(b) Oblicz zmianę zasobu kapitału, jeżeli na początku okresu zasób kapitału wynosi kolejno: 4, 9 oraz 25.

Transkrypt

1 Zadanie 1 W pewnej gospodarce funkcja produkcji może być opisana jako Y = AK 1/2 N 1/2, przy czym A oznacza poziom produktywności, K zasób kapitału, a N liczbę zatrudnionych. Stopa oszczędności s wynosi 20%, a stopa deprecjacji kapitału δ = 5%. Posługując się modelem Solowa oraz zakładając dla uproszczenia, że zarówno A i N są stałe w czasie i są równe 1: (a) Oblicz zasób kapitału oraz poziom produkcji w stanie ustalonym. (b) Oblicz zmianę zasobu kapitału, jeżeli na początku okresu zasób kapitału wynosi kolejno: 4, 9 oraz 25. (c) Oblicz stopę wzrostu zasobu kapitału dla początkowych zasobów kapitału z podpunktu (b). (d) Posługując się poznaną już techniką dekompozycji wzrostu, oblicz stopę wzrostu produkcji dla początkowych zasobów kapitału z podpunktu (b). Zadanie 2 Funkcja produkcji ma postać Y = AK α N 1 α. Posługując się modelem Solowa: (a) Zapisz funkcję produkcji w postaci intensywnej (na zatrudnionego). (b) Wyprowadź wzór na zasób kapitału na zatrudnionego k w stanie ustalonym. (c) Za pomocą równania akumulacji kapitału wyraź zasób kapitału na zatrudnionego w następnym okresie k jako funkcję bieżącego zasobu kapitału na zatrudnionego k. (d) Zilustruj powyższą zależność na wykresie. Znajdź graficznie stan ustalony. (e) Zakładając, że k 0 < k, zilustruj na wykresie z poprzedniego podpunktu proces dochodzenia do stanu ustalonego. Na nowym wykresie narysuj zmiany zasobu kapitału na zatrudnionego w czasie. Zadanie 3 Przyjmijmy, że w pewnej gospodarce funkcja produkcji na zatrudnionego ma ogólną postać y = f(k) i spełnia warunki stawiane neoklasycznym funkcjom produkcji. Stopa oszczędzania w tej gospodarce wynosi s, stopa deprecjacji δ, zaś zasób siły roboczej N jest stały. (a) Przedstaw na wykresie w przestrzeni (k, y) funkcję produkcji, funkcję oszczędności i funkcję deprecjacji kapitału. (b) Zaznacz na wykresie poziom kapitału w stanie ustalonym k. (c) Załóżmy, że początkowy poziom kapitału na zatrudnionego w tej gospodarce był niższy niż k. Zaznacz k 0 na wykresie i pokaż, ile będzie wówczas wynosić wielkość produkcji na zatrudnionego y, wielkość konsumpcji na zatrudnionego c i wielkość inwestycji na zatrudnionego i. (d) Jak będzie zmieniał się kapitał i produkcja na zatrudnionego w czasie? Wyjaśnij i narysuj odpowiednie wykresy zmiennych N, K, k, Y i y w czasie. Zadanie 4 Funkcja produkcji spełnia warunki neoklasycznej funkcji produkcji i można ją zapisać w postaci intensywnej jako y = f(k). Posługując się modelem Solowa: (a) Wyprowadź wyrażenie na tempo przyrostu kapitału na zatrudnionego k/k jako funkcję bieżącego zasobu kapitału na zatrudnionego k. Zilustruj tę zależność na nowym wykresie. Znajdź graficznie stan ustalony. 1

