Deterministyczne Modele Badań Operacyjnych Semestr letni 2015 Praca domowa III 15/05/2015 Polecenie Zestaw składa się z trzech zadań, za każde z nich można zdobyć 10p. Rozwiązania do zadań należy wysłać na adres tp.dmbo.2015@gmail.com do 22/05/2015 do godziny 23 : 59 (liczy się czas otrzymania rozwiązania, nie wysłania). W przypadku przekroczenia tego terminu praca nie będzie sprawdzana. Prace należy wykonywać w grupach maksymalnie 2 osobowych. Skład grup nie powinien się zmieniać w trakcie semestru. Prace powinny być wykonane przez zespoły samodzielnie, w przypadku stwierdzenia niesamodzielności pracy dany zestaw nie będzie sprawdzany. Na rozwiązanie składa się plik.xls lub.xlsx z rozwiązanymi poszczególnymi podpunktów w Solverze (każdy podpunkt musi być rozwiązany w oddzielnym arkuszu), oraz plik.pdf z odpowiedziami do zadań (odpowiedzi do zadań proszę zapisać w dowolnym edytorze tekstu; skany pisma ręcznego nie będą akceptowane). Oba pliki powinny być spakowane do folderu skompresowanego w formacie.zip. Nazwa folderu powinna być następująca: DM BO3[ind1][ind2][nrg1][nrg2], gdzie ind1 i ind2 to numery indeksów autorów, a nrg1 i nrg2 to numery grup autorów (zgodne ze stanem w Wirtualnym Dziekanacie). Proszę tytułować maile zawierające rozwiązanie w następujący sposób: DMBO2015L P D3 [ind1] [ind2] (gdzie tak jak poprzednio ind1 oraz ind2 oznaczają numery indeksów autorów. W przypadku nie przestrzegania powyższych wymogów od uzyskanego wyniku może zostać odjęte do 20% uzyskanych punktów. 1
1 Majestat Młody książę Fortynbras obejmuje rządy w królestwie Danii. Patrząc na niepewną przyszłość królestwa zastanawia się jakie działania podjąć, aby jego królestwo rozkwitło. Po długich naradach jego doradcy przedstawili mu listę możliwych działań wraz z ich konsekwencjami dla bezpieczeństwa kraju [B], dobrostanu jego mieszkańców [D], prestiżu na arenie międzynarodowej [PM] oraz popularności wśród poddanych [P]. Każda z akcji wiążę się z pewnym kosztem [K, w tys. monet], a budżet królestwa jest ograniczony do 300 tys. złotych monet rocznie. Książe nie chce aby bezpieczeństwo królestwa było niższe niż 20 punktów. Żeby w przyszłości znaleźć dobrą kandydatkę na królową, książę musi także osiągnąć wysoki prestiż międzynarodowy, nie mniejszy niż 50 punktów. Możliwe do podjęcia akcje przedstawia tabela 1. Każdą akcję można wykonać tylko określoną liczbę razy [L], co jest opisane w tabeli. Tabela 1: Lista możliwych działań D B PM P K [w tys.] L budowa nowych umocnień 2 10 10 3 10 3 wysłanie ambasadorów do sprzymierzonego kraju 1 5 5 0 10 5 budowa systemu kanalizacji 5 1 0-4 20 1 rozbudowa targowisk w większych miastach 4 0 0 1 10 4 kupno statków dla floty handlowej 1 0 5 0 20 2 próba rozszerzenia uprawnień króla 2 5 20-4 30 1 prowadzenie wystawnego dworu 0 0 20-4 30 1 reforma rolna 4 0 0-4 40 1 a) Książe uznał, że najlepszym wskaźnikiem rozwoju kraju jest dobrostan jego poddanych. Zapisz zadanie programowania liniowego, które umożliwi maksymalizację tego wskaźnika. Przedstaw optymalną wartość funkcji celu oraz wartości zmiennych decyzyjnych. [1p] b) Po namyślę książę uznał, że wolałby jednak żeby ten dobrostan nie był aż tak drogi. Książę chce teraz zminimalizować ponoszone koszty, jednak nie chce aby zadowolenie poddanych spadło o więcej niż 20% w stosunku do wyniku z podpunktu a). Zapisz odpowiednie ZPL. Przedstaw optymalną wartość funkcji celu oraz wartości zmiennych decyzyjnych. [1p] c) Po kolejnych konsultacjach z doradcami uznał jednak, że bardziej interesuje go najbardziej efektywny plan działań. Tak więc chce teraz maksymalizować stosunek dobrostanu poddanych do kosztów. Zapisz od- 2
