KINEMATYKA (punkt materialny) Wykład 2 2012/2013, zima 1 MECHANIKA KINEMATYKA DYNAMIKA Opis ruchu Przyczyny ruchu Wykład 2 2012/2013, zima 2 1
Y RUCH KRZYWOLINIOWY P XY - Układ odniesienia r y - wektor położenia wektor położenia zależy od czasu O x X Wykład 2 2012/2013, zima 3 Y r (t 1 ) PRZEMIESZCZENIE r P r (t 2 ) tor ruchu O X Wektor przemieszczenia zależy od czasu Wykład 2 2012/2013, zima 4 2
Y PRĘDKOŚĆ ŚREDNIA A PRĘDKOŚĆ CHWILOWA r P r (t 1 ) v r (t 2 ) v śr r (t 2 ) Wektor prędkości chwilowej O t 2 t 1 X Wektor prędkości średniej Wykład 2 2012/2013, zima 5 PRĘDKOŚĆ CHWILOWA JAKO GRANICA PRĘDKOŚCI ŚREDNIEJ Wykład 2 2012/2013, zima 6 3
Wektor prędkości chwilowej jest zawsze styczny do toru! Wykład 2 2012/2013, zima 7 PRZYSPIESZENIE Przyspieszenie jest związane ze zmianą wektora prędkości Wykład 2 2012/2013, zima 8 4
W ruchu krzywoliniowym zawsze występuje przyspieszenie Dlaczego? v 1 a v 2 v 1 v 2 v Wykład 2 2012/2013, zima 9 PRZYSPIESZENIE NORMALNE I STYCZNE przyspieszenie styczne normalne Wykład 2 2012/2013, zima 10 5
RUCH KRZYWOLINIOWY PROMIEŃ KRZYWIZNY ds ρ dθ i t a t i n a n Tor bardziej zakrzywiony mniejszy promień krzywizny ρ-promień krzywizny toru Wykład 2 2012/2013, zima 11 Przypadek szczególny- ruch prostoliniowy x- położenie V x(t) położenie zależy od czasu X=X 0 =0 X Wykład 2 2012/2013, zima 12 6
Przemieszczenie: x = x 2 -x 1 Przemieszczenie może być dodatnie lub ujemne. Znak zależy od zgodności z osią OX. 0 x(t 1 )=x 1 x(t 2 )=x 2 x Wykład 2 2012/2013, zima 13 Prędkość chwilowa i średnia w ruchu prostoliniowym To jest definicja pochodnej funkcji czyli: Zmiana położenia w nieskończenie krótkim przedziale czasu Wykład 2 2012/2013, zima 14 7
ANALITYCZNE WYZNACZANIE v(t) i a(t) PRZYKŁAD 2-1 Położenie cząstki dane jest wzorem x(t)=4-27t+t 3 Znaleźć v(t) i a(t). Wykład 2 2012/2013, zima 15 ROZWIĄZANIE Jednostki: 4 m 27 m/s 3 m/s 3 Wykład 2 2012/2013, zima 16 8
[a] = 1 m/s 2 czyli 6 m/s 3 Wykład 2 2012/2013, zima 17 DWA PODEJŚCIA DO RÓWNAŃ RUCHU Dane jest x(t) Dane jest a(t) Wykład 2 2012/2013, zima 18 9
TE PODEJŚCIA NIE SĄ CAŁKOWICIE RÓWNOWAŻNE CAŁKUJĄC MUSIMY ZNAĆ WARUNKI POCZĄTKOWE Wykład 2 2012/2013, zima 19 PRZYKŁAD 2-2 Zakładając, że a=const. oraz warunki początkowe: v(t=0)=v 0 x(t=0)=x 0 wyprowadzić równania ruchu v(t) oraz x(t). Wykład 2 2012/2013, zima 20 10
Rozwiązanie bo a jest stałe Aby określić C, korzystamy z warunku początkowego: stała całkowania Podstawiamy t=0: Wykład 2 2012/2013, zima 21 Wykład 2 2012/2013, zima 22 11
Korzystamy z drugiego warunku początkowego: Podstawiamy t=0: Otrzymujemy: Zatem Wykład 2 2012/2013, zima 23 GRAFICZNE WYZNACZANIE v(t) i a(t) HRW,1 Wykład 2 2012/2013, zima 24 12
Nasze ciało reaguje na przyspieszenie czyli na zmianę prędkości. Przykłady: W czasie jazdy kolejką w Wesołym Miasteczku można doznawać chwilowo nawet przyspieszenia 3g, czyli 3 9,8 m/s 2 =29 m/s 2. W samochodzie jadącym z prędkością 90 km/h, czy w samolocie lecącym z prędkością 900 km/h, nasze ciało nie ma poczucia ruchu. Wykład 2 2012/2013, zima 25 RUCH KRZYWOLINIOWY - PRZYKŁADY Ruch po okręgu Rzut ukośny Wykład 2 2012/2013, zima 26 13
