CZĘŚĆ 6. MODEL REGRESJI, TREND LINIOWY ESTYMACJA, WNIOSKOWANIE Zadane 1. Na podstawe obserwacj dotczącch welkośc powerzchn ekspozcjnej (cecha X w m kw.) oraz welkośc dzennego obrotu punktu sprzedaż płtek ceramcznch (cecha Y w ts. zł), przeprowadzonej w 18 punktach sprzedaż ustalono dla tej grup punktów: - średną welkość powerzchn ekspozcjnej na pozome 16 m kw. z odchlena standardowm m kw., - średną welkość dzennego obrotu na pozome 15,3 ts. zł z odchlenem standardowm 5 ts. zł, - następującą postać oszacowanej funkcj lnowej regresj drugego rodzaju: ˆ =,05 x 17, 5, Na podstawe powższch danch wznaczć współcznnk korelacj lnowej mędz pozomem obrotów powerzchną ekspozcjną punktu sprzedaż oraz zbadać jego stotność. Odp. r(x)=0,8; t = 5,86 H0 odrzucam Zadane. Analzując zmenność lczb zaweranch umów handlowch w zależnośc od lczb pracownków zatrudnanch w dzałach dstrbucj uzskano następując cąg reszt w modelu regresj lnowej: 0, 0, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, 1, -1, -1, 0, 1, -1, -1, 1, -1, 1, -1. Proszę określć przecętn błąd szacunku lczb zaweranch umów handlowch względem lczb pracownków zatrudnanch w dzałach dstrbucj. Odp.: S(z) = 0,97 Zadane 3. Na podstawe 7 obserwacj oszacowano lnow model zużca surowca (Y w t.) względem welkośc produkcj (X w ts. szt.) uzskując: ˆ = 15x + 10 x = 4, 1 7 7 =1 (x ) x = 8, = 180, S( ) = 44, S( z) = 10. Cz oszacowane współcznnk w modelu regresj są stotne? wznaczć welkość zużca surowca prz welkośc produkcj 7 ts. szt. oraz dokładność tej prognoz. Odp.: S(a) = 0,73 S(b) = 4,83; t a = 0,5 t b = 4,8 wartość prognozowana: 5 ton Zadane 4. Analza zależnośc czasu spędzonego przed telewzorem (zmenna Y, w godznach) a welkoścą czasu wolnego od zajęć zawodowch domowch w cągu dna (zmenna X, w godznach) wśród losowo wbranch 14 kobet umożlwła wznaczene następującch składnków estmacj równana regresj lnowej: ocena współcznnka regresj lnowej = 0, ze średnm błędem szacunku 0,05 ocena wrazu wolnego = 0,0 ze średnm błędem szacunku 0,004 Należ znterpretować oszacowana parametrów modelu oraz wznaczć znterpretować prognozowan czas oglądana telewzj wśród kobet dsponującch godznam wolnego czasu. Odp.: 0,4 godz. Zadane 5. Na podstawe danch dotczącch czasu trwana cąż (cecha X w tgodnach) oraz mas noworodka (cecha Y w gramach) dla 1000 obserwacj uzskano następujące nformacje: x = 40,1; S( x) = 3,57; 1000 = 1 1000 = 1 ( ˆ = 3401000; ) = 19913714; cov( x, ) = 1591,95; 1000 = 1 ( ˆ ) = 4338999 a) Proszę zbadać, cz zależność lnową mędz masą noworodka oraz czasem trwana cąż można uznać za stotną? b) O le gramów zmenała sę średna waga noworodka wraz ze wzrostem czasu trwana cąż o jeden tdzeń? Odp.: a) t = 1,73 ne, b) średno o 14,9 gram Zadane 6. - 1 -
Na podstawe obserwacj dotczącej welkośc powerzchn ekspozcjnej (cecha X w m ) oraz welkośc dzennego obrotu punktu sprzedaż płtek ceramcznch (cecha Y w ts. zł), przeprowadzonej w losowej próbe 18 punktów sprzedaż ustalono, że: średna powerzchna ekspozcjna w próbe wnosła 16 m kw. z odchlena standardowm m kw., średn dzenn obrót w próbe wnósł 15,3 ts. zł z odchlenem standardowm 5 ts. zł, postać oszacowanej funkcj lnowej regresj bła następująca: ˆ =,05 x 17, 5, Na podstawe powższch danch wznaczć współcznnk korelacj lnowej mędz pozomem obrotów powerzchną ekspozcjną punktu sprzedaż oraz przjmując, że obe cech mają rozkład normaln, zbadać jego stotność. Odp.: 0,8; t = 5,73 Zadane 7. Na podstawe 553 obserwacj oszacowano lnow model regresj mesęcznego dochodu (w złotch) względem długośc okresu edukacj (w latach). Uzskano następujące wnk: ˆ = 107,433x + 55,566 [11,6013] [10,34] Wadomo ponadto, że średna długość okresu edukacj w tej grupe kształtowała sę na pozome 10,1 lat, zaś dla oszacowanego równana otrzmano R = 0,13. a/ Cz wpłw długośc okresu edukacj