powiedni model optymalizacyjny i przy pomocy odpowiednich transformacji (opisz je) sprowadź problem do ZPL. Przedstaw optymalną wartość funkcji celu oraz wartości zmiennych decyzyjnych. [4p] d) Po wielu przemyśleniach książę uznał, że z powodu wrodzonej nieśmiałości nie chciałby jednak być najbardziej popularny. Przedstaw liniową postać modelu maksymalizującego stosunek dobrostanu poddanych do popularności i procedurę otrzymania takiej postaci modelu. [4p] 2 IWENT Przedsiębiorstwo IWENT organizuje festiwal muzyczny z budżetem wielkości 200 jp. Na scenie zaprezentuje się 5 zespołów: Aktyw, Bilans, Czelendż, Dźwignia, Equilibrium. Każdy z nich otrzyma honoraria podane w tabeli 2. Tabela 2: Koszty 1 jednostki występu (30 min.) Aktyw Bilans Czelendż Dźwignia Equilibrium 12 15 7 4 8 Jedne zespoły są bardziej znane, inne mniej, co przekłada się na to, iż użyteczność którą będą czerpać widzowie oglądający 1 jednostkę występu (30 min.) będzie odmienna. Zespół Bilans jest 2 razy bardziej popularny niż zespół Dźwignia, co proporcjonalnie przekłada się na dostarczaną przez niego użyteczność. Użyteczność dostarczana przez zespół Czelendż jest o 20% większa niż ta dostarczana przez zespół Dźwignia. Użyteczność z 30 minutowego występu zespołu Equilibrium jest o 40% mniejsza niż użyteczność z takiego występu zespołu Dźwignia. Użyteczność 30 minutowego występu zespołu Aktyw stanowi 75% użyteczności takiego występu zespołu Bilans (przyjmij, że wartość użyteczności dostarczanej przez zespół Dźwignia wynosi 1). Zespół Czelendż jest zaangażowany w finansowanie projektu w zamian za co będzie występował przez minimum dwie godziny. Koncerty będą trwać 8 godzin, a każdy zespół ma występować przez minimum 30 min. Należy pamiętać również, że zespół Equlibrium wynegocjował, iż będzie występował minimum 2 razy dłużej niż zespół Aktyw. a) Zapisz zadanie PL maksymalizujące użyteczność z występów zespołów. [1p] 3
b) Zaimplementuj model z punktu a) w MS Excel. Podaj wartość funkcji celu oraz ile godzin będą trwały występy poszczególnych zespołów [1p] c) Manager projektu stwierdził, iż lepiej będzie, gdy najmniejsza użyteczność płynąca z występu danego artysty będzie jak największa. Zapisz zadanie PL. Zaimplementuj model w MS Excel. Podaj wartość funkcji celu oraz ile godzin będą trwały występy poszczególnych zespołów [4p] d) Manager zmienił zdanie, uznał, iż długość trwania poszczególnych koncertów należy ustalić tak, aby użyteczność dostarczana przez każdy z zespołów była jak najbardziej przybliżona do średniej użyteczności ze wszystkich koncertów. Zapisz zadanie PL. Zaimplementuj model w MS Excel. Podaj wartość funkcji celu oraz ile godzin będą trwały występy poszczególnych zespołów [4p] 3 Mak Firma Mak, produkuje aluminiowe obudowy do Mac ów. Obecnie, Mak planuje wymianę maszyn produkcyjnych, do wyboru ma 3 modele maszyn: Makao 1, Makao 2 i Makao 3. Jednostkowy koszt zakupu każdej z maszyn to odpowiednio 18 000 PLN, 25 000 PLN oraz 35 000 PLN. Firma Mak produkuje 5 rodzajów obudów, każda z maszyn może być zaprogramowana tak, aby produkować jeden, dowolny typ obudowy. Po zaprogramowaniu, maszyny mogą produkować niżej (tabela 3) podaną ilość obudów na godzinę. Tabela 3: Obudowy na godzinę Obudowa 1 Obudowa 2 Obudowa 3 Obudowa 4 Obudowa 5 Makao 1 100 130 140 210 80 Makao 2 265 235 170 220 120 Makao 3 200 160 260 180 220 Firma Mak ma następujące cele: Cel 1: Wydać około 1 500 000 PLN na zakup nowych maszyn Cel 2: Produkować około 3 200 obudów typu 1 na godzinę Cel 3: Produkować około 2 500 obudów typu 2 na godzinę Cel 4: Produkować około 3 500 obudów typu 3 na godzinę 4
Cel 5: Produkować około 3 000 obudów typu 4 na godzinę Cel 6: Produkować około 2 500 obudów typu 5 na godzinę a) Zapisz problem minimalizacji średniego procentowego odchylenia od celów jako zadanie programowania liniowego. Przyjmij, że wszystkie cele są jednakowo ważne. [2p] b) Zaimplementuj model z punktu a w MS Excel. Ile maszyn każdego z typów należy kupić, oraz jak je zaprogramować? Jaki jest koszt całkowity koszt operacji? [3p] c) Jak zmieni się rozwiązanie optymalne z punktu b jeśli przyjmiemy, że Cel 1 jest 4 razy ważniejszy od pozostałych celów? Ile maszyn każdego z typów należy kupić, oraz jak je zaprogramować? Jaki jest koszt całkowity koszt operacji? [2p] d) Zmień model z punktu b tak, aby zminimalizować maksymalne procentowe odchylenie od celu (dla każdego z celów). Przyjmij, że wszystkie cele są jednakowo ważne. Ile maszyn każdego z typów należy kupić, oraz jak je zaprogramować? Jaki jest koszt całkowity koszt operacji? [3p] 5