Deterministyczne Modele Badań Operacyjnych Semestr letni 2015 Praca domowa I 13/03/2015 1 Polecenie Zestaw składa się z trzech zadań, za każde z nich można zdobyć 10p. Rozwiązania do zadań należy wysłać na adres tp.dmbo.2015@gmail.com do 20/03/2015 do godziny 23 : 59 (liczy się czas otrzymania rozwiązania, nie wysłania). W przypadku przekroczenia tego terminu praca nie będzie sprawdzana. Prace należy wykonywać w grupach maksymalnie 2 osobowych. Skład grup nie powinien się zmieniać w trakcie semestru. Prace powinny być wykonane przez zespoły samodzielnie, w przypadku stwierdzenia niesamodzielności pracy dany zestaw nie będzie sprawdzany. Na rozwiązanie składa się plik.xls lub.xlsx z rozwiązanymi poszczególnymi podpunktów w Solverze, oraz plik.pdf z odpowiedziami do zadań (odpowiedzi do zadań proszę zapisać w dowolnym edytorze tekstu; skany pisma ręcznego nie będą akceptowane). Oba pliki powinny być spakowane do folderu skompresowanego w formacie.zip. Nazwa folderu powinna być następująca: DM BO1[ind1][ind2][nrg1][nrg2], gdzie ind1 i ind2 to numery indeksów autorów, a nrg1 i nrg2 to numery grup autorów (zgodne ze stanem w Wirtualnym Dziekanacie). Proszę tytułować maile zawierające rozwiązanie w następujący sposób: DM BO2015L P D [ind1] [ind2] (gdzie tak jak poprzednio ind1 oraz ind2 oznaczają numery indeksów autorów. W przypadku nie przestrzegania powyższych wymogów od uzyskanego wyniku może zostać odjęte do 20% uzyskanych punktów. 2 Sztruksik Firma odzieżowa Sztruksik istnieje na rynku spodni sztruksowych od roku 1990 i jest światowym liderem w produkcji sztruksów. Swoją mocną pozycję na tym trudnym rynku zawdzięcza głównie talentom organizacyjnym prezesa Jana Kowalskiego, który niedawno zatrudnił Cię na stanowisko Głównego Analityka Sztruksów. Twoje pierwsze zadanie polega na tym, aby zoptymalizować grafik produkcji na nadchodzący kwartał (13 tygodni). Sztruksik ma zamówienia na 15 różnych typów spodni. Posiada dwie maszyny: S1 i S2. 1
Maszyna S1 oprócz standardowych spodni może także produkować spodnie z naszywkami. Sztruksik może także zlecić wykonanie całego lub części zamówienia podwykonawcom. Poniższa tabela podsumowuje dostępne dane. Tabela 1: Dane o produkcji spodni S1 S2 Podwykonawca Zamówienie Popyt Spodnie/h Koszt/szt. Spodnie/h Koszt/szt. Koszt/szt. 1 14 000 4,51 2,66 NA NA 2,77 2 52 000 4,796 2,55 NA NA 2,73 3 44 000 4,629 2,64 NA NA 2,85 4 20 000 4,256 2,56 NA NA 2,73 5 77 500 5,145 1,61 5,428 1,6 1,76 6 109 500 3,806 1,62 3,935 1,61 1,76 7 120 000 4,168 1,64 4,316 1,61 1,76 8 60 000 5,251 1,48 5,356 1,47 1,59 9 7 500 5,223 1,5 5,277 1,5 1,71 10 69 500 5,216 1,44 5,419 1,42 1,63 11 68 500 3,744 1,64 3,835 1,64 1,8 12 83 000 4,157 1,57 4,291 1,56 1,78 13 10 000 4,422 1,49 4,558 1,48 1,63 14 381 000 5,281 1,31 5,353 1,3 1,44 15 64 000 4,222 1,51 4,288 1,5 1,69 Sztruksik posiada 15 maszyn S1 i 80 maszyn S2. Chcąc zaspokoić popyt firma pracuje 24 godziny na dobę, 7 dni w tygodniu. Każda maszyna musi być sprawdzona raz w tygodniu przez serwisanta, trwa to około 2h. Twoje zadanie polega odpowiedzi na poniższe pytania: a) Zapisz problem jako ZPL. Jaki jest optymalny plan produkcji (min. koszt) i związany z nim koszt?