na dochód jest statstczne stotn, prz pozome stotnośc 0,01? b/ Ne wkonując żadnch oblczeń proszę ocenć prawdzwość następującego wnosku, sformułowanego na podstawe oszacowanego równana: współcznnk korelacj lnowej dochodu długośc okresu edukacj zawera sę w przedzale (-1; -0,4)? Odp.: a) t = 9,6; b) neprawdzw Zadane 8. Dane dotczące wdatków na reklamę ( X w ts. zł) oraz osąganch zsków ze sprzedaż (Y w ts. zł) w pewnm przedsęborstwe posłużł do oszacowana metodą najmnejszch kwadratów, parametrów lnowego modelu regresj. Dla 15 obserwacj uzskano następujące równane: ˆ = 177,13 x + 608, 13, standardow błęd szacunku współcznnka regresj wrazu wolnego wnosł odpowedno: 40,16 ts. zł 179,6. Proszę podać nterpretację oszacowanch parametrów modelu oraz standardowch błędów szacunku; Cz dla pozomu stotnośc 0,05 uznam współcznnk regresj za stotn? Odp.: b) t = 4,41 Zadane 9. Badając zależność kosztów zmennch produkcj względem rozmarów fzcznch produkcj dla 7 obserwacj otrzmano następujące wnk: wzrost welkośc produkcj o 1 ts. szt. prowadzł do wzrostu kosztów zmennch średno o 0,0 ts. zł, pozom kosztów oraz rozmar fzczne produkcj charakterzował wartośc średne wnoszące odpowedno 10 mln zł oraz 0 ts. szt. z odchlenam standardowm odpowedno 1 mln zł oraz 5 ts. szt. Cz na podstawe zebranch nformacj można uznać korelację lnową mędz kosztam zmennm welkoścą produkcj za statstczne stotną? O czm może śwadczć ustalona wartość współcznnka korelacj lnowej? Odp.: r(x) = 0,1 t = 0,5 Zadane 10. Badając zależność kosztów zmennch wdobca surowca względem welkośc wdobca dla 7 obserwacj otrzmano następujące wnk: wzrost welkośc wdobca o 1 ts. t prowadzł do wzrostu kosztów zmennch średno o 0,5 ts. zł, pozom kosztów oraz rozmar wdobca charakterzował wartośc średne wnoszące odpowedno 4 mln zł oraz 10 ts. t. z odchlenam standardowm odpowedno mln zł oraz 3 ts. t. Cz na podstawe zebranch nformacj można uznać korelację lnową mędz kosztam zmennm welkoścą produkcj za statstczne stotną? O czm może śwadczć ustalona wartość współcznnka korelacj lnowej? Odp.: r(x) = 0,75 t = 5,67 Zadane 11. Na podstawe 9 obserwacj oszacowano lnow model zużca surowca (Y w t.) względem welkośc produkcj (X w ts. szt.) uzskując: - -
ˆ = 5x + 1 9 1 x = 6, (x ) x =,8, = 4, S( ) = 6, S( z) = 1. 9 =1 Cz oszacowane współcznnk w modelu regresj są stotne? Wznaczć welkość zużca surowca prz welkośc produkcj 7 ts. szt. Odp.: a) t = 0,9 b) x ˆ = 0,139 + 0, 16 welkość zużca surowca prz produkcj 7 ts. szt. to 1,133 ton. Zadane 1. Na podstawe ponższch danch dotczącch lczb odwedzającch punkt sprzedaż oraz realzowanch dzennch obrotów należ wznaczć regresję emprczną oraz zbudować model regresj. Lczba odwedzającch 0 5 3 1 35 36 4 39 38 41 51 Obrot w ts. zł (Y),5 3,1 4,5 5,3 6,4 7,8 8,9 9,5 10,3 11,5 1,1 Jake własnośc wkazuje zbudowane równane jako oszacowane funkcj regresj II-go rodzaju? Zadane 13. Badając zależność kosztów całkowtch produkcj względem rozmarów fzcznch produkcj otrzmano następujące wnk: wzrost welkośc produkcj o 1 ts. szt. prowadzł do wzrostu kosztów całkowtch średno o 0,18 mln. zł, pozom kosztów oraz rozmar fzczne produkcj charakterzował wartośc średne wnoszące odpowedno 7,1 mln zł oraz 6,6 ts. szt. z odchlenam standardowm odpowedno 1,9 mln zł 6,5 ts. szt. Należ: określć słę zależnośc korelacjnej kosztów całkowtch względem skal produkcj. Cz współcznnk równana oraz można uznać za stotne,jeśl stopeń determnacj lnowej kosztów całkowtch skalą produkcj wnósł dla danch z prób 0,35? Dokonać smulacj pozomu kosztów prz welkośc produkcj na pozome 10 ts. szt. Jak jest średn maksmaln błąd tej smulacj? Zadane 14. Konstruując model regresj lnowej welkośc zsku względem ponoszonch wdatków na marketng, otrzmano następujące dane: średn pozom zsku wnósł w badanej grupe 17 przedsęborstw pewnej