Koherentna struktura wirów punktowych w zewnętrznym przepływie rozciągającym

Koherentna struktura wirów punktowych w zewnętrznym przepływie rozciągającym Marcin Kurowski Warszawa, sierpień 2003 Promotor: dr Konrad Bajer Uniwersytet Warszawski, Wydział Fizyki, Instytut Geofizyki

Streszczenie W pracy został opisany problem oddziaływania struktury koherentnej, tworzonej przez wiry punktowe, z zewnętrznym przepływem rozciągającym. Eliptyczna chmura wirów pod nieobecność przepływu obraca się ze stałą prędkością kątową. Dodanie przepływu zaburza trwałość struktury, która może zostać rozerwana przez przepływ. niewielkich wartości natężenia przepływu chmura ewoluuje spokojnie. Dla Pojawiają się niewielkie oscylacje półosi elipsy, a jej prędkość kątowa ulega zmniejszeniu. Wzrost natężenia przepływu zewnętrznego zwiększa amplitudę oscylacji półosi oraz powiększa różnice pomiędzy minimalną, a maksymalną prędkością kątową elipsy. Pojawiają się efekty związane ze zbliżaniem się wirów w okolicę głównych punktów stagnacji: zwiększa się szansa na oderwanie się wiru od chmury oraz następuje zmiana kształtu eliptycznego na spiralny. Zwiększają się fluktuacje gęstości wirów w chmurze. Proces wyciekania wirowości powoduje zmniejszanie się obszaru stabilnego, wskutek czego następne wiry dostają się w obszar wymywania. Może odbywać się to gwałtownie (mamy wtedy natychmiastowe rozerwanie chmury przez przepływ), lub bardzo powoli (chmura traci małe ilości wirów w długim czasie). Dla krytycznej wartości natężenia przepływu elipsa ustawia się w okolicy kąta 4 1 π i ulegając spłaszczeniu zaczyna tracić wiry. W czasie tego procesu elipsa znajduje się na pograniczu dwóch przepływów o przeciwnych kierunkach, co jest przyczyną powstania niestabilności Kelvina-Helmholtza. Zaburzenia propagują się, powodując że duże fragmenty chmury zostają zabrane przez przepływ. Chmura rozpada się na ścieżkę mniejszych struktur wirowych.

Abstract A numerical analysis of the motion of elliptic region created by a group of identical point vortices in a uniform straining flow is given. The cloud of vortices rotates around its center of vorticity and axis ratio is being changed. The stronger strainig flow increases the amplitude of oscillations. Density of vortices becomes non-uniform. Fluctuations can be the reason of loosing a little groups of vortices. It can start the decay of the cloud. The process can go slowly (single vortices are being scrapped by the flow) or rapidly (vortices leave the structure, and the flow can penetrate the cloud deeper to pull out more vortices). The eliptic shape of the cloud can change into a spiral. At the critical value of the strain axis are rotated by angle of 4 1 π and two little streaks of vortices flow out from the cloud. As a consequence of the Kelvin-Helmholtz instability the cloud comes apart and a big structure becomes the vortex street.

Spis treści 1 Wstęp 5 2 Dynamika wirów punktowych 6 2.1 Wir punktowy................................ 6 2.2 Równania ruchu............................... 6 2.3 Metoda wirów punktowych......................... 9 3 Wiry w zewnętrznym przepływie rozciagaj acym 10 3.1 Para wirów w zewnętrznym przepływie rozciągającym.......... 11 3.2 Duża liczba wirów w zewnętrznym przepływie rozciągającym...... 17 4 Analiza numeryczna 20 4.1 Właściwości schematu........................... 20 4.2 Wyniki symulacji.............................. 25 4.2.1 Mała struktura koherentna..................... 25 4.2.2 Duża struktura koherentna..................... 32 5 Podsumowanie 43 4

1 Wstęp Ewolucja wirowości, a zatem także ruch wirów, są obecne w każdym przepływie rzeczywistym. Z tej przyczyny dynamika wirów ma duże znaczenie praktyczne. Temat doczekał się bogatej literatury, niejednokrotnie przesyconej wyrafinowaną matematyką, a zakres badań jest zdumiewająco szeroki. Niniejsza praca porusza problem oddziaływania dużej struktury koherentnej, tworzonej przez wiry punktowe, z zewnętrznym przepływem rozciągającym. Twierdzenie Helmholtza mówi o tym, że w obszarze jednospójnym każde pole wektorowe (w naszym przypadku pole prędkości) można rozłożyć na sumę dwóch pól: u Φ Ψ (1) Pierwszy człon to część bezwirowa (w której mieści się cała dywergencja pola u), zaś drugi to część bezdywergencyjna (w której zawarta jest cała informacja o wirowości pola u). Dynamika drugiego członu tego równania odpowiada za zjawiska związane z ewolucją wirowości i właśnie ten człon jest dla nas najważniejszy. Równanie opisujące ewolucję pola wirowości dla przepływu nielepkiego i nieściśliwego ma postać: gdzie wirowość ω t ω u. u ω ω u (2) Równanie (2) posiada pewną bardzo użyteczną cechę. Dla przypadku dwuwymiarowego przejście ze zmiennych opisujących pole prędkości u x y do zmiennych opisujących pole wirowości ω 0 0 ω daje nam wygodny, jednoparametrowy opis zachowania się badanego pola. Dodatkowym atutem takiego podejścia jest naturalny podział obszaru przepływu na rejony unoszące wirowość bądź jej pozbawione, a co za tym idzie - rozdzielenie obszarów o różnych własnościach fizycznych. 5

