Optymalizacja konstrukcji Kształtowanie konstrukcyjne: nadanie właściwych cech konstrukcyjnych przeszłej maszynie określenie z jakiego punktu widzenia (wg jakiego kryterium oceny) będą oceniane alternatywne rozwiązania konstrukcyjne. Ścisłe (sformułowane matematycznie) określenie punktu widzenia funkcja celu (funkcja jakości, funkcja efektywności) Punkt oceny kryterium optymalizacji.
Optymalizacja to działalność, której celem jest uzyskanie najlepszego rezultatu w danych warunkach i dla określonej funkcji celu. Najlepszy z otrzymanych wyników nazywa się optymalnym.
Optymalizacja - myślenie w kategoriach celów
Przykład: lornetka Kryterium optymalizacji (zmienna zależna) ostrość obrazu Zmienna niezależna odległość soczewek Wartość optymalna najostrzejszy obraz ostrość obrazu optimum odległość soczewek
Optymalizacja to działalność, której celem jest uzyskanie najlepszego rezultatu w danych warunkach i dla określonej funkcji celu. Najlepszy z otrzymanych wyników nazywa się optymalnym.
Projektowanie Sformułowanie problemu Model problemu Optymalizacja
Po co optymalizować? Korzyści finansowe Usprawnienie działania Podniesienie efektywności pracy Poprawa niezawodności Poprawa bezpieczeństwa Zmniejszenie zużycia zasobów
Kryteria optymalizacji Koszt Opóźnienie (szybkość działania) Niezawodność Efektywność Zużycie zasobów Bezpieczeństwo
Ograniczenia w optymalizacji Koszt Opóźnienie (szybkość działania) Niezawodność Efektywność Zużycie zasobów Bezpieczeństwo Inne
Załóżmy, że rozpatruje się trzy rodzaje przekładni o tej samej mocy i przełożeniu : ślimakową, planetarną, walcową. Załóżmy też, że kryterium optymalizacji są najmniejsze gabaryty tej przekładni, które można wyrazić w funkcji pozostałych cech konstrukcyjnych. Z punktu widzenia zadanego kryterium a więc wymiarów gabarytowych, optymalnym rozwiązaniem jest przekładnia planetarna.
Model matematyczny konstrukcji Zbudowanie funkcji celu, niezbędnej w procesie optymalizacji konstrukcji, wymaga zapisu cech konstrukcyjnych maszyny (geometrycznych, materiałowych i dynamicznych) w postaci układu liczb i funkcji. Uzyskany w ten sposób zapis nazywa się modelem matematycznym konstrukcji.
Dla potrzeb modelowania matematycznego, konstrukcję K można potraktować jako punkt w pewnej przestrzeni N-wymiarowej czynnikowej, co można zapisać następująco: K = (C( 1,C 2,...,C N ) R N gdzie: K- konstrukcja, C i - cechy konstrukcji, R N -przestrzeń konstrukcji.
Jeżeli wszystkie współrzędne wektora K są liczbami, to taki punkt można traktować jako element N - wymiarowej przestrzeni euklidesowej E N : K = (C( 1, C 2,...,C N ) E N Wektor K należący do przestrzeni konstrukcji jednoznacznie opisuje konstrukcję.
Niech opisywanym elementem będzie śrubowa sprężyna naciskowa. α D D w D z p d
Umiejscowienie jej środka ciężkości w maszynie można określić za pomocą wartości liczbowych trzech współrzędnych: x, y i z. Następne współrzędne mogą opisywać, np. średnicę drutu d, średnicę nawinięcia drutu D w, granicę plastyczności materiału sprężyny R e, wartość siły napięcia wstępnego P w, itp.
Wszystkie cechy opisujące konstrukcję można podzielić na: parametry P zmienne decyzyjne X. Parametry P są zadane i ich wartość jest niezmienna w procesie projektowania. Zmienne decyzyjne X są dobierane w procesie projektowania.
W przypadku rozpatrywanej sprężyny: parametrami P mogą być np.: wartość siły napięcia wstępnego i wymiary zewnętrzne sprężyny, zaś zmiennymi decyzyjnymi X, np. średnica drutu, granica plastyczności materiału sprężyny (materiał sprężyny).