[4p] b) Czy jest to jedyne rozwiązanie? (skorzystaj z raportu wrażliwości) W tym oraz następnych podpunktach przyjmijmy, że spodnie są produktem doskonale podzielnym. [1p] c) Jak zmieniłoby się rozwiązanie optymalne gdyby jedna z maszyn S1 uległa awarii i nie mogła być używana przez cały kwartał? [1p] d) Co stałoby się z rozwiązaniem gdyby Sztruksik zakupił dodatkową maszynę S1? [0,5p] e) Jak zmieniłoby się rozwiązanie optymalne gdyby jedna z maszyn S2 uległa awarii i nie mogła być używana przez cały kwartał? [0,5p] f) Co stałoby się z rozwiązaniem gdyby Sztruksik zakupił dodatkową maszynę S2? [0,5p] g) Na przykładzie zamówienia 1 wyjaśnij pojęcie ceny dualnej. [1p] h) Ile kosztuje wyprodukowanie zamówienia nr 2? [0,5p] 2
i) Jeśli spodnie 5-15 byłyby sprzedawana w tej samej cenie, który rodzaj spodni firma powinna promować najbardziej w celu zwiększenia ich sprzedaży? Odpowiedź uzasadnij. [0,5p] j) Czy rozwiązanie optymalne zmieniłoby się gdyby koszt zakupu od podwykonawcy spodni 1 wzrósł do 2,80 zł [0,5p] 3 Hardcorowy Koksu Dnia pewnego za Gierka, Jacek - student 3 roku SGPIS usłyszał słowa, które zmieniły jego życie: cokolwiek robisz, rób na masę. Do głębi poruszony, postanowił zostać siłaczem. Jacek podszedł do sprawy w sposób profesjonalny i stwierdził, że ułoży sobie odpowiednią dietę. Głęboka komuna pozwala jednak tylko na wykorzystanie 4 produktów: Ryż w opakowaniach 4x100g, cena: 3 zł, Filet z piersi kurczaka, cena: 2 zł za 100g, Puszka tuńczyka 200g, cena: 4 zł, Kalafior, cena: 1 zł za sztukę 500g Poniższa tabela przedstawia wartości odżywcze dla każdego z dostępnych produktów: Tabela 2: Wartości odżywcze dostępnych produktów Kalorie (kcal) Białko (g) Węglowodany (g) Tłuszcze (g) Ryż (100g) 344 9 78,9 1 Filet z piersi kurczaka (100g) 122 16 2 4 Tunczyk (100g) 80 20 0 5 Kalafior (100g) 31 0 5 0 W pewnej mądrej książce Jacek przeczytał, że chcąc zrobić masę potrzebuje dziennie przynajmniej 3500 kcal, 80g białka, 400g węglowodanów i 40g tłuszczy. a) Pomóż Jackowi ułożyć dietę na masę jak najniższym kosztem. Zapisz problem jako zadanie programowania liniowego. [2p] b) Jaki jest najniższy dzienny koszt zapewniający minimalne spożycie kalorii, białka węglowodanów i tłuszczy? Wytłumaczenie: jeśli Jacek zje jednego dnia na przykład tylko 232g ryżu to dzienny koszt wynosi (232g/400g)*3zł.[1p][1p] c) Przyjmij, że Jacek może zjadać tylko równe porcje posiłków (wielokrotności 100g). Na przykład może zjeść 1 albo 2 torebki ryżu nie 1,5. Jak zmieni się rozwiązanie optymalne?[1p] d) Mamy komunę Jacek może kupić maksymalnie 500g kurczaka dziennie oraz nie może zjeść żadnego z produktów więcej niż 1,6 kg dziennie. Jak zmieni się rozwiązanie optymalne w porównaniu z rozwiązaniem z pkt c?[2p] e) Plan otrzymany w pkt c nie jest zbilansowany. Jacek stwierdził, że chce zjeść przynajmniej 300g kalafiora dziennie. O ile wzrósł koszt w porównaniu z pkt c? [2p] 3
