Przypdek sekwencyjny Mrcin Piątkowski Wydził Mtemtyki i Informtyki Uniwersytet Mikołj Kopernik
Edsger Wybe Dijkstr (1930 2002) Computer science is no more bout computers thn stronomy is bout telescopes, biology is bout microscopes or chemistry is bout bekers nd test tubes. Science is not bout tools, it is bout how we use them nd wht we find out when we do. N 2 / 41
Wstęp lfbety i słow lfbet Σ skończony zbiór symboli słowo skończony ciąg symboli ze zbioru Σ Przykłdy Σ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 15432, 48, 5830281, 301528 Σ = {, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, r, s, t, u, w, z} kot, pies, dom, drzewo Σ = {,,,,, },,, 3 / 41
Wstęp Monoid słów Σ zbiór wszystkich skończonych słów nd lfbetem Σ Konktencj: 1 2... m b 1 b 2... b n = 1 2... m b 1 b 2... b n Łączność: (x y) z = x (y z) Element neutrlny ε (słowo puste): x ε = ε x = x 4 / 41
Wstęp Fktor Słowo w jest fktorem słow u jeśli u = x w y Przykłd: fktor: prefiks: sufiks: b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b 5 / 41
Wstęp Morfizm φ : M 1 M 2 x, y M φ(x y) = φ(x) φ(y) Przykłd M 1 = (Σ, ), M 2 = (Z, +) φ : M 1 M 2 φ(x) = x 6 / 41
Mksymlne powtórzeni Mksymlne powtórzeni b b b b b b b b b b b b b b 7 / 41
Mksymlne powtórzeni Mksymlne powtórzeni b b b b b b b b b b b b b b 7 / 41
Mksymlne powtórzeni Mksymlne powtórzeni b b b b b b b b b b b b b b 7 / 41
Mksymlne powtórzeni Mksymlne powtórzeni b b b b b b b b b b b b b b Oznczeni ρ(w) liczb mksymlnych powtórzeń w słowie w { } ρ(n) = mx ρ(w) : w = n 7 / 41
Mksymlne powtórzeni b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b 8 / 41
Mksymlne powtórzeni Wrtości ρ(n) dl 10 n 20 n ρ(n) ρ(n)/n Słowo 10 6 0.6 bbbb 11 7 0.636364 bbbbb 12 8 0.666667 bbbb 13 8 0.615385 bbbb 14 10 0,714286 bbbbbb 15 10 0.666667 bbbbbb 16 11 0.6875 bbbbbb 17 12 0.705882 bbbbbbbb 18 13 0.722222 bbbbbbbb 19 14 0.736842 bbbbbbb 20 15 0.75 bbbbbbbb 9 / 41
Mksymlne powtórzeni Wrtości ρ(n) dl 21 n 31 n ρ(n) ρ(n)/n Słowo 21 15 0.714286 bbbbbbbb 22 16 0.727273 bbbbbbbbbb 23 17 0.73913 bbbbbbbbb 24 18 0.75 bbbbbbbbbbbb 25 19 0.76 bbbbbbbbbb 26 20 0.769231 bbbbbbbbbbbb 27 21 0.777778 bbbbbbbbbbbb 28 22 0.785714 bbbbbbbbbbbb 29 23 0.793103 bbbbbbbbbbbbbb 30 24 0.8 bbbbbbbbbbbbbbb 31 25 0.806457 bbbbbbbbbbbbbb 10 / 41
Mksymlne powtórzeni oszcownie. Kolpkov, G. Kucherov (1999) n>0 ρ(n) c n lgorytm znjdowni wszystkich mksymlnych powtórzeń w słowie długości n dziłjący w czsie O(n) Hipotez n>0 ρ(n) n 11 / 41
Mksymlne powtórzeni oszcownie n 12 / 41
Mksymlne powtórzeni oszcownie 5n ytter (2006) n 12 / 41
Mksymlne powtórzeni oszcownie 5n ytter (2006) 3.44n ytter (2007) n 12 / 41
Mksymlne powtórzeni oszcownie 5n ytter (2006) 3.48n Puglisi et l. (2008) 3.44n ytter (2007) n 12 / 41
Mksymlne powtórzeni oszcownie 5n ytter (2006) 3.48n Puglisi et l. (2008) 3.44n ytter (2007) 1.6n Crochemore, Ilie (2008) n 12 / 41
Mksymlne powtórzeni oszcownie 5n ytter (2006) 3.48n Puglisi et l. (2008) 3.44n ytter (2007) 1.6n Crochemore, Ilie (2008) 1.048n Crochemore et l. (2008) n 12 / 41