RUCH JEDNOSTAJNY PO OKRĘGU v 2 a = Δv/Δt a a a v 1 a a W ruchu jednostajnym po okręgu prędkość jest stała co do wartości, ale mimo to występuje przyspieszenie!!! Jak to możliwe??? Wykład 2 2012/2013, zima 27 RUCH PO OKRĘGU WE WSPÓŁRZĘDNYCH KARTEZJAŃKICH Y v r j θ r θ v i X Kąt θ zależy od czasu Wektor prędkości kątowej ω Wykład 2 2012/2013, zima 28 14
z ω Związek pomiędzy prędkością liniową i kątową x r v y W ruchu jednostajnym po okręgu wektor prędkości kątowej jest stały ω = const Z otrzymujemy Wykład 2 2012/2013, zima 29 Znajdujemy wektor prędkości liniowej: Ale: r nie zależy od czasu bo torem jest okrąg Wersory układu kartezjańskiego również pozostają stałe w czasie Wykład 2 2012/2013, zima 30 15
pochodna funkcji złożonej wektor jednostkowy w kierunku prędkości Wykład 2 2012/2013, zima 31 ZADANIE DOMOWE 2.1 Pokazać, że wektor prędkości liniowej w ruchu po okręgu jest zawsze prostopadły do wektora położenia Uwaga: Nie jest to prawdą dla innych krzywych np. dla ruchu po torze eliptycznym! Wykład 2 2012/2013, zima 32 16
Pokazać, że ZADANIE DOMOWE 2.2 ma wszystkie cechy wersora. Wykład 2 2012/2013, zima 33 DALSZE ROZWAŻANIA NA TEMAT PRĘDKOŚCI KĄTOWEJ Miara łukowa kąta Y θ r X T-czas pełnego obiegu czyli okres gdy ω=const Wykład 2 2012/2013, zima 34 17
Ruch jednostajny po okręgu jest ruchem okresowym. Można go traktować jak złożenie dwóch ruchów harmonicznych o tej samej częstości, w kierunkach wzajemnie prostopadłych lecz przesuniętych w fazie o 90 0. Wykład 2 2012/2013, zima 35 Wiedząc, że: Szukamy przyspieszenia liniowego: Ale przyspieszenie kątowe Wykład 2 2012/2013, zima 36 18
Ale przyspieszenie normalne (dośrodkowe) przyspieszenie styczne Wykład 2 2012/2013, zima 37 Rozwiązywanie równania ruchu w jednorodnym polu grawitacyjnym y rzut ukośny Rzut ukośny należy traktować jako złożenie dwóch ruchów w kierunkach wzajemnie prostopadłych: poziomym ze stałą prędkością pionowym ze stałym przyspieszeniem x Wykład 2 2012/2013, zima 38 19
Oś x: F x =0 a x =0, ruch jednostajny g=-gj HRW,1 Oś y: F y =mg a y =g, ruch jednostajnie zmienny Wykład 2 2012/2013, zima 39 Oś x: g=-gj HRW,1 Oś y: równanie toru - parabola Wykład 2 2012/2013, zima 40 20
ZADANIE DOMOWE 2.3 (a) Wyprowadź równanie toru rzutu ukośnego. (b) Na tej podstawie udowodnij, że zasięg rzutu ukośnego dany jest wzorem: oraz, że maksymalny zasięg rzutu osiąga się dla (c) Pokaż, że w rzucie ukośnym energia mechaniczna jest zachowana Wykład 2 2012/2013, zima 41 Siła oporu powietrza wpływa na tor rzutu ukośnego Piłka do gry w baseball rzucona pod kątem 45 z prędkością v = 50 m/s osiąga: bez oporu powietrza - wysokość 63 m, zasięg 254 m, z oporem powietrza - wysokość 31 m, zasięg 122 m 45 o tor w powietrzu tor w próżni optymalny kąt rzutu wynosi 25-30 o Wykład 2 2012/2013, zima 42 21
