PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach

Podobne dokumenty
Analiza matematyczna i algebra liniowa

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:

Pojęcia Działania na macierzach Wyznacznik macierzy

Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach

Wyznacznik macierzy. - wyznacznik macierzy A

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA

Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki

Wykªad 1. Macierze i wyznaczniki Macierze podstawowe okre±lenia

1 Macierze i wyznaczniki

Rys Wyrównanie spostrzeżeń zawarunkowanych jednakowo dokładnych C. KRAKOWIANY

Układy równań liniowych Macierze rzadkie

Maciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y

FUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1

4. RACHUNEK WEKTOROWY

Macierze. Rozdział Działania na macierzach

Rachunek wektorowo-macierzowy w programie SciLab

A A A A A A A A A n n

Metoda sił jest sposobem rozwiązywania układów statycznie niewyznaczalnych, czyli układów o nadliczbowych więzach (zewnętrznych i wewnętrznych).

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

1 klasyfikacja trójkątów twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie

RACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska

Pierwiastek z liczby zespolonej

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach, wyznacznik i rząd macierzy

Pierwiastek z liczby zespolonej

Definicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

Wymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 3.

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS /02

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

SZTUCZNA INTELIGENCJA

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

Klasa druga: II TK1, II TK2 Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Funkcja kwadratowa

PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b,

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

a a a b M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM

Wprowadzenie: Do czego służą wektory?

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...

f(x) = ax 2, gdzie a 0 sności funkcji: f ( x) wyróżnik trójmianu kw.

Algebra WYKŁAD 6 ALGEBRA 1

Zbiory wyznaczone przez funkcje zdaniowe

ALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska

Kodowanie liczb. Kodowanie stałopozycyjne liczb całkowitych. Niech liczba całkowita a ma w systemie dwójkowym postać: Kod prosty

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

3. Rozkład macierzy według wartości szczególnych

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =

MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic

MATEMATYKA 1 MACIERZE I WYZNACZNIKI

Matematyka I. WYKŁAD 8. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH II Macierzowa Postać Eliminacji Gaussa. gdzie

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016

, A T = A + B = [a ij + b ij ].

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze

Wykład z matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 1. Literatura PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE Ib ZAKRES PODSTAWOWY

Translacja jako operacja symetrii. Wybór komórki elementarnej wg A. Bravais, połowa XIX wieku wybieramy komórkę. Symetria sieci translacyjnej

LISTA02: Projektowanie układów drugiego rzędu Przygotowanie: 1. Jakie własności ma równanie 2-ego rzędu & x &+ bx&

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Wszystkim życzę Wesołych Świąt :-)

Algebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna

MACIERZE I WYZNACZNIKI

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy

a a a ; ; ; (1.2) przez [ a ij ], czyli zbiór elementów w i-tym wierszu i w j-tej kolumnie. Wymiary ( n m) stanowią stopień macierzy.

Wymagania kl. 2. Uczeń:

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.

Zastosowania wyznaczników

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/ Sumy algebraiczne

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI

Zaawansowane metody numeryczne

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. I poziom podstawowy

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2012/13

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

Podstawy układów logicznych

Algebra WYKŁAD 5 ALGEBRA 1

Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja

Matematyka II dla Wydziału Zarządzania

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,

Transkrypt:

PODSTWY LGEBRY MCIERZY WIERSZ i, KOLUMN (j) Mcierz m,n, gdzie m to ilość wierszy, n ilość kolumn i,j element mcierzy z itego wiersz, jtej kolumny Opercje n mcierzch Równość mcierzy m,n = B m,n. def i,j = b i,j Dodwnie (odejmownie) mcierzy def. m,n ± B m,n = C m,n c i,j = i,j ± b i,j 5 5 9 Mnożenie mcierzy przez sklr def. m,n c = B m,n b i,j = i,j c RW. dr inż. Jn Ruchel / Mcierze

Mnożenie mcierzy przez sklr jest przemienne m,n c = c m,n Iloczyn dwóch mcierzy Iloczyn wierszy(sumomnożenie) pierwszej mcierzy i odpowidjących elementów kolumn drugiej mcierzy m,n B n,s = C m,s. c i, j n k b def i, k k, j 7 9 Iloczyn wielu mcierzy m,n B n,s C s,t D t,v = E m,v 7 5 Iloczyn wielu mcierzy RW. dr inż. Jn Ruchel / Mcierze