Mksymlne powtórzeni oszcownie 5n ytter (2006) 3.48n Puglisi et l. (2008) 3.44n ytter (2007) 1.6n Crochemore, Ilie (2008) 1.048n Crochemore et l. (2008) n 0.927... n Frnek et l. (2003) 12 / 41
Mksymlne powtórzeni oszcownie 5n ytter (2006) 3.48n Puglisi et l. (2008) 3.44n ytter (2007) 1.6n Crochemore, Ilie (2008) 1.048n Crochemore et l. (2008) n 0.944542... n Kusno et l. (2008) 0.927... n Frnek et l. (2003) 12 / 41
Mksymlne powtórzeni oszcownie 5n ytter (2006) 3.48n Puglisi et l. (2008) 3.44n ytter (2007) 1.6n Crochemore, Ilie (2008) 1.048n Crochemore et l. (2008) 0.944542... n Kusno et l. (2008) 0.927... n Frnek et l. (2003) 12 / 41
Miry regulrności słów Liczb mksymlnych powtórzeń 0.944n ρ(n) 1.048n 13 / 41
Miry regulrności słów Liczb mksymlnych powtórzeń 0.944n ρ(n) 1.048n Liczb mksymlnych powtórzeń kubicznych 0.41n ρ (3) (n) 0.5n (Crochemore et l., 2010) 13 / 41
Miry regulrności słów Liczb mksymlnych powtórzeń 0.944n ρ(n) 1.048n Liczb mksymlnych powtórzeń kubicznych 0.41n ρ (3) (n) 0.5n (Crochemore et l., 2010) Sum wykłdników mksymlnych powtórzeń 2.035n se(n) 4.1n (Crochemore et l., 2011) 13 / 41
Miry regulrności słów Liczb mksymlnych powtórzeń 0.944n ρ(n) 1.048n Liczb mksymlnych powtórzeń kubicznych 0.41n ρ (3) (n) 0.5n (Crochemore et l., 2010) Sum wykłdników mksymlnych powtórzeń 2.035n se(n) 4.1n (Crochemore et l., 2011) Cłkowit długość mksymlnych powtórzeń n 2 8 TL(n) 47n2 72 (Glenn et l., 2013) 13 / 41
Definicj Słow Fiboncciego F 1 = b F 0 = F n = F n 1 F n 2 Przykłd F 1 = b f 1 = 2 F 2 = b f 2 = 3 F 3 = bb f 3 = 5 F 4 = bbb f 4 = 8 F 5 = bbbbb f 5 = 13 F 6 = bbbbbbbb f 6 = 21 F 7 = bbbbbbbbbbbbb f 7 = 34 14 / 41
Słow Fiboncciego. Kolpkov, G. Kucherov (1999) n4 ρ(f n ) = 2 F n 2 3 symptotyk lim n ρ(f n ) F n = 0.763932... 15 / 41
Słow stndrdowe Słow Fiboncciego F 1 = b F 0 = F k = F k 1 F k 2 Słow stndrdowe Sw(γ 0, γ 1,..., γ n ) x 1 = b x 0 = x k = x k 1 x k 1... x k 1 } {{ } γ k 1 x k 2 16 / 41
Słow stndrdowe γ = (1, 2, 1, 3, 1) x 1 = b x 0 = x 1 = (x 0 ) 1 x 1 = b x 2 = (x 1 ) 2 x 0 = b b x 3 = (x 2 ) 1 x 1 = bb b x 4 = (x 3 ) 3 x 2 = bbb bbb bbb bb x 5 = (x 4 ) 1 x 3 = bbbbbbbbbbb bbb Sw(1, 2, 1, 3, 1) = bbbbbbbbbbbbbb 17 / 41
Definicj Słow stndrdowe Dl ciągu kierunkowego γ = (γ 0, γ 1,..., γ n ) określmy h γi : { γ i b b dl 0 i n. 18 / 41
Definicj Słow stndrdowe Dl ciągu kierunkowego γ = (γ 0, γ 1,..., γ n ) określmy h γi : { γ i b b dl 0 i n. Sw(1) = h 1 () = b ( ) Sw(3, 1) = h 3 Sw(1) = b ( ) Sw(1, 3, 1) = h 1 Sw(3, 1) = bbbb ( ) Sw(2, 1, 3, 1) = h 2 Sw(1, 3, 1) = bbbbb ( ) Sw(1, 2, 1, 3, 1) = h 1 Sw(2, 1, 3, 1) = bbbbbbbbbbbbbb 18 / 41
w = 33 w = 19 w b = 14 b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b Słowo Christoffel (dolne): bbbbbbbbbbbbbb Słowo Christoffel (górne): bbbbbbbbbbbbbb Słow stndrdowe: bbbbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbbbb 19 / 41
w = 33 w = 19 w b = 14 b 14 0 19 28 5 9 24 23 10 4 29 18 15 32 1 13 20 27 6 8 25 22 11 3 30 17 16 31 2 12 26 7 21 b 20 / 41
w = 33 w = 19 w b = 14 b 14 0 19 28 5 9 24 23 10 4 29 18 15 32 1 13 20 27 6 8 25 22 11 3 30 17 16 31 2 12 26 7 21 b 20 / 41
