MACIERZE Definicja. Macierz liczbowa rzeczywista (krótko: macierz), jest to tablica prostokątna której elementami Słownictwo są liczby rzeczywiste. rzędy pionowe nazywamy kolumnami macierzy, rzędy poziome - wierszami macierzy. W zapisie elementu indeks oznacza numer wiersza, a indeks - numer kolumny, Macierz o wierszach i kolumnach - nazywamy macierzą o wymiarze (,, na '' ) i zapisujemy jako lub. Definicja. Macierze i są równe, jeśli mają te same wymiary i elementy stojące na tych samych miejscach są równe, tzn. macierze i są równe, gdy i oraz dla wszystkich i. Rodzaje macierzy Macierz jest kwadratowa, jeśli ; liczbę nazywamy stopniem macierzy. Elementy tworzą główną przekątną macierzy kwadratowej stopnia. Macierz kwadratowa jest symetryczna, jeśli główna przekątna jest osią symetrii tablicy
tj. gdy równość jest prawdziwa dla wszystkich. Macierz jednostkowa stopnia n (ozn. )jest to macierz kwadratowa, której wszystkie elementy na głównej przekątnej są równe, a pozostałe elementy macierzy są równe 0, tzn. Działania na macierzach mnoŝenie macierzy przez liczby rzeczywiste:, a zatem aby macierz pomnoŝyć przez liczbę, trzeba kaŝdy element macierzy pomnoŝyć przez liczbę. To działanie jest określone dla kaŝdej liczby rzeczywistej i kaŝdej macierzy. dodawanie macierzy: Jeśli i, to sumą macierzy i (ozn. ) nazywamy macierz co oznacza, Ŝe przy dodawaniu macierzy (o tej samej liczbie kolumn i tej samej liczbie wierszy) dodajemy ich elementy stojące na tych samych miejscach. To działanie jest określone tylko w zbiorze macierzy o tych samych wymiarach. mnoŝenie macierzy: macierz moŝna pomnoŝyć przez macierz (w tej kolejności!) tylko wtedy, gdy macierz ma tyle kolumn, co macierz - wierszy. Iloczynem macierzy, gdy i jest macierz, w której wyraz zdefiniowany jest wzorem: (mnoŝymy kolejno elementy -tego wiersza macierzy przez elementy -tej kolumny macierzy i dodajemy otrzymane iloczyny).
Przykład 1. Obliczyć iloczyn, gdy i. Rozwiązanie. PoniewaŜ i, więc iloczyn jest określony i jest macierzą kwadratową stopnia. ZauwaŜmy, Ŝe iloczyn teŝ jest określony i PoniewaŜ iloczyny i są macierzami o róŝnych wymiarach, więc oczywiście. Przykład 2. Znaleźć macierz, gdy Rozwiązanie. Obliczamy kolejno:
Twierdzenie. Zakładamy, Ŝe macierze,,, mają takie wymiary, Ŝe odpowiednie działania moŝna wykonać. 1. 2. 3. 4. 5. (dodawanie macierzy jest przemienne) (dodawanie macierzy jest łączne) (mnoŝenie macierzy jest łączne),, - macierz kwadratowa stopnia. Uwaga. Przypomnijmy jeszcze raz: mnoŝenie macierzy nie jest przemienne. Definicja. Macierz transponowana macierzy (oznaczamy ją symbolem ) jest to macierz, którą otrzymujemy z macierzy przez zamianę odpowiednio jej kolumn i wierszy; tzn. jeśli, to i dla wszystkich i. Na przykład: jeśli, to. Twierdzenie. Prawdziwe są zaleŝności: 1. 2. 3. 4. jest macierzą (kwadratową) symetryczną. 5. Jeśli jest macierzą kwadratową, to jest macierzą symetryczną.