2 (b) W jaki sposób wzrost stopy oszczędności s wpłynie na zasób kapitału na zatrudnionego w stanie ustalonym oraz na tempo przyrostu kapitału jeżeli k 0 < k? (c) Czy wyższa stopa oszczędności może być stałym źródłem długookresowego wzrostu? (d) W jaki sposób wzrost stopy deprecjacji δ wpłynie na zasób kapitału na zatrudnionego w stanie ustalonym oraz na tempo przyrostu kapitału jeżeli k 0 < k? Zadanie 5 Funkcja produkcji ma postać Y = AK 1/2 N 1/2. Początkowy zasób kapitału K wynosi 3200, zatrudnienie N = 200, a produktywność A = 2. Zarówno zatrudnienie, jak i produktywność są stałe w czasie. Stopa oszczędności s wynosi 40%, a stopa deprecjacji δ = 10%. (a) Oblicz tempo przyrostu kapitału na zatrudnionego k, k/k, oraz produkcji na zatrudnionego y, y/y. (b) Oblicz zasób kapitału na zatrudnionego w stanie ustalonym k, a także produkcji i konsumpcji na zatrudnionego w stanie ustalonym, y i c. (c) Oblicz poziom kapitału, produkcji i konsumpcji na zatrudnionego w stanie ustalonym, jeżeli stopa oszczędności wzrośnie do 50%. (d) Powtórz obliczenia z (d) dla stopy oszczędności równej 60%. (e) W jaki sposób kapitał, produkcja oraz konsumpcja na zatrudnionego zależą od stopy oszczędności? Zadanie 6 Funkcja produkcji spełnia warunki neoklasycznej funkcji produkcji i można ją zapisać w postaci intensywnej jako y = f(k). Posługując się modelem Solowa: (a) Narysuj schematycznie wykres konsumpcji na zatrudnionego w stanie ustalonym c jako funkcji s. Wskazówka: Pomyśl, co się dzieje w modelu, gdy s = 0 lub s = 1. (b) Definiując konsumpcję na zatrudnionego jako różnicę pomiędzy produkcją na zatrudnionego a inwestycjami na zatrudnionego, zapisz warunek maksymalizacji konsumpcji na zatrudnionego w stanie ustalonym. (c) Wyznacz poziom kapitału na zatrudnionego w stanie ustalonym maksymalizujący konsumpcję na zatrudnionego w stanie ustalonym przy założeniu funkcji produkcji Cobba-Douglasa. (d) Porównaj powyższe wyrażenie ze wzorem na kapitał na zatrudnionego w stanie ustalonym dla funkcji produkcji Cobba-Douglasa. Jaka wartość stopy oszczędności maksymalizuje konsumpcję na zatrudnionego w stanie ustalonym? (e) W pewnym kraju stopa oszczędności była wyższa, niż wynika to ze złotej reguły. Jeżeli doszłoby do spadku stopy oszczędności, to jak zmienił by się poziom konsumpcji na zatrudnionego obecnie żyjących pokoleń? A jak zmieniłaby się konsumpcja na zatrudnionego przyszłych pokoleń? (f) Stan, w którym stopa oszczędności przewyższa stopę oszczędności złotej reguły nazywamy stanem dynamicznej nieefektywności. Przypomnij sobie definicję efektywności w sensie Pareto i powiąż ją z dyskusją w poprzednim podpunkcie. 2

3 Zadanie 7 W pewnej gospodarce funkcja produkcji ma postać Y = AK α N 1 α. Produktywność A jest stała w czasie. (a) Wyprowadź ceny czynników produkcji (płace i koszt wynajęcia kapitału), zakładając, że są one równe swoim produktom krańcowym. (b) Zapisz ceny czynników produkcji jako funkcje kapitału na zatrudnionego k, a następnie zilustruj te zależności na wykresach. (c) Co się będzie działo z płacami, a co z kosztem wynajęcia kapitału, podczas gdy gospodarka będzie dążyła do stanu ustalonego? (d) Co się stanie z cenami czynników produkcji, jeżeli do kraju jednorazowo napłyną pracownicy z zagranicy? Które grupy społeczne skorzystają na tej imigracji, a które stracą? (e) Czy powyższa zmiana wpływa na ceny czynników produkcji w stanie ustalonym? Zadanie 8 W pewnej firmie jest zatrudnionych 50 pracowników. Firma dysponuje także 60 maszynami wykorzystywanymi w procesie produkcyjnym. (a) Zakładając, że zasób kapitału w firmie jest równy liczbie posiadanych przez nią maszyn, oblicz poziom kapitału na zatrudnionego w tej firmie. (b) Jeżeli firma zakupi 17 nowych maszyn, to ile wyniesie poziom kapitału na zatrudnionego po tej zmianie? (c) Oprócz zwiększenia parku maszynowego, firma zatrudniła także 5 dodatkowych pracowników. Ile wyniesie poziom kapitału na zatrudnionego po tej zmianie? (d) Jeżeli firma planuje zwiększyć zatrudnienie o 5%, to o ile więcej maszyn musi posiadać, aby utrzymać niezmieniony poziom kapitału na zatrudnionego? Zadanie 9 W pewnej gospodarce funkcja produkcji może być opisana jako Y = AK 1/3 N 2/3, przy czym A oznacza poziom produktywności, K zasób kapitału, a N liczbę zatrudnionych. Liczba zatrudnionych zmienia się wraz z tempem przyrostu naturalnego n, tzn. N = (1 + n)n. Stopa oszczędności s wynosi 18%, stopa deprecjacji kapitału δ = 3%, a tempo przyrostu naturalnego n = 1%. Poziom produktywności A jest stały w czasie i wynosi 2. (a) Korzystając z warunku akumulacji kapitału K, wyprowadź warunek na akumulację kapitału na zatrudnionego k. (b) Oblicz poziom kapitału na zatrudnionego w stanie ustalonym. (c) Oblicz poziom kapitału na zatrudnionego w stanie ustalonym, jeżeli n wzrośnie do 6%. (d) Przedstaw graficznie efekt wzrostu tempa przyrostu naturalnego na kapitał na zatrudnionego w stanie ustalonym. (e) Jeżeli gospodarka znajduje się w stanie ustalonym, to w jakim tempie zmienia się całkowity zasób kapitału K, a w jakim produkcja Y? 3