2 Dynamika wirów punktowych 2.1 Wir punktowy Najprostszym modelem dwuwymiarowego przepływu wirowego jest wir punktowy. Definiują go w pełni dwie wielkości: tzw. siła wiru (czyli jego cyrkulacja) oraz położenie na płaszczyźnie. Można tu zauważyć pewną analogię do ładunku bądź masy punktowej, z tą subtelną różnicą, że wir pozbawiony jest namacalnej, fizycznej obecności jaką daje posiadanie masy. Konsekwencją tej cechy, co zobaczymy za chwilę, jest specyficzna postać równań ruchu. Jedyny sposób na wykrycie obecności wiru to obserwacja skutków jego oddziaływania na przepływ. Pole prędkości wiru punktowego wyrażone we współrzędnych biegunowych przybiera postać: u r ϕ k e ϕ (3) 2π r r 0 gdzie k jest cyrkulacją wiru, r 0 jego położeniem. Rotacja pola u jest równa zero w każdym punkcie płaszczyzny za wyjątkiem centrum wiru. Całka z rotacji po dowolnej powierzchni zawierającej środek wiru daje wynik różny od zera: u ds u dl k (4) S Zatem wirowość pola wynosi zero wszędzie poza jego centrum x 0 y 0, w którym jest nieskończona: ω k y 2 0 S δ x x 0 δ y y 0 e z (5) 2π x 2 0 Owa punktowa wirowość, tzw. rdzeń wiru, przybiera tutaj zdegenerowaną formę, niemniej każdy wir rzeczywisty posiada wokół centrum charakterystyczny obszar wirowości. Dla porównania rdzeń wiru Burgersa jest dwuwymiarową funkcją Gaussa z maksimum w centrum wiru. Warto wspomnieć, że wir punktowy nie jest jedynie tworem matematycznym. Takie wiry zostały zaobserwowane w nadciekłym helu (S.K. Niemirowski i W. Fiszdon 1995). 2.2 Równania ruchu Rozważamy dwuwymiarowy przepływ płynu nielepkiego i nieściśliwego. Pole prędkości w centrum każdego wiru jest superpozycją pól pozostałych wirów (wir nie oddziałuje sam ze sobą). Podobnie dzieje się w przypadku dynamiki mas punktowych, z tą różnicą, że cyrkulacja w odróżnieniu od masy może przybierać dowolny znak. Dodatkowo problem wirów punktowych, w odróżnieniu od problemu mas punktowych, 6

ograniczony jest do dwóch wymiarów. Dla przepływu w płaszczyźnie XY ogólna postać potencjału wektorowego: Ψ 0 0 Ψ (jest to konsekwencja równania (1)). Składowe pola prędkości wyglądają następująco: u dx dt gdzie Ψ jest funkcją prądu. Ψ y v dy dt Ψ x Wir nie posiadając masy podróżuje unoszony przez zewnętrzne pole prędkości, pochodzące od innych wirow. W swoim ruchu zachowuje się dokładnie tak samo jak pasywne elementy płynu unoszone przez przepływ, będąc jednocześnie źródłem zaburzającym pole, w którym poruszają się inne cząstki płynu (wiry). Równanie ruchu i - tego wiru wygląda następująco: dr i dt N j i (6) k j 2πr i j e ϕi j (7) gdzie e ϕi j jest wersorem prostopadłym do wektora łączącego centra pary wirow i j: e ϕi j e z r i r j r i r j Daje to układ 2N równań różniczkowych cząstkowych pierwszego rzędu, w pełni opisujących ruch N wirów: ẋ i ẏ i N j i N j i k j 2πr 2 i j k j 2πr 2 i j y i y j (8) x i x j (9) Dzięki swojej specyficznej postaci równania (8) i (9) dają się sprowadzić do układu równań kanonicznych: gdzie hamiltonian układu: H y i (10) k i ẏ i H x i (11) k i ẋ i H 1 4π k i k j ln r i j (12) i j Zmiennymi kanonicznymi układu są k i x i y i lub równoważnie x i k i y i, gdzie k i x i (lub x i ) na mocy (10) są położeniami uogólnionymi i odpowiednio y i (lub k i y i ) na mocy (11) 7

