Automatyka i sterowanie w gazownictwie Modelowanie Wykładowca : dr inż. Iwona Oprzędkiewicz Nazwa wydziału: WIMiR Nazwa katedry: Katedra Automatyzacji Procesów AGH
Modele matematyczne Własności układu zdeterminowane są przez zbiorniki energii lub masy w układzie nazywamy własnościami dynamicznymi układu ( krótko dynamiką układu ). Stanem ustalonym w układzie nazywamy stan, w którym zbiorniki energii lub masy w układzie są napełnione, co się objawia stałym poziomem sygnału wyjściowego.
Modele matematyczne ( wnioski cd. ) Jeżeli chcemy wyznaczyć zachowanie się układu pod wpływem sterowań, to oprócz przebiegu funkcji sterującej musimy znać zawartość zbiorników energii w momencie rozpoczęcia sterowania. Z matematycznego punktu widzenia oznacza to, że dla każdego z równań różniczkowych, opisujących jeden zbiornik musimy mieć zdefiniowany warunek początkowy. W tym momencie należy jeszcze zaznaczyć, że do tej pory nic nie mówiliśmy o związku pomiędzy wewnętrznymi zbiornikami energii w układzie, a sygnałami wyjściowymi. Należy tu stwierdzić, że w przypadku ogólnym nie jest to zależność prosta.
Modele matematyczne zmienne stanu Zmiennymi stanu (symbol x(t)) układu nazywamy zmienne opisujące zawartość wewnętrznych zbiorników energii układu; Ilość zmiennych stanu potrzebnych do opisu procesu jest równa ilości niezależnych zbiorników energii w układzie; Rzędem układu nazywamy ilość niezależnych zbiorników energii w układzie. Jest on równy ilości współrzędnych stanu. x y f ( x, u) g( x, u)
Budowa modelu matematycznego w oparciu o analizę bilansową w układzie.. Określenie granic układu będącego przedmiotem naszego zainteresowania, tj. wskazać, jakie części rzeczywistości uznajemy za układ, który chcemy opisać,. Określenie powiązania naszego układu z otoczeniem poprzez wprowadzenie odpowiednich więzów lub sygnałów wejściowych, 3. Wybór zmiennych fizycznych ( sygnałów ), występujących w układzie, przy czym wygodnie jest podzielić je na dwie grupy: zmienne przepływu są one miarą wielkości przepływającej przez element, np. prąd przepływający przez rezystor, ciecz lub gaz przepływający przez rurociąg. zmienne spadku są one miarą różnicy stanów na dwóch końcach elementu, np. różnica potencjałów na dwóch końcach rezystora, spadek ciśnienia po obu stronach zwężki w rurociągu, itp.
Budowa modelu matematycznego w oparciu o analizę bilansową w układzie cd. 4. Napisanie równania określające zachowanie się układu. Równania te można podzielić na dwie grupy: równania bilansowe są to równania określające równowagę układu, dotyczą one zmiennych przepływu, równania spójności określające zależności występujące pomiędzy zachowaniem się poszczególnych elementów układu ze względu sposób połączenia tych elementów. Dotyczą one zmiennych spadku. 5. Uwzględnienie zależności fizycznych. Są to prawa fizyki łączące zmienne przepływu ze zmiennymi spadku; dzięki nim eliminuje się zmienne zależne, pozostawiając tylko zmienne niezależne.
Przykład model matematyczny silnika prądu stałego i R L u(t) (t) e Schemat silnika prądu stałego.
Przykład model matematyczny silnika prądu stałego. Granice układu: rozważamy sam silnik, bez źródła zasilania, obciążenia i podłoża,. Uwzględnienie więzów: Jako elementy łączące nasz układ otoczeniem przyjmiemy następujące sygnały: sygnałem wejściowym jest napięcie zasilające, obciążenie silnika zastąpimy dodatkowym momentem przyłożonym na wał silnika, podłoże zastąpimy odpowiednimi siłami reakcji.
