Ćwczene nr 5 TERMISTOR JAKO TERMOMETR wersja z dna II 016 A. Majhofer R. Nowak WYMAGANIA TEORETYCZNE Sformułowane metody najmnejszych kwadratów wyznaczane ocen parametrów odchyleń standardowych tych ocen w przypadku zaleŝnośc w postac ln prostej. Defncja kowarancj współczynnka korelacj. Ogólne wyraŝene na warancję kombnacj lnowej zmennych losowych (nekoneczne statystyczne nezaleŝnych). Prawa Ohma Krchhoffa budowa dzelnka napęca. WSTĘP Celem ćwczena jest szczegółowe prześledzene standardowej procedury budowy kalbracj przyrządu pomarowego. Zbudujemy termometr wykorzystujący zaleŝność oporu elektrycznego od temperatury. Wykorzystamy tzw. termstor, czyl opornk z materału półprzewodnkowego, którego opór znaczne slnej zaleŝy od temperatury nŝ w klasycznych opornkach. Zakładamy, Ŝe postać funkcj opsującej zaleŝność oporu termstora od temperatury jest znana, natomast dla kaŝdego termstora wartośc występujących w tej funkcj parametrów wyznaczane są na podstawe pomarów. Wykonane tego zadana wymagać będze: a) wyznaczena charakterystyk temperaturowej termstora, czyl zaleŝnośc oporu r(t) termstora od temperatury absolutnej T; b) zbudowana dzelnka napęca dobrana odpowednch warunków pracy termstora, aby moŝlwe najdokładnej merzyć temperaturę w zadanym przedzale; c) kalbracj przyrządu; d) określena dokładnośc wskazań przyrządu w zadanym zakrese temperatur. PowyŜsza procedura jest typowym sposobem postępowana przy budowe czujnków temperatury. OBJAŚNIENIA Wykorzystane termstora do budowy termometru a) ZaleŜność opornośc r(t) typowego termstora od temperatury absolutnej T, z nezłym przyblŝenem, opsuje zaleŝność: r ( T ) r exp B = T, (1) gdze welkość B zwana jest stałą materałową termstora. Parametr r ma typowo wartość rzędu 1 Ω, a B zawera sę w grancach od 000 K do 4000 K. Przykład zaleŝnośc (1) dla termstora określonego parametram r = 0,8 Ω B = 3800 K, ukazuje Rysunek 1. Celem perwszej częśc pomarów jest wyznaczene ocen parametrów r B otrzymanego termstora. b) W typowych czujnkach temperatury, termstor wykorzystany jest jako element dzelnka napęć. Dzelnk napęć to układ dwóch szeregowo połączonych opornków, a przykład takego dzelnka, złoŝonego z opornka wzorcowego o oporze R oraz termstora o oporze r(t) ukazuje Rysunek. Na podstawe drugego prawa Krchhoffa znajdujemy napęce V(T) na termstorze: oporność r (t ) [kω] 1000 800 600 400 00 0 0 5 50 75 100 temperatura t [ C] Rys. 1. Przykładowy kształt zaleŝnośc opornośc termstora od temperatury 1
( ) V T r T = R + ( ) r ( T ) Pomar napęca V w zadanej temperaturze T pozwala węc wyznaczyć opór r, a wykorzystując wzór (1), oblczyć temperaturę T. W zastosowanach techncznych jesteśmy zwykle zanteresowan zmanam temperatury w newelkm przedzale (T 0, T 0 + ) wokół wybranej wartośc T 0, dlatego zaleŝność () moŝna zastąpć w tym przedzale zaleŝnoścą lnową: E. () R E V I r(t) V(T) V ( ) ( ) U T = h T T + U, 0 0 Rys.. Schemat dzelnka napęć przy czym wygodne jest uŝywać temperatury t merzonej w stopnach Celsjusza: U ( t) = h ( t t0 ) + U0 = ht + g, (3) gdze t 0 jest temperaturą T 0 wyraŝoną w stopnach Celsjusza. ZaleŜność napęca na termstorze od temperatury ma przebeg zlustrowany na Rysunku 3 dla r = 0,8 Ω, B = 3800 K R = 51 kω. Wdać na nm punkt przegęca w okolcy temperatury t 0 = 60 C. UŜyteczność punktu przegęca polega na tym, Ŝe moŝemy go wykorzystać do 1,0 0,8 0,6 0,4 0, poprawy jakośc przyblŝena (3) w rozwnęcu zaleŝnośc (). OtóŜ, jak wemy, punkt 0,0 przegęca charakteryzuje sę tym, Ŝe 0 0 40 60 80 w punkce tym znka druga pochodna, a węc temperatura t [ C] 100 rozwjając zaleŝność V(T) wokół tego punktu Rys. 3. Przykładowy przebeg napęca na pozbywamy sę wyrazu kwadratowego termstorze w układze dzelnka perwszy zanedbany wyraz to dopero wyraz sześcenny. Warunek znkana drugej pochodnej V(T) względem T (przy ustalonym E R) wyznacza oporność