( v w) = ( uw) v ( uv) w u, v, w V:, (toŝsmość Gibbs) u v w = uw v vw u ( ) ( ) ( ) uw vw u, v, w,z V: (u v)(w z) = det, (toŝsmość Lplce ) uw vz u, v V: (u v) = u v (uv) (toŝsmość Lgrnge ) Z toŝsmości Lgrnge, uwzględnijąc równość uv = u v cosϕ, mmy: (u v) = u v (uv) = u v ( u v cosϕ ) = u v (cos ϕ) = u v sin ϕ, czyli: Wniosek 5 u, v V: u v = u v sinϕ, ϕ [,π], ztem moduł wektor u v w przestrzeni R jest równy polu równoległoboku rozpiętego n wektorch u i v Bzując n tym wniosku i rozwŝjąc równoległościn rozpięty n wektorch u, v i w nietrudno uzsdnić nstępujący wniosek Wniosek 6 JeŜeli wektory u, v, i w nie są współpłszczyznowe, to liczb uvw określ objętość równoległościnu rozpiętego n tych wektorch Stron 7
PRZESTRZEŃ METRYCZNA I UNORMOWANA, ILOCZYNY WEKTORÓW Przykłd Obliczyć objętość czworościnu ABCD orz długość wysokości poprowdzonej z wierzchołk D, jeŝeli A(,,), B(,,), C(,,), D(4,5,4) Wyznczmy wektory, n których rozpięty jest czworościn : AB = [,,], AC= [,,], AD = [4,4,] AB AC = r r r i j k = i() - j(-) + k(-) = [,,-] Objętość czworościnu: V = 6 AB AC AD = 6 [,,-][4,4,] = 5 Pole podstwy czworościnu: P = [,,-] = 4 + 4 + 4 = Ze wzoru n objętość czworościnu V = Ph, mmy: h = 5 Przestrzeń euklidesow Niech V będzie dowolną przestrzenią liniową nd ciłem K, której elementy będziemy nzywć terz punktmi i oznczć duŝymi litermi A, B, C, RóŜnicę dwóch punktów B A będziemy nzywć wektorem o początku A i końcu B i oznczć AB Wektor OA, gdzie O jest elementem zerowym przestrzeni V, nzywmy wektorem wodzącym punktu A To dziłnie odejmowni spełni nstępujące wrunki: A,B,C V: ( AB = AC ) (B = C ), (jednoznczność) A,B,C V: AB + BC = AC (wrunek Chsles) JeŜeli przestrzeń V będzie przestrzenią unitrną, to tę nową strukturę, któr spełni powyŝsze wrunki, i w której określon zostł norm, ztem i metryk generown przez tę normę, będziemy nzywć przestrzenią euklidesową i oznczć symbolem E Tk więc w tej przestrzeni określone są tkie pojęci jk odległość, kąt, pole, objętość, itp JeŜeli w przestrzeni n wymirowej V dn jest bz {e, e,, e n }, to jej odpowiednikiem w przestrzeni euklidesowej n wymirowej E n będzie uporządkowny ukłd n+ punktów {o, e, e,, e n }, nzywnych krtezjńskim ukłdem współrzędnych Punkt zerowy o nzywmy wtedy początkiem ukłdu współrzędnych, współrzędne wektor OA w dnej bzie współrzędnymi punktu A w tej bzie Njprostszy i njczęściej stosowny jest tzw ortokrtezjński ukłd współrzędnych, w którym wektory bzy są wersormi prmi ortogonlnymi W przestrzeni euklidesowej R ortokrtezjńskim ukłdem współrzędnych jest np ukłd {o, i, j, k }, gdzie o = (,, ), i =[,, ], j =[,, ], k =[,,] Stron 7
