IKONY CZĘŚĆ I 1. WIELOKĄTY I OKRĘGI

CZĘŚĆ I 1. WIELOKĄTY I OKRĘGI 1.1. Okąg opisny n wielokącie (s. 10) Zdni utwljące (s. ) 1.. Okąg wpisny w wielokąt (s. 4) Zdni utwljące (s. 35) 1.3. Wielokąty foemne (s. 37) Zdni utwljące (s. 43) Zdni do ozwiązywni w gupie (s. 45) 1.4. Kok do egzminu (s. 46) IKONY zdnie tudniejsze klkulto

1.1. Okąg opisny n wielokącie Moj kls ognizuje biwk i mmy poblem, jk ozstwić nsze nmioty, by z kżdego nmiotu był tk sm odległość do wspólnego nmiotu, któy nzwliśmy świetlicą. Jeżeli odległość m być tk sm, nleży nysowć okąg, któego śodkiem będzie nmiot świetlic, nmioty uczestników tzeb umieścić n tym okęgu. Odległość między kżdym nmiotem świetlicą będzie ówn długości pomieni nysownego okęgu. Wszyscy będą mieli do pokonni tką smą odległość. nmiot 1 nmiot świetlic nmiot 3 nmiot 5 nmiot 4 Pzykłd 1.1. Nysuj tzy niewspółliniowe punkty K, L, M. Znjdź punkt T, któego odległość od kżdego z punktów K, L i M jest tk sm. K M Zznczyliśmy punkty K, L i M. Te punkty nie są współliniowe. Musimy znleźć punkt T, któego odległość od kżdego z punktów K, L i M będzie tk sm. L M Rysujemy odcinek KM, nstępnie symetlną tego odcink. N symetlnej odcink KM leżą wszystkie punkty, któych odległość od punktu K jest ówn odległości od punktu M. K L 10 Rozdził 1. Wielokąty i okęgi

M Rysujemy odcinek KL oz symetlną tego odcink. N symetlnej odcink KL leżą wszystkie punkty, któych odległość od punktu K jest ówn odległości od punktu L. K L M K T Wyznczyliśmy punkt T, któego odległość od punktów K, M i L jest tk sm. L M Możemy zuwżyć, że symetln odcink ML też pzechodzi pzez punkt T. K T L Punkt T, któego odległość od punktów K, L i M jest tk sm, jest śodkiem okęgu opisnego n tójkącie KLM. K M T Punkt T, któego odległość od punktów K, L i M jest tk sm, jest śodkiem koł opisnego n tójkącie KLM. L Jeżeli wszystkie wiezchołki tójkąt leżą n okęgu, to mówimy, że okąg jest opisny n tym tójkącie. Jeżeli wszystkie wiezchołki tójkąt leżą n okęgu, to możemy powiedzieć, że tójkąt jest wpisny w ten okąg. 1.1. Okąg opisny n wielokącie 11

K T M Jeżeli odległość wszystkich wiezchołków tójkąt od śodk koł jest ówn pomieniowi tego koł, to możemy powiedzieć, że tójkąt jest wpisny w to koło. L Jeżeli odległość wszystkich wiezchołków tójkąt od śodk koł jest ówn pomieniowi tego koł, to mówimy, że koło jest opisne n tójkącie. M Jeżeli punkt T jest śodkiem okęgu opisnego n tójkącie KLM, to długość pomieni tego okęgu jest ówn odległości kżdego z punktów K, L i M od punktu T. K T L M K T Jeżeli punkt T jest śodkiem koł opisnego n tójkącie KLM, to długość pomieni tego koł jest ówn odległości kżdego z punktów K, L i M od punktu T. L Pzykłd 1.. Nysuj dowolny tójkąt ABC. Skonstuuj okąg opisny n tym tójkącie. Konstuujemy symetlne dwóch boków tójkąt ABC. Punkt pzecięci symetlnych boków oznczmy liteą S. Punkt S jest śodkiem okęgu opisnego n tym tójkącie. 1 Rozdził 1. Wielokąty i okęgi

Punkt S łączymy z wiezchołkiem B. Odcinek BS jest pomieniem okęgu opisnego n tójkącie ABC. Keślimy okąg o śodku w punkcie S opisny n tójkącie ABC. Pzykłd 1.3. Nysuj tójkąt: ) ostokątny, b) postokątny, c) ozwtokątny. Nysuj symetlne boków w kżdym z tych tójkątów. Wyzncz pomień okęgu opisnego n dnym tójkącie i nysuj ten okąg. ) b) c) Śodek okęgu opisnego n tójkącie ostokątnym leży wewnątz tego tójkąt. Śodek okęgu opisnego n tójkącie postokątnym leży n pzeciwpostokątnej tego tójkąt. Śodek okęgu opisnego n tójkącie ozwtokątnym leży n zewnątz tego tójkąt. N kżdym tójkącie możn opisć okąg. 1.1. Okąg opisny n wielokącie 13

Pomieniem okęgu opisnego n tójkącie jest odcinek łączący śodek tego okęgu z dowolnym wiezchołkiem tego tójkąt. ) b) c) O O O Pzykłd 1.4. Nysuj tójkąt ównoboczny o boku długości 6 cm. Oblicz pole i obwód koł opisnego n tym tójkącie. Aby obliczyć pole i obwód koł opisnego n tójkącie ównobocznym o boku długości 6 cm musimy wyznczyć długość pomieni tego koł. Nysowłem tójkąt ównoboczny i wyznczyłem śodek koł opisnego n tym tójkącie, nstępnie nysowłem koło. 6 cm 6 cm 6 cm Popowdzone symetlne boków tego tójkąt zwieją wysokości tójkąt. 30 30 x, x 3 x h 60 60 60 x x 30 x 3 14 Rozdził 1. Wielokąty i okęgi