WYZNACZNIK KaŜdej macierzy kwadratowej przyporządkowujemy liczbe zwaną wyznacznikiem. JeŜeli jest macierzą kwadratową stopnia, to jej wyznacznik będziemy oznaczać przez: bądź krócej: lub. Definicja. Wyznacznik macierzy stopnia jest to liczba rzeczywista, którą definiujemy następująco: W ogólnym przypadku: jeśli jest macierzą kwadratową stopnia, to wyznacznik macierzy jest sumą składników, z których kaŝdy zawiera iloczyn elementów macierzy wybieranych w ten sposób, Ŝe w kaŝdym iloczynie występuje dokładnie jeden element z kaŝdej kolumny i dokładnie jeden element z kaŝdego wiersza. Połowa składników sumy występuje ze znakiem,, '' i połowa - ze znakiem,, ''. Twierdzenie (Laplace'a). Wyznacznik macierzy stopnia moŝna obliczyć korzystając z zaleŝności: lub Czynnik nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu macierzy i definiujemy jako liczbę: gdzie jest wyznacznikiem macierzy kwadratowej stopnia, powstałej z macierzy przez
skreślenie -tego wiersza i -tej kolumny. PowyŜsze wzory nazywamy rozwinięciami Laplace'a wyznacznika macierzy wiersza (pierwszy wzór) oraz względem -tej kolumny (drugi wzór). względem -tego Uwaga. Przy obliczaniu wyznaczników trzeciego stopnia stosuje się zwykle tzw. schemat Sarrusa: pod wyznacznikiem dopisujemy kolejno jego wiersz pierwszy i drugi, a następnie obliczamy sumę trzech iloczynów ze znakiem,, '' oraz trzech iloczynów ze znakiem,, '', utworzonych według schematu: Przy obliczaniu wyznaczników stopnia stosujemy twierdzenie Laplace'a. W praktyce, aby obliczenia były moŝliwie nieskomplikowane, wybiera się ten wiersz (lub kolumnę) wyznacznika, w którym występuje najwięcej zer. Przykład 1. Obliczyć wyznacznik macierzy 1) metodą Sarrusa; 2) stosując rozwinięcie Laplace'a względem pierwszego wiersza; 3) stosując rozwinięcie Laplace'a względem trzeciej kolumny. Rozwiązanie. ad. 1) Podpisujemy pod wyznacznikiem macierzy jej pierwszy i drugi wiersz i tworzymy iloczyny: ad. 2) Tworzymy rozwinięcie Laplace'a względem pierwszego wiersza. gdzie
Wstawiamy,,,,, do wzoru : ad. 3) Wzór przybiera postać: Wystarczy tylko obliczyć dopełnienie algebraiczne, bo, a (por. 2). PoniewaŜ, więc Przykład 2. Obliczyć wyznacznik -tego stopnia,, Rozwiązanie. Zastosujemy rozwinięcie Laplace'a względem -tego wiersza tego wyznacznika, a następnie - w kolejno otrzymywanych wyznacznikach - względem ostatniego wiersza: Twierdzenie (własności wyznaczników) 1. 2. JeŜeli w wyznaczniku występuje wiersz zerowy (złoŝony z samych zer), to wyznacznik jest równy 0. JeŜeli wszystkie elementy danego wiersza zawierają wspólny czynnik, to ten czynnik moŝna wyłączyć przed wyznacznik.
3. 4. JeŜeli dwa wiersze są proporcjonalne (tzn. jeden powstaje z drugiego w wyniku mnoŝenia przez stałą róŝną od 0), to wyznacznik jest równy 0. W szczególności: wyznacznik jest równy 0, jeśli posiada dwa wiersze identyczne. JeŜeli w -tym wierszu kaŝdy element jest sumą dwóch składników, to wartość wyznacznika jest równa sumie wartości dwóch wyznaczników: w jednym -ty wiersz składa się z elementów, a w drugim -ty wiersz składa się z elementów (pozostałe wiersze mają identyczne z wierszami wyjściowego wyznacznika). 5. 6. JeŜeli do wiersza wyznacznika dodamy sumę innych wierszy pomnoŝonych przez stałe (tzw. kombinację liniową innych wierszy), to wartość wyznacznika nie zmieni się. PowyŜsze własności pozostają prawdziwe, gdy w kaŝdej z nich słowo,,wiersz'' zastąpimy słowem,,kolumna''. Przykłady. 1. Wyznacznik jest równy 0, bo jego pierwszy i drugi wiersz są proporcjonalne. 2. Wyznacznik jest równy 0, bo 3. Przy obliczaniu wyznacznika warto zauwaŝyć, Ŝe elementy w pierwszym wierszu zawierają wspólny czynnik,,27'', a w drugim wierszu - wspólny czynnik,,9''. Zatem
Przykład 3. Obliczyć wyznacznik. Rozwiązanie. Przy obliczaniu tego wyznacznika zastosujemy rozwinięcie Laplace'a. Najpierw jednak przekształcimy ten wyznacznik. Wykonaliśmy następujące przekształcenia: i) do pierwszej kolumny dodaliśmy sumę pozostałych kolumn; ii) od pierwszego wiersza odjęliśmy czwarty wiersz. Ostatni wyznacznik w (3.11) obliczymy stosując rozwinięcie Laplace'a względem pierwszego wiersza (który zawiera tylko jeden niezerowy element). PoniewaŜ (od trzeciego wiersza odjęliśmy pierwszy wiersz), więc rozwijając ostatni wyznacznik względem trzeciego wiersza otrzymujemy: Tak więc. Przykład 5. Rozwiązać równanie z niewiadomą : Rozwiązanie. Wyznacznik stojący po lewej stronie równania jest funkcją zmiennej, którą oznaczamy
przez. Rozwijamy dany wyznacznik względem czwartego wiersza: a otrzymany wyznacznik trzeciego stopnia - względem trzeciej kolumny: Stąd wynika, Ŝe. Pierwiastkami równania: są liczby:,,,. Twierdzenie 1. 2., i są macierzami tego samego stopnia, - dowolna macierz kwadratowa Definicja. Macierz kwadratową nazywamy nieosobliwą, jeśli. W przeciwnym wypadku macierz nazywamy osobliwą.
