WYTĘŻENIE WYBRANYCH MATERIAŁ ÓW ANIZOTROPOWYCH Z ASYMETRIĄ ZAKRESU SPRĘŻYSTEGO

ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MARYNARKI WOJENNEJ ROK LIII NR (90) 0 Piotr Kordzikowski Politechnika Krakowska WYTĘŻENIE WYBRANYCH MATERIAŁ ÓW ANIZOTROPOWYCH Z ASYMETRIĄ ZAKRESU SPRĘŻYSTEGO STRESZCZENIE W artykule podsumowano zagadnienia dokładnie omawiane we wcześniejszych pracach autora dotyczących wytężenia materiału oraz przedstawiono krótki rys historyczny związany z powstawaniem kryteriów wytrzymałościowych. Omówiono również pojęcie energii sprężystej oraz wynikające stąd hipotezy wytężeniowe E. Beltramiego, M. T. Hubera i W. Burzyńskiego dla materiałów izotropowych oraz J. Rychlewskiego dla materiałów anizotropowych. Przytoczone zostało też kryterium P. S. Theocarisa, które posłużyło do przeanalizowania możliwości uogólnienia kwadratowego kryterium Rychlewskiego dla dowolnych materiałów anizotropowych wykazujących eekt różnicy wytrzymałości (Strength Dierential Eect). Słowa kluczowe: anizotropowe materiały, kryterium wytężenia, sprężyste stany własne. WSTĘP Zaproponowane przez J. Rychlewskiego energetyczne kryterium stanu granicznego dla sprzężonych stanów własnych stanowi podstawę teorii wytężenia materiałów, które w ogólności wykazują anizotropię własności mechanicznych [4, 5,, 4]. W kryterium energetycznym należy określić graniczne energie dla poszczególnych sprężystych stanów własnych, których w ogólności może być co najwyżej sześć. Te graniczne energie można wyznaczyć doświadczalnie lub obliczyć. Propozycję obliczania granicznych energii podano w [7] i dyskutowano dokładniej w [6, 8]. Obliczenie granicznych energii dla modelu eektywnego, za pomocą którego można przewidywać sprężyste zachowanie się materiału na podstawie teoretycznego opisu jego struktury, dokładnie przedstawiono w pracach [7 ]. 5

Piotr Kordzikowski ZAGADNIENIE WYTĘŻENIA MATERIAŁU TŁO HISTORYCZNE, ENERGIA SPRĘŻYSTA Zagadnienie wytężenia materiału jest problemem skomplikowanym i trudnym do ścisłego, teoretycznego rozwiązania. Często dla ułatwienia, jak pisze J. Walczak [9], opieramy się na ocenie porównawczej. Sposób ten polega na tym, że za porównawczy stan wytężenia przyjmujemy z reguły najprostszy przypadek, jakim jest jednoosiowe rozciąganie, określone na granicy niebezpiecznej jednym tylko parametrem krytycznym. Istotą takiego podejścia jest wyznaczenie tzw. naprężenia zastępczego, czyli naprężenia przy jednoosiowym rozciąganiu, powodującego wytężenie równoważne co do wartości wytężeniu wynikającemu z danego stanu naprężenia. Metoda ta wymaga podania kryterium wytężenia, które określi miarę wytężenia pozwalającą na dokonanie takiego porównania dowolnego stanu naprężenia z odpowiadającym mu pod względem wytężenia przypadkiem jednoosiowym. Niemniej jednak wskazanie takiej miary wytężenia, odpowiadającej dowolnemu stanowi naprężenia, wciąż jest problemem otwartym, a jedyną metodą jej weryikacji jest doświadczenie. Stąd też wszelkie propozycje, które się pojawiały, opierają się jedynie na hipotezach, zwanych hipotezami wytrzymałościowymi. Na przestrzeni wieków, a trzeba zaznaczyć, że pierwsze prace związane z tym zagadnieniem poruszali Leonardo da Vinci (45 59) i Galileusz (564 64), ukształtowało się kilka głównych nurtów powstawania hipotez wytrzymałościowych. Zalicza się tu hipotezy naprężeniowe, odkształceniowe, energetyczne, mieszane i probabilistyczne. Pierwsze kryterium wytężenia sormułował Galileusz w 6 roku, przyjmując za miarę wytężenia maksymalną wartość z bezwzględnych wartości ekstremalnych naprężeń normalnych. Można wykazać, że hipoteza ta zawodzi w wielu ważnych przypadkach. Hipotezy wykorzystujące pojęcie energii sprężystej rozpoczęły dynamiczny rozwój nauki o wytrzymałości materiałów. Prekursorem takiego ujęcia zagadnienia jest Eugenio Beltrami (85 899), który w 885 roku zaproponował jako miarę wytężenia gęstość energii odkształcenia sprężystego. Kontynuatorem tej koncepcji był Maksymilian Tytus Huber (87 950), który wprowadził jednak pewne ograniczenia. Polski uczony ogłosił swoją hipotezę w 904 roku, przyjmując, że o lokalnej utracie sprężystości ciała decyduje gęstość energii odkształcenia postaciowego [4]. Obecnie wiadomo, że niemal pół wieku wcześniej taką samą ideę proponował J. C. Maxwell, jednak jego list do W. Thompsona z 856 roku, w którym ją przedstawił, został opublikowany dopiero w 96 roku. Kryterium Hubera stało się znane i jest powszechnie używane jako energetyczny warunek wytężenia dla ciał izotropowych, 5 Zeszyty Naukowe AMW