Wysokość tójkąt ównobocznego zwie się w dwusiecznej kąt wewnętznego tego tójkąt. 6 cm 6 cm 60 30 6 cm Kozystjąc ze wskznej wyżej zleżności między długościmi boków tójkąt postokątnego o kątch ostych 30o, 60o, wyznczyłm długość pzeciwpostokątnej tego tójkąt, któ jest długością pomieni koł opisnego n tym tójkącie. 30 3 cm 60 30 1 3 60 1 Jeżeli w tójkącie postokątnym o kątch ostych 30, 60 długość pzeciwpostokątnej jest ówn wówczs długości pzypostokątnych są odpowiednio ówne 1 3 i 1. 1 3 3 / = 3 = 6 / 3 3 = 6 3 / : 3 = 3 Długość pomieni koł opisnego n tym tójkącie ównobocznym jest ówn 3 cm. Kozystjąc z wzou oz pmiętjąc, że obwód wynosi obliczymy pole i obwód koł. 1.1. Okąg opisny n wielokącie 15

P = π ( ) P = π 3 P = 1π obwód = π obwód = π 3 obwód = 4π 3 Pole koł opisnego n tójkącie ównobocznym o boku długości 6 cm jest ówne 1π cm, obwód tego koł wynosi 4π 3 cm. Pzykłd 1.5. Wyzncz długość pomieni okęgu opisnego n tójkącie ównobocznym o boku długości. 60 Wykozystujemy zleżność między długościmi boków tójkąt postokątnego o kątch ostych 30, 60 do wyznczeni długości pomieni okęgu opisnego n tójkącie ównobocznym. 30 1 1 30 1 3 60 1 1 1 3 = / 3 = / 3 3 = 3 / : 3 3 = 3 Długość pomieni okęgu opisnego n tójkącie ównobocznym o boku 3 długości jest ówn. 3 16 Rozdził 1. Wielokąty i okęgi

Pzykłd 1.6. Nysuj kwdt, postokąt, ównoległobok, omb i tpez. Spwdź, n któym z tych czwookątów możn opisć okąg. Jeżeli wszystkie wiezchołki czwookąt leżą n okęgu, to okąg ten jest opisny n tym czwookącie. Jeżeli wszystkie wiezchołki czwookąt leżą n okęgu, to czwookąt ten jest wpisny w okąg. Nleży spwdzić, czy symetlne boków czwookąt pzecinją się w jednym punkcie. Czwookąt Czwookąt i symetlne jego boków Wniosek S N tym kwdcie możn opisć okąg. S N tym postokącie możn opisć okąg. N tym ównoległoboku nie możn opisć okęgu. N tym ombie nie możn opisć okęgu. N tym tpezie nie możn opisć okęgu. 1.1. Okąg opisny n wielokącie 17

Pzykłd 1.7. Nysuj kwdt o boku długości 8 cm. Oblicz długość pomieni okęgu opisnego n tym kwdcie. S Nysowłm kwdt i wyznczyłm śodek S okęgu opisnego n nim śodek tego okęgu jest punktem pzecięci symetlnych boków kwdtu. Punkt S jest śodkiem koł opisnego n tym kwdcie. Jeżeli punkt S jest śodkiem koł opisnego n kwdcie, to długość pomieni tego koł jest ówn odległości kżdego z wiezchołków tego kwdtu od punktu S. 45 4 cm Nysowłm okąg opisny n kwdcie odcinek łączący wyznczony śodek okęgu z jednym z wiezchołków tego kwdtu jest pomieniem tego okęgu. 8 cm 45 4 cm 8 cm 45 45 45 45 d 45 45 45 45 18 Rozdził 1. Wielokąty i okęgi

Kozystjąc z powyższej zleżności między długościmi boków tójkąt postokątnego o kątch ostych 45o, 45o, wyznczyłm długość pomieni okęgu opisnego n kwdcie. 45 45 4 cm 45 45 4 cm Długość pomieni okęgu opisnego n tym kwdcie jest ówn 4 cm. Pzykłd 1.8. Wyzncz długość pomieni okęgu opisnego n kwdcie o boku długości. 45 1 45 1 Rysujemy okąg opisny n kwdcie pomieniem tego okęgu jest odcinek łączący wyznczony śodek okęgu z jednym z wiezchołków tego kwdtu. 45 1 45 1 Z pzypomninej w popzednim pzykłdzie włsności dotyczącej zleżności między długościmi boków tójkąt postokątnego o kątch ostych 45, 45 wynik, że długość pomieni okęgu opisnego n kwdcie jest ówn. d Długość śednicy okęgu opisnego n kwdcie jest ówn długości pzekątnej tego kwdtu. Długość pomieni okęgu opisnego n kwdcie o boku długości jest ówn. = d d = 1.1. Okąg opisny n wielokącie 19

Jeżeli wszystkie wiezchołki wielokąt leżą n okęgu, mówimy, że ten okąg jest opisny n tym wielokącie. Jeżeli wszystkie wiezchołki wielokąt leżą n okęgu, to możn też powiedzieć, że ten wielokąt jest wpisny w okąg. Pzykłd 1.9. Uzsdnij, że jeżeli okąg możn opisć n czwookącie, to sumy mi pzeciwległych kątów tego czwookąt są ówne. Okąg jest opisny n czwookącie, jeżeli wszystkie wiezchołki czwookąt leżą n tym okęgu. Pomienie okęgu opisnego n czwookącie popowdzone do wiezchołków tego czwookąt dzielą go n cztey tójkąty ównomienne. 0 Rozdził 1. Wielokąty i okęgi

γ β W tójkątch ównomiennych oznczmy kąty o ównych mich. γ δ δ α α β γ δ δ α γ β α β Sum mi pzeciwległych kątów czwookąt oznczonych koloem żółtym i pomńczowym jest ówn α + β + γ + δ. Sum mi pzeciwległych kątów czwookąt oznczonych koloem zielonym i niebieskim jest ówn α + β + γ + δ. Jeżeli okąg możn opisć n czwookącie, to sumy mi pzeciwległych kątów tego czwookąt są ówne. Możn tkże pokzć, że jeżeli sumy mi pzeciwległych kątów czwookąt są ówne, to n tym czwookącie możn opisć okąg. Pzykłd 1.10. Wykozystując włsność dotyczącą mi kątów czwookąt, n któym możn opisć okąg, uzsdnij, że n ównoległoboku, któy nie jest postokątem, nie możn opisć okęgu. W ównoległoboku miy pzeciwległych kątów są ówne. α = 180 β 1.1. Okąg opisny n wielokącie 1