f) Zaczęta a niedokończona puszka tuńczyka szybko się psuje, już następnego dnia nie nadaje się do spożycia. Wprowadź dodatkowy warunek do rozwiązania z pkt d, który sprawi, że tuńczyk nie będzie się marnował. Ile puszek tuńczyka dziennie powinien zjeść Jacek? Wprowadź także dodatkowy warunek, że Jacek musi zjeść przynajmniej jedną puszkę. [2p] 4 Kapitan Saga Kapitan Saga szykuje kolejny rejs, więc musi przemyśleć co wziąć na pokład swojej wiernej łódki s/y Wielki Paździerz. Zakupów dokonuje w sklepie wielobranżowym U Mietka gdzie na kredyt może dostać towary o łącznej wartości 100 000 PLN, jednak Mietek wymaga żeby kapitan zamawiał jedynie produkty w zaproponowanych przez niego ilościach (np. jeżeli sardynki są sprzedawane w transzach po jednej tonie, to możliwy jest tylko zakup całkowitej wielokrotności jednej tony). Każdy z przedmiotów dostępnych w sklepie jest opisany przez 3 parametry: cenę, procentowy przyrost użyteczności wynikający z zakupu danego przedmiotu, oraz jego cenę. Zestawienie to zawiera tabela (każdego przedmiotu można kupić więcej niż jedną sztukę, ale nie więcej niż znajduje się w magazynie sklepu): Tabela 3: Oferta sklepu U Mietka u przyrost utyli cena [PLN] waga [t] zapasy produktu (w tonach) puszki sardynek 1,5 2000 1 20 zapasowy maszt 1,05 10 000 20 60 woda pitna 1,3 1500 2 400 makaron 1,2 2000 0,3 300 ryż 1,4 1800 0,5 200 sos pomidorowy 1,7 2700 1 100 konserwa turystyczna 1,5 5000 3 600 mielonka super 1,6 3000 2 400 Nauczony po ostatnim rejsie kapitan koniecznie chce wziąć ze sobą przynajmniej jeden zapasowy maszt. Kapitan napotyka iloczynową funkcję użyteczności, tzn. każdy zakupiony przedmiot zwiększa jego bazową użyteczność (równą 1) o u razy (tzn. kupując dwie puszki sardynek i maszt użyteczność kapitana wyniesie 1*1.05*1.5*1.5). Jacht może pomieścić maksymalnie 100 ton ładunku. Kapitan chce tak załadować łódkę, aby zmaksymalizować swoją użyteczność, przestrzegając jednocześnie wymogów bezpieczeństwa. a) Zapisz (analitycznie) liniowy model optymalizacyjny pozwalający na rozwiązanie problemu [2p]. b) Zaimplementuj zapisany model liniowy w excelu. Jaka jest optymalna wartość funkcji celu? Jakie są wartości zmiennych decyzyjnych w rozwiązaniu optymalnym? [2p] c) Kapitan Saga uznał, że sam sos pomidorowy jest bezużyteczny i na każdą tonę sosu musi przypadć albo 0,5 tony ryżu, albo 0,6 tony makaronu. Zapisz dodatkowy warunek ograniczający. W jaki sposób zmieni się rozwiązanie optymalne?[2p] 4
d) Czytając książkę kucharską kapitan Saga poznał termin zrównoważona dieta, dlatego też chce zabrać na pokład tyle samo ton sardynek, mielonki oraz konserw. Wie jednak z doświadczania, że albo powinien zabrać ze sobą łącznie więcej niż 30 ton tych produktów lub mniej niż 10 ton. Zapisz zmiany w modelu optymalizacyjnym. Zmodyfikuj model z podpunktu b) i zapisz nowe rozwiązanie optymalne, oraz wartości zmiennych decyzyjnych. [2p] e) Od dawna kapitan Saga uznaje że 9 to jego szczęśliwa liczba, dlatego chce żeby na pokładzie liczba sztuk przynajmniej jednego dowolnego produktu wynosiła dokładnie 9 sztuk. Zapisz zmiany w modelu optymalizacyjnym. Zmodyfikuj model z podpunktu b) i zapisz nowe rozwiązanie optymalne, oraz wartości zmiennych decyzyjnych. [2p] 5