R opornka wzorcowego w dzelnku jako funkcję temperatury: B 0 R r exp = B + T0 T0 (4) zaleŝnego od temperatury odpowadającej punktow przegęca. Z tego właśne zwązku wynka wartość R = 51 kω oporu referencyjnego dla temperatury t 0 = 60 C. c) Kalbracja przyrządu polega na wyznaczenu ocen wartośc parametrów h g we wzorze (3) na podstawe pomarów napęca V dla szeregu dokładnych wartośc temperatury t w układze dzelnka napęć z wyznaczonym oporem R. Za dokładne wartośc temperatury uznajemy wskazana wzorcowego termometru. d) Termstor zamenmy w termometr, jeśl zmerzymy napęce V, a temperaturę oblczymy z odwróconej zaleŝnoścą (3): t = HV + G, 1 g H =, G =. h h (5) Nepewność tak uzyskanej wartośc temperatury wynka z nepewnośc pomaru napęca V oraz z ocen parametrów h g, ch nepewnośc ch kowarancj. Zadane 1 (obowązkowe, do domu do wykonanu przed przystąpenem do pomarów) Wykorzystując nformacje zawarte w nnejszej nstrukcj w częśc ANALIZA DANYCH, zaproponuj postać transformacj zmennych zaleŝnej r (oporu) nezaleŝnej T (temperatury) sprowadzającej wyraŝene (1) do postac lnowej η = ax + b pomocnczych parametrów a b, w której η jest nową zmenną zaleŝną, a x nową nezaleŝną. Podaj zwązek mędzy parametram a oraz b parametram B r termstora. napęce na termstorze V /E
Zadane (obowązkowe, do domu do wykonanu przed przystąpenem do pomarów) Wyprowadź zwązek (4). Wyznacz współczynnk prostej, stycznej do krzywej V(T) przechodzącej przez punkt przegęca tej krzywej. Zdecydowane sugerujemy, aby przed przybycem na Pracownę na pomary, przetrenować rozwązana Zadań 3, 4 oraz 5. Z zawartych w nch poleceń będzesz musała/musał wywązać sę sprawne po wykonanu pomarów charakterystyk, a przed kalbracją termstora. Jeśl ne przygotujesz sę do nch dostateczne dobrze, moŝesz stracć czas, którego C potem zabrakne na wykonane kolejnych pomarów. POMIARY Pomary w tym dośwadczenu odbywają są w dwóch częścach. W perwszej wykonywany jest pomar charakterystyk temperaturowej termstora w obszarze od około 5 C do około 80 C z przerwą mędzy 15 C a 50 C, a następne na jej podstawe doberana jest wartość oporu R (wzór (4)). W drugej częśc budowany jest dzelnk napęca wykonywane są pomary w obszarze temperatur od około 50 C do około 80 C, słuŝące kalbracj przyrządu. Masz do dyspozycj naczyne o pojemnośc około 00 ml; wzorcowy termometr elektronczny z podzałką co 0,1 C; jego wskazana uznajemy za wystarczająco dokładne; termstor w alumnowej rurce z wyprowadzonym przewodam; termstor to umeszczony zalany Ŝywcą na końcu rurk obekt o rozmarze klku mlmetrów; płytkę drukowaną słuŝącą do budowy dzelnka napęć; zaslacz stałonapęcowy jako źródło napęca na wejścu dzelnka; mernk unwersalny Brymen 805; parametry tego mernka jako woltomerza podaje Tabela 1; dodatkowy mernk unwersalny (np. typu CHY 38) do kontrol napęca na zaslaczu; zestaw opornków; przewody; gorącą wodę lód. Tabela 1. Parametry mernka Brymen 805 jako woltomerza napęca stałego Zakres napęca stałego (DC) Dokładność od do w nc 000,0 mv 399,9 mv 0,3% 4c = 0,4 mv = 0,0004 V 0,400 V 3,999 V 0,5% 3c = 0,003 V 04,00 V 39,99 V 0,5% 3c = 0,03 V Wyjaśnena do tabel: welkość dopuszczalny błąd granczny wskazana mernka na danym zakrese pomarowym wyznacza sę na podstawe wzoru (patrz nstrukcja do Ćwczena 3): w = x + nc, 100 gdze poszczególne welkośc to: w dokładność wskazanej wartośc x wyraŝającą w procentach ułamek wartośc zmerzonej; nc dokładność cyfrową określaną jako welokrotność n najmnej znaczącej jednostk c odczytu. Uwag: Podczas wykonywana pomarów pamętaj o szczegółowej dokumentacj, tj. o notowanu wszystkch nformacj mogących meć znaczene podczas analzowana uzyskanych wynków. PonewaŜ przy wysokch temperaturach woda stygne stosunkowo szybko ne jest moŝlwy jednoczesny odczyt temperatury opornośc, skoncentruj sę na obserwacj termometru. W momence, gdy temperatura osągne wyznaczoną przez Cebe wartość, zablokuj mernk oporu przycskem HOLD. Po zapsanu temperatury, zapsz oporność odblokuj mernk. 3