pędami uogólnionymi. Wypelnioną wirami płaszczyznę XY wyobrażać sobie można jako poglądowy obraz przestrzeni fazowej (2N-wymiarowej), w której oś OX jest kierunkiem położeń uogólnionych (odłożone są na niej wartości położeń uogólnionych każdego wiru), a oś OY kierunkiem pędów uogólnionych. Ponieważ układ posiada N położeń uogólnionych, ma także N stopni swobody. Innym możliwym podejściem jest potraktowanie płaszczyzny przepływu jako płaszczyzny zespolonej. Wówczas hamiltonian: H 1 2π k 1 i i k j ln z i z j (13) j N Istnienie hamiltonianu dla tego układu niesie ze sobą pewne konsekwencje. Ponieważ nie zależy on explicite od czasu, jest zatem całką ruchu. Nie zmienia się także przy translacji (jednorodność przestrzeni) i obrocie (izotropowość przestrzeni), co implikuje istnienie dodatkowych niezmienników: k i x i const (14) i i k i y i const (15) k i x 2 i i y 2 i const (16) Równanie (15) jest odpowiednikiem zasady zachowania pędu, zaś równanie (16) zasady zachowania momentu pędu. Środek wirowości (odpowiednik środka masy) takiego układu zdefiniowany jest jako: X Y 1 i k i i k i x i k i y i i (17) Równania ruchu (8) i (9) są całkowalne dla N 2 i 3. Dwa wiry poruszają się po okręgach o środku w centrum wirowości, który leży na prostej przechodzącej przez środki wirów i może znajdować się pomiędzy nimi (w przypadku jednakowych znaków cyrkulacji - mamy wtedy ruch planetarny), bądź poza nimi (przeciwne znaki cyrkulacji - ruch dipola po okręgu lub linii prostej). Odległość między wirami jest stałą ruchu. Układ trzech wirów jest minimalnym przypadkiem, dla którego pojawia się możliwość osiągnięcia nowych skal ruchu. W zależności od cyrkulacji i położeń początkowych może on ewoluować w rozmaity sposób. Odległości między wirami nie muszą być zachowane, a trójkąt którego są wierzchołkami może zmieniać swoją powierzchnię, obracać się wokół środka wirowości, rozszerzać do nieskończoności, a nawet w skończonym czasie zwinąć do punktu (wiry poruszają się wówczas po spiralach logarytmicznych), powodując scalenie trójki wirów (H. Aref 1979). Układ czterech i więcej wirów nie jest już całkowalny, 8

czego efektem jest chaotyczny ruch elementów, które go tworzą (H. Aref i N. Pomphrey 1982, H. Aref 1983, B. Eckhardt i H. Aref 1988). 2.3 Metoda wirów punktowych W 1858 roku Helmholtz wyprowadził podstawowe prawa rządzące dynamiką wirów, proponując po raz pierwszy model wiru punktowego. Do przedstawienia ruchu wirów najwygodniej używać opisu Lagrange owskiego, będąc w układzie podążającym za elementem płynu. Dla dwuwymiarowego przepływu nieściśliwego i nielepkiego wirowość każdego elementu płynu jest zachowana w czasie. Może być ona co najwyżej unoszona przez pole prędkości. Idąc dalej - w uproszczonej analizie przepływu rozważać można skończoną liczbę elementów płynu obdarzonych wirowością. Takimi elementami są wiry punktowe. Zatem wir rzeczywisty, charakteryzujący się ciągłym rozkładem wirowości, w pierwszym przybliżeniu zastępujemy chmurą wirów punktowych. Przy dużej liczbie wirów pojawia się problem chaotyczności układu. Gdy jednak wyróżnimy strukturę koherentną, skupiającą wiry o podobnych własnościach (ten sam znak cyrkulacji), możemy zredukować liczbę stopni swobody (tzw. zanik wewnętrznych stopni swobody), odwołując się do współrzędnych środka wirowości całej struktury i traktować ją jako jeden obiekt. Metoda znana jest pod nazwą metody wirów punktowych. Jej stosowalność z racji dużych uproszczeń (zaniedbanie lepkości) jest mocno ograniczona. Zaletą metody jest niewątpliwie fakt, że potrafi ona skomplikowany układ uczynić łatwiejszym, czy wręcz możliwym do przeanalizowania. 9

