Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomerii i Badań Oeracyjnych, Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie Jerzy Marzec BADANIE NIESPŁACALNOŚCI KREDYTÓW ZA POMOCĄ BAYESOWSKICH MODELI DYCHOTOMICZNYCH - ZAŁOŻENIA I WYNIKI 1 1. Wrowadzenie W bankowości i analizie finansowej częso sosuje się zw. modele mikroekonomeryczne, kóre wykorzysując dane liczbowe o ojedynczej jednosce badania, n. gosodarswie domowym lub kliencie banku, oisują decyzje lub wybory dokonywane rzez e jednoski. Przykładem akich modeli mikroekonomerycznych, mających szerokie zasosowanie w zarządzaniu finansami, są scoringowe modele oceny ryzyka kredyowego oare na modelach dla danych jakościowych. W olskiej lieraurze monografia M. Gruszczyńskiego [2001] sanowi rezenację akualnego dorobku mikroekonomerii zasosowanej w finansach i bankowości. Modelowanie ekonomeryczne zmiennych dyskrenych (jakościowych) w ujęciu klasycznym sanowi sandardową reść średnio zaawansowanych anglojęzycznych odręczników ekonomerii. Naomias race emiryczne z zakresu wykorzysania ych meod w finansach i bankowości zamieszczane są m.in. w akich czasoismach jak Journal of Finance, Journal of Banking and Finance, Journal of Lending and Credi Risk Managemen. Z drugiej srony, w ciągu osanich kilkunasu la na gruncie ekonomerii bayesowskiej ojawiło się wiele meodologicznych roozycji doyczących bayesowskiej secyfikacji, esymacji i uogólnień klasycznych modeli dla danych jakościowych. Głównych celem referau jes rezenacja nowych (bayesowskich) odejść do modelowania zmiennych jakościowych i ich zasosowanie dla rzeczywisych danych finansowych. W szczególności w niniejszej racy rzedsawimy secyfikację bayesowskich modeli dwumianowych, zn. dla zmiennych binarnych (dychoomicznych), zaroonowaną rzez Albera i Chiba [1993]. Zarezenujemy rzyadek modelu oarego na rozkładzie -Sudena z nieznaną (odlegającą esymacji) liczbą soni swobody, kóry sanowi uogólnienie najczęściej sosowanego w rakyce modelu robiowego. Nasęnie zasosujemy o odejście do badania ryzyka kredyowego ojedynczej umowy kredyowej dla klienów dealicznych ewnego olskiego banku komercyjnego. W celu uzyskania momenów i gęsości brzegowych rozkładów a oseriori dla aramerów modeli wykorzysamy losowanie Gibbsa. Wyniki emiryczne okazują, że zaroonowane uogólnienie (związane z rozkładem -Sudena) najleiej oisuje dane emiryczne, więc jego wykorzysanie w ych badaniach jes uzasadnione. 1 Praca wykonana w ramach rojeku badawczego nr 1-H02B-022-18 Komieu Badań Naukowych. Auor ragnie wyrazić wdzięczność Profesorowi Jackowi Osiewalskiemu za cenne uwagi meryoryczne i dyskusje. 1
Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomerii i Badań Oeracyjnych, Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie 2. Secyfikacja modeli ekonomerycznych W rzyadku analizy danych jakościowych najrosszym i najczęściej sosowanym modelem jes model dwumianowy (dychoomiczny) dla zmiennej binarnej y. Jeżeli rzez oznaczymy rawdoodobieńswo sukcesu, Pr(y =1), o model ma osać = F ( x β ) dla =1,,T, (1) gdzie β o k-wymiarowy wekor nieznanych aramerów, zaś x =(x 1 x k ) oznacza wekor usalonych warości k zmiennych egzogenicznych, F( ) jes znaną funkcją wiążącą rawdoodobieńswo z x oraz β, określającą klasę modelu. Indeks idenyfikuje badaną jednoskę, w omawianym dalej rzykładzie - kliena banku. Jeżeli F( ) jes dysrybuaną sandaryzowanej zmiennej losowej o rozkładzie normalnym, o mamy do czynienia z modelem robiowym, gdy zaś jes dysrybuaną zmiennej logisycznej, o z modelem logiowym. Klasyczne ujęcie ych modeli, a akże