Przykład model matematyczny silnika prądu stałego 3. Wielkości fizyczne: w rozważanym silniku wyróżniamy dwie części: elektryczną (uzwojenia ) oraz mechaniczną ( wirnik ). Część elektryczna może być dobrze opisana przez dwójnik RL zawierający następujące elementy: rezystancję R, indukcyjność L oraz źródło napięcia reprezentujące siłę elektromotoryczną indukującą się w uzwojeniach podczas ruchu obrotowego wirnika. Jako sygnały występujące w części elektrycznej można więc przyjąć: uu - napięcie zasilania, ur - spadek napięcia na rezystancji, ul - spadek napięcia na indukcyjności, us - siła elektromotoryczna indukowana w uzwojeniach. Część mechaniczna to obracający się wirnik, na który działają określone momenty mechaniczne, które przyjmiemy jako sygnały występujące w tej części układu: M moment napędowy, M moment obciążenia, M3 - moment tarcia, M4 moment bezwładności.
Przykład model matematyczny silnika prądu stałego cd. 4. Ułożenie równań: w tym przypadku musimy ułożyć dwa równania: jedno dotyczące zmiennych spadku ( dla części elektrycznej ) będzie to równanie spójności, oraz drugie dotyczące zmiennych przepływu ( dla części mechanicznej ) - będzie to równanie bilansowe. Równanie spójności napiszemy korzystając z prawa Kirchoffa. W tym wypadku suma wszystkich napięć w układzie musi być równa zero. Z kolei równanie bilansu ułożymy korzystając z faktu, że suma wszystkich momentów w układzie (łącznie z momentem bezwładności ) jest równa zero. Oba równania możemy więc zapisać następująco: uu ur ul us = 0 () M M M3 M4 = 0 ()
Przykład model matematyczny silnika prądu stałego cd. 5. Zależności fizyczne: w naszym wypadku są to powszechnie znane z fizyki wzory, które dla przypomnienia zapiszemy poniżej: u u u r l s M M M ir di L dt k 3 4 k k J 3 i d dt gdzie: i oznacza natężenie prądu w uzwojeniach, - oznacza prędkość kątową wału silnika, J -oznacza moment bezwładności, k k k3 - oznacza stałe współczynniki. Uwzględniając powyższe zależności w równaniach ( ) i ( ) otrzymujemy:
Przykład model matematyczny silnika prądu stałego cd. u u k ir i M L k di dt 3 k J d dt Powyższe równania porządkujemy w taki sposób, aby pochodne znalazły się po lewej stronie i otrzymujemy równanie stanu dla naszego systemu. Będzie ono mieć następującą postać: di R k i dt L L d k k3 i dt J J uu L M J Równanie wyjścia będzie miało postać: y = 0 0
Przykład siłownik pneumatyczny membranowy Sygnałem wejściowym siłownika jest ciśnienie Pz podawane na membranę wejściową. Siła wywierana przez ciśnienie jest wprost proporcjonalna do ciśnienia oraz powierzchni membrany. Sygnałem wyjściowym jest przesunięcie trzpienia x. p z (t) A - powierzchnia membrany, m - masa części ruchomych ( membrana i trzpień ), k - stałą sprężystości sprężyny podpierającej, R - współczynnik oporów ruchu części ruchomych. A m k R x(t)
Przykład siłownik pneumatyczny membranowy cd. Bilans sił występujących w w/w siłowniku: Oznaczmy siłę pochodzącą od ciśnienia wejściowego przez Fp. F p (t) = Ap z (t) Siła sprężystości sprężyny jest proporcjonalna do przesunięcia trzpienia F s (t)=kx(t) Siła oporu części ruchomych występuje tylko podczas ruchu i w rozważanym przypadku można uznać, że jest ona proporcjonalna do prędkości: F R (t)=rv(t) Siła bezwładności jest opisana powszechnie znanym wzorem: F b (t)=ma(t)