W trakce pomarów obchodź sę bardzo ostroŝne z naczynem z wodą woda o temperaturze około 80 C jest dość gorąca. Naczyne ustaw z dala od Cebe, aby nechcący go ne potrącć, staraj sę nm ne poruszać, a gdy woda stygne, ne okładaj go lodem lub ręcznkam nasączonym zmną wodą pozwól, aby proces stygnęca przebegał autonomczne bez Twej nterwencj jakkolwek zakłóceń. Wykonane pomarów część I - wyznaczane charakterystyk temperaturowej termstora Zanotuj numer termstora, który otrzymałeś (numer ten podaj w raporce z ćwczena). Podłącz termstor do mernka unwersalnego. Poproś prowadzącego zajęca o napełnene naczyna gorącą wodą. Umeść termstor termometr w wodze. Zadbaj, aby termstor część czuła termometru znalazły sę moŝlwe blsko sebe oba elementy były zanurzone w wodze wypełnene naczyna do 1/4 1/5 wysokośc pownno to zapewnć zbyt duŝa lość wody jest newygodna, bo naczyne będze wolnej stygło, a to, przy skończonym czase pomaru, zawęz badany obszar temperatur. Nm rozpocznesz pomary, poczekaj na ustablzowane sę wskazań termometru. Notuj wartośc temperatury stygnącej wody oporność termstora. Prowadź pomary do momentu, gdy woda ostygne do temperatury 50 C lub czas wykonywana pomarów przekroczy 45 mnut. Po wykonanu następnej ser pomarów z ogrzewającą sę wodą będzesz wykorzystywać zaslacz. Zaslacz, jak kaŝde urządzene elektronczne, wymaga wygrzana, dlatego juŝ teraz włącz go nastaw na nm jakeś newelke napęce np. 1 V. Podłącz takŝe do jego wyjśca dodatkowy mernk w trakce pomarów ogrzewającej sę wody obserwuj, od czasu do czasu, jego wskazana. Ponformuj prowadzącego zajęca, jeśl zmany napęca przekroczą 0, V. Napełnj naczyne zmną wodą z kranu dodaj pewną lość lodu. Tak doberz proporcje wody lodu, aby po wymeszanu całkowtym stopenu lodu, woda mała około 5 C. I tu, jak poprzedno, byt duŝa lość wody jest newygodna, bo naczyne będze wolnej sę ogrzewało, a to, przy skończonym czase pomaru, zawęz badany obszar temperatur. Nm rozpocznesz pomary, poczekaj na ustablzowane sę wskazań termometru. Notuj wartośc temperatury wody ogrzewającej sę od otoczena opornośc termstora. Zakończ pomary, gdy temperatura wody osągne wartość 15 C lub czas wykonywana pomarów przekroczy 30 mnut. Wyznaczane optymalnych parametrów układu do kalbracj termstora Zadane 3 (na ćwczenach do wykonana po perwszej częśc pomarów) Wykorzystując wynk Zadana 1 oraz zameszczony na Rysunku 4 (na końcu nstrukcj) specjalny paper grafczny, wyznacz szacunkowe oceny parametrów r B termstora. W tym celu naneś na rysunek nektóre ze zmerzonych wartośc temperatury opornośc termstora (po klka z obszaru wyŝszych nŝszych temperatur), dopasuj na oko za pomocą lnjk, lnę prostą do danych, wyznacz parametry tej ln prostej, a z nch oceny parametrów termstora. Zadane 4 (na ćwczenach do wykonana po perwszej częśc pomarów) Wykorzystując znalezone szacunkowe oceny parametrów r B termstora, wyznacz ocenę wartośc R oporu dzelnka (wzór (4)) dla temperatury t 0 = 65 C. Skorzystaj z wykresu na Rysunku 5 (na końcu nstrukcj) lub kalkulatora. Zadane 5 (na ćwczenach do wykonana po perwszej częśc pomarów) Wykorzystując charakterystykę temperaturową termstora w zakrese od 50 C do 80 C oraz ocenoną wartość oporu R dzelnka, wyberz wartość napęca E zaslacza, przy którym będzesz kalbrował czujnk. W swej decyzj keruj sę dokładnoścą odczytu napęca z dzelnka za pomocą mernka Brymen 805. Informacje o dokładnośc wskazań napęca na mernku podaje Tabela 1. 4
