O zbiorach małych w polskich grupach abelowych Eliza Jabłońska Katedra Matematyki Politechniki Rzeszowskiej Warsztaty z Analizy Rzeczywistej, Konopnica 2016 E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 1 / 22
Wstęp [Ch] J.P.R. Christensen, On sets of Haar measure zero in abelian Polish groups, Israel J. Math. 13 (1972), 255-260. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 2 / 22
Wstęp [Ch] J.P.R. Christensen, On sets of Haar measure zero in abelian Polish groups, Israel J. Math. 13 (1972), 255-260. Christensen zdefiniował zbiory zerowe Haara w polskich grupach abelowych (ośrodkowa, zupełna metryczna grupa abelowa) w taki sposób, że w grupach lokalnie zwartych pojęcie to jest równoważne definicji zbioru miary Haara zero. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 2 / 22
Wstęp [Ch] J.P.R. Christensen, On sets of Haar measure zero in abelian Polish groups, Israel J. Math. 13 (1972), 255-260. Christensen zdefiniował zbiory zerowe Haara w polskich grupach abelowych (ośrodkowa, zupełna metryczna grupa abelowa) w taki sposób, że w grupach lokalnie zwartych pojęcie to jest równoważne definicji zbioru miary Haara zero. [D] U.B. Darji, On Haar meager sets, Topology Appl. 160 (2013), 2396-2400. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 2 / 22
Wstęp [Ch] J.P.R. Christensen, On sets of Haar measure zero in abelian Polish groups, Israel J. Math. 13 (1972), 255-260. Christensen zdefiniował zbiory zerowe Haara w polskich grupach abelowych (ośrodkowa, zupełna metryczna grupa abelowa) w taki sposób, że w grupach lokalnie zwartych pojęcie to jest równoważne definicji zbioru miary Haara zero. [D] U.B. Darji, On Haar meager sets, Topology Appl. 160 (2013), 2396-2400. Darji zdefiniował zbiory I kat. Haara w polskich grupach abelowych, które są tożsame ze zbiorami pierwszej kategorii Baire a w grupach lokalnie zwartych. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 2 / 22
Wstęp [Ch] J.P.R. Christensen, On sets of Haar measure zero in abelian Polish groups, Israel J. Math. 13 (1972), 255-260. Christensen zdefiniował zbiory zerowe Haara w polskich grupach abelowych (ośrodkowa, zupełna metryczna grupa abelowa) w taki sposób, że w grupach lokalnie zwartych pojęcie to jest równoważne definicji zbioru miary Haara zero. [D] U.B. Darji, On Haar meager sets, Topology Appl. 160 (2013), 2396-2400. Darji zdefiniował zbiory I kat. Haara w polskich grupach abelowych, które są tożsame ze zbiorami pierwszej kategorii Baire a w grupach lokalnie zwartych. X jest polską grupą abelową E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 2 / 22
Wstęp [Ch] J.P.R. Christensen, On sets of Haar measure zero in abelian Polish groups, Israel J. Math. 13 (1972), 255-260. Christensen zdefiniował zbiory zerowe Haara w polskich grupach abelowych (ośrodkowa, zupełna metryczna grupa abelowa) w taki sposób, że w grupach lokalnie zwartych pojęcie to jest równoważne definicji zbioru miary Haara zero. [D] U.B. Darji, On Haar meager sets, Topology Appl. 160 (2013), 2396-2400. Darji zdefiniował zbiory I kat. Haara w polskich grupach abelowych, które są tożsame ze zbiorami pierwszej kategorii Baire a w grupach lokalnie zwartych. X jest polską grupą abelową HN X := {A X : A jest zbiorem zerowym Haara} E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 2 / 22