Ztem pwdziw byłby ówność: α + α = β + β ( 180 ) ( 180 ) β + β = β + β 180 β + 180 β = β + β 360 β = β 4β = 360 β = 90 Sum mi kątów wewnętznych ównoległoboku leżących pzy jednym boku jest ówn 180. α = 180 β = 180 90 = 90 Z obliczeń wynik, że mi kżdego kąt ównoległoboku musi być ówn 90º, ztem okąg możn opisć tylko n tkim ównoległoboku, któy jest postokątem. N ównoległoboku, któy nie jest postokątem, nie możn opisć okęgu. Zdni utwljące 1 Wskż, n któym z wielokątów opisno okąg. Uzsdnij odpowiedź. ) b) c) d) e) f) Rozdził 1. Wielokąty i okęgi

Skonstuuj okąg opisny n tójkącie: ) o bokch długości 3 cm, 4 cm i 5 cm, b) postokątnym o pzypostokątnych długości 5 cm i 6 cm, c) ównomiennym o bokch długości 4 cm, 4 cm i 6 cm. 3 Oceń pwdziwość poniższych zdń. ) Śodek okęgu opisnego n tójkącie o bokch długości 3 cm, 3 cm, 3 cm leży n zewnątz tego tójkąt. b) Śodek okęgu opisnego n tójkącie, któego miy dwóch kątów wynoszą 30 i 50, leży n zewnątz tego tójkąt. c) Śodek okęgu opisnego n tójkącie, któego miy dwóch kątów wynoszą 60 i 50, leży n boku tego tójkąt. d) Śodek okęgu opisnego n tójkącie, któego miy dwóch kątów wynoszą 45 i 45, leży wewnątz tego tójkąt. 4 Oceń pwdziwość poniższych zdń. ) Długość pomieni okęgu opisnego n kwdcie o boku długości 10 cm jest ówn 5 cm. TAK TAK TAK TAK TAK NIE NIE NIE NIE NIE b) Długość pomieni okęgu opisnego n tójkącie ównobocznym o boku długości 1, cm jest ówn 0, 4 3 cm. c) Długość okęgu opisnego n postokącie o bokch długości 4 cm i 8 cm wynosi 8π 10 cm. d) Długość okęgu opisnego n tójkącie ównobocznym o boku długości 1 cm jest ówn 8π cm. TAK TAK TAK 5 Oblicz długość pomieni okęgu opisnego n tójkącie ównobocznym o boku długości: ) 4 cm, b) 15 cm, c) 6 3 cm, d) 3 6 cm. 6 Oblicz długość pomieni okęgu opisnego n tójkącie ównobocznym o polu ównym: ) 16 3 cm, b) 9 3 cm, c) 3 3 cm, d) 6 3 cm. 7 Oblicz długość pomieni okęgu opisnego n kwdcie o boku długości: ) 5 cm, b) 15 cm, c) 3 cm, d) 5 6 cm. 8 Oblicz długość pomieni okęgu opisnego n kwdcie o polu ównym: ) 36 cm, b) 49 cm, c) 48 cm, d) 108 cm. NIE NIE NIE 9 Oblicz długość okęgu opisnego n tójkącie ównobocznym o boku długości: ) 6 cm, b) 1 cm, c) 8 3 cm, d) 4 6 cm. 1.1. Okąg opisny n wielokącie 3

10 Oblicz pole koł opisnego n tójkącie ównobocznym o boku długości: ) 9 cm, b) 4 cm, c) 5 3 cm, d) 5 6 cm. 11 Oblicz długość okęgu opisnego n kwdcie o boku długości: ) 3 cm, b) 10 cm, c) 6 cm, d) 6 cm. 1 Oblicz pole koł opisnego n kwdcie o boku długości: ) 5 cm, b) 8 cm, c) 8 cm, d) 3 3 cm. 13 Oblicz pole koł i długość okęgu opisnego n postokącie, w któym długość kótszego boku jest ówn 7 cm. Kąt między pzekątnymi tego postokąt m mię 60. 14 Koło o pomieniu długości 10 cm opisno n tójkącie postokątnym. Oblicz pole tego tójkąt, jeżeli jedn pzypostokątn jest tzy zy dłuższ od dugiej. 15 W okęgu o śodku w punkcie O i śednicy długości 8 cm popowdzono śednicę KL oz cięciwę MN ównoległą do niej. Kąt śodkowy NOM m mię 60. Oblicz pole czwookąt KLMN. 16 W okąg o pomieniu długości 5 cm wpisno postokąt, w któym stosunek długości boków jest ówny 1. Oblicz pole i obwód tego postokąt. 1 3 17 W koło o pomieniu długości 5 cm wpisno tójkąt, któego jednym z boków jest śednic tego koł. Oblicz pole tójkąt, jeżeli jeden z jego kątów m mię 45. 18 Uzsdnij, że n kżdym tpezie ównomiennym możn opisć okąg. 1.. Okąg wpisny w wielokąt Model jchtu m tójkątny żgiel typu bemudzkiego n tym żglu chciłbym nysowć jk njwiększe logo mojego klubu. Y GDYNIA 4 Rozdził 1. Wielokąty i okęgi

Logo m ksztłt koł. Aby n tójkątnym żglu to logo było jk njwiększe, musi być styczne do wszystkich bzegów tego żgl. Jeżeli koło jest styczne do wszystkich boków tójkąt, mówimy, że koło jest wpisne w ten tójkąt. Jeżeli koło jest styczne do wszystkich boków tójkąt, mówimy, że tójkąt jest opisny n kole. Odległość śodk koł wpisnego w tójkąt musi być jednkow od wszystkich boków tego tójkąt. C N dwusiecznej kąt CAB leżą wszystkie punkty, któych odległość od boków AB i AC jest tk sm. C A B N dwusiecznej kąt ABC leżą wszystkie punkty, któych odległość od boków AB i BC jest tk sm. A B C Wyznczyliśmy punkt S, któego odległość od wszystkich boków tójkąt jest tk sm. S A B 1.. Okąg wpisny w wielokąt 5