Wykonane pomarów część II budowa kalbracja termometru W drugej częśc pomarów wykorzystywany jest zaslacz. Do dobrej praktyk naleŝy brak ufnośc w stablne poprawne dzałane kaŝdego urządzena uŝytego w dośwadczenu dlatego w zestawe przyrządów znajduje sę drug mernk. Mernk ten ma C posłuŝyć do montorowana napęca zaslana. Z otrzymanego zestawu opornków wyberz ten, który najlepej odpowada wartośc oblczonej wg wzoru (4) (patrz Zadane 4) dla t 0 = 65 C. Wykorzystując płytkę, zbuduj dzelnk napęca, którego elementam są opornk termstor oraz mernk Brymen pozwalający merzyć napęce na termstorze. Podłącz takŝe dodatkowy mernk, pozwalający kontrolować napęce na wyjścu zaslacza. Podłącz zaslacz do układu dzelnka wyberz napęce zaslające dzelnk (patrz Zadane 5). Poproś prowadzącego zajęca o napełnen naczyna gorącą wodą. Wykonaj pomary z gorącą wodą jak przy zdejmowanu charakterystyk temperaturowej. Notuj wartośc temperaturę, napęce na termstorze napęce zaslana do momentu, gdy woda ostygne do temperatury 50 C lub czas wykonywana pomarów przekroczy 45 mnut. ANALIZA DANYCH Część I wyznaczane parametrów zaleŝnośc nelnowej Na wykładze została wprowadzona metoda najmnejszych kwadratów słuŝąca do wyznaczena ocen parametrów zaleŝnośc η = ax + b, którą praktyczne wykorzystano w Ćwczenu 4. Przypomnjmy zasady, na których sę ona opera: dla ser znanych dokładne wartośc x, = 1,,..., n, merzymy odpowadające m oceny y welkośc η = ax + b mnmalzujemy, względem parametrów a oraz b, waŝoną sumę kwadratów reszt n y ax b = = 1 σ R ( a, b), gdze welkośc σ to odchylena standardowe zmennej y. W praktyce odchylena te są, zazwyczaj, neznane dlatego zastępujemy je nepewnoścam standardowym u, a wówczas oceny neznanych parametrów a b oraz ch nepewnośc wyraŝają sę zwązkam: gdze 1 1 ( ) ˆ 1 1 ( ) aˆ = SS,,, xy SxS y ua = S b = S ysxx SxySx ub = Sxx, x x y x y S = S = S = S = S = = SS S n n n n n 1,,,, x xx y xy, xx x = 1 u = 1 u = 1 u = 1 u = 1 u. Tak wyznaczone oceny ne są statystyczne nezaleŝne, a ocena c ab ch kowarancj C ab wynos: 1 c = S. (7) ab Często, obok oceny c ab kowarancj, podawana jest ocena tzw. współczynnk korelacj ρ ab : cab ˆ ρ ab =. uaub Współczynnk ten jest bezwymarowy, ma wartośc ogranczone do przedzału [ 1,1] wskazuje na słę zwązku mędzy wyznaczonym ocenam parametrów a oraz b: m jest blŝszy jednośc, co do wartośc bezwzględnej, tym slnejsza relacja łączy obe oceny. Jego wartość ±1 oznacza ścsłą, matematyczna zaleŝność lnową: malejącą dla wartośc 1 rosnącą dla wartośc 1. Zastosowane metody najmnejszych kwadratów do lnowej, względem neznanych parametrów a b w zaleŝność η(x;a,b), prowadz do analtycznych wzorów zarówno dla ocen tych parametrów, jak ch nepewnośc. W ogólnym przypadku nelnowej zaleŝnośc od szukanych parametrów, metoda najmnejszych kwadratów prowadz do układu nelnowych równań, których rozwązań zazwyczaj ne potrafmy przedstawć za pomocą funkcj elementarnych. Istneje jednak 5 x (6)
szereg funkcj, w których parametry pojawają sę w forme nelnowej, ale po wykonanu zamany zmennych, zaleŝnośc te moŝna przekształcć do postac lnowej funkcj szukanych parametrów być moŝe kosztem przedefnowana nektórych z nch. Dla przykładu zaleŝność A ϕ = B + x merzonej welkośc ϕ znanej dokładne welkośc x, po podstawenu η = 1/ϕ przyjmuje postać 1 B + x B 1 1 B η = = = + x = ax + b, gdze a, b ϕ A A A = A = A, a węc zaleŝy lnowo od dwóch nowych parametrów: a b. MoŜemy teraz do zaleŝnośc η = ax + b zastosować standardowe wzory (6) (7). Musmy jednak pamętać o wyznaczenu, za pomocą wzoru na propagację małych błędów (o le ma zastosowane) nepewnośc welkośc 1/y na podstawe znanych wartośc y u. Po wyznaczenu ocen parametrów a b oraz ch nepewnośc u a, u b oceny c ab kowarancj C ab, oceny parametrów A B uzyskujemy odwracając transformację, a nepewnośc u A, u B ocenę c AB kowarancję C AB wyznaczamy na podstawe wzoru na propagację małych błędów. Stosowne oblczena stanową treść zadań rachunkowych ponŝej. W podobny sposób postępujemy z przykładowym zaleŝnoścam wymenonym w Tabel. Tabela. Przykłady lnearyzowana zaleŝnośc ([x] oznacza wymar lub jednostkę welkośc x) Badana zaleŝność Nowa zmenna zaleŝna Nowa zmenna