ROZDZIAŁ VII Ćwiczeni Sprwdzić, Ŝe dne odwzorownie jest metryką, obliczyć odległość wskznych punktów A i B, wyznczyć kulę o środku w punkcie A i promieniu r: ) d : R + R + x {}: d (x,y) = ln, A=e, B=e, r = ; y b) d : C R + {}: d (z,z ) = rez rez + imz imz, A=i, B=+i, r= Wykzć, Ŝe odwzorownie f jest zwęŝjące, jeŝeli: f(x) = x, x [,] Wykzć, Ŝe odwzorownie f jest izometrią, jeŝeli: f: R R orz (x,y) R : f(x,y) = x y, x + y + (metryk krtezjńsk) 4 Wykzć, Ŝe funkcjonł g: V R określ mnoŝenie sklrne w przestrzeni V mcierzy b x y kwdrtowych stopni, jeŝeli g, = x + by + cv + dz c d v z 5 Wykzć, Ŝe w przestrzeni V mcierzy kwdrtowych stopni normę mcierzy moŝn b określić wzorem: = + b + c + d c d Przyjmując metrykę indukowną przez tę normę, wyznczyć odległość mcierzy A= i B = W nstępnych przykłdch iloczyn sklrny w rozwŝnych przestrzenich określony jest w Uwdze 5 6 Wykzć, Ŝe zbiór {e, e, e }, gdzie e =,,, e =,,, e =,, tworzy w przestrzeni R bzę ortonormlną 7 Wyznczyć rzut wektor = [,, ] n oś wyznczoną przez wektor b [,, 4] 8 Sprwdzić, czy łmn ABCDA jest kwdrtem, jeŝeli A(,,), B(,,), C(,,), D(4,,4)? 9 Wykzć, Ŝe trójkąt o wierzchołkch A(+5,5,), B(5,,5), C(,4,6) jest równormienny Wyznczyć miry kątów tego trójkąt Wyznczyć miry kątów i pole trójkąt rozpiętego n wektorch: p = + b + c, q = b + c wiedząc, Ŝe wektory i b są wzjemnie prostopdłe, wektor c tworzy z wektormi i b kąty równe π orz =, b = c = Stron 74
PRZESTRZEŃ METRYCZNA I UNORMOWANA, ILOCZYNY WEKTORÓW Sprwdzić, czy punkty A(,,), B(,,), C(,,), D(,,) leŝą w jednej płszczyźnie? Dne są trzy wierzchołki czworościnu ABCD: A(,,), B(,,), C(,,) Wyznczyć wierzchołek D wiedząc, Ŝe jego trzy współrzędne są jednkowe, objętość czworościnu jest równ Dne są cztery punkty : A(,,), B(,,), C(,,) i S(5,7,) będące wierzchołkmi ostrosłup ABCS Wyznczyć wektor ES, gdzie E jest spodkiem wysokości ostrosłup wychodzącej z wierzchołk S 4 Dne są wierzchołki trójkąt: A(,,), B(,,), C(,,) Wyznczyć: ) pole trójkąt; b) długość wysokości wychodzącej z wierzchołk C; c) punkt przecięci się środkowych; d) wektor określjący kierunek dwusiecznej kąt przy wierzchołku B; e) wektor wysokości wychodzącej z wierzchołk A; f) objętość czworościnu o wierzchołkch A,B,C i D, gdzie D(,,4); g) długość wysokości czworościnu wychodzącej z wierzchołk D Stron 75
ROZDZIAŁ VII Stron 76
VIII Płszczyzn i prost w R
ROZDZIAŁ VIII Płszczyzn w R Równnie płszczyzny π prostopdłej do wektor r n =[A,B,C] i przechodzącej przez punkt P(x,y,z ) wyznczymy z wrunku n prostopdłość wektorów n r i PP, gdzie punkt P(x,y,z) jest dowolnym punktem płszczyzny: r P Po n = A(xx )+B(yy )+C(zz )= Otrzymliśmy ogólne równnie płszczyzny: Ax+By+Cz+D=, gdzie D=Ax By Cz x JeŜeli D, to moŝemy npisć odcinkowe równnie płszczyzny: + y b + z =, gdzie c, b, c są współrzędnymi odcinnymi przez płszczyznę n osich ukłdu współrzędnych Przez trzy punkty A(,, ), B(b,b,b ), C(c,c,c ) nie leŝące n jednej prostej przechodzi jedn płszczyzn Wektor AB AC jest prostopdły do tej płszczyzny i jeśli punkt P(x,y,z) leŝy n tej płszczyźnie, to