C Możemy zuwżyć, że dwusieczn kąt ACB też pzechodzi pzez punkt S. S A B Okąg wpisny w tójkąt jest styczny do wszystkich boków tego tójkąt. Pomieniem okęgu wpisnego w tójkąt jest odcinek, któego jednym końcem jest śodek okęgu wpisnego w ten tójkąt, dugim punkt styczności okęgu z bokiem tego tójkąt. Długość tego pomieni jest ówn odległości śodk S okęgu wpisnego w ten tójkąt od kżdego z boków tego tójkąt. Pomień ten jest tkże pomieniem koł wpisnego w ten tójkąt. Ztem popowdzimy postą postopdłą do jednego z boków tójkąt, pzechodzącą pzez wyznczony śodek okęgu wpisnego w tójkąt i zznczymy n niej pomień szuknego okęgu. A nstępnie zkeślimy okąg o śodku w punkcie S i tym pomieniu, styczny do wszystkich boków tójkąt. C C C A S B A S B A S B 6 Rozdził 1. Wielokąty i okęgi

Pomienie okęgu wpisnego w tójkąt, popowdzone do punktów styczności, są postopdłe do boków tego tójkąt. Odcinki, któych jednym końcem jest śodek okęgu wpisnego w ten tójkąt, dugim punkt styczności okęgu z bokmi tójkąt, są pomienimi okęgu wpisnego w ten tójkąt. Długość tego pomieni jest ówn odległości śodk S okęgu wpisnego w tójkąt od kżdego z boków tego tójkąt. Pzykłd 1.11. Nysuj dowolny tójkąt ABC. Skonstuuj okąg wpisny w ten tójkąt. C Konstuujemy dwusieczne dwóch kątów tójkąt. Punkt pzecięci dwusiecznych kątów oznczmy liteą S. Punkt S jest śodkiem okęgu wpisnego w ten tójkąt. A S B Aby wyznczyć pomień okęgu wpisnego w tójkąt ABC, konstuujemy postą postopdłą do jednego z boków tójkąt, pzechodzącą pzez śodek S tego okęgu. Rysujemy odcinek łączący śodek okęgu z punktem pzecięci boku tójkąt i postej postopdłej do tego boku. A C S B C Rysujemy okąg wpisny w tójkąt ABC. A S B 1.. Okąg wpisny w wielokąt 7

Pzykłd 1.1. Nysuj dowolny tójkąt: ) ostokątny, b) postokątny, c) ozwtokątny. Wyzncz śodek okęgu wpisnego w ten tójkąt. Nysuj okąg wpisny w ten tójkąt. ) b) c) W kżdy tójkąt możn wpisć okąg. Pzykłd 1.13. Nysuj tójkąt ównoboczny o boku długości 6 cm. Oblicz długość pomieni okęgu wpisnego w ten tójkąt. Nysowłm tójkąt ównoboczny i wyznczyłm śodek okęgu wpisnego w ten tójkąt. Popowdzone dwusieczne kątów tego tójkąt zwieją wysokości tójkąt. Pomieniem okęgu wpisnego w tójkąt ównoboczny jest część wysokości tego tójkąt. Kozystjąc z zleżności między długościmi boków w tójkącie postokątnym o kątch ostych 30º, 60º, wyznczyłm długość dugiej pzypostokątnej tego tójkąt postokątnego. 3 = 3 / 3 3 = 3 3 / : 3 = 3 Długość pomieni okęgu wpisnego w ten tójkąt ównoboczny jest ówn 3 cm. 8 Rozdził 1. Wielokąty i okęgi

Pzykłd 1.14. Wyzncz stosunek długości pomieni okęgu wpisnego w tójkąt ównoboczny do długości pomieni okęgu opisnego n tym tójkącie. S W tójkącie ównobocznym symetlne boków tójkąt zwieją dwusieczne kątów tego tójkąt i jego wysokości. Śodek okęgu opisnego n tójkącie ównobocznym i śodek okęgu wpisnego w ten tójkąt to ten sm punkt. Zznczmy pomień okęgu wpisnego w tójkąt ównoboczny i pomień okęgu opisnego n tójkącie ównobocznym. o S w W tójkącie postokątnym o kątch ostych 30 i 60 długość pzeciwpostokątnej jest ówn dwukotności długości kótszej pzypostokątnej. Ztem: o = w 1 = o w o S Punkt S, któy jest śodkiem okęgu wpisnego w tójkąt ównoboczny i śodkiem okęgu opisnego n tym tójkącie, dzieli wysokość tójkąt n dwie części. w 1.. Okąg wpisny w wielokąt 9

Pzykłd 1.15. Oblicz, jką częścią wysokości tójkąt ównobocznego jest pomień okęgu wpisnego w ten tójkąt, jką częścią wysokości jest pomień okęgu opisnego n tym tójkącie. Sum długości pomieni okęgu opisnego n tójkącie ównobocznym i długości pomieni okęgu wpisnego w ten tójkąt jest ówn długości wysokości tego tójkąt. + = h w o = o w w + = h w 3 = h / : 3 w w o 1 = h 3 = h 3 Pzykłd 1.16. Wyzncz długość pomieni okęgu wpisnego w tójkąt ównoboczny o boku długości. S Dzięki pzepowdzonym wcześniej obliczeniom wiemy, że w tójkącie ównobocznym długość pomieni okęgu wpisnego w ten tójkąt i długość pomieni okęgu opisnego n tym tójkącie są zleżne od długości boku tego tójkąt. w 1 1 w / 3 = / 3 w w = 3 = 3 6 Długość pomieni okęgu wpisnego w tójkąt ównoboczny o boku długości jest ówn 3. 6 30 Rozdził 1. Wielokąty i okęgi