3 Wiry w zewnętrznym przepływie rozciągającym W dalszej części pracy będziemy rozważać wiry w zewnętrznym przepływie, którego funkcja prądu ma postać: Ψ Cxy (18) Zatem pole prędkości: u x y Cxe x Cye y (19) Od tej chwili ustalamy C 0. Rysunek 1: Linie pradu przepływu rozciagaj acego (19). Umieszczenie w takim przepływie wiru punktowego spowoduje, że wokół wiru pojawi się zamknięty obszar przepływu (lokalna dominacja pola prędkości). Jeśli wir zostanie umieszczony w punkcie stagnacji, kształt owego obszaru będzie przypominał kocie oko, a modyfikacja pola będzie trwała (ewentualnie w swoim położeniu początkowym wir może znajdować się na osi OY, wtedy nieskończenie długo będzie zmierzał w kierunku punktu stagnacji). W przeciwnym wypadku przepływ uniesie go wzdłuż osi OX do lub. Przeciwległe końce kociego oka są dwoma nowymi punktami stagnacji. Leżą one na prostej y x (dla dodatniej cyrkulacji wiru), lub y x (dla cyrkulacji ujemnej). Odległość punktów stagnacji od środka: R k 2πC (20) 10

Rysunek 2: Linie pradu dla przepływu z wirem punktowym umieszczonym w poczatku układu współrzędnych. Obszar w środku to tzw. kocie oko z dwoma punktami stagnacji na prostej y x. Kolorem niebieskim została oznaczona separatrysa. Odległość między punktami stagnacji wynosi 2k πc. 3.1 Para wirów w zewnętrznym przepływie rozciągającym W przepływie rozciągającym (19) umieszczamy parę wirów o jednoimiennych cyrkulacjach. Przy braku przepływu zewnętrznego rozwiązanie równań ruchu względem środka wirowości wygląda następująco: x 1 t r 12 k 2 k 1 k 2 cos Ωt y 1 t r 12 k 2 k 1 k 2 sin Ωt (21) x 2 t r 12 k 1 k 1 k 2 cos Ωt y 2 t r 12 k 1 k 1 k 2 sin Ωt (22) gdzie Ω k 1 k 2. r12 2 11

W obecności przepływu równania ruchu wyglądają tak: x 1 k 2 y 1 y r 2 Cx 12 2 1 (23) y 1 k 2 x 1 x r 2 Cy 12 2 1 (24) x 2 k 1 y 2 y r 1 Cx 12 2 2 (25) y 2 k 1 x 2 x 1 Cy 2 (26) Odległość między wirami r 12 nie jest już stałą ruchu. r 2 12 Zastanówmy się jak zmienia się położenie punktów stagnacji w zależności od odległości między wirami oraz ich ustawienia względem układu współrzędnych. Dla ustalenia uwagi weźmy parę wirów o jednakowych cyrkulacjach dodatnich k. Jeśli rozsuwamy je wzdłuż prostej y x, odległość punktów stagnacji zmienia się zgodnie ze wzorem: R d gdzie 2d jest odległością między wirami. k d πc 2 (27) Dla d 0 mamy przypadek jednego wiru o cyrkulacji rówej sumie cyrkulacji wirów, które go tworzą. Rozsunięcie wirów wzdłuż prostej wyznaczonej przez punkty stagnacji powoduje zwiększenie odległości między punktami, a tym samym powiększenie rozmiarów kociego oka. W sytuacji, gdy rozsuniemy wiry wzdłuż prostej prostopadłej do wyznaczonej przez punkty stagnacji, odległość między owymi punktami zmaleje: R d k πc d 2 (28) Spróbujmy teraz znaleźć ruch pary wirów punktowych umieszczonych w zewnętrznym przepływie. Policzmy najpierw jak zachowują się współrzędne środka wirowości (17): Ẋ 1 i k i i ẋ i 1 i k i i Cx i CX (29) Ẏ 1 i k i i ẏ i 1 i k i i Cy i CY (30) Prędkość środka wirowości jest taka sama jak prędkość przepływu zewnętrznego (19). Będzie on więc unoszony przez pole prędkości, czyli: X t X o e Ct (31) Y t Y o e Ct (32) Rozseparowanie ruchu układu na ruch środka wirowości i ruch wirów względem niego nie prowadzi do uproszczenia sytuacji. Dzieje się tak dlatego, że pole, w którym poruszają 12

się wiry, zależy od położenia środka wirowości (w przypadku braku przepływu sposób ten prowadzi do rozwiązania). Możemy jednak założyć, że szukamy tylko rozwiązań stacjonarnych (w sensie braku przemieszczeń środka wirowości), czyli żądamy aby środek wirowości pokrywał się z punktem stagnacji przepływu zewnętrznego. Mamy wówczas sytuację pewnej symetrii przepływu, która nie występuje w żadnym innym położeniu środka wirowości. Wtedy: Odległość między wirami: k 1 x 1 k 2 x 2 0 (33) k 1 y 1 k 2 y 2 0 (34) r 12 t x 1 t x 2 t 2 y 1 t y 2 t 2 (35) Po wykorzystaniu równań (33) i (34) r 12 jest postaci: lub równoważnie: r 12 t 1 k 1 k 2 x 1 t 2 y 1 t 2 (36) r 12 t 1 k 2 k 1 Równania ruchu można uprościć w ten sam sposób, otrzymując: x 2 t 2 y 2 t 2 (37) i podobnie: 1 k 1 k 2 x 2 1 ẋ 1 k 2 y 1 y 2 1 1 k 1 k 2 x 2 1 ẏ 1 k 2 x 1 y 2 1 Cx 1 (38) Cy 1 (39) 1 k 2 k 1 x 2 2 ẋ 2 k 1 y 2 y 2 2 1 k 2 k 1 x 2 2 ẏ 2 k 1 x 2 y 2 2 Cx 2 (40) Cy 2 (41) Pod nieobecność przepływu zewnętrznego (C 0), gdy r 12 jest stałe, zróżniczkowanie na przykład równania (38) z następnym podstawieniem za ẏ 1 równania (39) daje równanie oscylatora. Obecny przypadek jest bardziej skomplikowany, dostajemy dwa uwikłane równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu. Mnożąc drugie z nich (39) przez i i dodając (38) i (39) do siebie (lub równoważnie (40) i (41)) otrzymujemy: ż ia Cz (42) z 13