modeli wielomianowych rzedsawiają n. Green [1993] i Amemiya [1985]. W celu rezenacji odejścia bayesowskiego wrowadzimy równoważny zais modelu (1), uwzględniający dodakowo T niezależnych zmiennych ukryych (nieobserwowalnych) z 1,,z T. Niech y rzyjmuje warość 1, gdy z 0 i y =0 w rzeciwnym rzyadku. Model dyskrenego wyboru formułujemy za omocą dwóch równań z = x β + ε y = I ( z ), { 0, ) gdzie funkcja wskaźnikowa I Ω (w)=1, gdy w Ω i I Ω (w)=0, jeżeli w Ω; zob. Poirier i Ruud [1988], Alber i Chib [1993]. Ty rozkładu rzyjęy dla zmiennej losowej ε definiuje klasę modelu. W ramach niniejszego oracowania rozważymy dwa rzyadki: założenie o rozkładzie normalnym i o rozkładzie -Sudena. Model robiowy orzymamy, gdy rzyjmiemy dla zmiennych ε τ sandaryzowane (niezależne) rozkłady normalne, ε ~N(0, 1). Secyfikacja modelu dwumianowego orzez wrowadzenie w (2) zmiennych ukryych z i ozwala na uogólnienie modelu robiowego. Uzyskujemy je rzyjmując dla ε rozkład -Sudena z aramerem ołożenia (niecenralności) równym zero, jednoskowym aramerem skali i o nieznanej liczbie soni swobody odlegającej esymacji. Sosowanie ego rozkładu jes ym bardziej uzasadnione, że (jak sugerują Alber i Chib [1993]) model logisyczny (akże częso sosowany w rakyce) odowiada rzyjęciu założenia o około 8-9 soniach swobody dla rozkładu -Sudena. 2 Zaem w ramach modelu z rozkładem - Sudena można dokonać rzybliżonego esowania obu najbardziej znanych modeli dla danych jakościowych, j. logisycznego i robiowego, kóre w badaniach emirycznych są zwykle rzyjmowane arbiralnie. Bayesowskie modele robiowe do analizy danych jakościowych sosują m.in. Alber i Chib [1993], McCulloch i Rossi [1993], McCulloch, Polson i Rossi [2000]. Na gruncie bayesowskim każdą nieznaną wielkość w modelu (2) rakujemy jako zmienną losową, zarówno wekor zmiennych ukryych z, jak i wekor nieznanych aramerów β. Ogólne zasady esymacji wekora θ =(β z ) srowadzają się do wyznaczenia z rozkładu łącznego (y, θ) warunkowej gęsości dla wekora θ, rzy zaobserwowanym wekorze y, czyli funkcji gęsości zw. rozkładu a oseriori; zob. Osiewalski [1991]. Korzysając z faku, że model (2) jes rzykładem modelu hierarchicznego, zgodnie ze wzorem Bayesa orzymamy osać łącznej funkcji gęsości rozkładu a oseriori dla wekorów β i z: (2) 2 Alber i Chib [1993] uzyskali m.in. wyniki a oseriori dla modelu -Sudena z 8 soniami swobody idenyczne z wynikami modelu logiowego. Ponado odwołują się wniosku z racy G. Mudholkara i E. George a ( A Remark on he Shae of he Logisic Disribuion, Biomerica, 1978. s. 667-668), że rozkład logisyczny ma idenyczną kurozę jak rozkład -Sudena z 9 soniami swobody. Wyniki orzymane w niniejszej racy nie owierdzają jednoznacznie ej hioezy. 2
Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomerii i Badań Oeracyjnych, Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie ( z β y) ( y, z, β ) ( y) ( y z β ) ( z β ) ( β ), =,, (3) gdzie (β) o rozkład a riori, a (z β) o warunkowa gęsość rozkładu wekora zmiennych ukryych z, kórej osać zależy od secyfikacji rozkładu dla ε. Naomias gęsość rozkładu zaobserwowanego wekora y (warunkowego względem z i β) ma osać T ( y z ) = ( y I ( z ) + ( y ) I ( z )) = 1 [ 0, ) 1 (,0),β. (4) W rzyadku modelu robiowego, gdy wekor składników losowych ma wielowymiarowy rozkład normalny o jednoskowej macierzy kowariancji (I T ) scenrowany wokół zera, ε ~ N (T) (0,I T ), łączna funkcja gęsości dla β i z rzy danym y jes roorcjonalna do ( z, β y) ( ) f ( z x β, ) T ( β ) y I ( z ) + ( 1 y ) I ( z ) = 1 [ 0, ) (,0) N 1 gdzie f Ν ( a,b) jes funkcją gęsości