Wytężenie wybranych materiałów anizotropowych z asymetrią zakresu sprężystego choć początkowo przypisane zostało Richardowi von Misesowi (88 95). Kłopotliwe jednak okazało się uogólnienie tej hipotezy dla materiałów wykazujących anizotropię sprężystą. Pierwszą propozycję warunku granicznego dla materiału anizotropowego przedstawił Mises w 98 roku w postaci: D H D, () gdzie: Η tensor czwartego rzędu zwany tensorem granicznym; D dewiator naprężenia. Niemiecki uczony podając swój warunek, zaznaczał jednak, iż nie ma on charakteru energetycznego dla ciał anizotropowych. Wprowadzony przez Włodzimierza T. Burzyńskiego w 98 roku pomysł addytywnego rozkładu energii pokazał, że Mises zbyt pochopnie dokonał takiej oceny. Dowód energetycznego charakteru warunku Misesa, co więcej każdego kwadratowego kryterium granicznego, przedstawił dopiero Jan Rychlewski w latach osiemdziesiątych XX wieku. Dzięki wprowadzeniu energetycznie ortogonalnego podziału stanu naprężenia Rychlewski sormułował energetyczny warunek graniczny dla ciał anizotropowych w następującej ormie: Φ ( T ) + Φ ( T ) +... + Φ, ρ 6 T, () ρ h h h ρ gdzie: h i moduły Rychlewskiego; Φ( T i ) gęstość energii sprężystej nagromadzonej w i-tym stanie energetycznie rozdzielonym. Gęstość energii Φ dla ciała Hooke a, przy założeniu małych wartości odkształceń ε, można przedstawić jako pracę naprężeń T wykonaną na odpowiadających im odkształceniach Tε ( ), co zapisane zostanie w poniższy sposób [0]: Φ= T Tε( ). () (90) 0 5

Piotr Kordzikowski Dla ciała izotropowego gęstość energii można rozłożyć na sumę dwóch części gęstość energii odkształcenia postaciowego Φ i gęstość energii objętościowej Φ v : Φ =Φ +Φ. (4) Zarówno energię objętościową, jak i postaciową należy rozumieć jako części energii sprężystości odpowiadające za samą zmianę objętości bądź postaci ciała. Powyższy podział energii jest konsekwencją podziału tensorów naprężenia i odkształcenia na części kulistą (aksjatorową) i dewiatorową: 54 Zeszyty Naukowe AMW v T = A +D ; (5) T=A+D ε ε ε. (6) gdzie: A, A aksjatory tensorów naprężenia i odkształcenia; ε D, D dewiatory tensorów naprężenia i odkształcenia. ε Podstawiając do wzoru () wyrażenia (5) oraz (6), otrzymano: Φ= ( A +D ) ( A ε +D ε ). (7) Można wykazać, że naprężenia dewiatorowe nie wykonują pracy na przemieszczeniach aksjatorowych (i odwrotnie), czyli: D Aε = Dε A =0. (8) Wykorzystując zależność (8), gęstość energii sprężystej sprowadza się do postaci: Φ= D Dε + A A ε. (9) Porównanie (4) i (9) pozwala sormułować następujące postaci gęstości energii odkształcenia postaciowego i objętościowego: Φ = D D ε; (0) Φ v = A A ε. ()

Wytężenie wybranych materiałów anizotropowych z asymetrią zakresu sprężystego Zależności pomiędzy dewiatorami i aksjatorami ustalają odpowiednio: prawo zmiany postaci oraz prawo zmiany objętości zapisane poniżej: D = GD ; () A = KA ε, () gdzie: G moduł ścinania; K moduł odkształcenia objętościowego przyjmują odpowiednio wartości: E G =, ( + ν ) ε E K =. ( ν ) Wykorzystując prawa zmiany postaci i objętości we wzorach (0) i (), otrzymano ostateczne związki określające gęstości energii odkształcenia postaciowego i objętościowego w ormie: Φ = D D ; (4) 4G Φ v = A A. (5) 6K Po podstawieniu powyższych wyrażeń do (4), można określić, za pomocą naprężeń, gęstość energii sprężystej: Φ= D 4G + 6K D A A. (6) ENERGIA SPRĘŻYSTA, ZAGADNIENIE WYTĘŻENIA MATERIAŁU WEDŁUG E. BELTRAMIEGO, M. T. HUBERA I W. BURZYŃSKIEGO Włoski matematyk Eugenio Beltrami rozpoczął nowy rozdział w dziedzinie rozwoju zagadnień wytężeniowych, proponując w 885 roku zasadniczo inny sposób ujęcia problemu. Pomysł Beltramiego opierał się na założeniu, iż za miarę wytężenia należy uważać ilość energii sprężystości, jaką materiał jest w stanie nagromadzić w jednostce objętości do chwili osiągnięcia granicy niebezpiecznej (...) [9]. Z racji tak przyjętego założenia kryterium to nosi często nazwę hipotezy krańcowej energii całkowitej odkształcenia. (90) 0 55