gdzie a k 2 2 k 1 k 2 dla równań (38) i (39), lub a k 2 1 k 1 k 2 dla równań (40) i (41). Ponieważ analitycznego rozwiązania nie widać, przeanalizujmy te równania numerycznie. Najpierw zastanówmy się nad tym ilu parametrowa jest rodzina rozwiązań badanego układu. Mamy do dyspozycji trzy parametry: C 1 s, k m 2 s i d m. Możemy z tych wielkości stworzyć dwie niezależne skale długości: d (rzędu odległości początkowej między wirami) lub k C (rzędu odległości między punktami stagnacji) i dwie niezależne skale czasowe: 1 C (charakterystyczny czas pobytu cząstki w pobliżu dowolnego, ale stałego R) lub d2 k (czas rzędu okresu obiegu pary wokół centrum wirowości). Podzielenie przez siebie tych skal daje tę samą bezwymiarową liczbę, co sugeruje że rodzina rozwiązań jest jednoparametrowa. Aby się o tym przekonać, weźmy równanie (42) i ustalając jednostki dokonajmy jego ubezwymiarowienia. Wymiary wielkości występujących w równaniu są następujące: ż m s, a m 2 s, z m Dokonujemy przeskalowania tych wielkości na ich bezwymiarowe odpowiedniki: ż dcż k ż d a ka z k d z C z Po podstawieniu do równania (42) dostajemy równanie (42) w postaci bezwymiarowej: ż ia z Cd 2 k z (43) Jedynym parametrem, od którego zależy równanie (43), jest wyrażenie stojące przy z w ostatnim wyrazie. Zdefiniujmy je na potrzeby pracy jako liczbę B: B k Cd 2 (44) Transformacja wielkości opisujących układ, która nie zmienia wartości liczby B, nie wpływa na postać równań ruchu. Dopiero zmiana B daje możliwość uzyskania nowych rozwiązań. W hydrodynamice pojawia się wiele analogicznych liczb (Reynoldsa, Prandtla etc.), ale rola ich jest zawsze ta sama: parametryzują rodzinę rozwiązań danego układu. Wiedząc że rodzina rozwiązań jest jednoparametrowa, możemy dokończyć numeryczną analizę równania (42). Poza zależnością od liczby B, wyniki zależą także od warunku 14

początkowego, czyli od ustawienia pary wirów względem osi układu współrzędnych. Gdy ustalimy dowolne dwie spośród trzech wielkości tworzących liczbę B, zmienność trzeciej daje nam możliwość wyznaczenia zakresu stabilności układu. Niech więc k oraz d będą ustalone, zaś natężenie przepływu zewnętrznego C będzie parametrem zmiennym. W chwili początkowej wiry leżą na prostej y x. Spodziewać się można, że dla dużych wartości B (C 0) para wirów istnieje w stanie związanym, natomiast dla małych B (C ) układ będzie rozrywany. Wyniki przedstawione są na rysunkach (3) i (4). Rysunek 3: Trajektoria jednego z wirów w układzie pary wirów o jednakowych cyrkulacjach dla różnych liczb B. Warunek poczatkowy jednakowy dla wszystkich przypadków. Numerycznie znaleziona krytyczna wartość B wynosi około 3 142. Dla dużych wartości B (słaby przepływ), mamy parę wirów rotującą wokół środka wirowości po trajektoriach przypominających elipsy (gdy B orbity stają się kołowe). Im mniejsza wartość B (wzrost wartości natężenia przepływu zewnętrznego) tym większe różnice między minimum i maksimum r 12. Nieintuicyjnie zachowuje się częstość kołowa rotującej pary. Gdy B maleje, częstość najpierw nieznacznie rośnie, a dopiero przy pewnych wartościach Bk zaczyna ona maleć. Gdy B osiąga wartość krytyczną, wiry umieszczone na prostej y x pozostają w bezruchu (znajdując się wtedy dokładnie 15