Wstęp [Ch] J.P.R. Christensen, On sets of Haar measure zero in abelian Polish groups, Israel J. Math. 13 (1972), 255-260. Christensen zdefiniował zbiory zerowe Haara w polskich grupach abelowych (ośrodkowa, zupełna metryczna grupa abelowa) w taki sposób, że w grupach lokalnie zwartych pojęcie to jest równoważne definicji zbioru miary Haara zero. [D] U.B. Darji, On Haar meager sets, Topology Appl. 160 (2013), 2396-2400. Darji zdefiniował zbiory I kat. Haara w polskich grupach abelowych, które są tożsame ze zbiorami pierwszej kategorii Baire a w grupach lokalnie zwartych. X jest polską grupą abelową HN X := {A X : A jest zbiorem zerowym Haara} HM X := {A X : A jest zbiorem I kat. Haara} E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 2 / 22
Wstęp [Ch] J.P.R. Christensen, On sets of Haar measure zero in abelian Polish groups, Israel J. Math. 13 (1972), 255-260. Christensen zdefiniował zbiory zerowe Haara w polskich grupach abelowych (ośrodkowa, zupełna metryczna grupa abelowa) w taki sposób, że w grupach lokalnie zwartych pojęcie to jest równoważne definicji zbioru miary Haara zero. [D] U.B. Darji, On Haar meager sets, Topology Appl. 160 (2013), 2396-2400. Darji zdefiniował zbiory I kat. Haara w polskich grupach abelowych, które są tożsame ze zbiorami pierwszej kategorii Baire a w grupach lokalnie zwartych. X jest polską grupą abelową HN X := {A X : A jest zbiorem zerowym Haara} HM X := {A X : A jest zbiorem I kat. Haara} M X := {A X : A jest zbiorem I kat. Baire a} E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 2 / 22
Wstęp Definicja (Darji [D]) Zbiór A X nazywamy I kat. Haara jeśli istnieje zbiór borelowski B A, przestrzeń metryczna zwarta K oraz ciągła funkcja f : K X, że zbiór f 1 (B + x) jest I kat. w K dla wszystkich x X. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 3 / 22
Wstęp Definicja (Darji [D]) Zbiór A X nazywamy I kat. Haara jeśli istnieje zbiór borelowski B A, przestrzeń metryczna zwarta K oraz ciągła funkcja f : K X, że zbiór f 1 (B + x) jest I kat. w K dla wszystkich x X. Twierdzenie 1 (Christensen [Ch]) Rodzina HN X jest σ-ideałem w X. Jeśli ponadto X jest lokalnie zwarta, to HN X jest rodziną zbiorów miary Haara zero. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 3 / 22
Wstęp Definicja (Darji [D]) Zbiór A X nazywamy I kat. Haara jeśli istnieje zbiór borelowski B A, przestrzeń metryczna zwarta K oraz ciągła funkcja f : K X, że zbiór f 1 (B + x) jest I kat. w K dla wszystkich x X. Twierdzenie 1 (Christensen [Ch]) Rodzina HN X jest σ-ideałem w X. Jeśli ponadto X jest lokalnie zwarta, to HN X jest rodziną zbiorów miary Haara zero. Twierdzenie 1* (Darji [D]) Rodzina HM X jest σ-ideałem w X. Jeśli ponadto X jest lokalnie zwarta, to HM X = M X ; w przeciwnym razie HM X M X. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 3 / 22
Twierdzenia typu Piccard Twierdzenie 2 (Christensen [Ch]) Dla każdego uniwersalnie mierzalnego zbioru A HN X zbiór {x X : (A + x) A HN X } jest otoczeniem zera w X. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 4 / 22
Twierdzenia typu Piccard Twierdzenie 2 (Christensen [Ch]) Dla każdego uniwersalnie mierzalnego zbioru A HN X zbiór jest otoczeniem zera w X. {x X : (A + x) A HN X } [J1] E. Jabłońska, Some analogies between Haar meager sets and Haar null sets in abelian Polish groups, J. Math. Anal. Appl. 421 (2015), 1479-1486. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 4 / 22
Twierdzenia typu Piccard Twierdzenie 2 (Christensen [Ch]) Dla każdego uniwersalnie mierzalnego zbioru A HN X zbiór jest otoczeniem zera w X. {x X : (A + x) A HN X } [J1] E. Jabłońska, Some analogies between Haar meager sets and Haar null sets in abelian Polish groups, J. Math. Anal. Appl. 421 (2015), 1479-1486. Twierdzenie 2* (J. [J1]) Dla każdego borelowskiego zbioru A HM X zbiór jest otoczeniem zera w X. {x X : (A + x) A HM X } E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 4 / 22