Pzykłd 1.17. Nysuj kwdt, postokąt, ównoległobok, omb i tpez. Spwdź, w któy z tych czwookątów możn wpisć okąg. Jeżeli wszystkie boki czwookąt są styczne do okęgu, to okąg jest wpisny w ten czwookąt. Nleży spwdzić, czy dwusieczne kątów tych czwookątów pzecinją się w jednym punkcie. Czwookąt Czwookąt i dwusieczne jego kątów Wniosek W ten kwdt możn wpisć okąg. W ten postokąt nie możn wpisć okęgu. W ten ównoległobok nie możn wpisć okęgu. W ten omb możn wpisć okąg. W ten tpez nie możn wpisć okęgu. 1.. Okąg wpisny w wielokąt 31

Pzykłd 1.18. Nysuj kwdt o boku długości 8 cm. Oblicz pole i obwód koł wpisnego w ten kwdt. Aby obliczyć pole i obwód koł wpisnego w kwdt o boku długości 8 cm, musimy wyznczyć długość pomieni tego koł. Nysowłm kwdt i wyznczyłm śodek okęgu wpisnego w ten kwdt. Ten śodek jest punktem pzecięci dwusiecznych kątów wewnętznych tego kwdtu i jednocześnie punktem pzecięci pzekątnych kwdtu. Długość pomieni koł wpisnego w kwdt jest ówn połowie długości boku tego kwdtu. 8 cm w 4 cm 8 cm P = π obwód = π P = π 4 obwód = π 4 P = 16π obwód = 8π Pole koł wpisnego w kwdt o boku długości 8 cm jest ówne 16π cm, obwód tego koł wynosi 8π cm. Pzykłd 1.19. Wyzncz stosunek długości pomieni okęgu wpisnego w kwdt do długości pomieni okęgu opisnego n tym kwdcie. Długość pomieni okęgu opisnego n kwdcie jest ówn połowie długości pzekątnej tego kwdtu. Długość pomieni okęgu wpisnego w kwdt jest ówn połowie długości boku tego kwdtu. d S w o 1 1 = d w = 1 1 o = d = = 1 w 1 1 = = = = o w 1 = o o 3 Rozdził 1. Wielokąty i okęgi

Jeżeli wszystkie boki wielokąt są styczne do okęgu, mówimy, że okąg jest wpisny w ten wielokąt. Możn ównież powiedzieć, że jeżeli wszystkie boki wielokąt są styczne do okęgu, to ten wielokąt jest opisny n okęgu. Jeżeli wszystkie boki wielokąt są styczne do koł, mówimy, że koło jest wpisne w ten wielokąt. Możn ównież powiedzieć, że jeżeli wszystkie boki wielokąt są styczne do koł, to ten wielokąt jest opisny n kole. Pzykłd 1.0. Uzsdnij, że jeżeli okąg możn wpisć w czwookąt, to sumy długości pzeciwległych boków tego czwookąt są ówne. Okąg jest wpisny w czwookąt, jeżeli jest styczny do wszystkich boków tego czwookąt. Pomienie popowdzone do punktów styczności są postopdłe do boków czwookąt. 1.. Okąg wpisny w wielokąt 33

b AB = + d BC = c + d CD = c + b AD = + b AB + CD = + d + c + b AD + BC = + b + c + d AB + CD = AD + BC Jeżeli okąg możn wpisć w czwookąt, to sumy długości pzeciwległych boków tego czwookąt są ówne. Możn tkże pokzć, że jeżeli sumy długości pzeciwległych boków czwookąt są ówne, to w ten czwookąt możn wpisć okąg. 34 Rozdził 1. Wielokąty i okęgi

Zdni utwljące 1 Wskż, w któy z wielokątów wpisno okąg. Uzsdnij odpowiedź. ) b) c) d) e) f) Wpisz okąg w tójkąt: ) o bokch długości 4 cm, 5 cm i 6 cm, b) postokątny o pzypostokątnych długości 4 cm i 6 cm, c) ównomienny o bokch długości 6 cm, 6 cm i 8 cm. 3 Wykonj odpowiednie obliczeni, nstępnie oceń pwdziwość zdń. ) Długość pomieni okęgu wpisnego w kwdt o boku długości 3 dm jest ówny 3 dm. TAK NIE b) Długość pomieni okęgu wpisnego w tójkąt ównoboczny o boku długości 9 m jest ówny 3 3 m. c) Długość okęgu wpisnego w kwdt o pzekątnej długości 13 cm wynosi 13π cm. d) Długość okęgu wpisnego w tójkąt ównoboczny o obwodzie 7 dm jest ówn 3π TAK TAK TAK NIE NIE NIE 4 Oblicz długość pomieni okęgu wpisnego w tójkąt ównoboczny o boku długości: ) 6 cm, b) 15 cm, c) 8 cm, d) 4 3 cm. 1.. Okąg wpisny w wielokąt 35

5 Oblicz długość pomieni okęgu wpisnego w tójkąt ównoboczny o polu ównym: ) 6 3 cm, b) 5 3 cm, c) 4 3 cm, d) 4 3 cm. 6 Oblicz długość pomieni okęgu wpisnego w kwdt o boku długości: ) 4 cm, b) 18 cm, c) 6 cm, d) 7 6 cm. 7 Oblicz długość pomieni okęgu wpisnego w kwdt o polu ównym: ) 64 cm, b) 144 cm, c) 4 cm, d) 50 cm. 8 Oblicz długość okęgu wpisnego w tójkąt ównoboczny o boku długości: ) 3 cm, b) 7 cm, c) 9 3 cm, d) 5 6 cm. 9 Oblicz pole koł wpisnego w tójkąt ównoboczny o boku długości: ) 4 cm, b) 1 cm, c) 1 3 cm, d) 10 6 cm. 10 Oblicz długość okęgu wpisnego w kwdt o boku długości: ) 4 cm, b) 10 cm, c) 8 cm, d) 10 3 cm. 11 Oblicz pole koł wpisnego w kwdt o boku długości: ) 5 cm, b) 16 cm, c) 14 3 cm, d) 6 6 cm. 1 Oblicz pole koł wpisnego w tójkąt postokątny ównomienny o pzeciwpostokątnej długości 1 cm. 13 Oblicz długość okęgu wpisnego w tójkąt postokątny o pzypostokątnych długości 6 cm i 8 cm. 36 Rozdził 1. Wielokąty i okęgi