1 0.9 0.8 R(t) 0.7 0.6 B=125.7 B=50.3 B=12.7 B=6.3 B=4.2 B=3.4 B=3.3 0.5 0 0.25 0.5 0.75 t Rysunek 4: Odległość między wirami w układzie pary wirów o jednakowych cyrkulacjach dla różnych sił przepływu zewnętrznego. B jest powyżej wartości krytycznej, która wynosi około 3 142. Na osi czasu odłożone sa okresy obrotu pary wirów dla C 0. w punktach stagnacji) - dla rozpatrywanego przypadku numerycznie wyliczone B kryt 3 142. Zmniejszenie wartości B powoduje rozerwanie pary i wiry wędrują razem z przepływem: jeden do, drugi do. Dalsze zmniejszanie B zwiększa jedynie prędkość unoszenia wirów do nieskończoności. Charakterystycznym zjawiskiem są niewielkie oscylacje położenia punktów stagnacji. Gdy wiry ustawiają się na prostej y x, kocie oko jest najbardziej wydłużone i jednocześnie najwęższe. Dalszy obrót pary o π 2 ustawia wiry w położeniu, w którym punkty stagnacji są najbliżej siebie. Oko jest wtedy najbardziej pękate. Z powyższych analiz wynika, że istnieją rozwiązania, pozwalające parze wirów w obecności przepływu zewnętrznego utrzymać stan związany. Obliczenia numeryczne wskazują na to, że rozwiązania te są stabilne. Spróbujmy przeanalizować teraz przypadek bardziej złożony. 16

3.2 Duża liczba wirów w zewnętrznym przepływie rozciągającym Dla wirów umieszczonych w przepływie (19) równania ruchu wyglądają następująco: ẋ i ẏ i N j i N j i k j 2πr 2 i j k j 2πr 2 i j y i y j Cx i (45) x i x j Cy i (46) Równania te można sprowadzić do postaci kanonicznej (patrz równania (10) i (11)), przy czym, podobnie jak w przypadku nieobecności przepływu zewnętrznego, współrzędne przestrzenne są jednocześnie współrzędnymi kanonicznymi (położeniami i pędami uogólnionym). Hamiltonian przybiera postać: H k i k j i ln r i j 4π j k i C x i x 0 y i y 0 (47) i gdzie x 0 y 0 jest położeniem środka symetrii przepływu zewnętrznego. Ponieważ wirowością obdarzone są jedynie centra wirów, jej ewolucja wygląda następująco: ω i 2π x 2 i k i y 2 i gdzie x i y i jest położeniem i-tego wiru. δ x x i t δ y y i t (48) Powstaje naturalne pytanie, czy w tym przypadku obowiązują nadal prawa zachowania (14), (15) i (16). Aby to stwierdzić, trzeba odnieść się do założeń, na których opierają się pierwotne wyliczenia. Pierwsze dwie całki ruchu wyprowadzone były przy założeniu jednorodności przestrzeni. Wówczas translacja układu o dowolny wektor nie zmieniała własności układu (δh 0). W tym przypadku jest nieco inaczej, dlatego że w hamiltonianie (13) występuje człon związany z przepływem zewnętrznym. O ile pierwszy człon zawiera tylko wzajemne odległości między wirami i jest nieczuły na zmiany układu odniesienia, o tyle drugi zależy od konkretnego położenia wirów w przestrzeni. Obrót układu o dowolny kąt także nie zachowuje stałości hamiltonianu, nie możemy więc wyprowadzić dodatkowych zasad zachowania. Zasady zachowania (14), (15) i (16) ewoluują w obecności przepływu w następujący sposób: d i k i x i dt d i k i y i dt 17 C k i x i (49) i C k i x i (50) i