wektory AB, AC, AP są komplnrne, czyli AB AC AP =, więc równnie tej płszczyzny moŝn zpisć w postci: x y z x - y - z - b b - b - = = b b b c c c c c c Komplnrność (współpłszczyznowość) trzech wektorów: AP, ur, vr ( gdzie wektory u r i v r są równoległe do płszczyzny), moŝn zpisć w postci: r r AP = σ u + τv, σ, τ R Otrzymujemy wtedy równni prmetryczne płszczyzny równoległej do wektorów u r i v r zwierjącej punkt A: x = + σu + τv y = + σu + τv, σ, τ R z = + σu + τv Stron 78
PŁASZCZYZNA I PROSTA W R Przykłd Wyznczyć równnie płszczyzny prostopdłej do wektor n r = [,,] przechodzącej przez punkt P(,,) Równnie płszczyzny będzie miło postć: x y + z + D = PoniewŜ punkt P leŝy n tej płszczyźnie, więc jego współrzędne spełniją równnie: ()-()+(-) +D=, stąd mmy D = i równnie płszczyzny m postć: x y + z + = Przykłd Wyznczyć równnie płszczyzny, n której leŝy trójkąt ABC o wierzchołkch: A(,,), B(,,), C(,,) Obliczyć pole tego trójkąt Wyznczmy wektory, n których rozpięty jest trójkąt: AB = [,,], AC = [,,] r r r i j k Wektorem prostopdłym do płszczyzny jest wektor AB AC = - - i(4) j(6) +k(6) = [4,6,6], ztem jej równnie m postć: 4x 6y 6z + D = PoniewŜ punkt A leŝy n tej płszczyźnie więc 4() 6() 6() + D =, stąd otrzymmy D =, ztem równnie płszczyzny m postć: 4x 6y 6z + =, lbo w formie prostszej: x + y + z 5 = Pole trójkąt obliczymy wykorzystując iloczyn wektorowy: P = AB AC = 6 + 6 + 6 = = Kąt między płszczyznmi: π : A x +B y +C z +D = ; π : A x +B y +C z +D = : r r n o n AA + BB + CC cosϕ = r r = n n A + B + C A + B + C Wrunek prostopdłości: r r π π n o n = A A + B B + C C = Wrunek równoległości: r r A B π π n n = = = C A B C Odległość punktu P (x,y,z ) od płszczyzny π : Ax + By + Cz + D = : Ax + By + Cz + D d(p, π ) = A + B + C Przykłd Wyznczyć kąt miedzy płszczyznmi: π : x z + 7 =, π : x y +4z = Mmy wektory prostopdłe do płszczyzn: n r = [,,], r n = [,,4], więc cosϕ = + ( ) + ( ) 4 = 4 + + + + 6, stąd ϕ = rccos Stron 79
ROZDZIAŁ VIII Przykłd 4 Obliczyć odległość dwóch płszczyzn równoległych: π : x y + z =, π : x + 4y z 4 = Płszczyzny te są równoległe, bo ich wektory prostopdłe: [,,], [,4,] są równoległe ( bo = 4 = ) Punkt A(,,) leŝy n płszczyźnie π, więc szukn odległość będzie równ: d(π, π ) = d(a, π ) = + 4 4 4 + 6 + 4 = 6 6 = 6 Prost w R Równnie prostej przechodzącej przez punkt A( r,, ) i równoległej do niezerowego wektor v=[v,v,v ] wyprowdzimy z wrunku n równoległość wektorów JeŜeli punkt P(x,y,z) jest dowolnym punktem prostej L, to AP v r AP =t v, r stąd otrzymujemy prmetryczną postć prostej: x = + tv L: y = + tv, t R z = + tv Inczej, poniewŝ AP v r, więc AP v r =, czyli r r r i j k x - y - z - = ( y - z - x - z - =, v v v v v v v =, x - y - v v = ), stąd otrzymujemy kierunkowe równnie prostej: x - y - L: = = z - v v v ( jeśli któreś v i =, wtedy przyjmujemy, Ŝe odpowiedni licznik jest równy ) Równnie prostej przechodzącej przez dw punkty A(,, ), B(b,b,b ): poniewŝ wektor AB L, więc: x - y - z - L: = = b b b ( jeśli któreś b i i =, wtedy przyjmujemy, Ŝe odpowiedni licznik jest równy ) Stron 8