MACIERZ ODWROTNA Definicja. Zakładamy, Ŝe jest macierzą kwadratową stopnia. Macierzą dopełnień macierzy nazywamy macierz, gdzie oznacza, jak poprzednio, dopełnienie algebraiczne alemantu. Macierzą dołączoną macierzy (oznaczamy ją symbolem ) nazywamy macierz: Przykład 1. Wyznaczyć macierz dopełnień i macierz dołączoną macierzy. Obliczyć. Rozwiązanie. Obliczamy dopełnienia algebraiczne wszystkich elementów macierzy. Zatem Następnie wykonujemy mnoŝenie: ZauwaŜmy, Ŝe. Zatem otrzymaliśmy równość:. Wynik ten nie jest przypadkowy. Prawdziwe jest bowiem twierdzenie: Tw. JeŜeli jest dowolną macierzą kwadratową stopnia, a - macierzą dołączoną macierzy, to prawdziwa jest równość:
Definicja. Macierz kwadratowa stopnia jest macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej stopnia, jeśli prawdziwe są równości: Macierz odwrotną do macierzy (jeśli istnieje) oznaczamy przez. Tw. Macierz odwrotna do macierzy istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy jest macierzą nieosobliwą. Wówczas: Macierz odwrotna do macierzy wyznaczona jest jednoznacznie. Uwaga. Dla dowolnych macierzy nieosobliwych i prawdziwe są równości: 1. 2. (, - macierze tego samego stopnia) Przykład 2. Znaleźć macierz odwrotną do macierzy, gdy a), b). Rozwiązanie. a) Obliczamy wyznacznik macierzy :. PoniewaŜ, więc istnieje macierz odwrotna. Tworzymy macierz dopełnień, a następnie macierz dołączoną. PoniewaŜ,, i, więc. Stąd Zgodnie ze wzorem: Sprawdzamy poprawność naszych obliczeń:
b) Obliczamy wyznacznik:. Wyznaczamy macierz dopełnień: a następnie i. MoŜna sprawdzić, Ŝe. Umiejętność obliczania macierzy odwrotnych moŝna wykorzystać przy rozwiązywaniu pewnych równań macierzowych.