Piotr Kordzikowski Zgodnie z pomysłem Beltramiego jako miarę wytężenia W przyjmuje się gęstość całkowitej energii sprężystej, wyrażonej wzorem (6), co zapisujemy w następujący sposób: W = D 4G + 6K D A A. (7) Wykorzystując zależności łączące moduły G oraz K z modułem Younga E i współczynnikiem Poissona ν, można zapisać miarę wytężenia w układzie naprężeń głównych po przekształceniach: ν + ν W = ( + + ) + [( ) + ( ) + ( ) ].(8) 6E 6E Stosując metodę porównawczą i przeprowadzając analogiczne rozumowanie do wyznaczenia wytężenia W 0 dla jednoosiowego rozciągania naprężeniem 0, otrzymano: W = E. (9) 0 0 Porównanie wzorów (8) i (9) pozwala na wyznaczenie naprężenia zastępczego w myśl hipotezy Beltramiego: = + + ν( + + ). (0) 0 Rozważając stan niebezpieczny, przyjmuje się, że wytężenie materiału jest całkowite i w myśl wzoru W =, W =. R Konsekwencją osiągnięcia przez materiał stanu granicznego jest wyrażenie: gr = R, R = + + ν( + + ), () 0 kr kr które można zinterpretować jako powierzchnię stanów granicznych według kryterium Beltramiego. Powierzchnia ta może być różna w zależności od wartości współczynnika Poissona ν. Na rysunku. pokazano przecięcie powierzchni granicznej płaszczyzną = 0 dla wartości współczynnika Poissona spełniającej warunek 0< ν < 0,5. W takim przypadku powierzchnię graniczną stanowi elipsa. 56 Zeszyty Naukowe AMW

Wytężenie wybranych materiałów anizotropowych z asymetrią zakresu sprężystego R kr ν 45 +ν R kr R kr +ν Rys.. Krzywa graniczna według kryterium Beltramiego przy przecięciu osią = 0 Źródło: K. Porębski, Specyikacja kryterium wytężenia warstw kompozytowych z zastosowaniem wielomodalnych energetycznych warunków dla sprężystych stanów granicznych, WIL, Politechnika Krakowska, Kraków 007; J. Walczak, Wytrzymałość materiałów oraz podstawy teorii sprężystości i plastyczności, t., PWN, Warszawa 97. Dla pozostałych wartości współczynnika Poissona powierzchnią graniczną, w złożonym stanie (,, ), jest kula ( ν = 0 ) lub walec kołowy ( ν = 0,5 ). Kryterium wytężenia sormułowane na początku XX wieku przez Maksymiliana T. Hubera stanowi modyikację hipotezy Beltramiego. Za pracą [0] zacytowane zostanie oryginalne sormułowanie kryterium przez polskiego uczonego: Zważywszy, że odkształcenia objętościowe przy ściskaniu nie wpływają na niebezpieczeństwo pęknięcia, można z wielkim prawdopodobieństwem uważać energię postaciową za miarę wytężenia. Założenie, które poczynił Huber, stało się podstawą do nazwania jego podejścia hipotezą krańcowej energii odkształcenia postaciowego. Zgodnie z tym pomysłem oraz wykorzystując zależność (4), zapisano miarę wytężenia w postaci: W = D 4G D. () Dla przypadku jednoosiowego rozciągania naprężeniem 0 miara wytężenia W 0 przyjmie wartość: W = 0 0 6G, () co przy ponownym wykorzystaniu metody porównawczej daje ogólne naprężenie zastępcze: (90) 0 57

Piotr Kordzikowski = 0 D D. (4) Rozpisanie składowych dewiatora naprężenia w układzie naprężeń głównych bądź w dowolnym układzie współrzędnych pozwala zapisać naprężenie zastępcze w ormie: lub 0 = ( ) + ( ) + ( ) (5) 0 = ( x y) + ( x z) + ( y z) + 6( τxy + τxz + τ yz). (6) W przypadku hipotezy Hubera równie łatwo dojrzeć równanie powierzchni granicznej. Stanowi ją walec kołowy, którego oś tworząca jest równo nachylona do osi układu naprężeń głównych, o przepisie: Rkr = ( ) + ( ) + ( ). (7) Rysunek. przedstawia powierzchnię graniczną wg Hubera w płaskim stanie, czyli przecięcie walca Hubera płaszczyzną = 0. R kr 45 R kr Rys.. Krzywa graniczna według hipotezy Hubera przy przecięciu osią = 0 Źródło: K. Porębski, Specyikacja kryterium wytężenia warstw kompozytowych z zastosowaniem wielomodalnych energetycznych warunków dla sprężystych stanów granicznych, wyd. cyt.; J. Walczak, Wytrzymałość materiałów oraz podstawy teorii sprężystości i plastyczności, wyd. cyt. R kr 58 Zeszyty Naukowe AMW