Przykład siłownik pneumatyczny membranowy cd. Bilans sił można zapisać następująco: F p = F s +F R +F b Po uwzględnieniu wcześniejszych zależności otrzymujemy: Wiedząc, że: Otrzymujemy: Ap z (t) = kx(t) + Rv(t) + ma(t) v( t) x ( t) a( t) v ( t) x( t) Ap z ( t) kx( t) Rx ( t) mx ( t)
Założenia do modelu matematycznego analizowanych elementów pneumatycznych: Zastosowane w układzie wężyki pod wpływem ciśnienia nie zmieniają wymiarów geometrycznych Temperatura przepływającego w wężykach gazu nie zmienia się Przyjęto, że w osuszaczu płaszczowym ubytek masy z transportowanej próbki gazowej na skutek utraty wody jest pomijalnie mały Przemiana gazowa w mieszku pompki membranowej jest izotermiczna i moment mechaniczny wytwarzany przez silnik zasilający pompę jest stały
Przykład 3 wężyk doprowadzający gaz wariant (dla krótkiego wężyka ok. 0 cm) Przy użyciu laminarnych rezystancji pneumatycznych. Matematyczna zależność opisująca laminarną rezystancję pneumatyczną przedstawia prawo Hagena Poiseuilla a, opisujące zależność pomiędzy spadkiem ciśnienia w kanale, a przepływem objętościowym. Dla kanału cylindrycznego ma ona postać:
Przykład 4 wężyk doprowadzający gaz wariant (dla dłuższego wężyka ok.m) Jako element o stałych skupionych z opóźnieniem:
Przykład 5 pompka membranowa Jest to element wymuszający przepływ gazu. Sposób jej sterowania określa, czy układ będzie pracował impulsowo, czy w sposób ciągły. Ck zmienna pojemność pneumatyczna Zz, Zz nieliniowe impedancje zaworków Założono, że: przemiana w mieszku pompki jest izotermiczna i że moment mechaniczny wytwarzany przez silniczek zasilający pompkę jest stały.
Przykład 5 pompka membranowa Model zmiennej pojemności pneumatycznej:
Przykład 5 pompka membranowa Model nieliniowych rezystancji pneumatycznych tworzących statyczną charakterystykę zaworka:
Przykład 5 pompka membranowa Model nieliniowych rezystancji pneumatycznych tworzących dynamiczną część rezystancji zaworka:
Przykład 6 model komory (za pomocą stałej pojemności pneumatycznej:) p Vcz
Transmitancja operatorowa Dotychczas układy rzeczywiste opisywaliśmy (tworząc ich model matematyczny) równaniami różniczkowymi. Np. model silnika prądu stałego. di R k i dt L L d k k3 i dt J J uu L M J Model systemu dynamicznego w postaci transmitancji jest drugim, częściowo alternatywnym, częściowo uzupełniającym sposobem opisu systemów dynamicznych dla potrzeb automatyki. Podstawowa ideą opisu transmitancyjnego jest badanie zachowania się wyjścia obiektu pod wpływem określonych sterowań. W automatyce rozróżniamy dwa rodzaje transmitancji: transmitancję operatorową oraz transmitancję widmową, przy czym są one z sobą ściśle powiązane.
Przekształcenie Laplace a Transformata Laplace'a jest jednym z narzędzi matematycznych służących do rozwiązywania liniowych równań różniczkowych zwyczajnych. W metodzie tej przekształca się równanie różniczkowe zwyczajne w równanie algebraiczne, którego zmienną jest operator Laplace'a s. Następnie (w równaniu algebraicznym) wykonuje się konieczne przekształcenia Rozwiązanie równania różniczkowego uzyskiwane jest poprzez zastosowanie odwrotnej transformaty Laplace'a.
Definicja transformaty Laplace a Mając funkcję czasową f(t) spełniającą następujący warunek: 0 f t ( t) e dt dla pewnej skończonej liczby rzeczywistej σ, transformatę Laplace'a tej funkcji wyznacza się z następującej całki: f st ( t) F( s) f ( t) e dt Zmienna s określana tutaj jako operator Laplace'a i jest zmienną zespoloną określoną wzorem 0 s =σ + jω.