Przykład 3. Dane są macierze: i. Znaleźć macierz taką, Ŝe. Rozwiązanie. PoniewaŜ i są macierzami kwadratowymi stopnia, więc poszukiwana macierz jest teŝ macierzą kwadratową stopnia. ZauwaŜmy, Ŝe jest macierzą nieosobliwą:, a zatem istnieje macierz odwrotna. MnoŜymy równość z lewej strony przez macierz (pamiętajmy o tym, Ŝe mnoŝenie macierzy nie jest przemienne, więc przy mnoŝeniu musimy zaznaczać, z której strony mnoŝymy dane macierze). Stąd ale, zatem. Wyznaczamy macierz : Wykonujemy mnoŝenie:
RZĄD MACIERZY Niech będzie dowolną macierzą;. Definicja. Minorem macierzy nazywamy wyznacznik kaŝdej macierzy kwadratowej, utworzonej z macierzy w wyniku skreślenia odpowiedniej liczby kolumn i odpowiedniej liczby wierszy. Stopień tego wyznacznika nazywamy stopniem minora. Na przykład minorami macierzy są wyznaczniki: - minor trzeciego stopnia: powstał przez skreślenie pierwszej kolumny macierzy ; - - minor drugiego stopnia: powstał przez skreślenie pierwszej i trzeciej kolumny oraz pierwszego wiersza macierzy ; minor pierwszego stopnia: powstał przez skreślenie pierwszych trzech kolumn oraz pierwszych dwóch wierszy macierzy. Omawiane, w związku z rozwinięciem Laplace'a, wyznaczniki są minorami stopnia macierzy kwadratowej stopnia. Uwaga. Macierz posiada minory -tego stopnia dla kaŝdego ( jest to mniejsza z liczb i, jeśli i są róŝne oraz liczba, jeśli ). Definicja. Minorem głównym macierzy kwadratowej -tego stopnia nazywamy minor powstały przez skreślenie wierszy i kolumn macierzy o tych samych numerach. Minorami głównymi stopnia pierwszego są elementy macierzy, a minorem głównym stopnia - wyznacznik macierzy. Na przykład minorami głównymi drugiego stopnia macierzy są wyznaczniki:,,. Definicja. Rzędem macierzy. nazywamy najwyŝszy stopień róŝnego od zera minora macierzy
Rząd macierzy oznaczamy przez (lub:, ). Prawdziwe są nierówności: przy czym wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie elementy macierzy są równe 0. Przykład 1. Obliczyć rząd macierzy. Rozwiązanie. PoniewaŜ istnieją niezerowe elementy macierzy, więc. Z drugiej strony:. Rozpatrujemy wszystkie minory stopnia 3 macierzy : Z powyŝszych obliczeń wynika, Ŝe. PoniewaŜ istnieje niezerowy minor stopnia 2 macierzy :, więc. Uwaga. Rząd macierzy nie ulegnie zmianie, gdy: 1. 2. 3. 4. wykreślimy kolumnę (wiersz) zerową; wykreślimy wszystkie kolumny (wiersze) proporcjonalne do danej kolumny (wiersza); przestawimy kolumny (wiersze); dodamy do kolumny (wiersza) inną kolumnę (wiersz) lub sumę innych kolumn (wierszy) pomnoŝonych przez współczynniki rzeczywiste.
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Definicja. Układem równań liniowych z niewiadomymi nazywamy układ równań: gdzie ( współczynniki układu) i ( wyrazy wolne) są liczbami rzeczywistymi,,. Definicja. Rozwiązaniem układu nazywamy dowolny układ równanie układu jest spełnione toŝsamościowo. JeŜeli układ ma liczb rzeczywistych, dla których kaŝde dokładnie jedno rozwiązanie - układ oznaczony nieskończenie wiele rozwiązań - układ nieoznaczony nie ma rozwiązań - układ sprzeczny Wprowadzając oznaczenia: - macierz współczynników - macierz (kolumna) wyrazów wolnych, gdzie oznaczają niewiadome, moŝemy układ zapisać w postaci równania macierzowego Definicja. Układ nazywamy układem jednorodnym, jeśli jest macierzą zerową, i niejednorodnym - w przeciwnym wypadku. Uwaga. Układ jednorodny ma zawsze co najmniej jedno rozwiązanie, bo układ liczb jest rozwiązaniem tego układu.