Biorąc pod uwagę podział cech konstrukcyjnych na parametry P i zmienne decyzyjne X, konstrukcje można formalnie zapisać następująco: K = (P( 1, P 2,...,P N ; X 1,X 2,...X M ) E K Zbiór zmiennych decyzyjnych X można traktować jako punkt x w pewnej przestrzeni, zwanej przestrzenia zmiennych decyzyjnych (przestrzenia rozwiązań) E x : x = (x 1, x 2,,x n ) E x
Na złożoność modelu matematycznego wpływa głownie liczba zmiennych decyzyjnych - im jest ona większa, tym trudniejsze i kosztowniejsze jest prowadzenie obliczeń. Z drugiej zaś strony, ograniczenie liczby zmiennych decyzyjnych i ustalenie dużej liczby cech konstrukcyjnych jako parametrów zawęża możliwości poszukiwana najlepszych rozwiązań.
Matematyczne sformułowanie owanie szczegółowych i ogólnych zasad konstrukcji Projektant może przyjmować tylko określone wartości zmiennych decyzyjnych X. Wynika to z ograniczeń narzuconych na poszczególne zmienne decyzyjne i na konstrukcję jako całość. Ograniczenia Ograniczenia te wynikają ze szczegółowych zasad konstrukcji.
Zgodnie z pierwszą zasadą, konstrukcja powinna spełniać wszystkie ograniczenia wynikające ze szczegółowych zasad w stopniu nie mniejszym od założonego. Z matematycznego punktu widzenia, ograniczenia te mogą mieć charakter nierównościowy: b i (x)= b i (x 1,x 2,...,x n )< 0; i = 1,2,...,m lub równościowy: g j (x)=g j ( x 1,x 2,...,x n )=0; j=1,2,...,p
Dla każdej zmiennej decyzyjnej x i można ustalić wstępnie zakres jej zmienności: x imin x i x imax; i = 1,...,n Na skutek ograniczeń wynikających ze szczegółowych zasad konstrukcji przedział ten ulega zawężeniu. Niektóre zmienne decyzyjne mogą przyjmować dowolne wartości z ciągłego przedziału [x imin,x imax ], a inne mogą przyjmować tylko wartości dyskretne.
Zmienne decyzyjne wynikające ze względów fizycznych i technologicznych, takie jak np.: wymiary, obciążenia, naprężenia., itp. mają z reguły charakter ciągły.
Zmienne decyzyjne ściśle określone przez normy, takie jak np.: moduły kół zębatych, wymiary łożysk tocznych, wymiary śrub, nitów, itp., mają charakter dyskretny i ich zakres zawęża się do zbioru liczb dyskretnych. Inne wartości zmiennych decyzyjnych są dyskretne z założenia, np. liczba zębów w kole zębatym.
Jednakże, zdecydowana większość ograniczeń ma charakter nierównościowy, np.: liczba zębów w kole zębatym nie może być mniejsza niż graniczna liczba zębów, obciążenie nie może wywoływać naprężeń większych od dopuszczalnych, prędkość obwodowa czopa podczas smarowania hydrodynamicznego musi być większa od granicznej.
W procesie budowy modelu matematycznego konstrukcji K wszystkie ograniczenia wynikające ze szczegółowych zasad konstrukcji musza być przedstawione w postaci jednoznacznej matematycznie, tak aby dla dowolnego wektora zmiennych decyzyjnych X można było jednoznacznie stwierdzić, czy należy on do zbioru rozwiązań dopuszczalnych, a więc czy są spełnione wszystkie ograniczenia, czy też nie.
Zbiór punktów w przestrzeni zmiennych decyzyjnych X, w których spełnione są wszystkie ograniczenia narzucone przez konstrukcję K, nazywa się zbiorem dopuszczalnym lub zbiorem rozwiązań dopuszczalnych: Φ= Φ (x) E x
W celu wyboru ze zbioru rozwiązań dopusczalnych Φ rozwiązania najlepszego, konieczne jest ustalenie kryteriów optymalizacji Q. Druga ogólna zasada konstrukcji mówi, że konstrukcja powinna być optymalna (polioptymalna) w danych warunkach ze względu na przyjęte kryterium optymalizacji, np.: najmniejszy ciężar, największa wytrzymałość, itp.