rozkładu normalnego o warości oczekiwanej a i wariancji b. Jeżeli chodzi o rozkład a riori dla wekora β, o Alber i Chib [1993] roonują rozkład niewłaściwy bądź informacyjny rozkład normalny o akich warościach aramerów, kóre odzwierciedlający brak subiekywnej wiedzy badacza o aramerach. W niniejszej racy wykorzysywaliśmy oba rozkłady a riori, rzy czym dla charakerysyk aramerów rozkładu normalnego rzyjęliśmy zerowy wekor warości oczekiwanych i diagonalną macierz kowariancji. Dobór rozkładu a riori dla β nie miał wływu na wyniki a oseriori. W celu secyfikacji bayesowskiego modelu -Sudena wygodnie będzie nam wrowadzić w modelu (2) dodakowe nieobserwowalne zmienne λ 1,, λ T o rozkładzie gamma z jednoskową warością oczekiwaną i wariancją równą 2/ν. Równoważny zais modelu orzymamy, gdy dla z rzyjmiemy rozkład normalny (warunkowy względem λ ) o aramerach x β i λ -1, zob. Osiewalski [1991] sr. 183. Przyjmując (jak Alber i Chib [1993]) niewłaściwy rozkład a riori dla β, orzymamy łączną funkcję gęsości rozkładu a oseriori dla z, β, λ i ν osaci ( z, β, λ, ν y) ( ν ) T = 1 1 [( y I ( z ) + ( 1 y ) I ( z )) f ( z x β, λ ) f ( λ ν 2, ν 2) ], [0, ) (,0) N gdzie f Γ ( a,b) jes funkcją gęsości rozkładu gamma o warości oczekiwanej a/b i wariancji a/b 2, (ν) o rozkład a riori dla soni swobody, j. rozkład wykładniczy z aramerem γ o funkcji gęsości (ν)=γ ex(-γ ν); zob. Alber i Chib [1993]. Podejście bayesowskie ozwala oisać w sosób robabilisyczny wszyskie informacje o wielkościach nieobserwowalnych (wsęne i ochodzące z danych) w osaci rozkładu a oseriori o łącznej gęsości (z, β y) albo (z, β, λ, ν y). Dogodnym sosobem sumaryzacji wiedzy zawarej w łącznym rozkładzie a oseriori jes obliczenie akich jego charakerysyk, jak odsawowe momeny (warości oczekiwane, wariancje i kowariancje - jeśli isnieją). Wnioskowanie n. o ojedynczych składowych β wymaga wyznaczenia z łącznej gęsości odowiednich jednowymiarowych brzegowych funkcji gęsości a oseriori. Momeny i gęsości brzegowe są dane całkami, kóre nie mogą być znalezione analiycznie ze względu na zby skomlikowaną osać funkcji odcałkowych (5) i (6). W ego yu zagadnieniach wykorzysuje się meody numerycznej aroksymacji brzegowych rozkładów a oseriori sosując losowanie Gibbsa (ang. Gibbs Samling). W meodzie ej osługujemy się jedynie rozkładami warunkowymi, z kórych uzyskujemy orzez wielokrone generowanie liczb seudolosowych róbę z rozkładu a oseriori (choć ylko w sensie asymoycznym), zob. n. Tierney [1994], O Hagan [1994], Osiewalski [2001]. W omawianych rzyadkach bayesowskiego modelu robiowego i -Sudena Alber i Chib [1993] roonują wykorzysanie losowanie Gibbsa jako rosego narzędzia esymacji. Z łącznych funkcji gęsości rozkładu a oseriori danych wzorami (5) i (6) możemy wyznaczyć odowiednie rozkłady warunkowe a G (5) (6) 3
Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomerii i Badań Oeracyjnych, Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie oseriori dla nieznanych aramerów i zmiennych ukryych. Jedynie dla arameru soni swobody w ramach schemau Gibbsa musimy zasosować inną echnikę, n. losowanie z odrzucaniem (ang. acceance rejecion samling), zob. Geweke [1996]. Szczegółową secyfikację rozkładów warunkowych wykorzysywanych w róbkowaniu Gibbsa odają Alber i Chib [1993]. 