B B SUM 7 5 9 C BC SUM 5 D BCD SUM 7 5 Mnożenie mcierzy jest łączne m,n B n,s C s,t = m,n (B n,s C s,t ) Mnożenie mcierzy jest rozdzielne względem dodwni ( m,n + B m,n ) C n,s = m,n C n,s + B m,n C n,s Mnożenie mcierzy nie jest przemienne m,n B n,s B n,s m,n 7 9 9 5 Trnspoz mcierzy Mcierz trnsponowną względem mcierzy m,n nzyw się tką T mcierz, w której wiersze odpowidją kolumnom mcierzy m,n n m T T i,j j,i Trnspoz mcierzy posid nstępujące włsności: RW. dr inż. Jn Ruchel / Mcierze

( T ) T = Trnspoz mcierzy trnsponownej przywrc pierwotną mcierz T ( T + B + C) T = ( T ) T + B T + C T = + B T + C T (BCD) T Trnspoz sumy mcierzy jest sumą mcierzy trnsponownych = D T C T B T T Trnspoz iloczynu mcierzy jest iloczynem mcierzy trnsponownych w odwrotnej kolejności. RW. dr inż. Jn Ruchel / Mcierze

Mcierz zerow Rodzje mcierzy (ze względu n ksztłt i elementy mcierzy) def. m,n i,j = (m, n dowolne) Mcierz kwdrtow n,n 5 7 9 Mcierz symetryczn S n,n. def s i,j = s j,i 5 Przekątn mcierzy (przekątn główn) i,i Elementy o tym smym wskźniku wiersz i kolumny 9 Mcierz digonln D n,n. def d i,i orz d i,j = RW. dr inż. Jn Ruchel / Mcierze rozkłd

Mcierz sklrn def. S n,n s i,i = c (dl c ) orz s i,j = Mcierz jednostkow E def. E n,n e i,i = orz e i,j = Iloczyn sklru przez mcierz jednostkową dje mcierz sklrną S = c E (np. S = E) Iloczyn mcierzy T jest mcierzą symetryczną T = S 5 Trnspoz mcierzy symetrycznej dje mcierz pierwotną N T = ( T ) T = T = N Dl mcierzy symetrycznej P iloczyn T m, n Pn, n n, m Nm, m dje mcierz symetryczną 9 9 5 5 9 5 9 RW. dr inż. Jn Ruchel / Mcierze rozkłd

Dl mcierzy kwdrtowych możn zdefiniowć potęgownie = Mcierz idempotentn = Mcierz elementrn (trójkątn lub trpezow) Mcierz zwierjąc poniżej lub powyżej przekątnej sme 5 5 RW. dr inż. Jn Ruchel / Mcierze rozkłd

Rozkłd mcierzy n czynniki elementrne Mcierz kwdrtową (n,n) możn rozłożyć n iloczyn dwóch mcierzy trójkątnych (n,n), z których pierwsz skłd się z elementów zerowych nd przekątn główną, drug m elementy= pod przekątn główną n,n = H T n,n G n,n Elementy położone n przekątnej jednej z mcierzy H lub G mogą być dowolnie ustlonymi liczbmi z wyjątkiem zer. Njczęściej przyjmuje się n przekątnej mcierzy G jedynki, pozostłe elementy mcierzy H i G wyzncz się z definicji mnożeni mcierzy. Mcierz prostokątną poziomą (czyli m<n) możn rozłożyć n iloczyn mcierzy trójkątnej H m,m i mcierzy trpezowej G o m wierszch i n kolumnch (identycznych rozmirów, co mcierz rozkłdn). m,n = H T m,m G m,n Elementy n przekątnej mcierzy G (mogą być ustlone jko = (zlecne). Przykłd rozkłdu mcierzy 5 7 Mcierz symetryczną możn rozłożyć n iloczyn dwóch mcierzy (z których jedn jest trnspozą drugiej). N n,n = R T n,n R n,n 9 5 5 Mcierz R nzywmy pierwistkiem kwdrtowym mcierzy N. UWG! ROZKŁD I WSZYSTKIE INNE DZIŁNI N MCIERZCH WYKONYWNE RĘCZNIE NLEŻY WYKONYWĆ ŁĄCZNIE Z KONTROLMI SUMOWYMI. RW. dr inż. Jn Ruchel / Mcierze rozkłd