Definicja. Układ nazywamy układem Cramera, jeśli macierz współczynników macierzą nieosobliwą tzn. i : jest kwadratową Tw. (Cramera) Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to dane jest wzorami ( wzory Cramera): gdzie oznacza macierz powstałą z macierzy przez zastąpienie -tej kolumny kolumną. Przykład 1. Rozwiązać układ równań: Rozwiązanie. Tworzymy macierz współczynników i obliczamy jej wyznacznik: PoniewaŜ, więc jest to układ Cramera. Obliczamy wyznaczniki macierzy,, : Na podstawie wzorów Cramera otrzymujemy rozwiązanie:,,. Uwaga. Układ Cramera moŝna teŝ rozwiązać tzw. metodą macierzową. PoniewaŜ macierz odwrotna. MnoŜymy układ - zapisany w postaci macierzowej - z lewej strony przez :, więc istnieje
PoniewaŜ i, otrzymujemy Uwaga. W przypadku, gdy liczba niewiadomych n jest duŝa, obie przedstawione metody rozwiązania układu Cramera stają się mało przydatne, gdyŝ wymagają obliczenia (n+1) wyznaczników -tego stopnia (wzory Cramera) lub (n 2 +1) wyznaczników stopnia co najmniej (metoda macierzowa). Metoda eliminacji Gaussa ZałóŜmy, Ŝe w układzie równań współczynnik (gdyby tak nie było, to moŝna przenumerować równania układu w taki sposób, aby w pierwszym z nich współczynnik przy niewiadomej był róŝny od 0). MnoŜymy kolejno pierwsze równanie przez:,,, i dodajemy odpowiednio do: drugiego, trzeciego,, -tego równania układu. W ten sposób eliminujemy (stąd nazwa metody) niewiadomą ze wszystkich równań z wyjątkiem pierwszego i otrzymujemy nowy układ równań: Z uzyskanym układem postępujemy podobnie: eliminujemy niewiadomą, a następnie kolejno - niewiadome,,. Po krokach otrzymujemy układ równań: Jest on równowaŝny wyjściowemu układowi równań, tzn. oba układy mają ten sam zbiór rozwiązań. Z ostatniego równania układu (4.6) wyznaczamy niewiadomą ; otrzymaną wartość wstawiamy do przedostatniego równania - obliczamy itd. W ostatnim kroku obliczone wartości,, wstawiamy do pierwszego równania, skąd otrzymujemy wartość i poszukiwane rozwiązanie układu. Przykład 4. Rozwiązać metodą eliminacji Gaussa układ równań:
Rozwiązanie. PoniewaŜ, więc moŝna stosować metodę eliminacji. MnoŜymy kolejno pierwsze równanie przez oraz przez i dodajemy odpowiednio do drugiego i trzeciego równania. Otrzymujemy układ: Teraz mnoŝymy drugie równanie przez dodajemy do trzeciego równania. W rezultacie otrzymujemy układ Rozwiązaniem tego układu jest trójka liczb:,,. Układ równań liniowych z niewiadomymi Definicja. Macierz powstałą z macierzy przez dopisanie kolumny jako ostatniej kolumny macierzy, tzn. nazywamy macierzą rozszerzoną układu liniowego. Komentarz. ZauwaŜmy, Ŝe. Tw. (Kroneckera-Capellego). Układ równań liniowych z niewiadomymi o macierzy współczynników i macierzy rozszerzonej ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy, przy czym układ ten ma dokładnie jedno rozwiązanie (układ oznaczony), jeśli. Komentarz. Z twierdzenia Kroneckera-Capellego wynika, Ŝe jeśli jeśli, to układ jest sprzeczny (nie ma rozwiązań),, to układ jest oznaczony,
jesli i, to układ jest nieoznaczony.
WEKTORY W PRZESTRZENI TRÓJWYMIAROWEJ Pojęcia wstepne Niech i będą dowolnymi punktami w. Definicja. Uporządkowaną parę punktów nazywamy wektorem zaczepionym i oznaczamy przez. Punkt nazywamy początkiem, a punkt - końcem wektora. Obrazem graficznym wektora zaczepionego jest strzałka skierowana od punktu do punktu. Liczby:,, nazywamy współrzędnymi wektora i związek między wektorem a jego współrzędnymi zapisujemy w postaci równości: JeŜeli, to jest wektorem zerowym. JeŜeli, to kierunkiem wektora zaczepionego nazywamy kierunek prostej przechodzącej przez punkty i. Wektor zerowy nie posiada kierunku. Komentarz. Wektory o róŝnych początkach mogą mieć te same współrzędne: np. dla punktów i oraz i zachodzi równość: Definicja. Zbiór wszystkich wektorów zaczepionych o tych samych współrzędnych co wektor nazywamy wektorem swobodnym o reprezentancie. Wektor swobodny jest wyznaczony jednoznacznie przez współrzędne wektora, które nazywamy współrzędnymi wektora swobodnego. Notacja. Wektory swobodne i ich współrzędne będziemy oznaczać pojedynczymi literami: jeŝeli wektor