Twierdzenia typu Piccard [G] Z. Gajda, Christensen measurability of polynomial functions and convex functions of higher orders, Ann. Polon. Math. 47 (1986), 25-40. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 5 / 22
Twierdzenia typu Piccard [G] Z. Gajda, Christensen measurability of polynomial functions and convex functions of higher orders, Ann. Polon. Math. 47 (1986), 25-40. Twierdzenie 3 (Gajda [G]) Dla każdego n N oraz zbioru uniwersalnie mierzalnego A HN X zbiór {x X : (A + kx) HN X } jest otoczeniem zera w X. k { n,,...,n} E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 5 / 22
Twierdzenia typu Piccard [G] Z. Gajda, Christensen measurability of polynomial functions and convex functions of higher orders, Ann. Polon. Math. 47 (1986), 25-40. Twierdzenie 3 (Gajda [G]) Dla każdego n N oraz zbioru uniwersalnie mierzalnego A HN X zbiór {x X : (A + kx) HN X } jest otoczeniem zera w X. k { n,,...,n} Twierdzenie 3* (J. [to appear]) Dla każdego n N oraz zbioru borelowskiego A HM X zbiór {x X : jest otoczeniem zera w X. k { n,,...,n} (A + kx) HM X } E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 5 / 22
Twierdzenia typu Piccard [ChF] J.P.R. Christensen, P. Fischer, Small sets and a class of general functional equations, Aequationes Math. 33 (1987), 18-22. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 6 / 22
Twierdzenia typu Piccard [ChF] J.P.R. Christensen, P. Fischer, Small sets and a class of general functional equations, Aequationes Math. 33 (1987), 18-22. Twierdzenie 4 (Christensen & Fischer [ChF]) Niech A HN X będzie zbiorem uniwersalnie mierzalnym. Wtedy N {(x 1,..., x N ) X N : A (A + x i ) HN X } i=1 jest otoczeniem zera w X N dla dowolnego N N. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 6 / 22
Twierdzenia typu Piccard [J2] E. Jabłońska, A theorem of Piccard s type in abelian Polish groups, Anal. Math. 42 (2016), (in print). E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 7 / 22
Twierdzenia typu Piccard [J2] E. Jabłońska, A theorem of Piccard s type in abelian Polish groups, Anal. Math. 42 (2016), (in print). Twierdzenie 4* (J. [J2]) Niech A HM X będzie zbiorem borelowskim. Wtedy N {(x 1,..., x N ) X N : A (A + x i ) HM X } i=1 jest otoczeniem zera w X N dla dowolnego N N. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 7 / 22
Inne podobieństwa Wniosek Jeśli X nie jest lokalnie zwarta, to każdy zbiór σ-zwarty jest zbiorem zerowym Haara oraz zbiorem I kat. Haara. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 8 / 22
Inne podobieństwa Wniosek Jeśli X nie jest lokalnie zwarta, to każdy zbiór σ-zwarty jest zbiorem zerowym Haara oraz zbiorem I kat. Haara. Fakt Każdy zbiór zawierający pewne przesunięcie każdego zbioru zwartego nie jest zbiorem zerowym Haara ani zbiorem I kat. Haara. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 8 / 22
Inne podobieństwa [MS] E. Matou sková and C. Stegall, A characterization of reflexive Banach spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 124 (1996), 1083-1090. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 9 / 22
Inne podobieństwa [MS] E. Matou sková and C. Stegall, A characterization of reflexive Banach spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 124 (1996), 1083-1090. [M] E. Matou sková, Convexity and Haar null sets, Proc. Amer. Math. Soc. 125 (1997), 1793-1799. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 9 / 22