Podstawowe twierdzenia. Liniowość: { af(t) + bf (t)} = af(s) + bf(s), a, b stałe. Całkowanie w dziedzinie rzeczywistej: F( s f ( t) dt 0 s t )
Podstawowe twierdzenia cd. 3. Różniczkowanie w dziedzinie rzeczywistej: n n f ( n d t) n dt k s F( s) 0 s nk f ( k ) (0) pierwsza pochodna: df ( t) sf( s) f (0) dt druga pochodna: d f ( t) s F( s) sf (0) f '(0) dt
Transformaty Laplace a najczęściej spotykanych funkcji Lp. Oryginał f(t) Transformata F(s).. ( t) impuls jednostkowy ( funkcja Diraca) ( t) skok ( funkcja 3. t jednostkowy Heavyside' a) 4. n t ( t )! 5. t e 6. t n 7. t t e ( t )! 8. sint 9. cost 0. sinht. cosht. e t sint s s ; n s n s ( s ) t e (s ) s s s s s s n ( s )
Definicja transformaty operatorowej Transmitancją operatorową układu o jednym wejściu i jednym wyjściu nazywamy następujące wyrażenie: G( s) Y ( s) U ( s) Transmitancja jest więc stosunkiem transformaty Laplace a wyjścia systemu do transformaty wejścia systemu, przy zerowych warunkach początkowych. To ostatnie założenie jest bardzo istotne i decyduje o ograniczeniach stosowalności modelu transmitancyjnego. W praktyce, transmitancja ma najczęściej postać ilorazu dwóch wielomianów zmiennej s, przy czym lokalizacja pierwiastków tych wielomianów ma decydujące znaczenie dla własności układu.
Przykład siłownik pneumatyczny membranowy Sygnałem wejściowym siłownika jest ciśnienie Pz podawane na membranę wejściową. Siła wywierana przez ciśnienie jest wprost proporcjonalna do ciśnienia oraz powierzchni membrany. Sygnałem wyjściowym jest przesunięcie trzpienia x. p z (t) A - powierzchnia membrany, m - masa części ruchomych ( membrana i trzpień ), k - stałą sprężystości sprężyny podpierającej, R - współczynnik oporów ruchu części ruchomych. A m k R x(t)
Przykład siłownik pneumatyczny membranowy cd. Transmitancję operatorową rozważanego układu wyznaczymy na podstawie bilansu sił występujących w nim: Oznaczmy siłę pochodzącą od ciśnienia wejściowego przez Fp. F p (t) = Ap z (t) Siła sprężystości sprężyny jest proporcjonalna do przesunięcia trzpienia F s (t)=kx(t) Siła oporu części ruchomych występuje tylko podczas ruchu i w rozważanym przypadku można uznać, że jest ona proporcjonalna do prędkości: F R (t)=rv(t) jest siła bezwładności. Jest ona opisana powszechnie znanym wzorem: F b (t)=ma(t)
Przykład siłownik pneumatyczny membranowy cd. Bilans sił można zapisać następująco: F p = F s +F R +F b Po uwzględnieniu wcześniejszych zależności otrzymujemy: Wiedząc, że: Ap z (t) = kx(t) + Rv(t) + ma(t) v( t) x ( t) a( t) v ( t) x( t) Otrzymujemy: Ap z ( t) kx( t) Rx ( t) mx ( t) Transformata Laplace a powyższego równania, przy założeniu zerowych warunków początkowych na x oraz x będzie mieć następującą postać: APz(s) = kx(s) + RsX(s) +ms X(s) Jeżeli teraz przypomnimy, że wyjściem układu jest sygnał x, a wejściem sygnał pz, to widzimy, że transmitancja operatorowa układu będzie mieć postać: X ( s) A G( s) P ( s) ms Rs k z
Charakterystyki układów. Charakterystyki statyczne opisują własności statyczne systemów dynamicznych. Charakterystyki opisujące własności dynamiczne systemów: Czasowe Częstotliwościowe: - Charakterystyka amplitudowo-fazowa - Charakterystyka amplitudowa - Charakterystyka fazowa
Własności statyczne systemów dynamicznych Charakterystyka statyczna opisuje zależność wyjścia systemu dynamicznego od jego wejścia w stanie USTALONYM. u(t) Obiekt y(t) Sposób wyznaczania:. Podajemy sygnał u o stałej wartości na wejście obiektu,. Czekamy, aż wartość wyjścia y(t) się ustali, 3. Odczytujemy wyjście y 4. Zmieniamy stałą wartość wejścia u i powtarzamy kroki -3
Przykładowy przebieg charakterystyki statycznej: Wyjście układu y Punkt pracy Wejście układu u UWAGA! Charakterystyka statyczna prawie każdego rzeczywistego układu jest nieliniowa!