zaczepiony jest reprezentantem wektora swobodnego, to piszemy równość: Wektor swobodny o wszystkich współrzędnych równych 0 oznaczamy przez. Wektory zaczepione o tych samych współrzędnych mają wspólny kierunek - nazywamy go kierunkiem wektora swobodnego (którego są one reprezentantami). Wektory swobodne o tym samym kierunku przedstawiamy graficznie jako strzałki równoległe. JeŜeli oraz i dla pewnych punktów, to istnieje punkt taki, Ŝe (rys.). JeŜeli wektory swobodne i mają ten sam kierunek oraz i, to punkty,, leŝą na jednej prostej. Wówczas - wektory i mają zgodny zwrot (lub: ten sam zwrot), jeśli punkty i leŝą po tej samej stronie punktu ; - wektory i mają przeciwny zwrot, jeśli punkty i leŝą po róŝnych stronach punktu (por. rys.). Definicja. Długością wektora swobodnego nazywamy liczbę nieujemną - oznaczamy ją
przez - określoną wzorem: Wektor ma długość 0 wtedy i tylko wtedy, gdy. Wersor jest to wektor swobodny o długości 1. Wersorami osi współrzędnych nazywamy wektory:,,. Ich reprezentanci - wektory zaczepione w punkcie - określają kierunki i zwroty osi,, układu współrzędnych (por. rys.). Działania na wektorach swobodnych Definicja. Dodawanie: sumą wektorów i nazywamy wektor Twierdzenie. Dla dowolnych wektorów swobodnych,, prawdziwe są równości: Definicja. MnoŜenie przez liczby rzeczywiste: iloczynem wektora swobodnego liczbę rzeczywistą nazywamy wektor przez
Twierdzenie. Dla dowolnych wektorów swobodnych, i liczb rzeczywistych i prawdziwe są równości: JeŜeli, to wektory i mają ten sam kierunek oraz - zgodne zwroty, gdy - przeciwne zwroty, gdy (zob. rys.) JeŜeli jest dowolnym wektorem swobodnym, to Wektorem przeciwnym do wektora swobodnego nazywamy wektor: Z tej definicji wynika, Ŝe oraz Uwaga. Wektory swobodne nazywamy dalej krótko wektorami. Wektory i są równoległe, jeśli istnieje liczba, taka, Ŝe Wektory i są zgodnie równoległe, jeśli ; są przeciwnie równoległe, jeśli. Uwaga. Wektory i są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy są liniowo zaleŝne, tzn. gdy
istnieją liczby rzeczywiste i takie, Ŝe Fakt, Ŝe wektory i są równoległe, oznaczamy symbolem. Twierdzenie. Dla dowolnych wektorów, oraz prawdziwe są zaleŝności: 1. 2. 3. 4. (nierówność trójkąta, skąd nazwa?) jeŝeli, to wektor jest wersorem. Przykład 1. Znaleźć wektor o długości dzielący na połowy kąt między wektorami i. Rozwiązanie. Obliczamy długości wektorów:,. Wektory i są wersorami, które zaczepione w tym samym punkcie tworzą romb. Szukany wektor ma więc kierunek i zwrot wektora oraz długość, skąd otrzymujemy: Iloczyn skalarny Definicja. Iloczynem skalarnym wektorów i nazywamy liczbę rzeczywistą, którą oznaczamy symbolem i określamy równością: Twierdzenie. Dla dowolnych wektorów,, oraz liczb prawdziwe są zaleŝności:
1. 2. 3. 4. Uwaga. Równość: zazwyczaj nie jest prawdziwa, bo wektor stojący po lewej stronie jest równoległy do wektora, a wektor stojący po prawej stronie jest równoległy do wektora. Definicja. Kątem między niezerowymi wektorami i nazywamy niewiększy z kątów między półprostymi i (tzn. ten kąt, którego miara łukowa spełnia warunek: ). Kąt między wektorami i oznaczamy symbolem. JeŜeli lub, to nie jest określony. Kosinus moŝna obliczyć z równości Uwaga. W wielu podręcznikach jest to definicja iloczynu skalarnego. Wektory i są prostopadłe (oznaczenie: ), jeśli. Z definicji iloczynu skalarnego wynika, Ŝe niezerowe wektory i są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy Przykład 2. Dla jakiej wartości wektory: i są: a) prostopadłe; b) równoległe. Rozwiązanie. a) Wystarczy znaleźć, dla którego iloczyn skalarny. Z warunku (5.14) wynika, Ŝe dla takiego zachodzi równość: skąd otrzymujemy.