Wytężenie wybranych materiałów anizotropowych z asymetrią zakresu sprężystego Z kolei na rysunku. pokazano walec Hubera wraz z zaznaczonymi przekrojami płaszczyznami o równaniach: = 0 przekrój eliptyczny π (przedstawiony szczegółowo na rysunku.); + + = 0 przekrój kołowy π. π π Rys.. Walec Hubera Źródło: K. Porębski, Specyikacja kryterium wytężenia warstw kompozytowych z zastosowaniem wielomodalnych energetycznych warunków dla sprężystych stanów granicznych, wyd. cyt.; J. Walczak, Wytrzymałość materiałów oraz podstawy teorii sprężystości i plastyczności, wyd. cyt. Włodzimierz T. Burzyński (900 970), uczeń Hubera, przedstawił własną hipotezę wytrzymałościową w swojej pracy doktorskiej z 98 roku pt. Studium nad hipotezami wytężenia. Wnioskował w niej, że oparcie teorii wytężenia materiałów powinno się odbywać na podstawie większej liczby testów doświadczalnych, odpowiadających różnym, prostym stanom naprężenia. Stąd też pomysł jego autorstwa brzmiał następująco: Miarę wytężenia lokalnego w obszarach sprężystych i plastycznych stanowi suma gęstości quasi-energii odkształcenia postaciowego i pewnej, zależnej od stanu napięcia i własności indywidualnych ciała, części gęstości pseudo-energii odkształcenia objętościowego. (...) Matematyczną ormą tak postawionej hipotezy jest równanie: Φ + η Φ v = K, (8) gdzie: η jest jak z założenia wynika unkcją własności indywidualnych, jako parametrów i stanu napięcia, jako zmiennej niezależnej []; K wprowadzona wcześniej wartość graniczna R. Widać stąd, że uniwersalność hipotezy Burzyńskiego, reprezentowana wielkością κ, kryje się we współczynniku η pod użytym przez Burzyńskiego pojęciem własności indywidualnych. (90) 0 59 gr

Piotr Kordzikowski Wprowadzone zostaną, zgodnie z propozycją Burzyńskiego, następujące dwie zależności: oraz m = ( + + ) (9) = GΦ, (0) gdzie:,, wartości naprężeń głównych; G moduł ścinania; niezmiennik proporcjonalny do naprężenia ekwiwalentnego ( = e ), odpowiadający gęstości energii odkształcenia postaciowego Φ. Wykorzystując wzory (9) i (0) polski uczony przedstawił swoje kryterium w postaci: A + B + C = 0, () m m gdzie stałe A, B, C wyznaczyć należy z testów dla trzech najprostszych stanów naprężenia, dla których przyjęto odpowiednio: T jednoosiowe rozciąganie: = gr. t, m = gr. t; C jednoosiowe ściskanie: = gr. c, m = gr. c; S czyste skręcanie: = 6 τ 0, m = 0. Po wyznaczeniu stałych A, B, C wyrażenie () sprowadza się do postaci: + (9 ) + ( ) = 0. () gr. t gr. c gr. t gr. c m gr. c gr. t m gr. t gr. c τ0 τ0 Graiczna interpretacja unkcji granicznej () dla przypadku, w którym τ0 = gr. t przedstawiona została na rysunku 4. Przy takim założeniu równanie gr. c () w układzie osi głównych przyjmuje postać paraboloidy obrotowej. W ogólności hipoteza Burzyńskiego może także przyjmować ormę elipsoidy lub hiperboloidy osiowo pokrywającej się z osią = =. 60 Zeszyty Naukowe AMW

Wytężenie wybranych materiałów anizotropowych z asymetrią zakresu sprężystego jednoosiowe ściskanie τ 0 czyste skręcanie 6 C S gr.t T jednoosiowe rozciąganie gr.c gr.c gr.t paraboloida Rys. 4. Interpretacja graiczna kryterium Burzyńskiego Źródło: K. Porębski, Specyikacja kryterium wytężenia warstw kompozytowych z zastosowaniem wielomodalnych energetycznych warunków dla sprężystych stanów granicznych, wyd. cyt.; J. Walczak, Wytrzymałość materiałów oraz podstawy teorii sprężystości i plastyczności, wyd. cyt. Warto również zauważyć, że podstawiając do równania () wartości stałych A, B, C, które uzyskane zostaną przy założeniach gr. t = gr. c = ( κ = ) oraz gr gr τ 0 =, zgodnymi z hipotezą Hubera, powierzchnia graniczna uzyskana z hipotezy Burzyńskiego przyjmie postać walca Hubera. Analogiczne rozumowanie można gr przeprowadzić przy założeniu τ 0 =. Wówczas otrzymuje się elipsoidę + ν zgodną z warunkiem Beltramiego. Z uwagi na dość skomplikowaną postać powierzchni granicznej () oraz utrudnione jej wyznaczanie, można posłużyć się tzw. zlinearyzowaną hipotezą Burzyńskiego, w myśl której krzywą graniczną przedstawioną na rysunku 4. aproksymuje się odcinkami prostych. Podejście takie szczegółowo omówione jest w pracy [9]. stożek m ANALIZA WARUNKÓW WYTĘŻENIA DLA ANIZOTROPOWYCH MATERIAŁÓW Dla materiału deormującego się w zakresie sprężystym J. Rychlewski [] sormułował i udowodnił twierdzenie, nazywane w pracy [9] ogólnym twierdzeniem Rychlewskiego. (90) 0 6