3. Wyniki esymacji W celu emirycznej rezenacji obu modeli bayesowskich wykorzysamy dane o kredyach dealicznych, j. kredyach konsumcyjnych i hioecznych, udzielonych klienom indywidualnym ewnego olskiego banku komercyjnego w okresie 01.01.2000-30.09.2001 r. 3 Przyjmijmy, że dychoomiczna zmienna objaśniana y rzyjmuje warości: y =1 w rzyadku, gdy kredyobiorca na dzień 30.09.2001 ma zaległości w słacie ra kaiałowoodsekowych, zn. oóźnienie w słacie osaniej ray wynosi więcej niż jeden miesiąc. W ym rzyadku bank ma obowiązek uworzyć rezerwy celowe w wysokości 20%, albo 50%, albo 100% warości zadłużenia w zależności od okresu niesłacania ra rzez kliena 4. y =0 w rzyadku, gdy kredyobiorca na dzień 30.09.2001 w erminie słaca ray kaiałowo-odsekowe od zaciągnięego kredyu. Dla uroszczenia możemy zaem rzyjąć, że jeżeli y =1, o kredyobiorca jes złym klienem, a w rzeciwnym rzyadku dobrym (z unku widzenia banku). Jeżeli chodzi o dobór zmiennych objaśniających ryzyko niesłacalności ojedynczego kredyu, o w lieraurze z ego zakresu roonuje się, aby uwzględnić m.in. zmienne charakeryzujące cechy osobowe i demograficzne kredyobiorcy (łeć, wiek, san cywilny, miejsce zamieszkania, wykszałcenie, liczbę osób na urzymaniu i.), zmienne charakeryzujące zarudnienie (m.in. zawód, miejsce racy), zmienne ekonomiczne oisujące zamożność (n. osiadanie własnego domu lub mieszkania, samochodu i.), zmienne finansowe rzedsawiające doychczasowe relacje kliena z bankiem (n. osiadanie kar łaniczych, rachunków deozyowych, zaciąganie i rzebieg słay doychczasowych kredyów); zob. Gruszczyński [2001]. W niniejszej racy rzy doborze zmiennych objaśniających uwzględniliśmy owyższe wskazówki, rzy czym część informacji o kredyobiorcach uzyskanej z badanego banku była niekomlena, co włynęło zarówno na liczbę zmiennych, jak i liczebność zbioru obserwacji oddanych modelowaniu. W efekcie, w analizie wykorzysaliśmy rawie 40 ysięcy rachunków kredyowych, a jako oencjalne zmienne egzogeniczne wyjaśniające ryzyko ojedynczej umowy kredyowej rzyjęliśmy (jak Marzec [2003]): 5 łeć (zmienna rzyjmuje warość 1, jeżeli kredyobiorca jes mężczyzną, 0 w rzyadku kobiey), wiek kredyobiorcy (w sekach la, aby odowiednio wyskalować dane), wływy, zn. wielkość miesięcznych wływów w laach 2000-2001 (w sekach ys. zł) na rachunki a visa kredyobiorcy w badanym banku (rzede wszyskim rachunki oszczędnościowo-rozliczeniowe, ROR); jeżeli nie osiada ROR w ym banku rzyjęo, że wływy wynoszą zero, osiadanie ROR w analizowanym banku (1 - osiada, 0 nie osiada), 3 Wcześniej e dane wykorzysano w racy Marzec [2003] do esymacji modelu logiowego i robiowego meodą największej wiarygodności. 4 Uchwała nr 8/1999 Komisji Nadzoru Bankowego z 22 grudnia 1999 r. sanowi zasady worzenia rzez banki rezerw celowych od należności zagrożonych. 5 Podsawowe charakerysyki ego zbioru danych zosały rzedsawione w racy Marzec [2003]. 4
Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomerii i Badań Oeracyjnych, Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie informację o ym, czy kredyobiorca osiada kary łanicze wydane rzez bank (1 - osiada choć jedną karę łaniczą, 0 - nie osiada), sosób udzielenia kredyu (1 - orzez ośrednika kredyowego, 0 bezośrednio rzez bank), y kredyu (1 - kredy konsumcyjny, 0 kredy hioeczny), odsawowe źródło dochodu uzyskiwanego rzez kredyobiorcę (zmienne zrdoch), j. umowa o racę, albo rena lub emeryura, albo własna działalność, umowa o dzieło lub umowa zlecenie, albo inne źródło (n. syendium). Zmienne zrdoch rozróżniają czery syuacje. Chcąc je uwzględnić w równaniu regresji z wyrazem wolnym, za referencyjne źródło dochodu rzyjęliśmy umowę o racę (dla 75% kredyobiorców sanowi odsawowe źródło dochodu). Ty źródła dochodu zdefiniowaliśmy rzez rzy nasęujące zmienne zerojedynkowe zrdoch1, zrdoch2, zrdoch3, rzy czym źródłem dochodu kredyobiorcy jes umowa