PŁASZCZYZNA I PROSTA W R lub w postci prmetrycznej: x = + t(b ) L: y = + t(b ), t R z = + t(b ) Przykłd 5 Wyznczyć równnie prostej L przechodzącej przez dw punkty: A(,,), B(,4,) Wektor równoległy do prostej L: AB = [,,4], więc postć kierunkow prostej L będzie: x - L: = y - z - =, - 4 x = + t zś postć prmetryczn: L: y = + t, t R z = - 4t Dwie płszczyzny π : Ax +By +Cz +D = i π: Ax +By +Cz +D= mogą mieć punkty wspólne lub być zbiormi rozłącznymi Punkty wspólne tych płszczyzn będą rozwiąznimi nstępującego ukłdu równń liniowych z trzem niewidomymi: Ax + By + Cz + D =, Ax + By + Cz + D = Zgodnie z twierdzeniem Kronecker-Cpelli ego ukłd ten będzie mił rozwiąznie, gdy A B C A B C D rzędy mcierzy A= i A b = A B C A B C D będą równe JeŜeli r(a) r(a b ), to π π = i płszczyzny π i π są równoległe JeŜeli r(a) = r(a b ) =, to wektory n r =[A,B,C ] i n r =[A,B,C ] są równoległe, czyli istnieje λ R, tkie Ŝe n r =λ n r, poniewŝ r(a b ) =, więc tkŝe D =λd, więc płszczyzny π i π pokrywją się JeŜeli r(a) = r(a b ) =, to rozwiązni tego ukłdu są zleŝne od jednego prmetru i przedstwiją równni prmetryczne prostej L=π π będącej wspólną krwędzią tych płszczyzn Otrzymujemy w ten sposób równni krwędziowe prostej L: Ax + By + Cz + D =, L: Ax + By + Cz + D = Krwędź L wyzncz tzw pęk płszczyzn (czyli zbiór płszczyzn zwierjących prostą L), który jest kombincją liniową równń płszczyzn tworzących prostą L Równnie pęku m więc nstępującą postć: α(a x +B y +C z +D ) +β( A x +B y +C z +D )=, α +β, α, β R Stron 8
ROZDZIAŁ VIII Przykłd 6 Wyznczyć równnie płszczyzny przechodzącej przez punkt P(,,) i zwierjącej prostą x + y - z = L : x - y + z -4 = Szukn płszczyzn nleŝy do pęku: α(x+yz) + β(xy+z4) = PoniewŜ punkt P nleŝy do szuknej płszczyzny, więc α(++) + β(4) =, stąd 4α=7β Przyjmując α=7, β=4 otrzymmy równnie szuknej płszczyzny: 7(x+yz) + 4(xy+z4) = 5x + y + 5z 6 = Przykłd 7 x = t Wyznczyć punkt Q symetryczny do punktu P(,,7) względem prostej L: y = + t z = - t Wektor v=[,,] r równoległy do prostej L jest wektorem prostopdłym do płszczyzny prostopdłej do prostej L Wyznczymy równnie tkiej płszczyzny, któr przechodzi przez dny punkt P: π: (x)+(y+)(z7)= x + y z + 7= Punkt wspólny S dnej prostej i znlezionej płszczyzny wyznczymy wstwijąc do równni płszczyzny współrzędne prostej: (t) + (+t) (t) + 7=, stąd t= i mmy punkt S(-,,) Punkt S jest środkiem odcink PQ i jeśli punkt Q m współrzędne (,b,c), to: + =, b - c + 7 =, =, stąd Q(5,,) Wzjemne połoŝenie prostych i płszczyzn RozwŜmy dwie proste L i L o równnich: L : x - = y - = z -, L : x - b = y - b = z - b v v v u u u r r v o u vu + v u + v u Kąt miedzy prostymi: cosϕ = r r = v u v + v + v u + u + u Wrunek prostopdłości: L L r o r v u = v u + v u + v u = Wrunek równoległości: L L ( u v = u v = u v lub u r v r = ) Wrunek przecinni się prostych nierównoległych: r r r v u i AB v r u r =, gdzie A L B L JeŜeli AB v r u r, to proste nzywmy skośnymi Stron 8