Inne podobieństwa [MS] E. Matou sková and C. Stegall, A characterization of reflexive Banach spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 124 (1996), 1083-1090. [M] E. Matou sková, Convexity and Haar null sets, Proc. Amer. Math. Soc. 125 (1997), 1793-1799. Twierdzenie 5 (Matou sková & Stegall [MS], Matou sková [M]) Każda ośrodkowa nierefleksywna przestrzeń Banacha zawiera pewnien domknięty zbiór wypukły o pustym wnętrzu, który nie jest zbiorem zerowym Haara. W każdej ośrodkowej superrefleksywnej przestrzeni Banacha domknięte, nigdziegęste zbiory wypukłe są zbiorami zerowymi Haara. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 9 / 22
Inne podobieństwa Twierdzenie 5* (J. [to appear]) Każda ośrodkowa nierefleksywna przestrzeń Banacha zawiera pewnien domknięty zbiór wypukły o pustym wnętrzu, który nie jest I kat. Haara. W każdej ośrodkowej superrefleksywnej przestrzeni Banacha domknięte, nigdziegęste zbiory wypukłe są zbiorami I kat. Haara. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 10 / 22
Inne podobieństwa [MZ] E. Matou sková, M. Zelený, A note on intersections of non Haar null sets, Colloq. Math. 96 (2003), 1-4. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 11 / 22
Inne podobieństwa [MZ] E. Matou sková, M. Zelený, A note on intersections of non Haar null sets, Colloq. Math. 96 (2003), 1-4. Twierdzenie 6 (Matou sková & Zelený [MZ]) Jeśli X nie jest lokalnie zwarta, to istnieją takie domknięte zbiory A, B HN X, że zbiór (A + x) B jest zwarty dla każdego x X. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 11 / 22
Inne podobieństwa [MZ] E. Matou sková, M. Zelený, A note on intersections of non Haar null sets, Colloq. Math. 96 (2003), 1-4. Twierdzenie 6 (Matou sková & Zelený [MZ]) Jeśli X nie jest lokalnie zwarta, to istnieją takie domknięte zbiory A, B HN X, że zbiór (A + x) B jest zwarty dla każdego x X. Twierdzenie 6* (J. [J2]) Jeśli X nie jest lokalnie zwarta, to istnieją takie domknięte zbiory A, B HM X, że zbiór (A + x) B jest zwarty dla każdego x X. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 11 / 22
Inne podobieństwa [D1] P. Dodos, Dichotomies of the set of test measures of a Haar null set, Israel J. Math. 144 (2004), 15-28. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 12 / 22
Inne podobieństwa [D1] P. Dodos, Dichotomies of the set of test measures of a Haar null set, Israel J. Math. 144 (2004), 15-28. Twierdzenie 7 (Dodos [D1]) Jeśli X nie jest lokalnie zwarta, a G jest σ-zwartą podgrupą grupy X, to istnieje taki G-niezmienniczy zbiór F σ w X (tzn. F + G F ), który nie jest zbiorem zerowym Haara, ani też dopełnieniem do żadnego zbioru zerowego Haara. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 12 / 22
Inne podobieństwa [D1] P. Dodos, Dichotomies of the set of test measures of a Haar null set, Israel J. Math. 144 (2004), 15-28. Twierdzenie 7 (Dodos [D1]) Jeśli X nie jest lokalnie zwarta, a G jest σ-zwartą podgrupą grupy X, to istnieje taki G-niezmienniczy zbiór F σ w X (tzn. F + G F ), który nie jest zbiorem zerowym Haara, ani też dopełnieniem do żadnego zbioru zerowego Haara. Twierdzenie 7* (J. [J2]) Jeśli X nie jest lokalnie zwarta, a G jest σ-zwartą podgrupą grupy X, to istnieje taki G-niezmienniczy zbiór F σ w X, który nie jest zbiorem I kat. Haara, ani też dopełnieniem do żadnego zbioru I kat. Haara. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 12 / 22