nezaleŝna Przekształcene parametrów Otrzymana zaleŝność η = ln ϕ t = ϕ b = x B η = at + b ϕ = Bx a [ ] ϕ = Be ax [ ϕ] ϕ = A(x + B) k η = ln ϕ x η ϕ Uwaga. Tak jak ne potrafmy oblczyć wartośc funkcj wykładnczej w punkce np. 5 cm lub wartośc funkcj trygonometrycznych od argumentu np. 3 godz., tak teŝ ne potrafmy oblczyć wartośc funkcj logarytm welkośc manowanej. Dlatego do dobrej praktyk naleŝy jawne ln t 1 C, w której merzona usunęce mana we wzorach metodą dzelena przez jednostkę, np. ( ) jest rozwaŝana welkość, co w Tabel symbolzują oznaczena [ϕ], [x] oraz [B]. [ ] Przykład lnearyzowana zaleŝnośc spotkalśmy juŝ w Ćwczenu 1 WAHADŁO MATEMATYCZNE gdze wykreślana była zaleŝność 4π 4π H T = h + g g kwadratu okresu T drgań wahadła, jako funkcj jego wysokośc h nad podłogą, a welkość H określała wysokość punktu zaczepena wahadła nad podłogą. W relacj tej kwadrat okresu odgrywa rolę welkośc η, natomast zmenną nezaleŝną x jest wysokość h. Jeśl nepewnośc zmennej zaleŝnej są na tyle małe, Ŝe przyblŝene propagacj małych błędów jest wystarczająco dokładne, to oceny wartośc parametrów uzyskane na podstawe zlnearyzowanej zaleŝnośc są bardzo blske wartoścom wynkającym z metody najmnejszych kwadratów zastosowanej do orygnalnego problemu. Zadane 6 (na ćwczenach rachunkowych) Newtona prawo stygnęca Zgodne z prawem Newtona, temperatura T stygnącego cała, z dobrym przyblŝenem, opsywana jest zaleŝnoścą: T t = T + T T exp At, (8) ( ) ( ) ( ) o p o gdze T o jest temperaturą otoczena, T p temperaturą początkową cała, natomast t czasem obserwacj od chwl rozpoczęca stygnęca, kedy to cało mało temperaturę T p. Współczynnk A 6 [ ] b = ln B η = ax + b [ B] k k k = x a A, b B A = = η = ax + b
charakteryzuje warunk stygnęca zaleŝy od stygnącego cała otoczena. Dla cągu dokładne znanych chwl czasu t, = 1,,.., n, zmerzono wartośc T ± u temperatury wody stygnącej w probówce. Zaprojektuj kolejne krok oblczeń pozwalające wyznaczyć oceny neznanych wartośc parametrów A T p, a takŝe nepewnośc tych ocen. Sprowadź zagadnene do wyznaczana parametrów zaleŝnośc lnowej wyprowadź nezbędne wzory. W celu uproszczena zadana przyjmj, Ŝe temperatura otoczena T o jest znana dokładne (została zmerzona termometrem o stotne wększej precyzj, nŝ termometr, który posłuŝył do wyznaczana temperatury stygnącej wody) ne ulega zmane w trakce trwana pomarów. Wskazówka: a) Zaproponuj postać transformacj zmennych zaleŝnej nezaleŝnej sprawdzające wyraŝene (8) do lnowej funkcj η = ax + b pomocnczych parametrów a b, w której η jest nową zmenną zaleŝną, a x nową zmenną nezaleŝną. b) Podaj zwązk łączące parametry A T p z parametram a b. c) Przetłumacz nepewnośc u na nepewnośc w nowej zmennej zaleŝnej. d) Podaj postać welkośc mnmalzowanej w metodze najmnejszych kwadratów. e) Wyprowadź wyraŝena na oceny parametrów a b, ch nepewnośc u a u b oraz ocenę c ab kowarancj C ab (wzory (6) oraz (7)) wynkające z metody najmnejszych kwadratów. f) Przypuśćmy, Ŝe odchylene standardowe σ T pomaru temperatury ne jest znane, a jedyne wadomo, Ŝe jest ono take samo dla wszystkch wartośc temperatury. Na podstawe welu wcześnejszych dośwadczeń wadomo, Ŝe wyraŝene (8) poprawne opsuje stygnęce wody w warunkach tego konkretnego eksperymentu. Podaj wyraŝena na ocenę u odchylena standardowego σ T oraz nepewnośc u a u b oraz ocenę c ab kowarancj C ab., Część II kalbracja odwrócene rol zmennych w zaleŝnośc lnowej Doberając odpowedną wartość opornośc R dzelnka (wzór (4)) oczekujemy, Ŝe w otoczenu punktu przegęca wyznaczonego temperaturą t 0, napęce U na termstorze z dobrym przyblŝenem spełna zaleŝność U = ht + g (wzór (3)). Celem drugej częśc pomarów jest wyznaczene ocen parametrów h g, które pozwolą określć temperaturę na podstawe zmerzonego napęca V na termstorze, zgodne ze wzorem: 1 g t = HV + G, H =, G h = h. Opsana powyŝej procedura nazywana jest