Wyznczniki i minory mcierzy Wyznczniki Wyzncznikiem mcierzy kwdrtowej stopni n o elementch ij nzywmy funkcję rzeczywistą elementów ij określoną wzorem det... i j np Gdzie sumownie przebieg wszystkie permutcje wskźników (i, j,...,p) ciągu (,,...,n), przy czym znk plus jest, gdy (i, j,...,p) tworzą permutcję przystą, znk minus jest gdy wskźniki te tworzą permutcję nieprzystą. Minory Jeżeli w mcierzy skreśli się ity wiersz i jtą kolumnę, to wyzncznik tkiej podmcierzy nosi nzwę minor i oznczny jest przez M i,j. 5 M, 5 lgebriczne dopełnienie (czyli minor z odpowiednim znkiem) elementu ij mcierzy i,j = () i+j M i,j Wrtość wyzncznik mcierzy możemy wyznczyć z pomocą dopełnień det i i ( j) ( j) Przy czym wskźnik i ozncz dowolny wiersz j dowolną kolumnę ( z wyzncznik i z mcierzy dopełnień lgebricznych). RW. dr inż. Jn Ruchel / Mcierze odwrotność

Włściwości mcierzy Rząd mcierzy R() Rząd mcierzy definiuje się jko liczbę jej liniowo niezleżnych wierszy lub jko liczbę jej liniowo niezleżnych kolumn. Rząd mcierzy R() stnowi njwyższy stopień minorów mcierzy różnych od zer < R( n,m ) min(n, m) Włsności R() = R( T ) gdzie min(n, m) ozncz mniejszy wymir mcierzy. R(BC) min (R(), R(B), R(C)) Mcierz kwdrtow n, jest pełnego rzędu (mcierzą nieosobliwą), gdy R( n,n ) = n czyli det () Mcierz kwdrtow jest niepełnego rzędu ( mcierzą osobliwą), gdy det () = Mcierz prostokątn pionow n,m (n> m) jest kolumnowo pełnego rzędu (regulrną kolumnowo), gdy R( n,m ) = m Mcierz prostokątn poziom n,m (n < m) jest wierszowo pełnego rzędu (regulrną wierszowo), gdy R( n.m ) = n Defektem mcierzy n.m nzywmy liczbę cłkowitą określoną wzorem d = min ( n, m ) R ( n,m ) RW. dr inż. Jn Ruchel / Mcierze odwrotność

Wszystkie mcierze pełnego rzędu posidją defekt zerowy, czyli d =. Jeżeli mcierz posid d >, to mcierz t jest niepełnego rzędu, czyli osobliw. Śld mcierzy dl mcierzy kwdrtowej n,n. Sp ( n,n ) = ii Mcierz odwrotn Odwrotność lewostronn (dl mcierzy pionowej) ( m,n ) n,m = E m,m Odwrotność prwostronn (dl mcierzy poziomej) n,m ( m,n ) = E n,n Jeżeli mcierz kwdrtow stopni n n jest nieosobliw, czyli jest mcierzą której rząd R()= n, to istnieje dokłdnie jedn mcierz odwrotn:, n n, n n, n n n, n E Włsności odwrotności: ( BC ) = C B = (H T G) = G (H T ) = ( ) T (dl mcierzy symetrycznej) ( T ) = ( ) T RW. dr inż. Jn Ruchel / Mcierze odwrotność

Odwrotność liczon z pomocą mcierzy dopełnień lgebricznych det T D Det D T mcierz odwrotn wyzncznik mcierzy mcierz dopełnień lgebricznych (dl ) M, M, M, M, M, M, M, M, M, M D T D det D T,5,5,5,5 RW. dr inż. Jn Ruchel / Mcierze odwrotność