ZADANIE DOMOWE 2.4 Piłkę wybito w powietrze z powierzchni ziemi. Na wysokości h=9,1m prędkość piłki (wyrażona w metrach na sekundę) jest równa: przy czym jest wektorem jednostkowym w poziomie, jest wektorem jednostkowym, skierowanym do góry. (a) Na jaką maksymalną wysokość wzniesie się piłka? (b) Jaką całkowitą odległość przebędzie ona w poziomie? Wyznacz: (c) długość, (d) kierunek wektora prędkości piłki tuż przed jej spadkiem na ziemię. Wykład 2 2012/2013, zima 43 PODSUMOWANIE Wektor położenia Wektor przemieszczenia Wektor prędkości: zawsze styczny do toru Przyspieszenie występuje zawsze i może mieć oprócz składowej normalnej również składową styczną Wykład 2 2012/2013, zima 44 22
TEST 2P 1. Wektor o długości 20 dodano do wektora o długości 25. Długość wektora będącego sumą wektorów może być równa: A) zero B) 3 C) 12 D) 47 E) 50 2. Wektory i leżą na płaszczyźnie xy. Możemy wnosić, że jeżeli: A) D) B) E) C) Wykład 2 2012/2013, zima 45 3. Jeżeli to ma wartość: A) 10 m B) 20 m C) 30 m D) 40 m E) 50 m 4. Kąt pomiędzy wektorem a dodatnim kierunkiem osi OX wynosi: A) 29 o B) 61 o C) 119 o D) 151 o E) 209 o 5. Dwa wektory, których początki się pokrywają, tworzą pewien kąt. Jeżeli kąt pomiędzy tymi wektorami zwiększy się o 20 o to iloczyn skalarny tych dwóch wektorów zmienia znak na przeciwny. Kąt, który początkowo tworzyły te dwa wektory wynosi: A) 0 B) 60 0 C) 70 o D) 80 o E) 90 0 Wykład 2 2012/2013, zima 46 23
6. Dwa wektory wyznaczają jednoznacznie płaszczyznę. Który z wektorów jest prostopadły do tej płaszczyzny: A) D) B) E) C) 7. Wartość wynosi: A) zero B) +1 C) -1 D) 3 E) 3 Wykład 2 2012/2013, zima 47 8. Punkt materialny porusza się wzdłuż osi OX od x i do x f. Które z podanych wartości współrzędnych początkowych i końcowych odpowiadają przemieszczeniu o największej wielkości: A) x = 4m, x f = 6m D) x i = 4m, x f = - 2m B) x i = - 4m, x f = - 8m E) x i = - 4m, x f = 4m C) D) x i = - 4m, x f = 2m 9. Samochód przejeżdża 40 km ze średnią prędkością 80 km/h i następne 40 km ze średnią prędkością 40 km/h. Średnia prędkość samochodu na całym odcinku 80 km wynosi: A) 40 km/h B) 45 km/h C) 48 km/h D) 53 km/h E) 80 km/h Wykład 2 2012/2013, zima 48 24
10. Położenie cząstki wyrażone w metrach, dane jest jako: x(t)=16 t 3.0 t 3, gdzie czas t jest mierzony w sekundach. Cząstka zatrzymuje się w chwili t=.. A) 0.75 s B) 1.3 s C) 5.3 s D) 7.3 s E) 9.3 s 11. Prędkość v ciała dana jest jako funkcja czasu t wzorem v(t)=4t - 3t 2, gdzie v jest wyrażone w m/s, t podano w s. Prędkość średnia w przedziale czasu od t 1 =0 do t 2 =2s wynosi: A) 0 B) -2 m/s C) 2 m/s D) -4m/s E) nie może być obliczona bez znajomości położenia początkowego Wykład 2 2012/2013, zima 49 12. Zależność położenia y od czasu t dana jest wzorem y = at bt 2. Wymiary stałych a i b wynoszą odpowiednio: A) L 2 /T, L 3 /T 2 D) L 3 /T, T 2 /L B) L/T 2, L 2 /T E) żadna z odpowiedzi nie jest prawidłowa C) L/T, L/T 2 13. Samochód początkowo w spoczynku, przebywa 20 m w 4 s wzdłuż linii prostej, ze stałym przyspieszeniem. Przyspieszenie samochodu wynosi: A) 0.4 m/s 2 B) 1.3 m/s 2 C) 2.5 m/s 2 D) 4.9 m/s 2 E) 9.8 m/s 2 Wykład 2 2012/2013, zima 50 25