kalbrowanem przyrządu. UŜywane termstora jako termometru wymaga określena dokładnośc pomaru temperatury przy zadanej dokładnośc napęca V w badanym przedzale temperatur. Zlustrujemy to rozwązując ponŝsze zadana. Zadane 7 (na ćwczenach rachunkowych) ogólna postać wzoru na propagację małych błędów Nech η = f(µ 1,,µ n ) będze funkcją neznanych, dokładnych wartośc µ 1,,µ n. W celu ch wyznaczena wykonano pomary uzyskano wartośc x, = 1,,.., n. O wynkach pomarów zakładamy: (x ) = µ, ((x µ ) ) = σ, ((x µ ) (x k µ k )) = C k dla k, przy czym przynajmnej nektóre z kowarancj C k są róŝne od zera. Przyjmjmy takŝe, Ŝe funkcja f w zakrese zmennośc zadanej odchylenam standardowym argumentów z wystarczającą dokładnoścą moŝe być przyblŝona zaleŝnoścą lnową. WykaŜ, Ŝe wtedy ocenę welkośc η otrzymujemy ze zwązku ˆ η = f ( x1, x,..., xn ), natomast jej warancja wynos: (( ˆ ) ) ( )( ) n n n f f f f f E η η = E ( x µ xk µ k ) = σ + Ck,, k= 1 x xk = 1 x, k x xk gdze wartośc pochodnych funkcj f oblczamy dla dokładnych wartośc µ, = 1,,..., n. W praktyce zazwyczaj ne znamy wartośc µ odchyleń standardowych σ oraz elementów C j macerzy kowarancj, a jedyne ch oceny x, u oraz c j, wtedy teŝ nepewność u η oceny ˆη welkośc η wyznaczamy ze zwązku: 7
n n f f f uη = u + ck = 1 x, k x xk, gdze pochodne oblczone są w punkce x, = 1,,..., n. Zadane 8 (na ćwczenach rachunkowych) kalbracja Wadomo, Ŝe zaleŝność mędzy welkoścam η oraz x opsuje wzór η = ax + b. Dla ser znanych dokładne wartośc x, = 1,,.., n, zmerzono wartośc y ± u welkośc η. Na podstawe tych danych wyznaczono oceny â ˆb parametrów a, b oraz oceny u a, u b c ab welkośc σ a, σ b C ab. W dalszej pracy chcemy skorzystać z tych wynków do wyznaczana wartośc welkośc x na podstawe wartośc y uzyskanej jako wynk pomaru welkośc η, nezaleŝnego od pomarów, które doprowadzły do wyznaczena ocen parametrów a b. Ocena odchylena standardowego σ y wartośc y, czyl nepewność tej wartośc wynos u y. Dla zaleŝnośc η = ax + b, ocenę wartośc x wyznaczymy ze zwązku y bˆ xˆ =. aˆ PokaŜ, Ŝe stosując wyraŝene na propagację małych błędów, nepewność u x oceny ˆx oblczamy jako: ( ) u y bˆ u ˆ y a ub y b ux = + + + c 4 3 ab. aˆ aˆ aˆ aˆ Zadane 9 (na ćwczenach rachunkowych) nterpolacja Wadomo, Ŝe zaleŝność mędzy welkoścam η x opsuje wzór η = ax + b. Dla ser znanych dokładne wartośc x, = 1,,.., n, zmerzono wartośc y welkośc η, przy czym odchylene standardowe wynku pomaru o numerze wynos σ. Na podstawe tych danych wyznaczono oceny â ˆb parametrów a, b oraz welkośc σ a, σ b C ab. Przy zadanej, dokładnej ˆ η x welkośc η(x) wynos ˆ η = âx + bˆ. PokaŜ, Ŝe: wartośc x, róŝnej od kaŝdej z wartośc x, ocena ( ) Dwe hperbole: ( ) ( ) ( ) σ x = E ˆ η η = σ x + C x + σ. η a ab b ( x) ax ˆ bˆ x C x η σ σ ± = + ± a + ab + b (9) w zmennych (x,η ± ), wyznaczają tzw. pasmo ufnośc na pozome jednego odchylena standardowego, welkośc η(x) w zadanym punkce x. W praktyce zazwyczaj ne znamy odchyleń standardowych σ, σ a, σ b kowarancj C ab, a jedyne ch oceny u, u a, u b oraz c ab, wtedy teŝ nepewność u η oceny ˆη welkośc η oblczamy ze zwązku: a zaleŝność ( ) uη x = ua x + cabx + ub, ( x) ax bˆ u x c x u ˆ η ± = ˆ + ± + + (10) a ab b wyznacza pasmo wahań welkośc η(x) o jedną nepewność standardową. Zadane 10 (na ćwczenach, jeśl wystarczy czasu) korelacja mędzy funkcjam zmennych Nech η = f(µ 1,,µ n ), a γ = g(µ 1,,µ n ) będą funkcjam neznanych, dokładnych wartośc µ 1,,µ n. W celu ch wyznaczena wykonano pomary uzyskano wartośc x, = 1,,.., n. O wynkach pomarów zakładamy: (x ) = µ, ((x µ ) ) = σ, ((x µ ) (x k µ k )) = C k dla k, przy czym przynajmnej nektóre z C k są róŝne od zera. PokaŜ, Ŝe w przyblŝenu małych błędów, welkość C fg := ((f(x) η)(g(x) γ)), gdze x = (x 1,x,,x n ), wynos: C f g f g n n n fg = σ + Ck = 1 x x = 1 k x xk. 8