1.3. Wielokąty foemne Zmek Kzyżtopó zostł zbudowny n plnie pięciokąt foemnego. Plste miodu pzypomin Wież widokow w Do- ułożone obok siebie gbomiezu zostł zbudo- nistosłupy o podstwie wn n plnie ośmiokąt będącej sześciokątem fofoemnego. emnym. Obiekt w Ludwikowicch Kłodzkich pozostłość po niemieckiej zbudowie pzemysłowej zostł zbudowny n plnie wielokąt foemnego. Wielokątem foemnym nzywmy tki wielokąt, któego wszystkie boki są jednkowej długości i wszystkie kąty wewnętzne mją ówne miy. Oczk w sitce bmki mją ksztłt sześciokąt foemnego. N kżdym wielokącie foemnym możn opisć okąg i w kżdy wielokąt foemny możn wpisć okąg. W wielokącie foemnym śodek okęgu wpisnego w ten wielokąt jest tkże śodkiem okęgu opisnego n tym wielokącie. 1.3. Wielokąty foemne 37

Pzykłd 1.1. Oblicz mię kąt wewnętznego ośmiokąt foemnego. Kżdy wielokąt foemny jest zbudowny z pzystjących tójkątów ównomiennych. Rmion tych tójkątów zwieją się w dwusiecznych kątów wewnętznych (któe wyznczją śodek okęgu wpisnego i opisnego). Ztem kąt β jest ówny 360 : 8 = 45. α = 180 45 : = 67, 5. Kąty pzy podstwie tójkąt są ówne ( ) Kąt α m mię 135. 360 Mi kąt wewnętznego wielokąt foemnego jest ówn 180, gdzie n n ozncz liczbę boków tego wielokąt. Pzykłd 1.. Oblicz mię kąt wewnętznego dwudziestokąt foemnego. 360 α = 180 n 360 α = 180 0 α = 180 18 α = 16 Mi kąt wewnętznego dwudziestokąt foemnego wynosi 16. Pzykłd 1.3. Oblicz, ile boków m wielokąt foemny, któego kąt wewnętzny m mię 150. 360 α = 180 n 360 150 = 180 n 360 150 180 = n 38 Rozdził 1. Wielokąty i okęgi

360 30 = / n n ( ) 30 n = 360 / : 30 n =1 Wielokąt foemny, któego kąt wewnętzny m mię 150, m 1 boków. Pzykłd 1.4. Nysuj pięciokąt foemny o boku długości. Pięciokąt foemny możn podzielić n pięć pzystjących tójkątów ównomiennych o kątch: 7, 54, 54. Odmiezmy odcinek AB o długości. Rysujemy tójkąt ównomienny ABC o podstwie AB i kącie pzy podstwie o mieze 54. Odmiezmy z pomocą kątomiez kąt o mieze 7 o wiezchołku C i mieniu CB. C 7 7 A B Rysujemy kolejne tzy kąty o mieze 7. 7 7 C 7 7 7 A B Rysujemy okąg o śodku w punkcie C i pomieniu długości odcink AC. Wiezchołki pięciokąt to punkty pzecięci się okęgu z mionmi kątów. 7 7 C 7 7 7 A B Łączymy odcinkmi kolejne wiezchołki pięciokąt. 1.3. Wielokąty foemne 39

Pzykłd 1.5. Nysuj okąg o pomieniu. Kozystjąc z cykl i linijki, skonstuuj ośmiokąt foemny wpisny w ten okąg. Wiezchołki ośmiokąt foemnego wpisnego w okąg leżą n tym okęgu. W nysownym okęgu popowdziłem postopdłe śednice, nstępnie dwusieczne otzymnych kątów postych. Nysowne odcinki i poste pzecinją okąg w ośmiu punktch, któe są wiezchołkmi ośmiokąt. Pzykłd 1.6. Nysuj sześciokąt foemny o boku długości 3 cm. Oblicz długości jego pzekątnych. Sześciokąt foemny jest zbudowny z sześciu pzystjących tójkątów ównobocznych. A Poniewż długość pomieni okęgu opisnego n sześciokącie foemnym jest ówn długości boku tego sześciokąt, ysujemy okąg o pomieniu długości 3 cm. N okęgu zznczmy dowolny punkt A, któy będzie wiezchołkiem sześciokąt. A B Pzy użyciu cykl, począwszy od punktu A, ysujemy łuk okęgu o pomieniu długości 3 cm i otzymujemy dugi wiezchołek sześciokąt (B). 40 Rozdził 1. Wielokąty i okęgi

A W ten sm sposób znjdujemy pozostłe cztey wiezchołki wielokąt, ysując łuk okęgu o pomieniu długości 3 cm z kolejno otzymywnych wiezchołków C, D i E. E F B F A D C E B Łączymy odcinkmi wiezchołki sześciokąt. D C Sześciokąt m dziewięć pzekątnych. Tzy z nich mją długość ówną długości śednicy okęgu opisnego n tym sześciokącie (łączą co tzeci wiezchołek, twoząc pzekątne: AD, BE, CF). Pozostłe pzekątne są kótsze (łączą co dugi wiezchołek, twoząc pzekątne: AE, AC, BE, BD, CE, DF). AD = BE = CF = 6 cm Długość dłuższej pzekątnej tego sześciokąt foemnego jest ówn 6 cm. Odcinek AE jest sumą długości dwóch wysokości tójkątów ównobocznych, z któych zbudowny jest sześciokąt foemny. 3 3 h = 3 3 AE = h = = 3 3 Długość kótszej pzekątnej tego sześciokąt foemnego jest ówn 3 3 cm. 1.3. Wielokąty foemne 41