o racę, jeżeli wszyskie e zmienne rzyjmują warość jeden. W ozosałych rzyadkach, gdy źródłem dochodu kredyobiorcy jes rena lub emeryura, o zrdoch1 = 0 i zrdoch2=zrdoch3 = 1, źródłem dochodu kredyobiorcy jes własna działalność, umowa o dzieło lub umowa zlecenie, o zrdoch2 = 0 i zrdoch1=zrdoch3 = 1, źródło dochodu jes inne niż wcześniej wymienione, n. syendium, o zrdoch3 = 0 i zrdoch1=zrdoch2 = 1. W dalszej części rzedsawiamy wyniki esymacji aramerów rzedsawionych modeli bayesowskich na le rezulaów, kóre uzyskano dla modelu robiowego sosując meodę największej wiarygodności (MNW), or. Marzec [2003]. Dodakowo dokonaliśmy akże esymacji modelu -Sudena z usaloną liczbą soni swobody na oziomie 300 i uzyskaliśmy (zgodnie z oczekiwaniami) wyniki okrywające się z ocenami modelu robiowego. Tabela 1. Oceny MNW oraz warości oczekiwanych i odchylenia sandardowe a oseriori dla aramerów modeli. Model robiowy MNW Bayesowski model robiowy Bayesowski model -Sudena Zmienna Oceny Błędy Saysyka E( y) D( y) E( y) D( y) szacunku β 1 Sała -1,204 0,122-9,9-1,209 0,122-3,171 0,403 β 2 Płeć 0,043 0,018 2,4 0,043 0,017 0,020 0,024 β 3 Wiek -0,857 0,086-10,0-0,855 0,085-1,121 0,115 β 4 Wływy -1,682 0,220-7,6-1,675 0,107-42,054 0,487 β 5 ROR -0,285 0,038-7,5-0,286 0,036 0,650 0,083 β 6 Kary -0,174 0,033-5,2-0,174 0,033-0,269 0,100 β 7 Pośrednik 1,269 0,031 40,5 1,270 0,031 1,815 0,075 β 8 y kredyu 0,181 0,065 2,8 0,181 0,065 1,199 0,360 β 9 Zrdoch1 0,089 0,029 3,1 0,089 0,029 0,104 0,038 β 10 Zrdoch2-0,311 0,041-7,6-0,310 0,040-0,093 0,073 β 11 Zrdoch3 0,227 0,074 3,1 0,229 0,075 0,511 0,133 ν - - - - - - 1,974 0,070 Źródło: obliczenia własne. Warość oczekiwana a oseriori dla soni swobody w modelu -Sudena wynosi rawie 2 rzy niewielkim odchyleniu sandardowym. Zaem w świele danych ogólniejszy model -Sudena jes zdecydowanie bardziej referowany niż model robiowy 6. Dane zdecydowanie odrzucają założenie o normalności składnika losowego w modelu róbkowym (2) na rzecz rozkładu o nieskończonej wariancji. W rzyadku modelu robiowego obie meody - MNW i odejście bayesowskie zgodnie z inuicją - dały 6 Jeżeliby rzyjąć sugesię Albera i Chiba, że model -Sudena dla 8 soni swobody odowiada modelowi logiowemu, o uzyskane wyniki odrzucają akże model logiowy. 5
Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomerii i Badań Oeracyjnych, Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie rawie idenyczne wyniki. Waro zauważyć zgodność znaków rzy ocenach aramerów we wszyskich rzech modelach, z wyłączeniem oceny arameru rzy zmiennej ROR w modelu -Sudena. Ten osani model rzyisuje relaywnie większą rolę w wyjaśnianiu rzyczyn złych kredyów większości zmiennym objaśniającym (z wyłączeniem zmiennych łeć i zdoch2), a szczególnie wielkości wływów na rachunek ROR i rodzajowi kredyu. Przy czym duże odchylenia sandardowe dla β 2 i β 10 wskazują, iż warości zero dla ych aramerów są bardzo rawdoodobne a oseriori. Z unku widzenia rakycznego zarządzania ryzykiem kredyowym ineresująca jes inerreacja składowych wekora β oraz kalkulacja rawdoodobieńswa ewenualnego zaniechania słay ra kaiałowo-odsekowych ( ) rzez oencjalnego kredyobiorcę. Znaki i warości ocen aramerów rzy zmiennych objaśniających informują nas o kierunku i sile wływu ych zmiennych na rawdoodobieńswo niewyłacalności kredyobiorcy. Na ich odsawie wnioskujemy m.in., że rawdoodobieńswo niesłacenia kredyu w rzyadku kliena będącego mężczyzną jes nieznacznie większe niż w rzyadku kobiey. Prawdoodobieńswo o jes niższe, jeżeli klien korzysa z kar łaniczych i maleje ono wraz z wiekiem