w = 33 w = 19 w b = 14 b 14 0 19 28 5 b 9 24 23 10 4 29 18 15 32 1 13 20 27 6 8 25 22 11 3 30 17 16 31 2 12 26 7 21 b b 20 / 41
w = 33 w = 19 w b = 14 b 14 0 19 28 5 b 9 24 23 10 4 29 18 15 32 1 13 20 27 6 8 25 22 11 3 30 17 16 31 2 12 26 7 21 b b 20 / 41
w = 33 w = 19 w b = 14 b 14 0 19 28 5 b 9 24 23 10 b 4 29 18 15 32 1 13 20 27 6 8 25 22 11 3 30 17 16 31 2 12 26 7 21 b b b 20 / 41
w = 33 w = 19 w b = 14 b 14 0 19 28 5 b 9 24 23 10 b 4 29 18 15 32 1 13 20 27 6 8 25 22 11 3 30 17 16 31 2 12 26 7 21 b b b 20 / 41
w = 33 w = 19 w b = 14 b 14 0 19 28 5 b 9 24 23 10 b 4 29 18 15 32 1 13 20 27 6 8 25 22 11 3 30 17 16 31 2 12 26 7 21 b b b 20 / 41
w = 33 w = 19 w b = 14 b 14 0 b 19 28 5 b 9 24 23 b 10 b 4 29 18 15 32 1 b b 13 20 27 6 b b 8 25 22 11 b 3 b 30 17 16 31 2 b 12 26 7 21 b b b b b b b b b b b b b b b b 20 / 41
Ułmki łńcuchowe Definicj Ułmkiem łńcuchowym nzywmy wyrżenie postci: 1 0 +, 1 1 + 1 2 + 3 +... 1 + n zpisywne w uproszczeniu jko [ 0 ; 1, 2, 3,..., n ]. 21 / 41
Ułmki łńcuchowe Przykłd 19 14 22 / 41
Ułmki łńcuchowe Przykłd 19 14 = 1+ 5 14 22 / 41
Ułmki łńcuchowe Przykłd 19 14 = 1+ 5 14 = 1+ 1 2 + 4 5 22 / 41
Ułmki łńcuchowe Przykłd 19 14 = 1+ 5 14 = 1+ 1 2 + 4 5 = 1+ 1 2 + 1 1 + 1 4 [1; 2, 1, 4] 22 / 41
Ułmki łńcuchowe Przykłd 19 14 = 1+ 5 14 = 1+ 1 2 + 4 5 = 1+ 1 2 + 1 1 + 1 4 1 = 1+ 1 2 + 1 + 1 3 + 1 1 [1; 2, 1, 4] [1; 2, 1, 3, 1] 22 / 41
Słow stndrdowe Fkt Dl p q = [γ 0; γ 1,..., γ n ], gdzie p, q są względnie pierwsze, istnieje jednozncznie wyznczone słowo w {, b} tkie, że: 1 w = p 1 2 w b = q 1 3 Słowo b w jest dolnym słowem Christoffel. 4 Słowo w b jest górnym słowem Christoffel. 5 Jedno ze słów w b lub w b jest słowem stndrdowym zdnym przez ciąg kierunkowy γ = (γ 0,..., γ n ) 23 / 41
Słow Sturm Definicj Słow Sturm to nieskończone słow binrne, które zwierją dokłdnie n + 1 różnych podsłów długości n 0. b b b b b b b b b b b b b b... 1 b b b b b b b b b b b b b b... 2 b b b b b b b b b b b b b b... 3 b b b b b b b b b b b b b b... 4 b b b b b b b b b b b b b b... 24 / 41
Słow stndrdowe mksymlne powtórzeni P. turo, M. Piątkowski, W. ytter 2008 Okres kżdego mksymlnego powtórzeni w słowie stndrdowym Sw(γ 0, γ 1,..., γ n ) jest postci u = (x i ) j x i 1, gdzie 0 i n orz 0 j < γ i. Oznczeni: Mksymlne powtórzeni z okresem nie dłuższym niż x 1 nzywmy krótkimi Mksymlne powtórzeni z okresem dłuższym niż x 2 nzywmy długimi Pozostłe mksymlne powtórzeni nzywmy średnimi 25 / 41
Słow stndrdowe mksymlne powtórzeni b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b 26 / 41
Słow stndrdowe mksymlne powtórzeni Zlicznie mksymlnych powtórzeń Wzór n liczbę krótkich mksymlnych powtórzeń wyznczony w sposób bezpośredni. Wzór n liczbę średnich mksymlnych powtórzeń wyznczony w sposób bezpośredni. ekurencyjn zleżność dl długich mksymlnych powtórzeń. 27 / 41