Inne podobieństwa [B] T. Banakh, The closed Steinhaus properties of σ-ideals on topological groups, arxiv:1509.09073v1 [math.gn] 30 Sep 2015 E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 13 / 22
Inne podobieństwa [B] T. Banakh, The closed Steinhaus properties of σ-ideals on topological groups, arxiv:1509.09073v1 [math.gn] 30 Sep 2015 Niech I będzie ideałem zbiorów A X o następującej własności: istnieje taki zbiór zwarty K X, że zbiór K (x + A) jest I kat. w K dla każdego x X. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 13 / 22
Inne podobieństwa [B] T. Banakh, The closed Steinhaus properties of σ-ideals on topological groups, arxiv:1509.09073v1 [math.gn] 30 Sep 2015 Niech I będzie ideałem zbiorów A X o następującej własności: istnieje taki zbiór zwarty K X, że zbiór K (x + A) jest I kat. w K dla każdego x X. Twierdzenie 8 (Banakh [B]) Każdy domknięty zbiór zerowy Haara należy do I. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 13 / 22
Inne podobieństwa [B] T. Banakh, The closed Steinhaus properties of σ-ideals on topological groups, arxiv:1509.09073v1 [math.gn] 30 Sep 2015 Niech I będzie ideałem zbiorów A X o następującej własności: istnieje taki zbiór zwarty K X, że zbiór K (x + A) jest I kat. w K dla każdego x X. Twierdzenie 8 (Banakh [B]) Każdy domknięty zbiór zerowy Haara należy do I. Twierdzenie 8* (Banakh [B]) Każdy domknięty zbiór I kat. Haara należy do I. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 13 / 22
Uwagi końcowe Definicja Christensena [Ch] Zbiór A X jest zerowy Haara jeśli istnieje uniwersalnie mierzalny zbiór B A oraz borelowska miara probabilistyczna µ na X, że µ(x + B) = 0 dla każdego x X. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 14 / 22
Uwagi końcowe Definicja Christensena [Ch] Zbiór A X jest zerowy Haara jeśli istnieje uniwersalnie mierzalny zbiór B A oraz borelowska miara probabilistyczna µ na X, że µ(x + B) = 0 dla każdego x X. Definicja Darji ego [D] Zbiór A X jest I kat. Haara jeśli istnieje zbiór borelowski B A, przestrzeń metryczna zwarta K i funkcja ciągła f : K X, że f 1 (B + x) M K dla każdego x X. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 14 / 22
Uwagi końcowe Definicja Christensena [Ch] Zbiór A X jest zerowy Haara jeśli istnieje uniwersalnie mierzalny zbiór B A oraz borelowska miara probabilistyczna µ na X, że µ(x + B) = 0 dla każdego x X. Definicja Darji ego [D] Zbiór A X jest I kat. Haara jeśli istnieje zbiór borelowski B A, przestrzeń metryczna zwarta K i funkcja ciągła f : K X, że f 1 (B + x) M K dla każdego x X. To znaczy, że każdy zbiór zerowy Haara ma tylko jeden parametr poświadczający miarę testującą; każdy zbiór I kat. Haara ma dwa parametry poświadczające poświadczającą przestrzeń oraz poświadczającą funkcję. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 14 / 22
Uwagi końcowe Proposition 1 (J. [to appear]) Zbiór borelowski B X jest I kat. Haara wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka ciągła funkcja f : 2 ω X, że f 1 (B + x) jest zbiorem I kat. w 2 ω dla każdego x X. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 15 / 22
Uwagi końcowe Proposition 1 (J. [to appear]) Zbiór borelowski B X jest I kat. Haara wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka ciągła funkcja f : 2 ω X, że f 1 (B + x) jest zbiorem I kat. w 2 ω dla każdego x X. Zatem każdy zbiór I kat. Haara ma w rzeczywistości tylko jeden parametr poświadczający funkcję poświadczającą. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 15 / 22