PŁASZCZYZNA I PROSTA W R Odległość punktu P(x,y,z ) od prostej L: x - = y - = z -, obliczmy ze wzoru: v v v v r AP d(p,l) = r, gdzie punkt A(,, ) L v Odległość dwóch prostych skośnych: Dl dnych prostych skośnych L : x - = y - = z - i L : x - b = y - b = z - b v v v u u u ich odległość wyrŝ się wzorem: rr vuab d(l,l ) = r r, gdzie A(,, ) L i B(b,b,b ) L v u Przykłd 8 Sprwdzić, Ŝe proste L : x - = y + = z - i L : x = y-5 - = z + 4 się przecinją Wyznczyć cosinus kąt między nimi A(,-,) L, B(,5,-4) L, stąd AB = [,7,5]; v r = [,,], u r = [,,], stąd r r v u = [8,,] r PoniewŜ AB o ( v r u r ) = ()8+(7)()+(5)() =, więc proste przecinją się + 6 5 cosϕ = = + 4 + 4 + + 9, stąd ϕ = rccos 5 Przykłd 9 x - Wyznczyć odległość punktu P(,,) od prostej L: = y + Mmy tutj: A(,,) ) L, AP = [,,4], v r = [,,], stąd r r r i j k v AP = d(p,l) = - 4 9 + 64 + 6 = 4 + + = z- = [,8,6] Ze wzoru n odległość punktu od prostej mmy: 9 5 Prost L: x - = y - = z - i płszczyzn π: Ax + By + Cz + D = mogą v v v względem siebie znjdowć się w trzech moŝliwych połoŝenich: L π = (prost i płszczyzn nie mją punktów wspólnych, czyli prost jest równoległ do płszczyzny), wtedy v r n r, czyli Av +Bv +Cv = ( n r o v r =) i A +B +C +D ; Stron 8
ROZDZIAŁ VIII L π (prost leŝy n płszczyźnie), wtedy Av +Bv +Cv = ( r o r n v =) i A +B +C +D=; L π = P (prost i płszczyzn mją jeden punkt wspólny), wtedy n r o v r i moŝn r r n o v wyznczyć kąt miedzy prostą i płszczyzną: sinϕ = r r n v Przykłd Wyznczyć równnie prostej przechodzącej przez punkt P(,,), równoległej do płszczyzny π: x + y z + 4 = orz przecinjącej prostą L: x = y - - = z- Sposób Szukn prost L leŝy w płszczyźnie π równoległej do płszczyzny π przechodzącej przez punkt P Równnie płszczyzny π będzie: (x)+(y)(z)= lub krócej: x+yz5= Prost L zwier punkt wspólny płszczyzny π i prostej L Wstwijąc współrzędne prostej L do równni płszczyzny π mmy: (t)+(t)(+t)5=, stąd t=6 i punkt wspólny m współrzędne Q(,7,) Szukn prost przechodzi przez punkty P i Q, więc moŝn ją zpisć w postci: x = + t L : y = - 5t, t R z = t Sposób Szukn prost jest krwędzią dwóch płszczyzn: płszczyzny π (wyznczonej w poprzednim rozwiązniu) i płszczyzny z pęku wyznczonego przez prostą L zwierjącej punkt P Piszemy prostą L w postci krwędziowej: x = (y -) x + y - = L: L: x = (z -) x - z + 6 = Równnie pęku wyznczonego przez prostą L: α(x+y) + β(xz+6) = Punkt P leŝy n tej płszczyźnie, więc α(+()) + β(()+6) = α+7β= Przyjmując α=7 i β= mmy równnie szuknej płszczyzny: 7(x+y) (xz+6) = x+7y+z6 = x + y - z -5 = Tk więc szukn prost m postć krwędziową: L : x + 7y + z -6 = Stron 84