Pzykłd 1.7. Oblicz obwód i pole sześciokąt foemnego o boku długości 1 cm. Sześciokąt foemny jest zbudowny z sześciu pzystjących tójkątów ównobocznych. 3 Pole sześciokąt foemnego jest ówne 6 4 Obwód sześciokąt foemnego jest ówny 6 Obliczyłem pole sześciokąt foemnego o boku długości 1 cm. 3 P = 6 4 1 3 144 3 P = 6 = 6 = 6 36 3 = 16 3 4 4 Obliczyłem obwód tego sześciokąt foemnego. obwód = 6 1 = 7 Pole tego sześciokąt foemnego jest ówne 16 3 cm, jego obwód wynosi 7 cm. Pzykłd 1.8. Oblicz długość pomieni okęgu wpisnego w sześciokąt foemny o boku długości 6 cm. Długość pomieni okęgu wpisnego w sześciokąt foemny o boku długości jest ówn długości wysokości tójkąt ównobocznego o boku długości. 4 Rozdził 1. Wielokąty i okęgi

= h 3 h = 6 3 = = 3 3 Długość pomieni okęgu wpisnego w ten sześciokąt foemny jest ówn 3 3 cm. Dl tójkąt ównobocznego, kwdtu i sześciokąt foemnego wyznczyłm zleżności pomiędzy długością pomieni okęgu opisnego n tych wielokątch oz długością pomieni okęgu wpisnego w te wielokąty długością ich boków. Tójkąt ównoboczny Kwdt Sześciokąt foemny = w 3 6 = o 3 3 w 1 = = o = w 3 o = Zdni utwljące 1 Oblicz miy kątów wewnętznych: ) pięciokąt foemnego, b) dwunstokąt foemnego, c) piętnstokąt foemnego. Podj, ile boków m wielokąt foemny, któego kąt wewnętzny m mię: ) 10, b) 144, c) 168, d) 174. 3 Oblicz długość kótszej pzekątnej sześciokąt foemnego o boku długości: ) 1 cm, b) 15 cm, c) 7 cm. 1.3. Wielokąty foemne 43

4 Oblicz długość pomieni okęgu opisnego n sześciokącie foemnym o boku długości: ) 4 cm, b) 10 cm, c) 3 cm, d) 3 6 cm, 5 Oblicz długość okęgu opisnego n sześciokącie foemnym o boku długości: ) 4 cm, b) 3 3 cm, c) 5 cm, d) 5 6 cm. 6 Oblicz pole sześciokąt foemnego wpisnego w okąg, któego długość jest ówn: ) 4 π cm, b) 6 π cm, c) 14 π cm, d) 4 π cm. 7 Oblicz pole koł opisnego n sześciokącie foemnym o boku długości: ) 7 cm, b) 13 cm, c) 4 cm, d) 5 3 cm. 8 Oblicz długość boku sześciokąt foemnego opisnego n kole o polu ównym: ) 9 π cm, b) 36 π cm, c) 84 π cm, d) 150 π cm. 9 Oblicz długość pomieni okęgu opisnego n sześciokącie foemnym o polu ównym: ) 4 3 cm, b) 7 3 cm, c) 1 3 cm, d) 36 3 cm. 10 Oblicz pole koł wpisnego w sześciokąt foemny o boku długości: ) 6 cm, b) 8 cm, c) 3 3 cm, d) 6 cm. 11 Oblicz pole sześciokąt foemnego opisnego n kole o pomieniu długości: ) 6 cm, b) 15 cm, c) 3 6 cm, d) 4 3 cm. 1 Oblicz pole sześciokąt foemnego opisnego n kole o polu: ) 16 π cm, b) 144 π cm, c) 80 π cm, d) 36 π cm. 13 Oblicz pole sześciokąt foemnego opisnego n okęgu, któego długość jest ówn: ) π cm, b) 8 π cm, c) 1 π cm, d) 16 π cm. 14 Oblicz długość okęgu wpisnego w sześciokąt foemny o boku długości: ) cm, b) 8 cm, c) 3 cm, d) 4 7 cm. 44 Rozdził 1. Wielokąty i okęgi

15 Oblicz pole sześciokąt foemnego, gdy kótsz pzekątn tego sześciokąt jest ówn: ) 6 cm, b) 15 cm, c) 3 3 cm, d) 3 6 cm. 16 Oblicz długość śednicy okęgu opisnego n sześciokącie foemnym, gdy długość kótszej pzekątnej tego sześciokąt jest ówn: ) 4 3 cm, b) 9 cm, c) 6 cm, d) 1 cm. 17 Oblicz obwód sześciokąt foemnego opisnego n okęgu, któego długość jest ówn: ) 10 π cm, b) 6 π cm, c) 1 π cm, d) 5 π cm. 18 Oblicz pole sześciokąt foemnego wpisnego w koło o polu: ) 9 π cm, b) 64 π cm, c) 4 π cm, d) 108 π cm. 19 Oblicz pole sześciokąt foemnego wpisnego w koło o pomieniu długości: ) 6 cm, b) 9 cm, c) 3 3 cm, d) 4 5 cm. 0 Oblicz długość pomieni okęgu wpisnego w sześciokąt foemny o polu ównym: 75 3 ) 6 3 cm, b) 96 3 cm, c) cm, d) 144 3 cm. 1 Oblicz długość pomieni okęgu wpisnego w sześciokąt foemny o boku długości: ) 6 cm, b) 11 cm, c) 6 3 cm, d) 15 cm. Oblicz stosunek pol koł wpisnego w wielokąt do pol koł opisnego n tym wielokącie, gdy wielokąt jest: ) kwdtem o boku długości b, b) tójkątem ównobocznym o boku długości b, c) sześciokątem foemnym o boku długości b. Zdni do ozwiązywni w gupie N okęgu o pomieniu długości opisno tójkąt ównoboczny, kwdt i sześciokąt foemny. ) Wykonjcie odpowiedni ysunek. b) Wyznczcie stosunek długości obwodów tych wielokątów. c) Wyznczcie stosunek pól tych wielokątów. 1.3. Wielokąty foemne 45