d i k i x 2 i k i y 2 i dt 2C k i x 2 i y 2 i (51) i Wszystkie trzy wielkości (14) (15) i (16) są stałe gdy C 0 lub gdy wiry są skupione w początku układu współrzędnych (przypadek trywialny - jeden wir umieszczony w punkcie stagnacji). Rozważmy teraz przypadek wielu wirów posiadających ten sam znak cyrkulacji. Mówiąc inaczej wyróżnijmy pewną strukturę koherentną. Wiadomo że ruch N 3 wirów w ogólności jest chaotyczny (H. Aref 1982) (H. Aref 1985). W tej sytuacji da się jednak powiedzieć coś więcej na temat ich zachowania. Z równania (16) wynika, że gdy C 0, skoncentrowana grupa wirów o takim samym znaku cyrkulacji nie może rozproszyć się po całej przestrzeni. Jest to silne ograniczenie, będące przyczyną trwałości takiej struktury. Całość można więc potraktować jako jeden obiekt, wewnątrz którego zachodzi chaotyczny ruch elementów składowych. Struktura ta nie ma jednak przypadkowego kształtu, ewoluującego w nieprzewidywalny sposób. Przyglądając się jej w najmniejszych skalach długości obserwujemy chaotyczny ruch wirów, ale razem ze zwiększaniem się skali długości zanikają wewnętrzne stopnie swobody, a wraz z nimi chaos. Ruch środka wirowości całej struktury jest już dobrze zdefiniowany (patrz równania (31) i (32)). Numeryczna analiza pokazuje, że ewolucja kształtu chmury wirów o jednoimiennych cyrkulacjach prowadzi do wygładzenia początkowych chropowatości (zaokrąglenie rogów). To wygładzenie nie dzieje się bynajmniej za sprawą lepkości, ktora jak pamiętamy jest zerowa. Jest to wyłącznie efekt kinematyczny. W dalszej ewolucji kształt obiektu zmienia się dość regularnie, choć wiry punktowe, z których jest on zbudowany, mogą wewnątrz obiektu dowolnie migrować. Poza przypadkiem trzech wirów, które mogą połączyć się w jeden, wiry nie mogą na siebie wpadać (wyklucza to profil prędkości wiru). Zastanówmy się zatem jaką zmianę wprowadza do układu zadany przez nas przepływ zewnętrzny. Z dotychczasowych rozważań wynika, że bardzo silnie modyfikuje on własności struktury koherentnej. Najistotniejszym efektem dodania przepływu jest zniesienie ograniczenia na położenie wirów w przestrzeni. Oznacza to, że trwała do tej pory struktura może rozpaść się na mniejsze, bądź w ogóle przestać istnieć (w przypadku rozseparowania wirów). Aby nadać naszym rozważaniom bardziej fizyczną wymowę, przepływ (19) modeluje w pierwszym przybliżeniu wpływ odległych wirów na jeden wyróżniony, znajdujący się w pobliżu punktu 0 0, który z kolei modelujemy za pomocą chmury wirów punktowych. Zatem prezentowane podejście można rozumieć jako uproszczony model interakcji między wirami. Gdy dwa wiry zostają rozsunięte na pewną odległość, pole prędkości w ich pobliżu jest zaburzone, ale daleko od nich, w pierwszym przybliżeniu, nadal zachowuje się jak pole od wiru punktowego. Podobnie dzieje się w przypadku dużej liczby wirów. Z dala od 18

nich pole prędkości mało różni się od pola wiru punktowego umieszczonego w centrum wirowości, mającego sumaryczną cyrkulację wszystkich wirów. W pobliżu i wewnątrz chmury wirów charakter pola jest bardzo nieregularny. Spodziewać się można, że odległość głównych punktów stagnacji od początku układu współrzędnych będzie miała podobną zależność jak w przypadku pojedyńczego wiru, czyli przez rozkład przestrzenny wirów. k i C, modyfikowaną Rysunek 5: Przykładowy profil prędkości (wartości bezwzględnej) wzdłuż wybranej półprostej wychodzacej ze środka wirowości. Charakterystyczne piki to zaburzenia pochodzace od bliskich wirów punktowych. Linia czerwona narysowane jest pole od wiru punktowego o sumarycznej cyrkulacji wirów tworzacych chmurę. Przypadek bez przepływu zewnętrznego. Kida (S. Kida 1981) badał zachowanie się eliptycznej łaty o stałej wirowości, umieszczonej w zewnętrznym przepływie rozciągającym, również obdarzonym stałą wirowością. Rozważając przepływ dwuwymiarowy, nieściśliwy i nielepki poszukiwał rozwiązań niestacjonarnych, uzupełniając uzyskane przez Moora i Saffmana rozwiązanie stacjonarne. Warunkiem początkowym było umieszczenie elipsy w centrum układu współrzędnych tak, aby jej półosie pokrywały się z osiami układu. Rozwiązaniem stacjonarnym jest ustawienie się elipsy pod kątem π 4 bez zmiany kształtu. Kida uzupełnił rozwiązanie o nowe możliwości zachowania się owej elipsy. Dla pewnej granicznej wartości przepływu, czego się można było spodziewać, elipsa jest rozrywana przez przepływ. Ciekawe wydają się rezultaty pośrednie. Istnieją rozwiązania pokazujące, że elipsa będzie obracać się z pewną prędkością kątową i zmieniać swój kształt (stosunek półosi), zachowując przy tym powierzchnię (powierzchnia jest stałą ruchu). Innym rozwiązaniem są nutacje elipsy, w których kąt między dużą półosią, a osią OX oscyluje między π 4 a π 4. Dalsza część 19