Piotr Kordzikowski Dla dowolnego ciała, którego własności sprężyste opisane są tensorem podatności C (sztywności S ), a własności graniczne tensorem H istnieje dokładnie jeden energetycznie ortogonalny rozkład przestrzeni S (tensorów symetrycznych drugiego rzędu) S = H H... H κ, κ 6, H L H K, dla L K i dokładnie jeden zbiór parami różnych stałych h, h,... h κ, hα h, dla α β takich, β że dla dowolnego naprężenia S, = + +... + κ, K H K, warunek graniczny H przyjmie postać: = φ +... + φ, () H κ h hκ gdzie: φ ( ) + φ( ) +... + φ( κ ) = φ ( ) ; φ ( K ) = K C K = K K (bez sumowania); h κ wagi energii sprężystej nazywane według [9] modułami Rychlewskiego. Twierdzenie dotyczące energetycznej interpretacji warunku granicznego jest sormułowane dla dowolnych tensorów S, C i H. Rys. 5. Idealizacja sprężystego stanu granicznego Źródło: opracowanie własne. Daje to możliwość rozpatrywania różnych typów symetrii materiału w stanie sprężystym i w stanie granicznym. Aby podać warunek graniczny dla płaskich stanów, który ma charakter energetyczny, wykorzystane jest twierdzenie dotyczące energetycznej interpretacji warunku granicznego. Twierdzenie dotyczące energetycznej interpretacji warunku granicznego jest sormułowane dla dowolnych tensorów S, C i H. Daje to możliwość rozpatrywania 6 Zeszyty Naukowe AMW

Wytężenie wybranych materiałów anizotropowych z asymetrią zakresu sprężystego różnych typów symetrii materiału w stanie sprężystym i w stanie granicznym. Aby podać warunek graniczny dla płaskich stanów, który ma charakter energetyczny, wykorzystane jest twierdzenie dotyczące energetycznej interpretacji warunku granicznego. Rozpatrywany materiał jest symetryczny zarówno w stanie sprężystym, jak i granicznym. Dla stanów płaskich materiał ma wówczas co najmniej symetrię prostokąta jest materiałem ortotropowym. Założono, że materiał jest ortotropowy w stanie sprężystym i granicznym o różnych osiach symetrii i różnych dystrybutorach. Założono, że w stanie sprężystym osiami symetrii są kierunki e i e na płaszczyźnie izycznej, a w stanie granicznym osiami symetrii są kierunki h i h obrócone względem e i e o kąt ϕ : h = cosϕ e+ sinϕ e, h = sinϕ e+ cosϕ e. p p Rozkłady spektralne tensorów C i H mają postać: p C = ωi ωi + ωii ωii + ωiii ω III, (4) λ λ λ gdzie ω K i p H = η η + η η + η η, (5) χ χ χ η L stany własne tensorów I I II II III III p C i p H. W zakresie sprężystym osie symetrii materiału pokrywają się z kierunkami e i e, bazę w przestrzeni naprężeń S stanowią diady a = e e, a = e e, a = ( e ) e + e e. W stanie granicznym osiami symetrii materiału są osie h i h na płaszczyźnie izycznej, w przestrzeni S bazę będą stanowiły diady b = h h, b = h h, b = ( h ) h + h h. Ostatecznie rozkład stanów własnych tensora p C ma postać [9]: π π ηi = [cos( δ ρ) sin( δ )sin( ρ )( cos ϕ)] ωi + 4 4 π π + [sin( δ ρ) sin( δ )cos( ρ )( cos ϕ)] ω II + 4 4 p H w bazie stanów własnych (90) 0 6

π [sin( δ )sin ϕ ω III ], π π ηii = [ sin( δ ρ) cos( δ )sin( ρ )( cos ϕ)] ω I + 4 4 π π + [cos( ρ δ) cos( δ )cos( ρ )( cos ϕ)] ω II + 4 4 π [cos( δ )sin ϕ ω III ], sin [sin( π π ηiii = ϕ ρ ) ωi + cos( ρ ) ωii ] + cos ϕ ω III, 4 4 gdzie: p p ρ, δ dystrybutory sztywności tensora C i H. Piotr Kordzikowski Idea postępowania przy wyznaczaniu asymetrycznego energetycznego warunku wytężenia polega na wykorzystaniu badań doświadczalnych uzyskanych z testów w jednoosiowych stanach naprężenia. W celu wyznaczenia asymetrycznej powierzchni granicznej dla tej samej symetrii materiału w stanie sprężystym i w stanie granicznym (tensor podatności C (lub sztywności S ) jest równoległy do tensora granicznego H), należy przeprowadzić następujące postępowanie:. Wyznaczyć tensor podatności C (lub sztywności S ).. Wyznaczyć wartości własne ( λ ) i osie własne ( ω ) tensora podatności C (lub sztywności S ).. Wyznaczyć macierz transormacji z układu osi głównych (osi, w których został wykonany eksperyment) do układu osi własnych tensora podatności C (lub sztywności S ). 4. Transormować wartości naprężeń z eksperymentu wyznaczone w osiach głównych ( r naprężenie graniczne dla rozciągania względem pierwszej osi; r naprężenie graniczne dla rozciągania względem drugiej osi; r naprężenie graniczne dla rozciągania względem trzeciej osi; s naprężenie graniczne dla ściskania względem pierwszej osi; s naprężenie graniczne dla ściskania względem drugiej osi; s naprężenie graniczne dla ściskania względem I trzeciej osi) do układu osi własnych ( r naprężenie graniczne w I stanie 64 Zeszyty Naukowe AMW