Punkt pracy układu Punkt pracy układu Jest zdeterminowany przez warunki konkretnego procesu, np. jest to wymagana temperatura pieca, w której przebiega proces, itp. W praktyce obiekt może mieć kilka punktów pracy ( np. kilka różnych temperatur)
Linearyzacja statyczna y Zakres liniow y P(u 0, y 0 ) Punkt pracy Zakres liniow y W niewielkim otoczeniu punktu pracy układ może być uważany za liniowy. u
Chrakterystyki czasowe Definicja: Charakterystyką czasową nazywamy przebieg czasowy wyjścia układu y(t) wywołany określonym wymuszeniem. Charakterystyka impulsowa: Jest to odpowiedź układu na impuls Diraca δ(t) Charakterystyka skokowa: odpowiedź układu na skok jednostkowy (t)
Eksperymentalne wyznaczanie charakterystyk czasowych: u(t) = (t), u(t) (t) Obiekt y(t) zadajnik t Rejestrator, System SCADA
Definicja Transmitancja widmowa Transmitancją widmową układu nazywamy stosunek wartości zespolonej składowej wymuszonej odpowiedzi Y w tego układu wywołanej wymuszeniem sinusoidalnym do wartości zespolonej tego wymuszenia: G( j) Y w ( j) U w ( j)
Doświadczalne wyznaczanie transmitancji widmowej i charakterystyk częstotliwościowych: u(t) = A u sin(t) Obiekt y(t)=a y sin (t+ ) Rejestracja: M() i () generator
Transmitancja widmowa Sygnał wejściowy U: U w ( j ) A U ( ) e jt Odpowiedź obiektu Y: Y w ( j) A Y ( ) e j( t ( ))
Transmitancja widmowa Moduł transmitancji: Q P A A j G M u Y ) ( ) ( ) ( ) ( Faza transmitancji: P Q arc tg j G ) ( arg ) ( A(ω) amplituda, (ω) faza ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( j e M jq P j G
Analityczne wyznaczanie transmitancji widmowej: Wykorzystujemy związek pomiędzy transmitancją widmową i operatorową, pozwalający na wyznaczenie transmitancji widmowej na podstawie transmitancji operatorowej: G( j ) G( s) sj
Charakterystyki częstotliwościowe Definicja Charakterystyką amplitudowo fazową układu (charakterystyką Nyquista ) nazywamy wykres transmitancji widmowej tego układu na płaszczyźnie zmiennej zespolonej. Przykład: Q(w) w= 0 M(w) ( ) P(w)
Definicja Charakterystyki częstotliwościowe Logarytmiczną charakterystyką amplitudową (charakterystyką Bodego ) nazywamy zależność 0logM() w funkcji log Definicja Logarytmiczną charakterystyką fazy nazywamy zależność () w funkcji log Przykład 0logM()[dB] () log
Podstawowe człony dynamiczne Okazuje się, że tym samym modelem matematycznym można opisać wiele zupełnie różnych procesów fizycznych. W konsekwencji tego, grupy procesów będą mogły być opisane transmitancjami tego samego typu. W związku z tym można stwierdzić, że ogromna większość rzeczywistych procesów dynamicznych może być opisana kilkoma podstawowymi transmitancjami, bądź ich połączeniem.