PŁASZCZYZNA I PROSTA W R Ćwiczeni Wyznczyć równnie płszczyzny przechodzącej przez punkt P(7,5,) i odcinjącej n osich ukłdu współrzędnych równe odcinki Wyznczyć równnie płszczyzny zwierjącej punkt A(,,) i prostopdłej do płszczyzn: π : xy+z=, π : x+y+z+= Wyznczyć równnie płszczyzny zwierjącej oś OZ i tworzącej z płszczyzną π: x + y 5 z 7 = kąt o mierze π 4 Wyznczyć stłą k R tk, by płszczyzny o równnich: xy+z=, xyz+=, 4xyz+k=, przecinły się wzdłuŝ prostej 5 Wyznczyć równni prostej przechodzącej przez punkt A(,,) i tworzącej z osimi π π π ukłdu współrzędnych kąty o mirch:,, 4 6 Wyznczyć równnie płszczyzny przechodzącej przez punkt P(,,) i zwierjącej x 4 y + z prostą L: = = 7 Wyznczyć współrzędne punktu symetrycznego do punktu A(4,,) względem płszczyzny π: x+ y z = 8 Wyznczyć współrzędne punktu symetrycznego do punktu P(4,,), względem prostej x y z L: = = 4 5 9 Wyznczyć równni prostych, n których leŝą dwusieczne kątów między prostymi: x + y z x 5 y + z + L : = = i L : = = 4 Wyznczyć odległość dwóch prostych: L : x = y = z i L : x = y = x y + z 4 Wykzć, Ŝe prost L: = = jest równoległ do płszczyzny 5 4 π: 4x+8yy+5= orz wyznczyć odległość tej prostej od płszczyzny π Wyznczyć równnie płszczyzny zwierjącej prostą L: x + y = i równoległej do x + y z = prostej K: x + z = x y + z = x y z + Wyznczyć rzut prostej L: = = n płszczyznę π: x+yz= Wyznczyć kąt jki tworzy prost L z płszczyzną π orz równnie płszczyzny zwierjącej prostą L i prostopdłej do płszczyzny π Stron 85
ROZDZIAŁ VIII 4 Dl czworościnu o wierzchołkch A(,,), B(,,), C(,,), D(,,), wyznczyć: ) mirę kąt między ściną czworościnu zwierjącą punkty A, B, C prostą, n której leŝą wierzchołki A i D; b) mirę kąt między wysokością wychodzącą z wierzchołk A w trójkącie ABC ściną tego czworościnu zwierjącą wierzchołki BCD Stron 86
IX Powierzchnie stopni drugiego
ROZDZIAŁ IX Zbiór punktów przestrzeni R, których współrzędne spełniją równnie: x + y + z + xy+ xz+ yz+b x+b y+b z+c=, gdzie + + + + + >, nzywmy kwdryką lbo powierzchnią stopni drugiego Równnie to moŝn przedstwić w zpisie mcierzowym: XAX T +BX T +c=, b gdzie A=[ ij ], B= b b x i X= x x MoŜn wykzć, Ŝe istnieje tkie przeksztłcenie płszczyzny (będzie to złoŝenie przesunięci i obrotu), w wyniku którego otrzymmy tzw postć knoniczną powierzchni stopni drugiego JeŜeli deta, to postć knoniczn jest nstępując: ~ x + ~ y + ~ z + c ~ =, ntomist w przypdku, gdy deta=, knoniczne równnie kwdryki będzie: ~ x + ~ ~ y + b z +c ~ = ZleŜnie od znku współczynników ~, ~, ~ ~, b, ~ c (które mogą być tkŝe równe zeru) wyróŝnimy 7 róŝnych powierzchni stopni drugiego, w tym 9 kwdryk włściwych, pozostłe to tzw kwdryki niewłściwe (zdegenerowne) (zbiory puste, zbiory jednoelementowe, unie prostych i płszczyzn) Stron 88