kliena oraz wielkością wływów na rachunek ROR (rzy usalonych warościach ozosałych zmiennych). W modelu -Sudena - odwronie niż w modelu robiowym - osiadanie rzez kredyobiorcę rachunku ROR w badanym banku zwiększa ryzyko niesłacenia kredyu. Forma zabezieczenia i rzeznaczenie kredyu ma wływ na erminowość i rzeelność słay kredyu rzez kliena, więc mniejsze ryzyko związane jes z kredyem hioecznym niż konsumcyjnym. Innym czynnikiem zmniejszającym jes źródło dochodu, rzy czym sudenci korzysający z kredyu sudenckiego (Zrdoch3) oraz emeryci i renciści (Zrdoch1) są leszymi (mniej ryzykownymi) kredyobiorcami niż klienci zarudnieni na umowę o racę. Duże ryzyko kredyowe wiąże się z udzieleniem kredyu dealicznego klienom rowadzącym własną działalność gosodarczą (Zrdoch2). Sośród zmiennych zerojedynkowych głównym czynnikiem, kóry ma wływ na wielkość ryzyka ojedynczego wniosku kredyowego, jes sosób udzielenia kredyu klienowi (zmienna ośrednik). W rzyadku badanego banku korzysanie z usług ośredników, kórzy w założeniu mieli ozyskać klienów sełniających wymagania sawiane kredyobiorcom, dorowadziło do ogorszenia jakości osiadanego orfela kredyowego. Ta zmienna oraz wielkości wływów na rachunek ROR osiadają isoną rolę w kszałowaniu się rawdoodobieńswa niewyłacalności kredyobiorcy. Ich rolę ilusrują wykresy 1 i 2, kóre rzedsawiają w jaki sosób zmienia się w zależności od warości wsomnianych zmiennych oraz wieku kredyobiorcy (rzy warościach ozosałych zmiennych zerojedynkowych usalonych jako warości najczęssze w róbie, a w rzyadku zmiennych ciągłych - na oziomie rzecięnym). Dodakowo uwzględnienie rzech odchyleń sandardowych a oseriori informuje nas o skali nieewności związanej z szacowaną wielkością. Obserwujemy, że o ierwsze jes dużo większe dla kredyu udzielonego za omocą ośrednika, a o drugie zmienia się w zależności do wielkości wływów kliena na rachunek ROR jes szybko malejącą funkcją wielkości wływów. W modelu -Sudena, gdy wływy kliena ozyskanego bezośrednio rzez bank oraz orzez ośrednika są mniejsze niż 5 ys. złoych, o rawdoodobieńswo zaniechania słay kredyu rzez ierwszego kliena szybko maleje ze wzrosem wływów średnio od 0,17 do 0,04, naomias drugiego jes znacząco większe i kszałuje się od 0,69 do 0,14. Zaem największe ryzyko kredyowe i największe jego zmiany obserwujemy zgodnie z inuicją dla klienów z wływami do 5 ys. zł, rzy czym w mniejszym soniu doyczy o kredyobiorców, kórzy orzymali kredy bezośrednio rzez bank. Rola zmiennej ośrednik maleje wraz ze wzrosem wływów na rachunek ROR, rzy czym jes ona niewielka w rzyadku wływów rzędu 10 ys. zł miesięcznie i więcej. W modelu robiowym, w analizowanym obszarze zmienności, funkcja wyrażająca zależność zmiennej ośrednik od wływów ma łaski kszał. Zaem zaniża w sosunku do modelu -Sudena warość dla niskich wływów i jednocześnie zawyża dla wysokich. W efekcie doiero rzy bardzo wysokich wływach (80 ys. zł i więcej) rola zmiennej ośrednik jes nieisona. Wykres 2 rzedsawia zależności od wieku kliena i zmiennej ośrednik. Wraz z wiekiem wielkość ryzyka kredyowego maleje, aczkolwiek duże odchylenia sandardowe a oseriori owodują, że nie ma saysycznej różnicy między klienami mającymi n. 20 a 50 la bądź 35 i 65 la. Sosób udzielenia kredyu 6
Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomerii i Badań Oeracyjnych, Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie badanemu klienowi ma wływ na wielkość, lecz jes ono na yle małe (około 0,02 0,04), że z unku widzenia zarządzania ryzykiem nie ma o isonego znaczenia. rawdoodobieńswo (y =1) 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 Kredy udzielony orzez ośrednika (-Suden) Kredy udzielony orzez ośrednika (robi) bezośrednio rzez bank (-Suden) bezośrednio rzez bank (robi) 0,1 0,0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 wielkość wływów na ROR w ys. zł Źródło: obliczenia własne. Wykres 1. Ryzyko niesłacalności kredyu jako funkcja wielkości wływów. rawdoodobieńswo (y =1) 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 Kredy udzielony klienowi orzez ośrednika bezośrednio rzez bank 0,00 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 wiek kliena Źródło: obliczenia własne. Wykres 2. Ryzyko niesłacalności kredyu jako funkcja wieku (model -Sudena) Głównym sosobem rakycznego wykorzysania omawianych modeli jes wykorzysanie ich do analizy scoringowej, czyli szacowania rawdoodobieńswa niesłacenia kredyu rzez oencjalnego kredyobiorcę. Dla uroszczenia rzyjmijmy, że rozważamy czery hioeyczne sylweki oencjalnych klienów sarających się o kredy, kóre rzedsawia Tabela 2. Prezenujemy w niej również wyniki dla modelu logiowego i -Sudena o 8 soniach swobody. Zauważmy, iż uzyskane wyniki w rzyadku referowanego rzez dane modelu -Sudena (ze soniami swobody oszacowanymi na oziomie około 2) isonie różnią się od rezulaów w ozosałych modelach. Największe różnice w oszacowaniu doyczą najczęsszego kliena, kóry uzyskał kredy 7
Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomerii i Badań Oeracyjnych, Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie orzez ośrednika. Modele z grubymi ogonami. j. model logiowy i -Sudena dla ν=8, szacują między 0,24 a 0,19, czyli relaywnie na oziomie niższym niż model robiowy, kóry rognozuje o ryzyko na oziomie rawie 0,31. W rzyadku modelu -Sudena rawdoodobieńswo o wynosi zaledwie ylko 0,034 i jes niższe niż w rzyadku sarszej ani, kóra w ozosałych modelach jes wskazywana jako klien charakeryzujący się najmniejszym ryzykiem. W modelu -Sudena sośród czerech oencjalnych klienów, najmniejsze ryzyko doyczy najczęsszego kliena, kóremu bank bezośrednio udzielił kredy. Główną rzyczyną wsomnianych różnić jes m.in. ogromna rolą zmiennej wływy w wyjaśnianiu zmienności ryzyka kredyowego w modelu -Sudena, or. Wykres 1. Podobnie, rawdoodobieńswa niesłacenia kredyu hioecznego rzez sarszą ani i kredyu konsumcyjnego rzez najczęsszego kliena, udzielonych bezośrednio rzez bank, różnią się w oszczególnych modelach, aczkolwiek z unku widzenia banku ryzyko niesłacenia w każdym modelu jes bardzo małe. Największe ryzyko związane jes z udzieleniem orzez ośrednika kredyu konsumcyjnego młodemu mężczyźnie, kóry uzyskuje dochód z własnej działalności i nie korzysa z jakichkolwiek innych usług badanego banku. Wszyskie modele zgodnie szacują o rawdoodobieńswo na bardzo wysokim oziomie 0,58-0,67. Tabela 2. Warości oczekiwane i odchylenia sandardowe a oseriori rawdoodobieńswa niesłacenia kredyu - r(y =1)= =F(x β) - w rzyadku wybranych klienów. Zmienna Najczęsszy Klien Młody biznesmen Sarsza ani Pośrednik=1 Pośrednik=0 Sała 1 1 1 1 Płeć: mężczyzna 1 1 1 0 Wiek w laach 40,2 40,2 21 60 Wływy w ys. zł 10,2 10,2 0 1 Posiada ROR 1 1 0 1 Posiada kary łanicze 0 0 0 1 Od ośrednika 1 0 1 0 Ty kredyu: konsumcyjny 1 1 1 0 Zrdoch1 (emery) 1 1 1 0 Zrdoch2 (biznesmen) 1 1 0 1 Zrdoch3 (suden) 1 1 1 1 Model robiowy (MNW) Ocena 0,306 0,038 0,664 0,011 Błąd szacunku (0,014) (0,002) (0,016) (0,002) Bayesowski model robiowy E( y) 0,306 0,038 0,664 0,011 D( y) (0,013) (0,002) (0,016) (0,002) Model logiowy (MNW) Ocena 0,244 0,033 0,666 0,020 Błąd szacunku (0,018) (0,014) (0,018) (0,037) Bayesowski model -Sudena ν=8 E( y) 0,191 0,025 0,664 0,025 D( y) (0,012) (0,001) (0,019) (0,004) Bayesowski model -Sudena (ν swobodne) E( y) 0,034 0,016 0,584 0,039 D( y) (0,002) (0,001) (0,025) (0,007) Źródło: obliczenia własne. 4. Podsumowanie 8
Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomerii i Badań Oeracyjnych, Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie W niniejszym oracowaniu rzedsawiliśmy, odwołując się do lieraury rzedmiou, secyfikację bayesowskich modeli dla danych dwumianowych, zarówno z normalnym składnikiem losowym, jak i z rozkładem -Sudena o nieznanej liczbie soni swobody. Wyniki rzerowadzonych badań uzasadniają orzebę sosowania - nawe w rzyadku dużej liczby obserwacji - modelu -Sudena i odejścia bayesowskiego, choćby za cenę dłuższego czasu obliczeń. Po ierwsze, dane zdecydowanie odrzucają model robiowy na korzyść ogólniejszego modelu -Sudena (z około dwoma soniami swobody). Po drugie, z unku widzenia zarządzania ryzyka kredyowego, model -Sudena daje jakościowo lesze zgodne z inuicją oszacowanie rawdoodobieńswa złego kredyu. Wobec owyższego, wykorzysanie w ym rzyadku najczęściej sosowanego modelu robiowego czy logiowego nie ma saysycznego uzasadnienia. Waro dodać, że meoda największej wiarygodności, wysarczająca w rzyadku modelu robiowego (rzy dużej liczbie obserwacji), nie ma ożądanych własności w rzyadku modelu -Sudena. Pozosaje więc odejście bayesowskie, omówione w ej racy. Na odsawie rzedsawionych wyników emirycznych określiliśmy kierunek i siłę wływu wyróżnionych cech kredyobiorców na ich decyzje doyczące słay (bądź jej zaniechania) ra kaiałowoodsekowych od zaciągnięych kredyów w badanym banku. Sośród nich dwa czynniki j. wływy kredyobiorcy na rachunek ROR i sosób ozyskania kliena rzez bank, mają decydujący wływ na ryzyko ojedynczej umowy kredyowej. Bibliografia Amemiya T. [1985], Advanced Economerics, Harvard Universiy Press, Cambrige Massachuses. Greene W.H. [1993], Economeric Analysis, Macmillan Publishing Comany, New York. Alber J., Chib S. [1993], Bayesian Analysis of Binary and Polychoomous Resonse Daa, Journal of he American Saisical Associaion, 88, s. 669-679. Geweke J. [1996], Mone Carlo Simulaion and Numerical Inegraion: in H. Amman, D. Kendrick and J. Rus (eds.), Handbook of Comuaional Economics, Amserdam: Norh-Holland. Gruszczyński M. [2001], Modele i rognozy zmiennych jakościowych w finansach i bankowości, Monografie i Oracowania SGH, Warszawa, nr 6. Marzec J. [2003], Badanie niewyłacalności kredyobiorcy na odsawie modeli logiowych i robiowych, Zeszyy Naukowe Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków, w druku. McCulloch R.E, N.G. Polson, P. E. Rossi [2000], A Bayesian Analysis of he Mulinomial Probi Model wih Fully Idenified Parameers, Journal of Economerics, 99, s. 173-193. McCulloch R.E., P. E. Rossi [1993], An exac Likelihood Analysis of he Mulinominal Probi Model, Journal of Economerics, 64, s. 207-240. O Hagan A. [1994], Bayesian Inference, J. Wiley, New York. Osiewalski J. [1991, Bayesowska esymacja i redykcja dla jednorównaniowych modeli ekonomerycznych, Zeszyy Naukowe Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Seria secjalna: Monografie, Kraków, nr 100. Osiewalski J. [2001], Ekonomeria bayesowska w zasosowaniach, Wydawnicwo Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków. Poirier D.J., P.A. Ruud [1988], Probi wih deenden observaions, Review of Economics Sudies, 55, s. 593-614. Tierney, L [1994], Markov chains for exloring oserior disribuions (wih discussion), Annals of Saisics, 22, s. 1701-1762. 9