Uwagi końcowe [D2] P. Dodos, On certain regularity properties of Haar-null sets, Fund. Math. 181 (2004), 97-109. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 16 / 22
Uwagi końcowe [D2] P. Dodos, On certain regularity properties of Haar-null sets, Fund. Math. 181 (2004), 97-109. P(X ) przestrzeń wszystkich miar probabilistycznych na X ; przestrzeń polska z metryką Lévy ego ρ zdefiniowaną wzorem ρ(µ, ν) := inf{δ 0 : µ(a) ν(a δ ) + δ i ν(a) µ(a δ ) + δ}, gdzie A δ := {x X : d(x, A) δ}. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 16 / 22
Uwagi końcowe [D2] P. Dodos, On certain regularity properties of Haar-null sets, Fund. Math. 181 (2004), 97-109. P(X ) przestrzeń wszystkich miar probabilistycznych na X ; przestrzeń polska z metryką Lévy ego ρ zdefiniowaną wzorem ρ(µ, ν) := inf{δ 0 : µ(a) ν(a δ ) + δ i ν(a) µ(a δ ) + δ}, gdzie A δ := {x X : d(x, A) δ}. Dla każdego zbioru uniwersalnie mierzalnego A X T (A) := {µ P(X ) : µ(x + A) = 0 dla każdego x X }. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 16 / 22
Uwagi końcowe [D2] P. Dodos, On certain regularity properties of Haar-null sets, Fund. Math. 181 (2004), 97-109. P(X ) przestrzeń wszystkich miar probabilistycznych na X ; przestrzeń polska z metryką Lévy ego ρ zdefiniowaną wzorem ρ(µ, ν) := inf{δ 0 : µ(a) ν(a δ ) + δ i ν(a) µ(a δ ) + δ}, gdzie A δ := {x X : d(x, A) δ}. Dla każdego zbioru uniwersalnie mierzalnego A X T (A) := {µ P(X ) : µ(x + A) = 0 dla każdego x X }. Twierdzenie (Dodos [D2]) Jeśli A HN X jest uniwersalnie mierzalny, to: T (A) jest gęsty w P(X ); jeśli A jest σ-zwarty, P(X ) \ T (A) jest zbiorem I kat. w P(X ). E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 16 / 22
Uwagi końcowe [D3] P. Dodos, The Steinhaus property and Haar-null sets, Bull. Lond. Math. Soc. 41 (2009), 377-384. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 17 / 22
Uwagi końcowe [D3] P. Dodos, The Steinhaus property and Haar-null sets, Bull. Lond. Math. Soc. 41 (2009), 377-384. Definicja (Dodos [D3]) Zbiór A X jest gen. zbiorem zerowym Haara, jeśli P(X ) \ T (A) jest I kat. w P(X ). E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 17 / 22
Uwagi końcowe [D3] P. Dodos, The Steinhaus property and Haar-null sets, Bull. Lond. Math. Soc. 41 (2009), 377-384. Definicja (Dodos [D3]) Zbiór A X jest gen. zbiorem zerowym Haara, jeśli P(X ) \ T (A) jest I kat. w P(X ). Twierdzenie (Dodos [D3]) GHN HN Jeśli A X jest analityczny, ale nie jest gen. zbiorem zerowym Haara, to A A jest II kat. w X. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 17 / 22
Uwagi końcowe Definicja (Banakh [B]) Zbiór A X jest gen. I kat. Haara, jeśli L(A) := {K exp(x ) : x X K (x + A) M K } jest dopełnieniem do zbioru I kat. w exp(x ), gdzie exp(x ) jest przestrzenią wszystkich niepustych zbiorów zwartych w X z topologią Vietorisa. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 18 / 22
Uwagi końcowe Definicja (Banakh [B]) Zbiór A X jest gen. I kat. Haara, jeśli L(A) := {K exp(x ) : x X K (x + A) M K } jest dopełnieniem do zbioru I kat. w exp(x ), gdzie exp(x ) jest przestrzenią wszystkich niepustych zbiorów zwartych w X z topologią Vietorisa. Twierdzenie (Banakh [B]) Jeśli A X jest analityczny, ale nie jest gen. I kat. Haara, to A A jest II kat. w X. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 18 / 22