Podstawowe człony dynamiczne Jest ich kilkanaście. Na wykładzie zaprezentowane będą cztery człony, najczęściej wykorzystywanych w praktyce do identyfikacji obiektów rzeczywistych (w otwartym układzie sterowania):. Inercyjny I rzędu. Inercyjny II rzędu 3. Inercyjny I rzędu z opóźnieniem 4. Całkujący z opóźnieniem Oraz jeden wykorzystywany do analizy zamkniętych układów regulacji:. Oscylacyjny II rzędu
Przykład fizyczny. Podstawowe człony dynamiczne obiekt inercyjny I rzędu Schemat dwójnika RC: u(t) i(t) R y(t) C Zakładamy, że sygnałem sterującym jest napięcie zasilające u(t), a sygnałem wyjściowym spadek napięcia na kondensatorze y(t) u( t) Ri t yt i it G( s) Y ( s) U ( s) t dy C dt u RCs t RC dy dt yt Po przekształceniu w dziedzinie zmiennej zespolonej otrzymujemy:
Podstawowe człony dynamiczne obiekt inercyjny I rzędu Transmitancja tego elementu ma postać: Charakterystyka czasowa: G( s) k Ts k y ( t) L A Ak ( t) e y(t) s Ts t T gdzie: k współczynnik wzmocnienia, T stała czasowa, A amplituda skoku jednostkowego. A k 0.6388A k T t
Podstawowe człony dynamiczne obiekt inercyjny II rzędu Przykład fizyczny. Schemat procesu mieszania w zbiornikach: C, C Roztwór o natężeniu objętościowym i stężeniu przechodzi przez dwa zbiorniki mieszalniki o objętościach c oraz c.
Podstawowe człony dynamiczne obiekt inercyjny II rzędu Jeżeli przyjmiemy całkowite wymieszanie, to dla stężeń oraz w poszczególnych zbiornikach możemy sformułować następujące równania bilansowe: Przyjmujemy, że sygnałem wyjściowym jest stężenie w drugim zbiorniku. Sygnałem wejściowym stężenie zadane. Po przekształceniach i transformacji otrzymanego równania otrzymamy: dt d C dt d C s C s C s s s G ) ( s T s T k s G
Podstawowe człony dynamiczne obiekt inercyjny II rzędu Transmitancja obiektu: gdzie: k współczynnik wzmocnienia T, T stałe czasowe. Charakterystyka czasowa: ) ( s T s T k s G ) ( ) )( ( ) ( T t T t e T T e T T t k s T T s k s L t y u(t)=(t) czas y(t) T T k
Podstawowe człony dynamiczne obiekt I rzędu z opóźnieniem Transmitancja obiektu: gdzie: y(t) - opóźnienie (czas martwy) obiektu, k wzmocnienie obiektu, T stała czasowa obiektu. k y( t) L G( s) y(t) s ke Ts s ke k ( t s Ts ) e t T u(t)=(t) T Charakterystyka czasowa czas
Charakterystyka czasowa skokowa K A u 0.98 K A u y 0.63 K A u 0 τ T + τ 4 T + τ t Charakterystyka skokowa obiektu inercyjnego z opóźnieniem
Podstawowe człony dynamiczne obiekt całkujący z opóźnieniem Transmitancja obiektu: gdzie: y - opóźnienie (czas martwy) obiektu, k wzmocnienie obiektu, T stała czasowa obiektu. G( s) ke Ts s 0.368KA u T β =arctgk A u 0 τ T+τ t Charakterystyka skokowa obiektu całkującego z inercją wyższego rzędu
Parametry zastępczego modelu obiektu całkującego z inercją wyższego rzędu na podstawie charakterystyki skokowej Na podstawie rysunku możemy określić wszystkie współczynniki zastępczej funkcji przejścia, mianowicie: Współczynnik wzmocnienia dany jest znanym wzorem K tg Pozostałe parametry zastępcze można wyznaczyć ze wzorów T z ( T A u (0.368 KAuT 0.368 tg z ) T z z )
Podstawowe człony dynamiczne obiekt oscylacyjny II rzędu Transmitancja obiektu: gdzie: k współczynnik wzmocnienia, G( s) k T0 s T0s T0 okres drgań własnych, - współczynnik tłumienia. Warunek wystąpienia oscylacji: <
Podstawowe człony dynamiczne obiekt oscylacyjny t T e t k s T s T k s L t y t T 0 0 0 sin ) ( ) ( 0 u(t)=(t) czas y(t) Charakterystyka czasowa