Problem jednokryterialny zagadnienie do rozwiązania (decyzja do podjęcia) wybór odbywa się w oparciu o jedno reprezentatywne kryterium oceny np. problem wyboru pojazdu cena zakupu Problem wielokryterialny zagadnienie do rozwiązania (decyzja do podjęcia) wybór odbywa się w oparciu o więcej niż jedno kryterium oceny np. problem wyboru pojazdu o najwyższej jakości trwałość, niezawodność, wyposażenie,...
Zadanie optymalizacji można przedstawić w kategoriach działania praktycznego, tj. osiągnięcie: pożądanego efektu przy najmniejszych nakładach, największego efektu przy wykorzystaniu zadanych nakładów.
Reguły te maja charakter praw ekonomicznych i już w tym podejściu widać jak istotny jest dobór kryteriów. Szczególnie niebezpieczne jest uleganie wyłącznie kryteriom ekonomicznym. Może to bowiem prowadzić do niebezpiecznych skutków ekologicznych, społecznych, a nawet technicznych.
W procesie, projektowania należy przede wszystkim uwzględniać kryteria techniczne, nie zapominając jednak o ekonomicznych. Kryteria techniczne wynikają ze szczegółowych zasad konstrukcji. Są to kryteria funkcjonalności, trwałości, niezawodności, sprawności, lekkości, taniości i dostępność materiałów, itp.
W projektowaniu wspomaganym komputerowo należy każde kryterium przedstawić jako funkcję zależną od zmiennych decyzyjnych X. Model matematyczny konstrukcji wektor zmiennych decyzyjnych x, zbiór rozwiązań dopuszczalnych Φ i kryterium optymalizacji Q, można zapisać następująco: x = (x 1,x 2,...,x n ) E x Φ = Φ (x) E x Q=f(x 1,x 2,...,x n )
Metody poszukiwania rozwiąza zań optymalnych Ogólnie można je podzielić na dwie zasadnicze grupy: metody analityczne, np. metoda pochodnych, metoda wariacyjna, metoda wyznaczników Lagrange'a, metody numeryczne, np. programowanie liniowe (metoda Simplex), programowanie nieliniowe.
Przykład - zadanie Przesyłki przewożone na statku mogą być pakowane w skrzynie, których suma wszystkich boków podstawy i wysokości nie przekracza 240 cm, zaś podstawa jest kwadratem. W przeciwnym razie naliczane są opłaty dodatkowe. Obliczyć wymiary skrzyni maksymalizujące jej objętość.
H x x
Metoda pochodnych Metoda pochodnych zasadza się na wyznaczeniu dwóch pochodnych w celu znalezienia wartości ekstremalnych danej funkcji celu Q(x). W pierwszym kroku, dla znalezienia wartości ekstremalnych, wyznacza się pierwszą pochodną funkcji Q(x) i przyrównuję się ją do zera a następnie oblicza się wartość zmiennej niezależnej x. dq dx = 0 Równanie to pozwala na wyznaczenie wartości ekstremalnych.
W kroku drugim wyznacza się druga pochodną funkcji Q(x). Jeśli wyznaczone wartości ekstremalne są mniejsze od zera to funkcja osiąga maksimum, jeśli większe od zera to funkcja osiąga minimum. 2 d Q 2 dx < 0 funkcja Q(x) osiąga maksimum 2 d Q 2 dx > 0 funkcja Q(x) osiąga minimum
Funkcja celu ma postać: Q( x) = x 2 H Ograniczenie równościowe ma postać: b ( x) = H + 4 x 240 = 0
Wyznaczając H z poprzedniego równania: H = 4 x + 240 i podstawiając do funkcji celu uzyskuje się: ( x) = 4x 3 240x 2 Q +
Pierwsza pochodna ma postać: dq 2 dx = 12x + 480x = 0 Rozwiązaniem tego równania są wartości: x 1 = 0 oraz x 2 = 40.
W celu upewnienia się czy funkcja Q(x) osiąga maksimum przy x 2 = 40, wyznacza się drugą pochodną: d 2 Q dx 2 = 24x + 480 = 0
i oblicza się jej wartość dla x 2 = 40: d 2 dx Q 2 x 1 = 40 = 480
Następnie oblicza się H z zależności na ograniczenie równościowe: H = 240 4x = 240 4 40 = 80 cm Wówczas największa pojemność skrzyni wyniesie: V 2 = x H = 2 40 80 = 128000 cm 3