1.4. Kok do egzminu Zdni powtózeniowe 1 Oblicz mię kąt wewnętznego osiemnstokąt foemnego. Oblicz sumę mi kątów wewnętznych pięciokąt foemnego. 3 Oblicz długość pomieni okęgu opisnego n tójkącie ównobocznym o boku długości 1,5 dm. 4 Oblicz długość pomieni okęgu wpisnego w tójkąt ównoboczny o obwodzie 36 cm. 5 Oblicz długość pomieni okęgu opisnego n kwdcie o polu 196 cm. 6 Oblicz długość śednicy okęgu wpisnego w kwdt o pzekątnej długości 18 cm. 7 Oblicz obwód koł opisnego n tójkącie postokątnym ównomiennym, któego mion mją długość 8 cm. 8 W postokącie stosunek długości boków jest ówny 3 : 4. Oblicz pole i obwód tego postokąt, jeżeli długość śednicy okęgu opisnego n tym postokącie wynosi 0 cm. 9 Pole koł opisnego n sześciokącie foemnym jest o 9π cm większe od pol koł wpisnego w ten sześciokąt. Oblicz długość boku tego sześciokąt foemnego. 10 W okąg o pomieniu długości 13 cm wpisno tójkąt. Śodek okęgu leży n jednym z boków tójkąt. Stosunek długości pozostłych boków tego tójkąt jest ówny 5 1. Oblicz pole i obwód tójkąt. 11 Oblicz pole zmlownej części koł, jeżeli jego śednic m długość 10 cm, tójkąt wpisny w to koło jest ównoboczny. 1 N okęgu opisno kwdt o boku długości 6 dm. Nstępnie n tym kwdcie opisno okąg. Oblicz: ) pole powstłego pieścieni kołowego, b) stosunek długości okęgu opisnego n kwdcie do długości okęgu wpisnego w ten kwdt. 13 W tójkąt postokątny o pzypostokątnych długości 15 cm i 0 cm wpisno koło. Oblicz długość pomieni tego koł. 14 W tpez ównomienny, w któym kąty pzy podstwie mją mię 60, wpisno koło o pomieniu długości 3 cm. Oblicz obwód i pole tego tpezu. 46 Rozdził 1. Wielokąty CZĘŚĆ I i okęgi

15 Oblicz pole zcieniownej figuy. ) kwdt b) tójkąt ównoboczny c) tójkąt ównoboczny 6 cm 15 cm 16 Nysowno tójkąt ównoboczny o boku długości 9 cm. Nstępnie nysowno okąg, któy podzielił kżdy bok tego tójkąt n tzy ówne części. Oblicz długość pomieni tego okęgu. 17 Obwód sześciokąt foemnego jest o 1 cm mniejszy od długości okęgu opisnego n tym sześciokącie. Oblicz długość tego okęgu. Pzyjmij π 3,14. 18 Oblicz pole tójkąt ównobocznego opisnego n kole, w któe wpisno kwdt o boku długości 6 cm. 19 W tójkąt ównomienny wpisno koło. Oblicz pole tego koł, jeżeli mion tójkąt mją długość 8 cm, kąty pzy podstwie mją mię 30. Test 1 Oceń pwdziwość zdń. ) Śodek okęgu wpisnego w tójkąt znjduje się w punkcie pzecięci wysokości tego tójkąt. b) Śodek okęgu wpisnego w tójkąt znjduje się w punkcie pzecięci dwusiecznych kątów tego tójkąt. c) Śodek okęgu opisnego n tójkącie znjduje się w punkcie pzecięci śodkowych tego tójkąt. d) Śodek okęgu opisnego n tójkącie znjduje się w punkcie pzecięci symetlnych boków tego tójkąt. e) Śodek okęgu opisnego n kwdcie znjduje się w punkcie pzecięci pzekątnych tego kwdtu. TAK TAK TAK TAK TAK NIE NIE NIE NIE NIE W kwdt o boku długości 5 cm wpisno koło. Pomień tego koł m długość A. 5 cm B.,5 cm C. 5 cm D.,5 cm 3 Długość pomieni okęgu wpisnego w tójkąt ównoboczny o boku długości 16 cm jest ówn A. 16 3 cm 3 B. 4 3 cm C. 8 3 cm 3 D. 64 3 cm 1.4. Kok do egzminu 47

4 Pole koł jest ówne A. 7π cm B. 36π cm C. 144π cm D. 48π cm 1 cm 1 cm 1 cm 5 Pzypostokątne tójkąt postokątnego mją długość 4 cm i 6 cm. Długość pomieni okęgu opisnego n tym tójkącie jest ówn A. 5 cm B. 5 cm C. 13 cm D. 13 cm 6 Pomień okęgu wpisnego w sześciokąt foemny m długość 15 cm. Długość pomieni okęgu opisnego n tym sześciokącie jest ówn A. 10 3 cm B. 15 cm C. 15 3 cm 7 W koło o pomieniu długości 10 cm wpisno tójkąt tk, że jego njdłuższy bok jest śednicą tego okęgu. Pole tójkąt jest ówne 16 cm 1 D. 3 cm A. 60 cm B. 80 cm 10 cm C. 96 cm D. 19 cm 8 N kwdcie o polu 196 cm opisno koło. Długość okęgu jest ówn A. 14π cm B. 8π cm C. π cm D. π cm 9 Pomień okęgu opisnego n tójkącie ównobocznym m długość 8 3 cm. Bok tego tójkąt m długość A. 16 cm B. 4 cm C. 48 cm D. 96 cm 10 Pole sześciokąt foemnego jest ówne 36 3 cm. Długość pomieni okęgu wpisnego w ten sześciokąt jest ówn A. 3 cm B. 6 cm C. 6 3 cm D. 3 6 cm 11 Z tójkąt ównobocznego wycięto wpisne w ten tójkąt koło o pomieniu długości 3 cm. Oblicz pole części tójkąt pozostłej po wycięciu koł. 1 N kwdcie o boku długości 14 cm opisno okąg. W ten kwdt wpisno też okąg. Oblicz stosunek długości pomieni okęgu opisnego n kwdcie do długości pomieni okęgu wpisnego w ten kwdt. 13 Tójkąt ównoboczny, kwdt i sześciokąt foemny mją boki o tej smej długości t długość wynosi 6 cm. ) Oblicz pole koł wpisnego w kżdą z tych figu. b) Oblicz stosunek pol koł wpisnego w tójkąt do pol koł wpisnego w kwdt do pol koł wpisnego w sześciokąt. 48 Rozdził 1. Wielokąty i okęgi