Uwagi końcowe Jeśli I jest ideałem takich zbiorów A X, że: to: istnieje zbiór zwarty K X, dla którego K (x + A) M K dla każdego x X, I HM X ; każdy domknięty zbiór I kat. Haara należy do I. Nie wiemy, czy ogólnie I HM X, a więc czy L(A) dla dowolnego zbioru I kat. Haara A X (dwa problemy Darji ego). E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 19 / 22
Uwagi końcowe C(2 ω, X ) przestrzeń funkcji ciągłych f : 2 ω X ; przestrzeń polska. Dla każdego zbioru borelowskiego A X W (A) := {f C(2 ω, X ) : f 1 (x + A) M 2 ω dla każdego x X }. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 20 / 22
Uwagi końcowe C(2 ω, X ) przestrzeń funkcji ciągłych f : 2 ω X ; przestrzeń polska. Dla każdego zbioru borelowskiego A X W (A) := {f C(2 ω, X ) : f 1 (x + A) M 2 ω dla każdego x X }. Definicja Zbiór A X jest gen. I kat. Haara, jeśli C(2 ω, X ) \ W (A) jest I kat. w C(2 ω, X ). E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 20 / 22
Uwagi końcowe C(2 ω, X ) przestrzeń funkcji ciągłych f : 2 ω X ; przestrzeń polska. Dla każdego zbioru borelowskiego A X W (A) := {f C(2 ω, X ) : f 1 (x + A) M 2 ω dla każdego x X }. Definicja Zbiór A X jest gen. I kat. Haara, jeśli C(2 ω, X ) \ W (A) jest I kat. w C(2 ω, X ). Problem 1* Niech A X będzie zbiorem borelowskim, który nie jest gen. I kat. Haara. Czy A A jest II kat. w X? E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 20 / 22
Uwagi końcowe C(2 ω, X ) przestrzeń funkcji ciągłych f : 2 ω X ; przestrzeń polska. Dla każdego zbioru borelowskiego A X W (A) := {f C(2 ω, X ) : f 1 (x + A) M 2 ω dla każdego x X }. Definicja Zbiór A X jest gen. I kat. Haara, jeśli C(2 ω, X ) \ W (A) jest I kat. w C(2 ω, X ). Problem 1* Niech A X będzie zbiorem borelowskim, który nie jest gen. I kat. Haara. Czy A A jest II kat. w X? Problem 2* Niech A HM X będzie zbiorem borelowskim. Czy to prawda, że: W (A) jest gęsty w C(2 ω, X ); jeśli A jest σ-zwarty, to jest gen. I kat. Haara? E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 20 / 22
Uwagi końcowe Proposition 2 (folklor) Niech A X będzie zbiorem uniwersalnie mierzalnym. Jeśli A HN X, to dla każdej lokalnie zwartej grupy L i każdej funkcji ciągłej g : L X zbiór g 1 (A + x 0 ) jest miary dodatniej Haara w L dla pewnego x 0 X. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 21 / 22
Uwagi końcowe Proposition 2 (folklor) Niech A X będzie zbiorem uniwersalnie mierzalnym. Jeśli A HN X, to dla każdej lokalnie zwartej grupy L i każdej funkcji ciągłej g : L X zbiór g 1 (A + x 0 ) jest miary dodatniej Haara w L dla pewnego x 0 X. Proposition 2* (J. [to appear]) Niech A X będzie zbiorem borelowskim. Zbiór A nie jest zbiorem I kat. Haara wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej lokalnie zwartej przestrzeni metrycznej L i funkcji ciągłej g : L X zbiór g 1 (A + x 0 ) nie jest I kat. w L dla pewnego x 0. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 21 / 22
Uwagi końcowe Proposition 2 (folklor) Niech A X będzie zbiorem uniwersalnie mierzalnym. Jeśli A HN X, to dla każdej lokalnie zwartej grupy L i każdej funkcji ciągłej g : L X zbiór g 1 (A + x 0 ) jest miary dodatniej Haara w L dla pewnego x 0 X. Proposition 2* (J. [to appear]) Niech A X będzie zbiorem borelowskim. Zbiór A nie jest zbiorem I kat. Haara wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej lokalnie zwartej przestrzeni metrycznej L i funkcji ciągłej g : L X zbiór g 1 (A + x 0 ) nie jest I kat. w L dla pewnego x 0. Problem Co z implikacją przeciwną w Proposition 2? E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 21 / 22