branż 5000 zł z przecętnm zróżncowanem 50 zł, zaś średn pozom wdatków na marketng kształtował sę w tej grupe na pozome 100 zł z przecętnm zróżncowanem zł. Uzskano następując cąg reszt: 0, 0, -1, -1,, 4, 5, -, -4, -5, 0,, 3, 1, 0, -1, -1, -,,, 3, -,3, -,, 4,-4,-4. jak jest stopeń determnacj lnowej welkośc zsku wdatkam na marketng? b) cz otrzmane reszt wskazują na zachowane założena o braku wpłwu cznnków przpadkowch (pomnętch w modelu regresj) na pozom zsku? Zadane 15. Wg danch GUS współcznnk aktwnośc zawodowej kobet dla lat 1997-00 bł następujące: Lata 1997 1998 1999 000 001 00 Wsp. Aktwnośc zawodowej (w %) 50,0 50,0 49,7 49, 48,8 48,0 a) Przjmując numerację t=1,,...,n, oszacuj lnową roczną funkcję trendu zman współcznnków aktwnośc zawodowej podaj komentarz jej parametrów. b) Jakej teoretczne welkośc współcznnka można bło sę spodzewać w 003 r. Zadane 16. W wnku oszacowana parametrów modelu zman spożca rżu w ostatnch 1 latach (dla t = 0, 1,,..., n-1) otrzmano następujące nformacje: - welkość spożca rosła z roku na rok przecętne o 0, kg, - teoretczna welkość spożca w perwszm badanm roku wnosła 6 kg, - warancja składnka resztowego wnosła 1,1 kg, ( t t ) = 143 t = 5, 5. Oszacuj z dokładnoścą do błędu prognoz oczekwan pozom spożca w czwartm roku po zakończenu obserwacj. Zadane 17. Mesęczna obserwacja lczb bezrobotnch mężczzn (w ts. t= 1...18) umożlwła oszacowane następującej funkcj trendu: ŷ t = - 18,79 t + 1750,7. Ponadto wadomo, że suma kwadratów reszt wnosła 10 155,9. a) Znterpretuj uzskan współcznnk trendu. - 3 -
b)cz współcznnk trendu jest stotne ujemn ( przjąć α = 0,05)? c) Podaj punktowe przedzałowe oszacowane lczb bezrobotnch mężczzn, której można sę spodzewać po upłwe kolejnch 6 mesęc ( przjąć 1-α = 0,95). Zadane 18. Ilość komputerów podłączonch na stałe do Internetu na śwece ( mln) wg Mędznarodowej Un Telekomunkacjnej (ITU) wnosła: Rok 1987 1988 1989 1990 1991 199 1993 1994 1995 1996 Ilość komputerów 0,03 0,08 0,16 0,38 0,73 1,3, 4,9 9,5 16,1 a) W układze współrzędnch wkreślć szereg czasow obserwacj na tej podstawe zastanowć sę nad prawdłowoścam rozwoju badanego zjawska. b) Jaka funkcja matematczna w najlepsz sposób odzwercedl gwałtowne wzrastającą na śwece lość komputerów podłączonch na stałe do Internetu? c) Metodą najmnejszch kwadratów oszacować parametr lnowego oraz nelnowego (wbranego w p. ) modelu trendu lośc komputerów podłączonch na stałe do Internetu w latach 1987 1996. Zadane 19. W pewnej fabrce na podstawe danch o mesęcznej sprzedaż farb (ts. kg) za okres I X 005 r. oszacowano lnową funkcję trendu. Zgodne z ną sprzedaż spadała z mesąca na mesąc średno o 10 ts. kg. Łączna sprzedaż za 10 mesęc wnosła 990 ts kg, zaś warancja (neobcążona) sprzedaż w tm okrese wnosła 60. Pozom składnka resztowego bł następujące:3; -6; 3; ; 5; -5; -4; 3; 4; -5. Oblczć znterpretować parametr (strukturalne) funkcj trendu. - Cz stopeń wjaśnana zróżncowana sprzedaż przez nne nż czas cznnk dskwalfkuje tę funkcję? - Zwerfkować hpotezę dotczącą losowośc reszt (pozom stotnośc 0,1) - Sprawdzć założene modelu o neskorelowanu składnków losowch. Zadane 0. Na podstawe lczb urodzeń (w ts.) w Polsce w latach 1990 004 oszacowano lnową funkcję trendu: ˆ = 15,3t + 551, 9 + e, t = 1,,...,n. Wedząc, że: t = 10, ( ˆ ) = 415, 3, ( ˆ ) = 65315, 8 t oraz ( t t ) = 80proszę: Oblczć znterpretować współcznnk determnacj lnowej. Podać przewdwaną lczbę urodzeń w Polsce na rok beżąc oraz standardow błąd tej prognoz. Zadane 1. Dwanaśce osób o równomernm rozkładze pozomu ntelgencj poddano pewnemu testow pschologcznemu. Czas przgotowana sę do testu bł jednak różn. Na podstawe wnków zawartch w szeregu określć, cz stneje zwązek mędz czasem przgotowana do testu a wnkam testu. Jeżel tak, to jaka jest sła kerunek tego zwązku? Jak średno