b) Wektory oraz są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy są liniowo zaleŝne, co jest spełnione dla tych wartości, dla których. PoniewaŜ tylko dla, więc dla dane wektory są równoległe. Przykład 3. Znaleźć wektor od długości, prostopadły do kaŝdego z wektorów: oraz. Rozwiązanie. Niech wektor. Na podstawie (5.14) dla wektorów i oraz i otrzymujemy: Ponadto wiemy, Ŝe. Rozwiązaniami układu równań są liczby:,, oraz,,. Stąd: Iloczyn wektorowy Definicja. Iloczynem wektorowym wektorów i nazywamy wektor określony w następujący sposób: 1. długość wektora jest równa polu równoległoboku zbudowanego na wektorach i tzn. Jeśli, to ponadto 2. i,
3.. Warunek 3) oznacza, Ŝe trójka wektorów,, (por. rys. ). (w tej kolejności) ma orientację zgodną z układem JeŜeli wektor lub lub wektory i są równoległe, to ich iloczyn wektorowy określony jest jako wektor. Iloczyn wektorowy wektorów i oznaczamy przez. Współrzędne wektora określone są wzorami: Formalny wzór ułatwiający zapamiętanie współrzędnych iloczynu wektorowego: Przykład 4. Wykazać, Ŝe dla wersorów osi:,, zachodzą równości:,,. Rozwiązanie.
Podstawowe własności iloczynu wektorowego 1. 2. 3. dla dowolnych wektorów,, i liczb rzeczywistych. Przykład 5. Korzystając z pojęcia iloczynu wektorowego znaleźć wektor o długości, prostopadły do kaŝdego z wektorów: oraz. Rozwiązanie. PoniewaŜ i, więc szukany wektor ma kierunek wektora. Wyznaczamy iloczyn wektorowy oraz jego długość:. Warunki zadania spełnia wektor oraz wektor. Przykład 6. Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach:,,. Rozwiązanie. Z warunku definicji iloczynu wektorowego wynika, Ŝe pole trójkąta jest równe:. Obliczamy współrzędne wektorów i, a następnie ich iloczyn wektorowy:
Stąd:.
PŁASZCZYZNA W R 3 KaŜdą płaszczyznę w przestrzeni moŝna opisać równaniem liniowym postaci gdzie i wektor - zwany wektorem normalnym płaszczyzny - jest prostopadły do tej płaszczyzny (warunek oznacza, Ŝe co najmniej jedna z liczb,, jest róŝna od 0). 1. 2. JeŜeli, to płaszczyzna przechodzi przez punkt - początek układu współrzędnych. JeŜeli jeden ze współczynników,, jest równy 0, to płaszczyzna jest równoległa do jednej z osi układu współrzędnych: - płaszczyzna jest równoległa do osi (por. rys. a) - płaszczyzna jest równoległa do osi (por. rys. b) - płaszczyzna jest równoległa do osi (por. rys. c) 3. JeŜeli dwa spośród współczynników,, są równe 0, to płaszczyzna jest równoległa do jednej z płaszczyzn układu (por. rys. a), b), c)).
Wyznaczanie płaszczyzny o zadanym wektorze normalnym i punkcie JeŜeli jest wektorem normalnym płaszczyzny, a punkt - dowolnie ustalonym punktem płaszczyzny, to dla kaŝdego punktu tej płaszczyzny wektory: i są prostopadłe. Stąd wynika, Ŝe ich iloczyn skalarny jest równy 0, co oznacza, Ŝe Dwie płaszczyzny o równaniu i o równaniu są: - równoległe, gdy wektory i są równoległe, tzn. gdy istnieje liczba taka, Ŝe (jeŝeli dodatkowo, to płaszczyzny i pokrywają się). - prostopadłe, gdy wektory i są prostopadłe, tzn. Odległość między płaszczyznami równoległymi: i moŝna obliczyć ze wzoru: Odległość punktu od płaszczyzny : obliczamy ze wzoru:
Przykład 1. Wyznaczyć równanie płaszczyzny równoległej do płaszczyzny przechodzącej przez punkt. i Rozwiązanie. Wiemy, Ŝe wektor jest wektorem normalnym szukanej płaszczyzny (por. rys. ). Czyli płaszczyzna opisana jest równaniem, po uproszczeniu. Przykład 2. Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt i równoległej do wektorów: i. Rozwiązanie. KaŜdy wektor prostopadły do danych wektorów jest prostopadły do szukanej płaszczyzny. Takim wektorem jest np. iloczyn wektorowy (por. rys.).. Wektor przyjmujemy za wektor normalny płaszczyzny. Stąd płaszczyzna jest opisana równaniem:,