TEST 2A 1. A vector of magnitude 3 CANNOT be added to a vector of magnitude 4 so that the magnitude of the resultant is: A) zero B) 1 C) 3 D) 5 E) 7 2. A vector has a magnitude of 12. When its tail is at the origin it lies between the positive x axis and negative y axis and makes an angle of 30 o with the x axis. Its y component is: A) 6 3 B)-6 3 C) 6 D) -6 E) 12 3. A vector has a component of 10 in the +x direction, a component of 10 m in the +y direction, and a component of 5 m in the +z direction. The magnitude of this vector is: A) zero B) 15 m C) 20 m D) 25 m E) 225 m Wykład 2 2012/2013, zima 51 4. Two vectors have magnitudes of 10 and 15. The angle between them when they are drawn with their tails at the same point is 65 o. The component of the longer vector along the line of the shorter is: A) 0 B) 4.2 C) 6.3 D) 9.1 E) 14 5. If the magnitude of the sum of two vectors is less than the magnitude of either vector, then: A) the scalar product of the vectors must be negative B) the scalar product of the vectors must be positive C) the vectors must be parallel and in opposite directions D) the vectors must be parallel and in the same direction E) none of the above Wykład 2 2012/2013, zima 52 26
6. A particle moves along the x axis from x i to x f. Of the following values of the initial and final coordinates, which results in a negative displacement: A) x = 4m, x f = 6m D) x i = - 4m, x f = - 2m B) x i = - 4m, x f = - 8m E) x i = - 4m, x f = 4m C) D) x i = - 4m, x f = 2m 7. Two automobiles are 150 km apart and traveling toward each other. One automobile is moving at 60 km/h and the other is moving at 40 km/h. In how many hours will they meet: A) 2.5 B) 2.0 C) 1.75 D) 1.5 E) 1.25 Wykład 2 2012/2013, zima 53 8. A car starts from Hither, goes 50 km straight line to Yon, immediately turns around and returns to Hither. The time for this round trip is 2 hours. The magnitude of the average velocity of the car for this round trip is: A) 0 D) 200 km/h B) 50 km/h E) cannot be calculated without knowing C) 100 km/h the acceleration 9. A car starts from Hither, goes 50 km straight line to Yon, immediately turns around and returns to Hither. The time for this round trip is 2 hours. The average speed of the car for this round trip is: A) 0 D) 200 km/h B) 50 km/h E) cannot be calculated without knowing Wykład 2 2012/2013, zima 54 C) 100 km/h the acceleration 27
10. A drag racing car starts from rest at t=0 and moves along a straight line with velocity given by v = bt 2, where b is a constant. The expression for the distance traveled by this car from its position at t=0 is: A) bt 3 B) bt 3 /3 C) 4bt 2 D) 3bt 2 E) bt 3/2 11. A ball rolls up a slope. At the end of three seconds its velocity is 20 cm/s; at the end of eighth seconds its velocity is 0. What is the average acceleration from the third to the eighth second? A) 2.5 cm/s 2 B) 4.0 cm/s 2 C) 5.0 cm/s 2 D) 6.0 cm/s 2 E) 6.67 cm/s 2 Wykład 2 2012/2013, zima 55 28