Wytężenie wybranych materiałów anizotropowych z asymetrią zakresu sprężystego II własnym dla rozciągania, r naprężenie graniczne w II stanie własnym dla III rozciągania, r naprężenie graniczne w III stanie własnym dla rozciągania, I II s naprężenie graniczne w I stanie własnym dla ściskania, s naprę- III żenie graniczne w II stanie własnym dla ściskania, s naprężenie graniczne w III stanie własnym dla ściskania). 5. Podstawić wartości graniczne r, r, r, s, s, s, do kryterium J. Rychlewskiego w kolejnych częściach układu osi własnych Φ r Φ r Φ r + + w części pierwszej; Φ Φ Φ r r r Φ s Φ r Φ r + + w części drugiej; Φ Φ Φ s r r Φ s Φ r Φ s + + w części trzeciej; Φ Φ Φ s r s Φ r Φ r Φ s + + w części czwartej; Φ Φ Φ r r s Φ r Φ s Φ r + + w części piątej; Φ Φ Φ r s r Φ s Φ s Φ r + + w części szóstej; Φ Φ Φ s s r Φ s Φ s Φ s + + w części siódmej; Φ Φ Φ s s s Φ r Φ s Φ s + + w części ósmej, Φ Φ Φ r s s (90) 0 65

Piotr Kordzikowski gdzie: I = II + III + rozkład tensora naprężenia na stany własne; rs, rs, rs, I,, rs, Φ( ) graniczna wartość gęstości energii sprężystej w kolejnym stanie własnym. Weryikacja proponowanego schematu postępowania została wykonana z wykorzystaniem danych doświadczalnych dla kartonu, które zostały podane w pracach [, 5]: E = 50 MPa, E = 50 MPa, E = 690 MPa, ν = 0.5, ν = 0.5, ν = 0., G = 700 MPa, G = 700 MPa, G = 500 MPa. Tensor sztywności przyjmuje postać: 40 50 700 0 0 0 50 40 700 0 0 0 700 700 7940 0 0 0 S = MPa. 0 0 0 700 0 0 0 0 0 0 700 0 0 0 0 0 0 500 Postępując zgodnie z wyżej podanym schematem, otrzymujemy asymetryczną powierzchnię graniczną wpisującą się w punkty otrzymane z doświadczenia. Rys. 6. Asymetryczna powierzchnia graniczna wyznaczona dla obliczonych naprężeń granicznych w oparciu o energetyczne kryterium J. Rychlewskiego zastosowana do każdej części układu osi własnych Źródło: opracowanie własne. 66 Zeszyty Naukowe AMW

Wytężenie wybranych materiałów anizotropowych z asymetrią zakresu sprężystego Postępując zgodnie z proponowanym schematem, można również ograniczyć się do płaskich stanów dokładnie dyskutowanych i weryikowanych dla cienkich warstw w pracy []. Natomiast w prezentowanym artykule weryikacja została wykonana z wykorzystaniem danych doświadczalnych dla pianki, które zostały podane w pracy []: E = 00 MPa, E = 600 MPa, ν G = 0.4, = 780 MPa. Tensor sztywności przyjmuje postać: 40 594 0 S = 594 747 0 MPa. 0 0 560 Postępując zgodnie z podanym schematem w pracy [], otrzymujemy asymetryczną krzywą graniczną wpisującą się w punkty otrzymane z doświadczenia. Rys. 7. Asymetryczna krzywa graniczna dla pianki wyznaczona dla obliczonych naprężeń granicznych w oparciu o energetyczne kryterium J. Rychlewskiego zastosowana do każdej ćwiartki układu osi własnych Źródło: opracowanie własne. Postępując zgodnie z podanym schematem w pracy [], w pracy tej wyznaczono asymetryczną krzywą graniczną wpisującą się w punkty otrzymane z doświadczenia dla amoricznego metalu [6]. (90) 0 67

Piotr Kordzikowski Rys. 8. Asymetryczna krzywa graniczna dla amoricznego metalu Źródło: opracowanie własne. Warto również przytoczyć i porównać krzywe graniczne według J. Rychlewskiego z krzywymi granicznymi otrzymanymi z kryterium P. S. Theocarisa [6], które mogłoby posłużyć do uogólnienia kwadratowego kryterium Rychlewskiego dla dowolnych materiałów anizotropowych wykazujących eekt różnicy wytrzymałości (Strength Dierential Eect): ii ( + ) i ( i+ ) + Ti Ci Ti Ci T ( i+ ) C( i+ ) T ( i+ ) C( i+ ) + ( ) ij = Ti Ci + + + + T C T C T C T C T C + ( )( + ) + ( ) =, T C T C (6) (7) gdzie Ti Ci, odpowiednio naprężenie graniczne przy rozciąganiu i ściskaniu w kierunku głównym i =,,. 68 Zeszyty Naukowe AMW