4 Zadanie 10 Funkcja produkcji spełnia warunki neoklasycznej funkcji produkcji. Gospodarka znajduje się w stanie ustalonym. Naszkicuj zmiany w czasie zmiennych: kapitału i produkcji na zatrudnionego k i y, zasobu siły roboczej N, kapitału K oraz produkcji Y, gdy: (a) Zasób siły roboczej w analizowanej gospodarce zmniejszy się skokowo z N 0 do N 1, (N 0 > N 1 ). (b) Tempo wzrostu siły roboczej wzrośnie z n 0 do n 1 (n 0 < n 1 ). (c) Zajdą obie te zmiany jednocześnie. Zadanie 11 Załóżmy, że w pewnym kraju stopa oszczędności s = 0, 24, stopa deprecjacji kapitału δ = 0, 04, tempo przyrostu naturalnego n = 0, 02, a funkcja produkcji dana jest wzorem Y = K 2/3 (AN) 1/3, gdzie K oznacza zasób kapitału, N zasób siły roboczej, zaś A poziom technologii. Korzystając z modelu Solowa oblicz: (a) Stopę wzrostu produktu na zatrudnionego, jeżeli K = 48000, A = 15, N = 50. (b) Stopę wzrostu produktu na zatrudnionego po jednorazowym imporcie nowych technologii, które doprowadziły do wzrostu wartości parametru A do 320/9. (c) Narysuj wykresy zmiennych N, K, k, Y i y w czasie, zakładając, że początkowo gospodarka znajdowała się w stanie ustalonym, a następnie nastąpił jednorazowy wzrost poziomu technologii. Zadanie 12 Dana jest funkcja produkcji Y = 1 3 Kα (AN) 1 α, gdzie A oznacza postęp technologiczny zwiększający produktywność pracy, a α = 1/3. Dane są: stopa oszczędności s = 0, 3, tempo przyrostu naturalnego n = 0, 05, stopa deprecjacji kapitału δ = 0, 065. Tempo postępu technologicznego g = A/A wynosi 0,01. Korzystając z modelu Solowa: (a) Zapisz funkcję produkcji w postaci intensywnej na jednostkę efektywnej pracy AN. (b) Zapisz równanie opisujące akumulację kapitału na jednostkę pracy efektywnej. (c) Oblicz poziom kapitału na jednostkę efektywnej pracy w stanie ustalonym. (d) Oblicz poziom produkcji na zatrudnionego w stanie ustalonym, przyjmując, że poziom zaawansowania technologicznego A = 30. (e) Przedstaw warunek maksymalizacji konsumpcji na jednostkę efektywnej pracy w stanie ustalonym i oblicz poziom stopy oszczędności zgodny ze złotą regułą dla omawianej funkcji produkcji. (f) Naszkicuj zmiany w czasie logarytmu konsumpcji na zatrudnionego po wzroście stopy oszczędności do s = 0, 32. Zadanie 13 Funkcja produkcji w pewnej gospodarce spełnia założenia neoklasycznej funkcji produkcji i jest dana przez Y = F (K, AN), gdzie K kapitał, A poziom technologii, N praca. Tempo postępu technicznego wynosi g, tj. A/A = g, a przyrost naturalny wynosi n. Korzystając z modelu wzrostu Solowa, porównaj skutki wzrostu tempa postępu technologicznego g: (a) Narysuj wykresy zmiennych A i N w czasie. (b) Narysuj wykresy zmiennych na jednostkę efektywną pracy: ˆk, ŷ oraz ĉ w czasie. 4

5 (c) Narysuj wykresy zmiennych na zatrudnionego: k, y oraz c w czasie. (d) Wobec powyższych rozważań przedyskutuj, czy szybszy postęp technologiczny jest korzystny. Zadanie 14 Funkcję produkcji w pewnej gospodarce można opisać wzorem Y = K 1/3 (AN) 2/3. Tempo wzrostu technologicznego i populacji są stałe i wynoszą odpowiednio g = 2% i n = 2%. W ostatnim okresie zaobserwowano następujące tempo wzrostu kapitału K/K = 5%. Czy ta gospodarka osiągnęła swój stan ustalony? Zadanie 15 Funkcję produkcji w pewnej gospodarce można opisać wzorem Y = 2 K 1/3 (AN) 2/3. Wiadomo, że stopa oszczędności s = 30%, deprecjacja δ = 0, 1, tempo przyrostu ludności n = 0, 03, a tempo wzrostu technologicznego g = 0, 02. Według ostatnich obserwacji, stosunek kapitału do produkcji K/Y = 5. Czy ta gospodarka osiągnęła swój stan ustalony? Zadanie 16 W pewnej gospodarce tempo przyrostu ludności n = 0, 05, a tempo wzrostu technologicznego g = 0, 03. W jakim tempie rośnie konsumpcja na zatrudnionego, jeżeli gospodarka znajduje się w stanie ustalonym? 5