POWIERZCHNIE STOPNIA DRUGIEGO Przykłd Przykłdy kwdryk niewłściwych: ) Równnie x +y +z = przedstwi punkt O(,,); b) Równnie x +y +z = przedstwi zbiór pusty; c) Równnie x +y = przedstwi prostą (oś OZ); d) Równnie x y = przedstwi unię dwóch płszczyzn o równnich: xy= i x+y= Przykłd Przykłdem kwdryki włściwej jest sfer S(A,r) o środku A(,, ) i promieniu r>: (x ) +(y ) +(z ) = r JeŜeli środek sfery A jest odległy od płszczyzny π: v x+v y+v z+v = o mniej niŝ r, to unię tych zbiorów C=S π nzywmy okręgiem ukłd równń: vx + vy + vz + v = (x - ) + (y - ) + (z - ) = r nzywmy równnimi krwędziowymi okręgu C Sfer jest szczególnym przypdkiem rodziny powierzchni obrotowych Powierzchnie obrotowe x = f(t) Niech Γ : y = f(t), t T R będzie z = f(t) krzywą, którą obrcmy dookoł prostej x x x L: = = v v v KŜdy punkt krzywej Γ zkreśl okrąg, którego równnie krwędziowe moŝemy npisć w postci: (x - ) + (y - ) v (x - f (t)) + v + (z - ) (y - f (t)) + v (z - f = (f (t) ) + (f (t)) =, (t) ) + (f (t) ) Stron 89
ROZDZIAŁ IX Zbiór tych okręgów tworzy powierzchnię obrotową, krzywą Γ nzywmy kierownicą, prostą L osią obrotu tej powierzchni obrotowej Rugując z tego ukłdu równń prmetr t otrzymmy równnie powierzchni obrotowej Nie zwsze będzie to równnie powierzchni stopni drugiego, co pokzuje nstępujący przykłd Przykłd Wyznczyć równnie powierzchni powstłej y = x z obrotu prboli Γ: dookoł osi OX z = x = t Krzyw Γ m postć prmetryczną y = t z = wektor kierunkowy osi obrotu v=[,,] Przyjmując A(,,) L z środek sfery, moŝemy npisć równni okręgów tworzących powierzchnię:, (x ) (x t) + (y t + (y ) + (z ) ) + (z ) =, = (t ) + (t ) + ( ) x = t, 4 x + y + z = t + t Rugując prmetr t otrzymmy równnie powierzchni: x + y + z = x + x 4 y + z = x 4, któr jest powierzchnią stopni czwrtego Przykłd 4 Wyznczyć równnie powierzchni powstłej z obrotu półelipsy Γ: dookoł osi OZ Postć prmetryczn półelipsy: Γ: t =, c y =, x z = t, x z + =, c y =, (x ), wtedy podobnie jk w przykłdzie, moŝemy npisć równni okręgów tworzących powierzchnię obrotową : Stron 9
POWIERZCHNIE STOPNIA DRUGIEGO Stron 9 9 9 9 + + = + + = + + ) (t ) ( c t - (z - ) (y - ) (x - ), t) (z - (y - ) c t - x - Rugując z tego ukłdu prmetr t otrzymmy: c z y x = + + Jest to równnie elipsoidy obrotowej Ogólne równnie elipsoidy eliptycznej m postć: c z b y x = + + Obrcjąc dookoł osi OZ hiperbolę Γ: = =, y, c z x otrzymmy równnie powierzchni stopni drugiego: c z y x = + obrotową hiperboloidę jednopowłokową Ogólne równnie hiperboloidy jednopowłokowej m postć: c z b y x = + Obrcjąc dookoł osi OX tę smą hiperbolę Γ: = =, y, c z x otrzymmy równnie powierzchni stopni drugiego: c z c y x = obrotową hiperboloidę dwupowłokową Ogólne równnie hiperboloidy dwupowłokowej m postć: c z b y x =