i-prtition Słow stndrdowe mksymlne powtórzeni Kżde słowo stndrdowe Sw(γ 0,..., γ n ) może być reprezentowne w jednej z dwóch postci: x α1 i x i 1 x α2 i x i 1... x αs i x i 1 x i lub x β1 i x i 1 x β2 i x i 1... x βs i x i 1, gdzie α k, β k {γ i, γ i + 1}. x 1 x 1 x 0 x 1 x 1 x 1 x 0 x 1 x 1 x 1 x 0 x 1 x 1 x 1 x 0 x 1 x 1 x 0 x 1 b b b b b b b b b b b b b b x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 2 x 1 x 3 x 3 x 3 x 2 x 3 b b b b b b b b b b b b b b x 4 x 3 28 / 41
Słow stndrdowe mksymlne powtórzeni Fkt Struktur wystąpień bloków x i (równowżnie x i 1 ) w reprezentcji i-prtition słow stndrdowego Sw(γ 0,..., γ n ) odpowid strukturze wystąpień liter (równowżnie liter b) w słowie Sw(γ m,..., γ n ). i i-prtition Sw(γ m,..., γ n ) 1 b b b b b b b b b b b b b b bbbbb 2 bb b bb b bb b bb bb b bbbb 3 bbb bbb bbb bb bbb b 4 bbbbbbbbbbb bbb b 29 / 41
Słow stndrdowe mksymlne powtórzeni P. turo, M. Piątkowski, W. ytter 2008 Okresy długich mksymlnych powtórzeń w słowch stndrdowych synchronizują się z morfizmmi h i b b b b b b h 0 b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b 30 / 41
Słow stndrdowe mksymlne powtórzeni P. turo, M. Piątkowski, W. ytter 2008 2 + 2 + (γ) 1 γ 0 = γ 1 = 1 (γ 1 + 2) + + (γ) odd(n) γ 0 = 1; γ 1 > 1 ρ(w) = 2 + 3 + (γ) even(n) γ 0 > 1; γ 1 = 1 (2γ 1 + 1) + 2 + (γ) γ 0 > 1; γ 1 > 1 = Sw(γ 2, γ 3,..., γ n ) = Sw(γ 3, γ 4,..., γ n ) (γ) = n 1 (γ 1 +... + γ n ) unry(γ n ) 31 / 41
Słow stndrdowe mksymlne powtórzeni Wyznczenie wrtości Sw(γ 0,..., γ n ) x 1 0 x 0 1 x 1 γ 0 x 0 + x 1 x 2 γ 1 x 1 + x 0. x n+1 γ n x n + x n 1 32 / 41
Słow stndrdowe mksymlne powtórzeni Wyznczenie wrtości Sw(γ 0,..., γ n ) x 1 0 x 0 1 x 1 γ 0 x 0 + x 1 x 2 γ 1 x 1 + x 0. x n+1 γ n x n + x n 1 (n + 1) rzy 32 / 41
Słow stndrdowe mksymlne powtórzeni Słow z dużą liczbą mksymlnych powtórzeń v k = Sw(1, 2, k, k) v k = ( (bb) k b) kbb v k = 5k 2 + 2k + 5 ρ(v k ) = 4k 2 k + 3 ρ(v k ) v k 8 10 33 / 41
Słow stndrdowe mksymlne powtórzeni P. turo, M. Piątkowski, W. ytter 2008 n>0 ρ(n) 0.8 n ρ(n) lim n n = 0.8 34 / 41
Słow stndrdowe mksymlne powtórzeni P. turo, M. Piątkowski, W. ytter 2008 n>0 ρ(n) 0.8 n ρ(n) lim n n = 0.8 M. Piątkowski, W. ytter 2011 Zwrty wzór n liczbę mksymlnych powtórzeń kubicznych w słowch stndrdowych ρ (3) (n) lim n n = 0.36924841... 34 / 41
urrows-wheeler Trnsform WT Podstwy teoretyczne Dvid Wheeler, 1983 Zstosownie prktyczne Michel urrows, 1994 Podstw lgorytmu kompresji bzip2 35 / 41
urrows-wheeler Trnsform lgorytm K D Wyzncz mcierz M zwierjącą wszystkie cykliczne przesunięci słow wejściowego Posortuj wiersze M leksykogrficznie Zwróć zwrtość osttniej kolumny M orz numer wiersz zwierjącego słowo wejściowe 36 / 41
urrows-wheeler Trnsform lgorytm Wyzncz mcierz M zwierjącą wszystkie cykliczne przesunięci słow wejściowego Posortuj wiersze M leksykogrficznie Zwróć zwrtość osttniej kolumny M orz numer wiersz zwierjącego słowo wejściowe K D K D K D K D K D D K D K K D K D K D K D 36 / 41
urrows-wheeler Trnsform lgorytm Wyzncz mcierz M zwierjącą wszystkie cykliczne przesunięci słow wejściowego Posortuj wiersze M leksykogrficznie Zwróć zwrtość osttniej kolumny M orz numer wiersz zwierjącego słowo wejściowe K D K D K D D K K D K D K D D K K D K D K D 36 / 41