Rysunek 6: Moduł prędkości dla struktury koherentnej wirów o dodatnich cyrkulacjach, umieszczonych w zewnętrznym przepływie rozciagaj acym (19). niniejszej pracy dotyczy numerycznego badania własności struktury koherentnej, tworzonej przez dużą liczbę wirów punktowych, umieszczonych w zewnętrznym przepływie rozciągającym. Artykuł Kidy będzie dla nas ważnym punktem odniesienia, wszelako należy pamiętać że przepływ w którym umieszczamy strukturę wirów nie jest obdarzony wirowością. 4 Analiza numeryczna 4.1 Właściwości schematu Analiza ruchu układu złożonego z dużej liczby wirów jest możliwa do przeprowadzenia jedynie na drodze numerycznej. Istnieje wiele schematów numerycznych o różnej dokładności. My zastosujemy skrajnie prostą i efektywną zwyczajną metodę Eulera pierwszego rzędu. Według tego schematu wszystkie pochodne cząstkowe po czasie należy zastąpić wyrażeniami: ḟ f t δt f t δt (52) 20

Naturalnie im mniejsze δt tym bliżej jesteśmy prawdy o wartości pochodnej w danym punkcie. Jeśli n będzie indeksem kolejnych kroków czasowych, mamy: ḟ f n 1 f n δt Podstawiając powyższe do równań ruchu i dokonując przekształceń ze względu na n, otrzymujemy wartości funkcji w chwili n 1: x n 1 i y n 1 i x n i y n i δt N δt j i N j i k j y n i y n j 2πr 2 i j k j x n i x n j 2πr 2 i j (53) Cx n i (54) Cy n i (55) Przyjrzyjmy się dokładniej własnościom powyższego schematu. Dla zagadnień posiadających symetrię osiową, w których elementy poruszają się po trajektoriach kołowych, schemat generuje systematyczny błąd. Prześledzimy to na przykładzie wirów punktowych. Wyznaczenie położenia wiru w kolejnym kroku czasowym wymaga znalezienia dla niego wektora przemieszczenia, a nastepnie dokonania translacji obecnego położenia o tenże wektor. Kiedy wir porusza się po z grubsza kołowej trajektorii, jego odległość od centrum obrotu stale się zwiększa. Rysunek (7) przedstawia omawianą sytuację. Przeciwprostokątna każdego trójkąta jest przyprostokątną następnego. Traktujemy środek Rysunek 7: Numeryczny efekt będacy przyczyna zwiększania odległości wiru od centrum. obrotu jak źródło pola, zatem każde przemieszczenie odbywa się pod kątem prostym do promienia. Kąt obrotu w kolejnych krokach czasowych maleje, bowiem za każdym razem dokonujemy translacji o tę samą wartość dr. Dla wiru poruszającego się po orbicie kołowej odległość od centrum wyrażona rekurencyjnie: r n 1 dr 2 r 2 n (56) 21

Dla dużego n będzie to więc: r 2 n ndr 2 r 2 1 (57) Znamy zatem wartość odległości od centrum po n-tym kroku czasowym. Możemy dla uproszczenia szacunków założyć stałość kąta obrotu. Traktując dr jako infinitezymalne przesunięcie mamy: dϕ dr r 1. Kąt o jaki przemieści się wir po n krokach czasowych: ϕ n n dr r 1 Ilość kroków czasowych potrzebnych na obrót o 2π: n 2πr 1 dr Odległość wiru od centrum po jednym pełnym obrocie będzie więc: r 2 n 2πr 1 dr r 2 1 (58) Dokładność numerycznego schematu opisuje pierwszy wyraz sumy. Mamy pełną kontrolę nad błędem: zmniejszanie dr w prosty sposób zwiększa dokładność. Ograniczeniem dolnym na dr jest ilość kroków czasowych, która jest odwrotnie proporcjonalna do tej wielkości. W przypadku chmury wirów, kiedy mamy dużą zależność pola prędkości od położenia wiru w chmurze, trudniej jest precyzyjnie oszacować błędy numeryczne. Wykorzystajmy tu całkę ruchu (16), sprawdzając jej zachowanie w użytym schemacie. W dalszej części pracy będziemy nazywać ją dyspersją, utożsamiając tę wielkość z przestrzennym rozmyciem chmury. Program liczący ruch wirów daje nam możliwość zadania precyzji obliczeń, co oznacza że znamy maksymalne możliwe przemieszczenie dr. To że wir może być obecny w dowolnym miejscu chmury jest korzystne z punktu widzenia schematu, dlatego że błędy związane z każdym wirem uśrednią się. Wykorzystując (57) dostajemy maksymalną wartość dyspersji po n-tym kroku czasowym: S max Nndr 2 i r io 2 rin 2 (59) i gdzie S-dyspersja układu, N-liczba wirów, n-liczba kroków czasowych, r i -odległość i-tego wiru od centrum wirowości. Dochodzimy do wniosku, że dyspersja maksymalna jest liniową funkcją kroku czasowego. K-krotne zwiększenie dokładności (zmniejszenie dr) daje około K-krotne zmniejszenie wartości zaburzenia wprowadzanego przez schemat. Rosnąca dyspersja oznacza rozrastanie się chmury, zatem schemat numeryczny (53) narusza prawo zachowania (16). 22