W praktyce pochodne oblczamy w punktach x, a odchylena standardowe σ kowarancje C k, zastępujemy ch ocenam u oraz c k. Zadane 11 (na ćwczenach, jeśl wystarczy czasu) wpływ nestablnośc zaslacza RozwaŜmy wpływ braku stablnośc dzałana zaslacza na dokładność pomarów temperatury za pomocą termstora w układze dzelnka napęca. W tym celu przyjmjmy, Ŝe znamy dokładne parametry B oraz r termstora, oporność R opornka wzorcowego w dzelnku napęca, a jedynym źródłem błędu w pomarze jest brak stablnośc zaslacza. Jak duŝa musałaby być względna zmana E/E napęca na zaslaczu, aby zaznaczyła sę ona odchylenem wartośc temperatury od jej wartośc dokładnej o 0,1 C? Aby nabrać orentacj co do rozmaru tego efektu, skorzystaj z szacunkowych ocen parametrów termstora zmerzonej wartośc R referencyjnego opornka, wyznacz wartość E/E dla temperatury t 0 porównaj ją z analogczna wartoścą wynkającą z procentowej dokładnośc mernka Brymen (Tabela 1) na wybranym zakrese pomarowym (Zadane 5). Gdyby nestablność zaslacza była netolerowalne duŝa ne byłoby moŝlwośc powtórzena pomarów ze sprawnym zaslaczem, to w jak sposób naleŝałoby poprawć dane na ten efekt? Zadane 1 (do domu dla trenngu) PokaŜ, Ŝe obe krzywe wyraŝone zwązkem (9) to hperbole. Zadane 13 (do domu dla trenngu) Dwaj studenc otrzymal zadane pomaru masy dwóch cał za pomocą szalkowej wag laboratoryjnej, wyposaŝonej w komplet odwaŝnków, z których najmnejszy mał masę = 1 g. Student A zmerzył masę kaŝdego z cał bezpośredno tj. kładąc kaŝde z nch oddzelne na jedną szalkę, a odwaŝnk na drugą. Student B natomast, najperw zmerzył sumę mas obu cał łączne, a następne połoŝył jedno cało na jednej szalce, a druge na drugej szalce wyrównał wagę dokładając odpowedne odwaŝnk na tej szalce, na której leŝało cało o mnejszej mase. Układając stosowne równana, student B mógł oblczyć masę kaŝdego z cał. Jaką dokładność pomaru masy kaŝdego z cał uzyskal studenc? Ile wynos współczynnk korelacj mędzy wartoścam mas uzyskanym przez kaŝdego studenta w ch własnym pomarze? Zadane 14 (do domu dla trenngu) Wykorzystaj swoje dane dotyczące pomaru okresu drgań wahadła w zaleŝnośc od wysokośc kul wahadła na podłogą uzyskane przy wykonywanu pomarów w Ćwczenu 1 wyznacz oceny, wraz z ch nepewnoścam współczynnkem korelacj, przyspeszena zemskego oraz wysokośc pomeszczena, w którym wykonywane były pomary. Zadane 15 (do domu dla trenngu) Jeśl do nterpolacj wykorzystujemy prostą dopasowaną metodą najmnejszych kwadratów, dla jakej wartośc zmennej kontrolowanej otrzymujemy najmnejszą nepewność welkośc nterpolowanej? Zadane 16 (do domu dla trenngu) Dysponujemy serą n pomarów y, kaŝda z odchylenam standardowym σ, zaczerpnętych z zaleŝnośc proporcjonalnej η = θ x przy n wartoścach zmennej kontrolowanej x. Dla kaŝdej pary (x, y ) moŝemy utworzyć ocenę parametru θ w forme: θ = y /x, a z tych ocen zbudować średną arytmetyczną. Znajdź warancję takej oceny. Porównaj z warancja uzyskaną z metody najmnejszych kwadratów. Którą z tych ocen wyberzesz? Jak zmeną sę wynk, jeśl zamast średnej arytmetycznej wykorzystasz średna waŝoną? Zadane 17 (do domu dla trenngu) Wadomo, Ŝe zaleŝność mędzy welkoścam η x jest lnowa. Dla cągu znanych dokładne wartośc x, = 1,,.., n, z pomaru uzyskano wartośc y welkośc η, przy czym odchylene standardowe wynku pomaru o numerze wynos σ.pokaŝ, Ŝe jeśl relację mędzy welkoścam η η = a x x + b, gdze oraz x przedstawć w postac ( ) w 9