ROZDZIAŁ IX x = pz, Obrcjąc dookoł osi OZ prbolę Γ: otrzymmy równnie powierzchni stopni y =, drugiego: x + y = pz prboloidę obrotową Uogólnieniem tej powierzchni jest prboloid eliptyczn o równniu: x y + = pz b Powierzchnie prostokreślne Inną klsą powierzchni są powierzchnie prostokreślne, czyli powierzchnie utworzone przez proste JeŜeli w równnich prostej przechodzącej przez punkt A(,, ) i równoległej do wektor [ v, v v ] v =,, punkt A i wektor v będą zleŝne w sposób ciągły od pewnego prmetru t, to równnie kierunkowe tej prostej przyjmie nstępującą postć: x (t) y (t) x (t) = = v(t) v(t) v(t) Rugując z tego ukłdu równń prmetr t, otrzymmy związek między zmiennymi x, y, z, który moŝn zpisć w postci: F(x,y,z) =, gdzie F jest ciągłą funkcją rzeczywistą określoną n podzbiorze R Równnie to nzywmy równniem ogólnym tej powierzchni prostokreślnej, pojedynczą prostą, którą otrzymmy dl ustlonego prmetru t nzywmy tworzącą tę powierzchnię Z uwgi n to, Ŝe dwie proste tworzące mogą być równoległe, przecinć się lub być skośne, klsę powierzchni prostokreślnych dzielimy odpowiednio n powierzchnie wlcowe, stoŝkowe i torsoidlne Powierzchnią wlcową (wlcem) nzywmy powierzchnię prostokreślną, której wszystkie tworzące są równoległe (czyli wektor kierunkowy v jest stły) Niech punkt A będzie punktem leŝącym n krzywej x = f(t) Γ: y = f(t), t T R, wtedy równni tworzących z = f(t) wlc moŝn zpisć w postci: x f(t) y f(t) z f(t) = = v v v Rugując z tego ukłdu prmetr t, otrzymmy równnie wlc Stron 9
POWIERZCHNIE STOPNIA DRUGIEGO Przykłd 5 Wyznczyć równnie wlc o tworzących równoległych do wektor v=[,,] x = cost i przecinjących elipsę Γ: y = bsint, t [,π],,b R + z = Równni tworzących tej powierzchni mją postć: x cost y bsint z = = Piszemy równni tej prostej w postci krwędziowej: x x = cost = cost, stąd zś, poniewŝ y = bsint y = sint b cos t+sin t =, otrzymmy równnie wlc eliptycznego : x y + = b Jeśli = b, to otrzymmy równnie wlc kołowego (czyli wlc, którego równnie moŝemy otrzymć obrcjąc prostą wokół innej prostej równoległej do niej) W sposób nlogiczny moŝemy otrzymć równnie: wlc hiperbolicznego: x y = ; b Stron 9
ROZDZIAŁ IX wlc prbolicznego : y = px Powierzchnią stoŝkową (stoŝkiem) nzywmy powierzchnię prostokreślną, której wszystkie tworzące przecinją się w ustlonym punkcie tzw wierzchołku stoŝk Niech punkt A będzie punktem leŝącym n krzywej Γ: x = f(t) y = f(t), t T R, wtedy równni tworzących stoŝk z = f(t) o wierzchołku F(,b,c) moŝn zpisć w postci: x y b z c = = f(t) f(t) b f(t) c Rugując z tego ukłdu prmetr t, otrzymmy równnie stoŝk Przykłd 6 Wyznczyć równnie stoŝk o wierzchołku F(,,) i tworzących przecinjących elipsę Γ: x = cost y = bsint, t [,π],,b,c R + z = c Równni tworzących tej powierzchni mją postć: x y z - = = cost - bsint - c - Piszemy równni tej prostej w postci krwędziowej: cx = cost, z stąd zś, poniewŝ cos cy t+sin t =, = sint, bz otrzymmy równnie stoŝk eliptycznego : Stron 94