Wytężenie wybranych materiałów anizotropowych z asymetrią zakresu sprężystego Rys. 9. Interpretacja graiczna kryterium P. S. Theocarisa Źródło: P. S. Theocaris, The elliptic paraboloid ailure surace or D-transtropic plates (iber laminates), Engineering Fracture Mechanics, 989, Vol.. Wykorzystując podane algorytmy oraz dane doświadczalne prezentowane w [6, 7, 8], wyznaczono następujące krzywe graniczne: (90) 0 69

Piotr Kordzikowski Rys. 0. Krzywe graniczne dla kartonu wyznaczone dla obliczonych naprężeń granicznych w oparciu o energetyczne kryterium J. Rychlewskiego zastosowane do każdej ćwiartki układu osi własnych oraz według P. S. Theocarisa Źródło: opracowanie własne. Rys.. Krzywe graniczne dla pianki wyznaczone dla obliczonych naprężeń granicznych w oparciu o energetyczne kryterium J. Rychlewskiego zastosowane do każdej ćwiartki układu osi własnych oraz według P. S. Theocarisa Źródło: opracowanie własne. 70 Zeszyty Naukowe AMW

Wytężenie wybranych materiałów anizotropowych z asymetrią zakresu sprężystego Rys.. Krzywe graniczne dla amoricznego metalu wyznaczone dla obliczonych naprężeń granicznych w oparciu o energetyczne kryterium J. Rychlewskiego zastosowane do każdej ćwiartki układu osi własnych oraz według P. S. Theocarisa Źródło: opracowanie własne. WNIOSKI Prezentowane podejście daje możliwość zastosowania energetycznego kryterium J. Rychlewskiego [, 4] do oceny wytężenia materiałów, które cechuje różnica własności wytrzymałościowych, a zatem i asymetrii zakresu sprężystego. Przedstawiona interpretacja graiczna asymetrycznego warunku energetycznego w układzie osi własnych (w przestrzeni stanów własnych) wykazuje, że w każdej części tego układu wyznaczona jest inna powierzchnia graniczna, odpowiadająca własnościom materiału określonym na drodze doświadczenia w układzie osi głównych (w przestrzeni naprężeń głównych). Takie podejście do analizy energetycznego kryterium wytężenia J. Rychlewskiego pozwala na wykorzystanie jednoosiowych testów doświadczalnych do określenia wytężenia materiału oraz daje również podstawę do wyznaczenia modułów Rychlewskiego h κ, a więc tensora stanu granicznego H. Widoczne na rysunkach 6. i 7. rozbieżności między wyznaczonym teoretycznym obszarem granicznym a punktami doświadczalnymi można będzie prawdopodobnie zmniejszyć, jeżeli zastosujemy ogólne twierdzenie Rychlewskiego, które dopuszcza różne symetrie tensora podatności C (sztywności S ) oraz tensora wytężenia H. (90) 0 7

Piotr Kordzikowski BIBLIOGRAFIA [] Biegler M. W., Mehrabadi M. M., An energy-based constitutive model or anisotropic solids subject to damage, Mechanics o Materials, 995, Vol. 9, pp. 5-64. [] Burzyński W., Studium nad hipotezami wytężenia, Nakładem Akademii Nauk Technicznych, Lwów 98; Dzieła wybrane, PWN, Warszawa 98, t., s. 68 57. [] Burzyński W., Teoretyczne podstawy hipotez wytężenia, Czasopismo Techniczne, 99, t. 47, s. 4, Lwów; Dzieła wybrane, PWN, Warszawa 98, t., s. 65 0; angielskie wydanie: Theoretical oundations o the hypotheses o material eort, Engineering Transactions, 008, Vol. 56, pp. 69 05. [4] Huber M. T., Właściwa praca odkształcenia jako miara wytężenia materiału, Czasopismo Techniczne XXII, Lwów 904. [5] Janus-Michalska M., Kordzikowski P., Pęcherski R. B., Energy-based approach to limit state criteria o cellular materials, International Symposium on Developments in Plastisity and Fracture-Centenary o M. T. Huber Criterion, Kraków 004. [6] Janus-Michalska M., Pęcherski R. B., Macroscopic properties o open-cell oams based on micromechanical modelling, Technische Mechanik, 00, Vol., pp. 4 44. [7] Janus-Michalska M., Eective models describing elastic behaviour o cellular materials, Archives o Metallurgy and Materials, /005, Vol. 50, pp. 595 608. [8] Kordzikowski P., Janus-Michalska M., Pęcherski R. B., Analiza wpływu wytrzymałości prętów sześciennej struktury komórkowej na rozkład granicznych energii,,,rudy i Metale Nieżelazne, 004, R. 49, nr, s. 4 0. [9] Kordzikowski P., Janus-Michalska M., Pęcherski R. B., Speciication o energy- -based criterion o elastic limit states or cellular materials, Archives o Metallurgy and Materials, /005, Vol. 50, pp. 6 64. [0] Kordzikowski P., Podstawy teorii wytężenia materiałów komórkowych w oparciu o energetyczne kryteria stanów granicznych, praca doktorska, Politechnika Krakowska, Kraków 006. [] Kordzikowski P., Zastosowanie energetycznego kryterium Rychlewskiego do oceny wytężenia anizotropowych cienkich warstw wykazujących eekt różnicy wytrzymałości,,,rudy i Metale Nieżelazne, 007, R. 5, nr, s. 689 695. [] Kordzikowski P., Zastosowanie energetycznego kryterium Rychlewskiego do oceny wytężenia anizotropowych materiałów wykazujących eekt różnicy wytrzymałości,,,czasopismo Techniczne seria: Mechanika, -M/00, z. 9, R. 07, s. 65 74. 7 Zeszyty Naukowe AMW