wzrasta punktacja, gd czas przgotowana do testu wzrasta o jedną mnutę? Czas przgotowana (mn) 1 3 3 4 4 5 6 7 8 9 10 Wnk testu (pkt.) 4 3 4 5 5 6 7 8 9 10 10 11 Zadane. W celu ustalena zależnośc mędz lczbą braków a welkoścą produkcj częśc zamennch zbadano 7 losowo wbranch zakładów wtwarzającch take częśc. Wnk badana bł następujące: PRODUKCJA X (w ts. szt.),0 1,0 0,8 1, 3,0 1,6 1,0 LICZBA BRAKÓW Y (w szt.) 17 10 6 10 1 13 Y-teor. 15,9 9,6 8,3,3 13,4 9,6 średna(x)=1,5, S(x) = 0,8, średna()=1,8, S() = 5, Na podstawe powższch danch należ: a) wznaczć wartość współcznnka korelacj lnowej Pearsona, b) oszacować parametr lnowej funkcj regresj opsującej zależność zmennej Y od X, c) uzupełnć brakujące dane w tabel, d) oszacować błęd ocen parametrów lnowej funkcj regresj, e) zwerfkować na pozome stotnośc 5% hpotezę o zerowej wartośc współcznnka regresj w populacj (wkorzstując przedzał ufnośc), f) wznaczć wartość współcznnka determnacj, g) znterpretować otrzmane wnk, - 4 -
Zadane 3. Na podstawe danch dla lat 1999 003 o welkośc produkcj pewnego wrobu ( ts. szt.) otrzmano lnową funkcję trendu ŷ = - 10 t + 413,4; t = 0, 1,...; warancja reszt S wnosła 9,61. Znterpretować parametr strukturalne funkcj trendu, Wznaczć przedzał ufnośc dla współcznnka trendu prz 1-α = 0,95, Ocenć na pozome stotnośc 0,05, cz trend produkcj jest stotn, Prognozować wartość produkcj w roku 004. Zadane 4. Na podstawe lczb urodzeń (w ts.) w Polsce w latach 1990 004 oszacowano lnową funkcję trendu: ˆ = 15,3t + 551, 9 + e, t = 1,,...,n. Wedząc, że: t = 10, ( ˆ ) = 415, 3, ( ˆ ) = 65315, 8 t oraz ( t t ) = 80proszę: Oblczć znterpretować współcznnk determnacj lnowej. Podać przewdwaną lczbę urodzeń w Polsce na rok beżąc oraz standardow błąd tej prognoz. Zadane 5. Analtk kosztów usług szptalnch chce oszacować lnow zwązek mędz lczbą dn hosptalzacj pacjenta (jakej będze on wmagał w ocene lekarza przjmującego) całkowtm kosztem pobtu pacjenta w szptalu. Wnk badana mają bć wkorzstane do prognozowana kosztów pobtu pacjenta w szptalu na podstawe wstępnej ocen długośc jego pobtu. Wbrano następującą próbę 11 przpadków: Wstępna ocena długośc 5 6 7 1 4 8 3 5 9 pobtu (dn) Całkowt koszt pobtu (w 845 3030 568 388 37 966 3760 580 77 3199 350 $) Oszacuj parametr modelu regresj lnowej. Zwerfkuj na pozome stotnośc 0,05 hpotezę, że współcznnk regresj w populacj jest równ zero. Oceń stopeń dopasowana modelu regresj do danch emprcznch. Jak jest przewdwan całkowt koszt pobtu pacjenta, któr bł hosptalzowan 10 dn? Podaj standardow błąd prognoz. Zadane 6. Na gełdze zanotowano cen wek klku oferowanch do sprzedaż samochodów mark Fat Uno: Wek (w latach) 3 5 5 7 8 Cena (w ts. zł) 18 0 16 15 11 Sporządź wkres rozrzutu punktów emprcznch oceń na jego podstawe, cz uzasadnone jest przpuszczene o lnowej regresj cen użwanego Fata Uno względem jego weku. Dopasuj metodą najmnejszch kwadratów prostą regresj cen względem weku samochodu. Oceń stopeń dopasowana modelu regresj do danch emprcznch. Jaka jest przewdwana cena samochodu 6-letnego? Zadane 7. Dla losowo wbranch 10 klentów supermarketu zarejestrowano dane o lczbe pozcj na rachunku czase obsług prz kase (w mn), otrzmując: X 5 8 10 1 15 1 5 36 40 46 Y,5 3 3 5,5 4 6 6,5 7,5 6 8 Na podstawe tch danch uzskano: ( x ) x = 1883, 6; ( ) = 34, 6 oraz ˆ = 0,1 x +, 59. Oblcz odchlene standardowe reszt standardowe błęd ocen parametrów lnowej funkcj regresj. Zwerfkuj na pozome stotnośc 0,05 hpotezę, że współcznnk regresj w populacj jest równ zero. Podaj dla nego przedzał ufnośc prz współcznnku ufnośc 0,95. Dokonaj podzału całkowtej zmennośc czasu obsług na część wjaśnoną ne wjaśnoną regresją lnową. Oblcz na tej podstawe współcznnk determnacj lnowej współcznnk korelacj. Sprawdź na pozome stotnośc 0,05 hpotezę o neskorelowanu obu cech w populacj. Cz rezultat jesak sam jak w przpadku werfkacj hpotez, że α = 0? Zadane 8. Z zapsów klnk położnczej wlosowano 10 przpadków urodzeń, rejestrując długość w cm (X) wagę w dkg (Y) noworodków: X 58 55 51 60 56 54 46 5 49 59 Y 440 340 30 400 360 300 40 350 300 360-5 -