urrows-wheeler Trnsform lgorytm Wynik Wyzncz mcierz M zwierjącą wszystkie cykliczne przesunięci słow wejściowego Posortuj wiersze M leksykogrficznie Zwróć zwrtość osttniej kolumny M orz numer wiersz zwierjącego słowo wejściowe ( D K, 3) K D K D K D D K K D K D K D D K K D K D K D 36 / 41
urrows-wheeler Trnsform Włsności WT Możn pozbyć się numeru wiersz w wyniku dodjąc n końcu kodownego słow znk specjlny. Użycie smej trnformty nie powoduje kompresji. Zmieni strukturę przetwrznych dnych powodując grupownie identycznych znków w bloki. Pozwl zwiększyć stopień kompresji przy użyciu innych lgorytmów. 37 / 41
urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe 38 / 41
urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D K 38 / 41
urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D K D K 38 / 41
urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe - - - - - - - - - D K D K 38 / 41
urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe - - - - - - - - - D K D K 38 / 41
urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe - - - - - - - - D K D K 38 / 41
urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe - - - - - - - - D K D K 38 / 41
urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe - - - - - - - D K D K 38 / 41
urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe - - - - - - - D K D K 38 / 41
urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe - - - - - - D K D K 38 / 41
urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe - - - - - - D K D K 38 / 41
urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe - - - - - D K D D K 38 / 41
urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe - - - - - D K D D K 38 / 41
urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D - - - - D K D K 38 / 41
urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D - - - - D K D K 38 / 41
urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D - - - K D K D K 38 / 41
urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D - - - K D K D K 38 / 41
urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D - - K D K D K 38 / 41
urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D - - K D K D K 38 / 41
urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D - K D K D K 38 / 41
urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D - K D K D K 38 / 41
urrows-wheeler Trnsform odwrcnie Wejście ( D K, 3) lgorytm Umieść słowo wejściowe w osttniej kolumnie mcierzy M Odzyskj pierwszą kolumnę przez sortownie zwrtości osttniej Wykorzystując dwie znne kolumny odzyskj kolejne elementy wiersz zwierjącego słowo wejściowe D K D K D K 38 / 41
urrows-wheeler Trnsform słow stndrdowe b b b b b 39 / 41
urrows-wheeler Trnsform słow stndrdowe b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b 39 / 41
urrows-wheeler Trnsform słow stndrdowe b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b 39 / 41
urrows-wheeler Trnsform słow stndrdowe b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b 39 / 41
urrows-wheeler Trnsform słow stndrdowe Fkt Dl dowolnego słow stndrdowego w: WT (w) = b n k 40 / 41
Dziękuję z uwgę