Wytężenie wybranych materiałów anizotropowych z asymetrią zakresu sprężystego [] Kordzikowski P., Pęcherski R. B., Assessment o the material strength o anisotropic materials with asymmetry o the elastic range,, Mechanics and Control (dawne Mechanics ), 00, Vol. 9, No, pp. 57 6. [4] Kowalczyk K., Ostrowska-Maciejewska J., Pęcherski R. B., An-energy based yield criterion or solids o cubic elasticity and orthotropic limit state,,,arch. Mech., 00, t. 55, s. 4 448. [5] Kowalczyk-Gajewska K., Ostrowska-Maciejewska J., Energy-based limit criteria or anisotropic elastic materials with constraints,,,arch. Mech., 005, t. 57. [6] Lund A. C., Schuh C. A., Strength asymmetry in nano-crystalline metals under multiaxial loading, Acta Materialia, 005, Vol. 5, pp. 9 05. [7] Nalepka K., Pęcherski R. B., Fizyczne podstawy energetycznego kryterium wytężenia monokryształów, red. J. Pacyno, XXX Szkoła Inżynierii Materiałowej, Kraków Ustroń Jaszowiec, 4 X 00, AGH, Kraków 00, s. 6. [8] Nalepka K., Pęcherski R. B., Energetyczne kryteria wytężenia. Propozycja obliczania granicznych energii z pierwszych zasad, Rudy i Metale Nieżelazne, 00, R. 48, s. 5 56. [9] Ostrowska-Maciejewska J., Pęcherski R. B., Anizotropia sprężysta i wytężenie cienkich warstw i powłok, PAN, Kraków 006. [0] Piechnik S., Mechanika techniczna ciała stałego, Politechnika Krakowska, Kraków 007. [] Porębski K., Specyikacja kryterium wytężenia warstw kompozytowych z zastosowaniem wielomodalnych energetycznych warunków dla sprężystych stanów granicznych, Politechnika Krakowska, Kraków 007. [] Rizzi E., Papa E., Corigliano A., Mechanical behavior o a syntectic oam experiments and modeling,, International Journal o Solids and Structures, 000, Vol. 7, pp. 577 5794. [] Rychlewski J., Elastic energy decomposition and limit criteria, Uspekhi Mekh. Advances in Mech., 984, Vol. 7, pp. 5 80 (po rosyjsku). [4] Rychlewski J., Unconventional approach to linear elasticity,,,arch. Mech., 995, t. 47, s. 49 7. [5] Suhling J. C., Rowlands R. E., Johnson M. W., Gunderson D. E.: Tensorial Strength Analysis o Paperboard,,,Exp. Mech., 985, t. 5, s. 75 84. [6] Theocaris P. S., The elliptic paraboloid ailure surace or D-transtropic plates (iber laminates), Engineering Fracture Mechanics, 989, Vol., pp. 85 0. [7] Theocaris P. S., Failure Behaviour o Paper Sheets,, Journal o Reinorced Plastics and Composites, 989, Vol. 8, pp. 60 66. (90) 0 7

Piotr Kordzikowski [8] Theocaris P. S., Decomposition o strain energy density in iber reinorced composites,, Engineering Fracture Mechanics, 989, Vol., No., pp. 5 4. [9] Walczak J., Wytrzymałość materiałów oraz podstawy teorii sprężystości i plastyczności, t., PWN, Warszawa 97. EFFORT OF SELECTED ANISOTROPIC MATERIALS WITH SCOPE ELASTIC ASYMMETRY ABSTRACT The paper contains a discussion concerned with the E. Beltrami, M. T. Huber and W. Burzyński energy-based criteria or isotropic bodies as well as the J. Rychlewski limit criterion or anisotropic materials. It also reers to the P. S. Theocarisa ailure criterion mentioned in the discussion ocused on the possibility o extending the criterion proposed by Rychlewski to anisotropic materials displaying asymmetry o elastic range and the related strength dierential eect. Keywords: anisotropic materials, eort criterion, own elasticity states. 74 Zeszyty Naukowe AMW