W trakce przetwarzana powższch danch uzskano ponadto (sumowane po wszstkch obserwacjach): x = 540, x = 9344, = 330, = 1141400, x = 181490. Wznacz metodą najmnejszch kwadratów prostą regresj wag noworodków względem długośc. Znterpretuj ocen parametrów lnowej funkcj regresj. Cz na podstawe wartośc współcznnka regresj można ocenać słę badanej zależnośc? Oblcz kowarancję współcznnk korelacj lnowej. Jak slna jest korelacja mędz badanm cecham? Zadane 9. (egz.) Badając współzależność mędz zmennm x, uzskano na podstawe ndwdualnch danch dla 0 jednostek m.n. następujące rezultat: x = 5 ; V x = 0% ; x = 50 ; S = 0, 6 ; V = 0% ; = 187, ; S = 0, 97 e oraz x = 95. Zbudować pełn model regresj względem x, zakładając lnowość oraz ujemn kerunek zwązku. Oszacować przedzałowo (1-α=0,9) współcznnk regresj funkcj I rodzaju. Zadane 30. (egz.) Posługując sę danm uzskanm z prób losowej 7 studentów oszacowano model regresj lnowej ocen uzskanej na egzamne (Y) względem lczb neobecnośc na wkładze (X): = 0,x + 3, 9 + e. Odchlene standardowe uzskanch ocen wnosło 0,7, warancja lczb neobecnośc bła równa 9, zaś odchlene standardowe reszt wnosło 0,36. Znterpretuj parametr funkcj regresj. Oceń dopasowane modelu do danch emprcznch. Podaj prognozę punktową (bez wznaczana błędu standardowego) ocen uzskanej przez osobę, która mała neobecnośc na wkładze. zwerfkować hpotezę o stotnośc współcznnka regresj (na pozome stotnośc 0,05). Zadane 31. (egz.) Badając zależność pomędz wskaźnkem zdolnośc do spłat zadłużena (Y) a wskaźnkem zwrotu z nwestcj (X) otrzmano dla 9 przedsęborstw następujące wnk: ˆ = 1,46 x + 0, 1 ( x) = 1, 5 x = 0,08 s(e)=0,. Należ: podać prognozę wskaźnka zdolnośc do spłat zadłużena w przedsęborstwe, które osągnęło zwrot z nwestcj równ 0,. wznaczć błąd standardow tej prognoz. Zadane 3. Producent napojów chłodzącch zgromadzł dane o welkośc zamóweń hurtown średnej temperaturze w dobowej w okrese lpec-serpeń dla przpadkowo wbranch dn: Średna temperatura dobowa (w 18 4 9 0 35 18 14 7 30 st. C) Welkość zamóweń (w ts. l) 50 93 119 60 160 5 35 105 10 71 Przedstawć grafczne badan zwązek. Zbudować model regresj. Jake są standardowe błęd oszacowana parametrów funkcj? Wznaczć współcznnk determnacj lnowej. Zadane 33. Na podstawe statstk krmnalnch w 50 stanach *S.A. oszacowano model regresj przedstawając zależność lczb zabójstw (na 1 mln. meszkańców, roczne) od ogranczeń w posadanu bron x (wrażonch w skal od 0 do 100% oznacza całkowt zakaz posadana bron przez obwatel): ˆ = 1, x + 650 Współcznnk determnacj wnos 0,9, błąd standardow oszacowana parametru regresj 0,3. Należ stwerdzć, cz ponższe stwerdzena są prawdzwe, uzasadnając odpowedź: ocena jakośc modelu, na podstawe dostępnch danch, jest zadawalająca, - jeżel ne stneją ogranczena w posadanu bron, to teoretczna lczba zabójstw na 1 mln. meszkańców wnos 651, - gdb warancja X bła wększa, to prz nezmenonch pozostałch podanch welkoścach statstka służąca do testowana stotnośc oszacowana błab nższa. z uwag na brak nformacj ne można stwerdzć cz wbór funkcj lnowej jest uzasadnon, - jeżel stneje całkowt zakaz posadana bron przez obwatel, to teoretczna lczba zabójstw na 1 mln. meszkańców wnos 530. - korelacja mędz x jest wsoka dodatna. x - 6 -