n 1 x xw = n 1, = 1 σ = 1 σ to kowarancja C ab = 0 (mówmy wtedy, Ŝe oceny parametrów a oraz b są neskorelowane). Zadane 18 (do domu dla trenngu) Dana jest próbka lcząca n par (x,y ) kontrolowanych wartośc x znanych ścśle oraz zmerzonych wartośc y, o znanych dyspersjach σ, będących neobcąŝonym ocenam welkośc η = ax. Nech lnowy, w zmennych y, estymator â parametru a ma postać aˆ n = α y, = 1 gdze α to neznane, stałe współczynnk. Doberz te współczynnk tak, aby estymator ten mał mnmalną warancję był neobcąŝony. PokaŜ, Ŝe tak otrzymany estymator jest toŝsamy z estymatorem metody najmnejszych kwadratów. RAPORT KOŃCOWY Wynk pomarów, w postac plku tekstowego, plku do programu Excel paketu MS Offce lub plku do programu Calc paketu Open/Lbre Offce prześlj e-malem prowadzącemu zajęca nezwłoczne po złoŝenu raportu. Twój raport będze czekał na sprawdzene, aŝ to uczynsz. Raport pownen zawerać: 1. Wykres zmerzonej zaleŝnośc oporu termstora od temperatury (Wykonane pomarów część I) wraz z krzywą wyraŝoną wzorem (1) wyznaczoną na podstawe ocen wartośc parametrów uzyskanych w punkce 3 nnejszego wylczena.. Defncję transformacj zmennych, w których zmerzona zaleŝność opornośc od temperatury przyjmuje postać lnowej funkcj poszukwanych parametrów. 3. Wyznaczone metodą najmnejszych kwadratów oceny wartośc parametrów otrzymanej zaleŝnośc lnowej, a stąd wartośc ocen parametrów r B termstora (wzór (1)) oraz ch nepewnośc wraz z ch kowarancją współczynnkem korelacj. W analze danych przyjmj, Ŝe temperatura merzona wzorcowym termometrem znana jest dokładne, a wszystke pomary oporu mają tę samą wartość u r nepewnośc wyznacz ją z rozrzutu punktów wokół otrzymanej prostej (patrz Wykład Ćwczene 4). Podaj wartość u r. 4. Optymalną dla temperatury t 0 = 65 C ocenę oporu referencyjnego (wzór (4)) w dzelnku napęca, wraz z nepewnoścą tej oceny. Dalszą analzę dyskusję przeprowadź w zaleŝnośc od temperatury wyraŝonej w stopnach Celsjusza. 5. Zmerzoną wartość R opornka wybranego z dostępnego zestawu zastosowanego jako opór referencyjny w dzelnku napęca oraz odpowadającą temu opornkow temperaturę t 0. 6. Wykres zmerzonej zaleŝnośc napęca V na termstorze od temperatury t wyraŝonej w stopnach Celsjusza (Wykonane pomarów część II). 7. Uzyskane metodą najmnejszych kwadratów oceny parametrów h g zaleŝnośc U = ht + g (zwązek (3)), a takŝe nepewnośc ocen tych parametrów, ch kowarancję współczynnk korelacj mędzy tym ocenam. W oblczenach przyjmj, Ŝe temperatura jest znana dokładne, a wszystke nepewnośc pomaru napęca mają tę samą wartość u U wyznacz ją z rozrzutu punktów wokół otrzymanej prostej. Podaj wartość u U. 8. Dopasowaną prostą nanesoną na wykres z punktu 6 powyŝej. 9. Wykres reszt ε ˆ = V U, tj. róŝnc mędzy zmerzoną wartoścą V napęca a wartoścą Uˆ = ht ˆ + gˆ uzyskaną z dopasowanej zaleŝnośc dla temperatury t, jako funkcję temperatury t (w stopnach Celsjusza). 10. Oceny Ĥ Ĝ parametrów H G w zaleŝność (5) wraz z ch nepewnoścam, kowarancją ch współczynnkem korelacj. 11. Wyznaczoną z zaleŝnośc (5) wartość temperatury (w stopnach Celsjusza) wraz z jej 10
nepewnoścą dla arbtralne wybranej przez Cebe, przykładowej wartośc napęca V róŝnej od wartośc uzyskanych w procese kalbracj termstora. Przyjmj, Ŝe wartość nepewnośc merzonego napęca jest równa nepewnośc u U uzyskanej w punkce 7 powyŝej. 1. Podsumowane nformacj dla przyszłego uŝytkownka zbudowanego termometru (termstor w układze dzelnka napęca z zadanym napęcem zaslającym) w postac: a) wykresu reszt = t t(v ) = t HV G jako funkcję temperatury t (w stopnach Celsjusza) dla ndeksu = 1,,..., n, numerującego pary wartośc (V, t ) zmerzone jak opsano to w Wykonane pomarów część II; b) nanesonych na tym wykrese hperbol (10) wyznaczających odchylena temperatury (w stopnach Celsjusza) o jedną nepewność u t od oblczonej temperatury t(v); c) dyskusj dokładnośc wskazań przyrządu w zaleŝnośc od dopuszczalnego przedzału zmennośc temperatury t. Raport końcowy naleŝy oddać w sekretarace Pracown w termne, który byłby termnem następnego spotkana po zakończenu ćwczeń rachunkowych do nnejszego dośwadczena. W raporce moŝesz wykorzystać jedyne własne dane. Raport końcowy pownen zawerać wszystke surowe wynk pomarów, aby moŝna było, bez odwoływan sę do zapsków sporządzonych w trakce wykonywan dośwadczena, powtórzyć wszystke oblczena sprawdzć ch poprawność. 11
1
13