Ukłd równń, x +, y +, z = l, x +, y +, z = l, x +, y +, z = l zpis lgebriczny X = L (zpis mcierzowy ukłdu równń) Sprwdzmy x,,,,,,,,, x y z,,, x x x,,, y y y,,, z z z L l l l Mcierz odwrotn dl mcierzy współczynników przy niewidomych ukłdu równń określ rozwiąznie tego ukłdu, (dl mcierzy kwdrtowej i nieosobliwej) RW.5 dr inż. Jn Ruchel / Mcierze ukłd równń

X n,n X n, = L n, n, nn, n, L X = L / mnożymy lewostronnie X = L ( ) X = L ( E ) X = L E X = L X = L Prktycznie relizcj (wrint ): = H T G H T (H T ) = E G G = E G (H T ) = X = L Prktycznie relizcj (wrint ): Wrunek T = = R T R R R = E (R ) T = (R T ) R (R T ) = X = L RW.5 dr inż. Jn Ruchel / Mcierze ukłd równń

Obliczenie przy wykorzystniu odwrotności liczonej z rozkłdu H T G Ukłd trzech równń liniowych X + Y + Z = X + Y + Z = X + Y + Z = Obliczenie przy wykorzystniu odwrotności liczonej z rozkłdu mcierzy Ukłd Rozkłd Odwrotność Odwrotność Iloczyn odwrotnośći Rozwiąznie Kontrol Mcierz Mcierz X Mcierz L X Y = Z Mcierz Mcierz H T Mcierz G = Mcierz H T Mcierz (H T ) E.5...5.5. =..5.5 Mcierz G Mcierz G Mcierz E...... =... Mcierz G Mcierz (H T ) Mcierz....5...5.5.....5.5. =.5.5.5.....5.5..5.5 Mcierz X Mcierz Mcierz L..5.5.. =.5.5.5...5.5 Mcierz Mcierz X Mcierz L... =... RW.5 dr inż. Jn Ruchel / Mcierze ukłd równń

Obliczenie przy wykorzystniu odwrotności liczonej z pierwistk mcierzy Ukłd Mcierz Mcierz Mcierz X L X 7 Y = 5 9 Z Rozkłd Odwrotność Odwrotność Iloczyn odwrotnośći Rozwiąznie Kontrol Mcierz Mcierz R T Mcierz R.7...7.7.7 =.7.7...7.7 9.7.7.7...7 Mcierz R T Mcierz (R T ) E.7...577...7.7..577.577. =.7.7.7. ( (R T ) ) T = ((R T ) T ) = R.577...577.577..577.577. =..577.577..577.577...577.577.577.577 Mcierz R Mcierz (R T ) Mcierz.577..577...7....577.577.577.577. =..7....577..577.577. Mcierz Mcierz X Mcierz L..7.. 7. =..7. 5 5.... Mcierz Mcierz Mcierz X L. 7.. = 5. 9 5.... RW.5 dr inż. Jn Ruchel / Mcierze ukłd równń

Ukłd trzech równń liniowych X + Y + Z = X + Y + Z = X + Y + Z = Obliczenie przy wykorzystniu wzorów KRMER x Wx w y Wy w z Wz w Ukłd WYZNCZNIKI X Y = Z Wyzncznik W Wyzncznik X Wyzncznik Y Wyzncznik Z W y W z W= W x = = = 9 Rozwiązni e Kontrol X= W x / W. Y= W y / W. Z= W z / W. Mcierz Mcierz X Mcierz L.. =. RW.5 dr inż. Jn Ruchel 5/ Mcierze ukłd równń

Ukłd trzech równń liniowych X + Y + Z = X + Y + Z = X + Y + Z = Obliczenie przy wykorzystniu MINORÓW (dopełnień lgebricznych) X = L det T D Ukłd WYZNCZNIKI Mcierz McierzX Mcierz L X Y = Z Wyzncznik W Mcierz minorów M Mcierz dopełnień [ ij ] W= W = w i i lub w (j) (j)!/w =.5 W=W = W=W () () = = \ det W [] T Mcierz X = L.5.5.5 =..5.5....5.5. Mcierz Mcierz Mcierz X L.. Kontrol. =... RW.5 dr inż. Jn Ruchel / Mcierze ukłd równń