- z uwag na małą wartość parametru regresj, jego oszacowane jest nestotne. Zadane 34. Na podstawe 3 obserwacj oszacowano funkcję regresj lnowej. Na pozome 0,05 można odrzucć hpotezę o nestotnośc oszacowana parametru regresj. Wadomo, że S ( X ) = 8 S ( Y ) = 10 X = Dla = średn błąd oszacowana wartośc oczekwanej zmennej Y wnos 0,8. Jaka może bć mnmalna wartość oszacowana parametru regresj, jeżel jest ona dodatna? Zadane 35. Analza zwązku mędz opłatam za dojazd z centrum masta na lotnsko (Y w złotch) oraz czasem dojazdu (X w mnutach) dla 0 losowo wbranch portów lotnczch dostarczła m.n. następującch danch: średn czas dojazdu na lotnsko wnosł 30 mn., a średna opłata 60 zł; warancja czasu dojazdu bła równa 55,5 (mn), warancja opłat za dojazd 137,1 (zł) ; współcznnk korelacj lnowej wnosł +0,7; suma kwadratów składnków resztowch wnosła 1398,4 (zł). Określ znterpretuj parametr lnowej funkcj regresj opłat za dojazd na lotnsko względem odległośc lotnska od centrum masta; Oceń wpłw zmennch ne uwzględnonch w analze na różnce w welkośc opłat za dojazd na lotnsko; Wedząc dodatkowo, że standardow błąd ocen współcznnka regresj wnosł 0,6 oceń, cz współcznnk regresj opłat za dojazd względem odległośc do lotnska jest stotne dodatn. Przjmj pozom stotnośc α = 0,05. Zadane 36. Na podstawe analz danch losowej prób: X 1 3 4 5 6 Y 3 6 6 14 17 oszacowano m.n. funkcję regresj: ŷ = 3 x,5. Oblcz znterpretuj odchlene standardowe reszt oraz błąd standardow estmacj współcznnka regresj lnowej. Zwerfkuj hpotezę o stotnośc współcznnka regresj przjmując pozom stotnośc 0,05 oraz Σ (x x) = 17.5. Zadane 37. W wnku oszacowana poptu na herbatę 8 różnch producentów (Y w ts. opakowań) względem wdatków producenta na reklamę (X w ts. zł) ustalono m.n. co następuje: ze wzrostem welkośc nakładów na reklamę o 1 ts. popt na herbatę rósł średno o,1 ts. opakowań; wraz woln modelu regresj wnosł 7,5 ts. opakowań; współcznnk korelacj lnowej bł równ 0,75. -Zapsz postać model regresj poptu na herbatę względem wsokośc wdatków na reklamę; -Oceń, prz pozome stotnośc 0,05, cz zależność korelacjna mędz badanm zmennm jest stotna poztwna. -Określ, w jakm stopnu zmenność poptu na herbatę wnka z różnc wdatków na reklamę poszczególnch producentów. Zadane 38. Producent napojów chłodzącch zgromadzł dane o welkośc zamóweń w hurtown (Y ts. ltrów) temperaturze o godz. 18.00 (cecha X) dla przpadkowo wbranch 10 dn lpca. Szacując funkcję regresj względem x uzskał następujące nformacje: - suma kwadratów odchleń wartośc zmennej zależnej od jej średnej wnoszącej 86 bła równa 14 000; - suma kwadratów odchleń wartośc zmennej nezależnej od jej średnej równej 4 wnosła 38; - współcznnk regresj wnósł 6; - suma kwadratów reszt bła równa 17. a) Wznacz znterpretuj parametr strukturalne równana regresj. b) Oblcz znterpretuj odchlene standardowe składnka resztowego. c) Oceń stopeń dopasowana otrzmanej funkcj do danch emprcznch. d) Oblczć znterpretować standardow błąd współcznnka regresj. e) Cz współcznnk regresj jest stotne dodatn (przjmj α = 0,05). Zadane 39. W pewnm zakładze produkcjnm zbadano staż prac oraz wsokość zarobków 10 osób. Na podstawe ponższch wnków proszę: - 7 -
Oszacować parametr lnowego modelu regresj zarobków w zależnośc od stażu prac w tm zakładze oraz podać ch nterpretację. Cz badan model może bć narzędzem prognozowana? Jak wsoke są zarobk osob, której staż prac w tm zakładze wnos 30 lat? x =15,6 ; = 1850 ; s = 13, 74 ; s = 696, 8 ; r = 0, 985 ; x x Zadane 40. Zbadano 7 gospodarstw domowch ze względu na lczbę osób w rodzne (X) oraz przecętne mesęczne wdatk na zakup peczwa w zł (Y). Stwerdzono, co następuje: x = 3, 6 ; s = 0, 9; = 30 ; s = 7,5. Ponadto wadomo, że prz założenu lnowego modelu regresj; różnce w pozome wdatków w 81% wnkał z różnc welkośc rodzn. a) Oszacuj znterpretuj parametr strukturalne modelu, opsującego zależność przcznowo-skutkową, wedząc dodatkowo, że zależność mała charakter poztwn; b) Korzstając z wznaczonego równana regresj określ wdatk na peczwo rodzn 4-osobowch. Zadane 41. W badanu zależnośc pomędz maksmalną temperaturą w cągu dna (X) a loścą sprzedanch lodów ( w kg) frm Bajka w kolejnch dnach lpca 00 otrzmano następujące wnk: - średna temperatura wnosła 18 C z odchlenem standardowm 5 C; - średna sprzedaż lodów w cągu dna wnosła 5 ts. kg z odchlenem standardowm 1,5 ts. kg; - współcznnk korelacj lnowej wnósł 0,9; - suma kwadratów odchleń rzeczwstej teoretcznej (wnkającej z funkcj regresj) welkośc sprzedaż wnosła 91,15. a) Zapsz postać funkcj regresj lośc sprzedaż względem maksmalnej wsokośc temperatur. b) Oblcz znterpretuj odchlene standardowe składnka resztowego. Zadane 4. W pewnm zakładze produkcjnm postanowono sprawdzć, cz stneje zwązek mędz stażem prac (w latach prac) a wsokoścą otrzmanej nagrod rocznej (w tsącach złotch). W tm celu wlosowano 16 osób na podstawe uzskanch nformacj oszacowano następując model regresj lnowej wsokośc nagrod rocznej względem stażu prac: ˆ = 0,94x + 1, 96. Ponadto wadomo, że odchlene standardowe reszt wnosło 0,7 ts. zł, a odchlene standardowe stażu prac 1,97 roku. Znterpretuj współcznnk regresj. Sprawdź (na pozome stotnośc 0,05), cz staż prac wpłwa na wsokość otrzmanej prem rocznej. Zadane 43. W modelu regresj lnowej zadłużena (-ts. PLN) podmotów gospodarczch z ttułu kredtów (łączne z odsetkam) względem wartośc produkcj sprzedanej (x mln PLN) dla 80 podmotów z sektora produkcjnego otrzmano: cov(x) = -,88; x =5,5; S(x)=0,6; =183,0; S()=8,0 Podać wartość lczbową ŷ (x=9). Określć stopeń nedopasowana modelu. Czm może bć on spowodowan? Sprawdzć stotność współcznnka korelacj lnowej z prób 80 podmotów (α =0,01). Zadane 44. Pewen analtk bada współzależność zman cen dwóch walut. W oparcu o 30 obserwacj zbudował następując model regresj lnowej opsując zależność cen walut od cen walut x: ŷ = 5 x 00 R = 0,6 [1,467] [ 8] Przeprowadź ocenę jakośc tego modelu z punktu wdzena krterów możlwch do zastosowana prz podanch nformacjach. Przjąć pozom stotnośc 0,01 prz werfkacj stosownej hpotez. Ile wnos krtczn pozom stotnośc prz werfkacj hpotez o stotnośc współcznnka regresj? Prz jakm pozome nastąp zmana deczj? Zadane 45. W badanu zależnośc pomędz nakładam na reklamę ( x- ts. zł) a dochodam 1 bur podróż ( - ts.zł) otrzmano wektor reszt, uporządkowan wg rosnącch wartośc zmennej nezależnej: e =[0,1; 0,; -0,05; -0,1; 0,; -0,03; -0,; -0,1; 0,0; 0,01; 0,05; -0,1] Sprawdzć hpotezę o losowośc reszt (α=0,05). x - 8 -
Zadane 46. Na podstawe danch dotczącch dochodów 100 losowo wbranch frm ( x w mln zł) oraz wdatków tch frm na cele chartatwne ( w mln zł) uzskano następujące nformacje: ( ˆ = 96,66; ( ˆ ) = 47,34; x =40,1; = 340 cx = 3,5; sx = 3,57; ) Zapsać funkcję regresj lnowej wdatków na cele chartatwne względem dochodów frm, znterpretować jej parametr. Ocenć stopeń dopasowana modelu do danch emprcznch. Zadane 47. Funkcja trendu charakterzująca obrot (w ts. zł) jednej z pzzer w latach 1997-000 (dane kwartalne) bła następująca: ŷ t =1t +10 t=0,1,...,n-1 reszt et :,3,-1,0,0,-,-1,-1,1,1,,-1,-,-,-1,0,1 Znterpretować oszacowaną funkcję trendu Czm różnłab sę nterpretacja gdb t=1,,...n Zwerfkować hpotezę o stotnośc współcznnka funkcj trendu lnowego Ile wnos na podstawe modelu prognoza obrotów pzzer na 004 rok. Jak jest błąd tej prognoz? Cz sensowne błob prognozowane na podstawe tego modelu na rok 00? Zwerfkować założena dotczące losowośc odchleń wartośc emprcznch od teoretcznch oraz braku n autokorelacj składnka losowego modelu znając oblczoną wartość ( e t e t 1) = 40 t = 1 Zadane 48. Na podstawe danch rocznch dotczącch lczb meszkań w budowe w ts. (według stanu na konec okresu) oszacowano następujące równane trendu dla okresu 1994 003: ˆ t = 6,8t + 66,17 ; t=1,,9 ocen punktowe standardowch błędów szacunku dla współcznnka regresj wrazu wolnego wnosł odpowedno: 1, 6,88 zaś suma kwadratów reszt 68,8. Wznacz prognozę lczb meszkań