Uwagi końcowe Proposition 2 (folklor) Niech A X będzie zbiorem uniwersalnie mierzalnym. Jeśli A HN X, to dla każdej lokalnie zwartej grupy L i każdej funkcji ciągłej g : L X zbiór g 1 (A + x 0 ) jest miary dodatniej Haara w L dla pewnego x 0 X. Proposition 2* (J. [to appear]) Niech A X będzie zbiorem borelowskim. Zbiór A nie jest zbiorem I kat. Haara wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej lokalnie zwartej przestrzeni metrycznej L i funkcji ciągłej g : L X zbiór g 1 (A + x 0 ) nie jest I kat. w L dla pewnego x 0. Problem Co z implikacją przeciwną w Proposition 2? Jeśli implikacja ta nie jest prawdziwa... E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 21 / 22
Uwagi końcowe Definicja (J. [to appear]) Zbiór A X nazywamy Darji null jeśli istnieje uniwersalnie mierzalny zbiór B A, lokalnie zwarta grupa K oraz ciągła funkcja f : K X, że zbiór f 1 (B + x) jest miary Haara zero w K dla każdego x X. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 22 / 22
Uwagi końcowe Definicja (J. [to appear]) Zbiór A X nazywamy Darji null jeśli istnieje uniwersalnie mierzalny zbiór B A, lokalnie zwarta grupa K oraz ciągła funkcja f : K X, że zbiór f 1 (B + x) jest miary Haara zero w K dla każdego x X. Proposition (J. [to appear]) Rodzina DN X zbiorów zerowych Darji ego w X jest σ-ideałem oraz DN X HN X. Jeśli ponadto X jest lokalnie zwarta, to DN X = HN X. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 22 / 22
Uwagi końcowe Definicja (J. [to appear]) Zbiór A X nazywamy Darji null jeśli istnieje uniwersalnie mierzalny zbiór B A, lokalnie zwarta grupa K oraz ciągła funkcja f : K X, że zbiór f 1 (B + x) jest miary Haara zero w K dla każdego x X. Proposition (J. [to appear]) Rodzina DN X zbiorów zerowych Darji ego w X jest σ-ideałem oraz DN X HN X. Jeśli ponadto X jest lokalnie zwarta, to DN X = HN X. Twierdzenie (J. [to appear]) Dla każdego uniwersalnie mierzalnego zbioru A DN X zbiór jest otoczeniem zera w X. {x X : (A + x) A DN X } E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 22 / 22
Uwagi końcowe T. Banakh, The closed Steinhaus properties of σ-ideals on topological groups, arxiv:1509.09073v1 [math.gn] 30 Sep 2015. J.P.R. Christensen, On sets of Haar measure zero in abelian Polish groups, Israel J. Math. 13 (1972), 255-260. J.P.R. Christensen, P. Fischer, Small sets and a class of general functional equations, Aequationes Math. 33 (1987), 18-22. U.B. Darji, On Haar meager sets, Topology Appl. 160 (2013), 2396-2400. Z. Gajda, Christensen measurability of polynomial functions and convex functions of higher orders, Ann. Polon. Math. 47 (1986), 25-40. P. Dodos, Dichotomies of the set of test measures of a Haar null set, Israel J. Math. 144 (2004), 15-28. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 22 / 22
Uwagi końcowe P. Dodos, On certain regularity properties of Haar-null sets, Fund. Math. 181 (2004), 97-109. E. Jabłońska, Some analogies between Haar meager sets and Haar null sets in abelian Polish groups, J. Math. Anal. Appl. 421 (2015), 1479-1486. E. Jabłońska, A theorem of Piccard s type in abelian Polish groups, Anal. Math. 42 (2016), (in print). E. Matou sková and C. Stegall, A characterization of reflexive Banach spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 124, 1083-1090. E. Matou sková, Convexity and Haar null sets, Proc. Amer. Math. Soc. 125 (1997), 1793-1799. E. Matou sková, M. Zelený, A note on intersections of non Haar null sets, Colloq. Math. 96 (2003), 1-4. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica 2016 22 / 22