czyli. Przykład 3. Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty, i. Rozwiązanie. Szukana płaszczyzna jest równoległa do wektorów i (por. rys. ). Wektor jest prostopadły do płaszczyzny. Jako wektor normalny tej płaszczyzny wybieramy wektor. Korzystając z wektora i punktu otrzymujemy równanie: czyli. Uwaga. Płaszczyznę przechodzącą przez 3 róŝne punkty, i nie leŝące na jednej prostej, moŝna teŝ opisać równaniem:
PROSTA W R 3 Prosta w kierunek. jest wyznaczona jednoznacznie przez punkt leŝący na tej prostej i wektor wyznaczający jej Równania parametryczne prostej JeŜeli punkt leŝy na prostej i wektor jest równoległy do tej prostej, to dla kaŝdego punktu leŝącego na prostej wektory: i są równoległe (por. rys. ). Stąd wynika, Ŝe,, dla pewnego. Zbiór wszystkich punktów prostej jest więc opisany równaniami parametrycznymi Równania krawędziowe prostej Dwie płaszczyzny nierównoległe w przecinają się wzdłuŝ prostej, prostą tą moŝna więc opisać równaniami krawędziowymi tzn. równaniami: gdzie, opisują dane płaszczyzny nierównoległe. Przykład 1. Znaleźć równania parametryczne prostej. o równaniu krawędziowym:
Rozwiązanie. Pierwszy sposób (algebraiczny). Rząd macierzy jest równy 2. Układ równań posiada więc rozwiązania zaleŝne od jednego parametru, na przykład. Rozwiązując układ równań otrzymujemy:,. Przyjmujemy, i otrzymujemy szukane równania parametryczne prostej Drugi sposób (geometryczny). Wektory normalne: płaszczyzny oraz wektorowy płaszczyzny są prostopadłe do prostej (por. rys.). Zatem iloczyn jest równoległy do prostej. Teraz wystarczy wyznaczyć dowolny punkt naleŝący do tej prostej. Przyjmujemy w układzie równań i otrzymujemy punkt leŝący na prostej. Stąd jej równania parametryczne: Przykład 2. Zbadać połoŝenie dwóch prostych a) i
b) i c) i Rozwiązanie. a) ZauwaŜmy, Ŝe wektory kierunkowe prostych, czyli wektory i nie są równoległe, a zatem proste i nie są równoległe. Sprawdzimy więc, czy posiadają punkt wspólny. Proste i przecinają się wtedy i tylko wtedy, gdy układ równań: ma dokładnie jedno rozwiązanie. PoniewaŜ rzędy macierzy: i są róŝne, więc układ jest sprzeczny. Proste i nie przecinają się i nie są równoległe. O takich prostych mówimy, Ŝe są skośne. b) Wektory kierunkowe i nie są równoległe. Sprawdzimy, czy proste przecinają się, rozwiązując układ równań:. Rozwiązaniem układu równań są liczby: i, dla których trzecie równanie teŝ jest spełnione. Stąd wynika, Ŝe proste i przecinają się (w punkcie ). c) Wektory kierunkowe prostych i, czyli wektory oraz są równoległe, a zatem proste są równoległe. Aby sprawdzić, czy proste i pokrywają się, wystarczy sprawdzić, czy np. punkt (naleŝący do prostej ) naleŝy do prostej. Układ równań posiada rozwiązanie, co oznacza, Ŝe, a zatem proste pokrywają się.
Przykład 3. Wyznaczyć odległość punktu od prostej. Rozwiązanie. Szukana odległość jest równa odległości punktów i, gdzie jest rzutem prostokątnym punktu na prostą (por. rys. ). Dowolny punkt leŝący na prostej ma współrzędne. Wektor jest prostopadły do prostej wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadły do jej wektora kierunkowego. Z prostopadłości wektorów i otrzymujemy: i punkt. Szukana odległość jest równa. JeŜeli płaszczyzna jest opisana równaniem, a prosta - równaniami parametrycznymi:, to - prosta jest prostopadła do płaszczyzny, gdy wektory - prosta jest równoległa do płaszczyzny, gdy wektory