w budowe w ts. na konec 005 wraz z jej standardowm błędem. Zadane 49. Wkorzstując dane z zadana poprzednego, dotczące lczb meszkań w budowe, dokonaj estmacj przedzałowej współcznnka trendu (współcznnk ufnośc 0,99). Na podstawe otrzmanch przedzałów ufnośc odpowedz, cz oszacowane współcznnka trendu jest stotne (prz α=0,01). Odpowedź uzasadnj. Zadane 50. Na podstawe danch dla lat 1999 003 o welkośc produkcj pewnego wrobu ( ts. szt.) otrzmano lnową funkcję trendu ŷ = - 10 t + 413,4; t = 1,...; warancja reszt wnosła 9,61. Znterpretować parametr strukturalne funkcj trendu Wznaczć przedzał ufnośc dla współcznnka trendu prz 1-α = 0,95. Ocenć na pozome stotnośc 0,05, cz trend produkcj jest stotn. Cz zmana pozomu stotnośc wpłne na podjętą deczję werfkacjną? Zadane 51. W wnku oszacowana parametrów modelu zman spożca rżu w ostatnch 1 latach (dla t = 0, 1,,..., n-1) otrzmano następujące nformacje: - welkość spożca rosła z roku na rok przecętne o 0, kg, - teoretczna welkość spożca w perwszm badanm roku wnosła 6 kg, - warancja składnka resztowego wnosła 1,1 kg, ( t t ) = 143 t = 5, 5. Oszacuj z dokładnoścą do błędu prognoz oczekwan pozom spożca w czwartm roku po zakończenu obserwacj. Zadane 5. Na podstawe lczb urodzeń (w ts.) w Polsce w latach 1990 004 oszacowano lnową funkcję trendu: ˆ = 15,3t + 551, 9 + e, t = 1,,...,n. Wedząc, że: t = 10, ( ˆ ) = 415, 3, ( ˆ ) = 65315, 8 t oraz ( t t ) = 80proszę: Oblczć znterpretować współcznnk determnacj lnowej. Podać przewdwaną lczbę urodzeń w Polsce na rok beżąc oraz standardow błąd tej prognoz. - 9 -
Zadane 53. Zbadano zależność wsokośc dochodów na osobę w gospodarstwe domow (w dukatach) a lczbą dzec pozostającch na utrzmanu. Uzskane na podstawe badana 16 gospodarstw wnk prezentuje ponższ wdruk komputerow: Regresson Analss - Lnear model: Y = a+bx Dependent varable: dochod/1 osobę w dukatach Independent Varable: lczba dzec Standard T Prob. Parameter Estmate Error Value Level Intercept 9.7368 15.677 1.9083.07783 Slope -0.976058 0.073004-13.5.00000 Analss of Varance Source Sum of Squares Df Mean Square F-Rato Prob. Level Model 146.640 1 146.640 18.5.00000 Resdual 109.8489 14 78.0606 Total (Corr.) 15319.489 15 Correlaton Coeffcent = -0.96367 R-squared = 9.87 percent Stnd. Error of Est. = 8.83519 Proszę zapsać oszacowane równane regresj lnowej, znterpretować jego parametr oraz zbadać, cz korelacja lnowa mędz wsokoścą dochodu na osobę a lczbą dzec w gospodarstwe domowm można uznać za statstczne stotną. Zadane 54. Na podstawe obserwacj stóp wzrostu PKB (zmenna Y) stóp podatku dochodowego (zmenna X) w 17 krajach oszacowano ponższ model regresj lnowej: Korzstając z tch nformacj należ: a)podać z jakm rzkem błędu I rodzaju można stwerdzć, że podatk stotne negatwne wpłwają na tempo wzrostu PKB b)ocenć stopeń dopasowana oszacowana modelu do danch emprcznch c)oszacować przedzałowo współcznnk regresj lnowej, przjmując 1-α =0,95-10
Zadane 55. Dla losowej prób 5 emertów w jednej z gmn Warszaw zebrano nformacje o wsokośc dochodów mesęcznch oraz wdatków na lek: a)zapsać oszacowan model regresj omówć jego parametr b)ocenć dopasowane modelu do danch na podstawe współcznnka R c)zwerfkować stotność współcznnka regresj lnowej dla populacj emertów w tej dzelnc (pozom stotnośc γ =0,05) d)oszacować przedzał ufnośc dla współcznnka regresj α prz współcznnku ufnośc 1- γ =0,95 e) Co można powedzeć o stotnośc wrazu wolnego funkcj regresj? f)wedząc, że przecętna wartość emertur wnosła 700 zł prz odchlenu standardowm 48 zł z g)dokładnoścą do standardowego błędu prognoz wznaczć oczekwan pozom wdatków emerta, któr dostawałb emerturę w wsokośc 800 zł. Jak błb błąd oszacowana przecętnej wartośc wdatków na lek emertów zarabającch 800 zł? h) Sprawdzć założena dotczące losowośc odchleń w modelu regresj - 11