. Statyka Statyka płynó ajuje się agadnieniai rónoagi i statecności płynó, nierucoyc ględe pryjętego układu odniesienia, a także siłai yieranyi pre płyny na ścianki biornikó lub ścianki ciał stałyc anuronyc płynie i poostającyc spocynku ględe niego. Statyka płynó dieli się na : ydrostatykę (ciece), aerostatykę (gay). p a Rónoaga ydrostatycna p A p A p a g Ciśnienie doolny punkcie nierucoej ciecy róne jest suie ciśnienia atosferycnego i ciśnienia słupa ciecy o gęstości i ysokości, anego ciśnienie ydrostatycny. Ziąek ten pokauje, że ciśnienie rośnie ra głębokością ora jest jednakoe dla punktó anuronyc na tej saej głębokości. Rónoaga ciecy nacyniac połąconyc Zasada nacyń połąconyc - eleenty jednorodnej ciecy ypełniającej sposób ciągły prestreń nacyń połąconyc, leżące na tej saej linii poioej podlegają jednakoeu ciśnieniu: p L p P Zasada ta najduje astosoanie pry poiare ciśnień. a prykład do biornika, który panuje nienane ciśnienie p x podłącono układ dóc połąconyc e sobą nacyń. Zgodnie poyżsą asadą eleenty ciecy anoetrycnej leżące na ty say poioie ley i pray raieniu nacyniu podlegają jednakoeu ciśnieniu. p L p P p L p x, p P p a g, stąd p x p a g 5
Poio odniesienia pry poiare ciśnienia ciśnienie p poio ciśnienia atosferycnego nadciśnie p podciśnie poio próżni ciśnienie absolutne ciśnienie absolutne Prao Pascala prao rónoiernego rocodenia się ciśnienia płynie W dóc doolnyc punktac A i B prestreni ypełnionej płyne panują ciśnienia p i p. Wartości potencjałó sił ynosą U i U. Ciśnienia te iąane są artościai potencjału ależnością: p A - p B p - p ( U p U p ) Jeżeli na tłok pryłożyy siłę P, to roażanyc punktac nastąpi pryrost ciśnienia, a ponieaż pry ty nie ulega ianie energia potencjalna, tn. artości potencjałó obu tyc punktac poostały te sae, ięc otryujey następujący iąek: p A p δ p p B p δ p Stąd: cyli: p δ p (p δ p ) (U p - U p ) δ p δ p, δ p δ p U p A B P r U p 6
Pryrost ciśnienia doolny punkcie jednorodnego płynu najdującego się stanie rónoagi potencjalny polu sił asoyc yołuje identycną ianę ciśnienia doolny punkcie tego płynu. Zasadę tę ykorystuje się podnośniku ydraulicny, układac aulcoyc pojadó i podobnyc urądeniac. apór ydrostatycny apore nayay siłę yieraną pre ciec na ściany nacyń (biornikó). apór ciecy na płaskie, poioe dno biornika jest róny ilocynoi ciśnienia ydrostatycnego i pola poiercni, pry cy ypadkoa siła tego naporu jest ocyiście pryłożona środku geoetrycny (środku ciężkości) poiercni F i skieroana pionoo dół. g F, gdie F V g V p a Paradoks Stevina dotycy nieależności siły naporu na dno nacynia od ilości ciecy aartej biorniku. g F g V Pre objętość V należy rouieć objętość poorną ciecy aartej nad dne określoną jako objętość słupa ciecy o polu podstay róny poiercni dna i ysokości rónej ysokości napełnienia biornika. Objętości poorne anacono na rysunku pre akreskoanie. 7
Dlatego też ielkość naporu yraić ożna jako ciężar poornej objętości ciecy aartej ponad dne. apór ciecy na poiercnie płaskie doolnie orientoane x y Wypadkoy napór na poiercnię płaską ora punkt jej pryłożenia. apór ydrostatycny na doolnie orientoaną poiercnie płaską jest ilocyne ciśnienia ydrostatycnego panującego środku ciężkości i pola ropatryanej poiercni. x - g c F sinα y g c F cosα g c F gdie: C jest odległością środka geoetrycnego (środka ciężkości SC) pola F od ierciadła ciecy, cyli głębokością anurenia środka ciężkości pola F. Dla poiercni płaskiej doolnie orientoanej ależność określająca siłę naporu daje ielkość siły ypadkoej jako suę eleentarnyc naporó, ale rysunku idać, że punkt pryłożenia tej siły leży na głębokości ięksej niż ynosi głębokość anurenia środka ciężkości: > c. Wypadkoą siłę naporu należy pryłożyć punkcie S any środkie naporu, który anurony jest na głębokości. ic C sin α, C gdie i C jest raienie beładności pola F ględe osi precodącej pre środek ciężkości. π Dla ścian pionoyc α : i J C y C, C C F gdie: Jy geoetrycny oent beładności ględe osi y, usytuoanej na poiercni lustra ciecy. ajcęściej ay podane geoetrycne oenty beładności ględe osi precodącej pre środek ciężkości (środek geoetrycny) J. Wócas ykorystując tierdenie Steinera: J y y C J y C 8 C F,
otryujey: J yc C. F C TABELA. Współrędne położenia środka ciężkości i oenty beładności ybranyc prekrojó Prekrój Położenie środka ciężkości Moent beładności J xc e b a a e. 77a b b e I b b e II e I 6b 6bb 6 b ( b b ) e I e II b 6 d πd e.5d 6 D π ( D d ) e.5( D d ) 6 e π 6 b.5b π e a ( a b a b ) 9
Poiercnie ekipotencjalne. Podstaoe rónanie różnickoe rónoagi płynu nierucoego (rónanie Eulera statyki) ożna apisać postaci jednego rónania ektoroego: r F grad p, lub trec rónań skalarnyc pryjęty układie spółrędnyc prostokątnyc: p X x p Y y p Z r r r r gdie: F X i Y j Z k - ektor jednostkoej siły asoej, - gęstość płynu, a p ciśnienie. Mnożąc kolejno rónania skalarne pre odpoiednie pryrosty dx, dy, d po kierunkac osi układu spółrędnyc i suując ic lee ora prae strony otryujey rónanie: p p p X dx Y dy Z d dx dy d x y Wyrażenie naiasie po praej stronie rónania jest różnicką upełną ciśnienia dp, tak ięc i lea strona rónania usi być różnicką upełną penej funkcji φ spełniającej arunki: φ φ φ X, Y, Z x y Funkcja φ nayana jest funkcją siły asoej a poyżse arunki nayane są arunkai potencjalności pola ektoroego. Po staieniu ic do ostatniego rónania otryujey arunek rónoagi płynu postaci: dφ dp. Dla płynó nieściśliyc, dla któryc const, rónanie to ożna scałkoać: p φ C. Wynika stąd, że ależność poiędy ciśnienie i funkcją siły asoej jest linioa, cyli jeżeli p const to rónież φ const. Wynika ięc stąd niosek, że poiercnie stałej artości ciśnienia (iobarycne) są jednoceśnie poiercniai stałego potencjału, cyli poiercniai ekipotencjalnyi. a poiercni iobarycnej a ięc i ekipotencjalnej różnicka ciśnienia dp, stąd arunku rónoagi płynu otryujey rónanie różnickoe poiercni ekipotencjalnej: X dx Y dy Z d PRZYKŁADOWE ZADAIA Zadanie. Określić nadciśnienie poietra panujące rurociągu R a poocą U-rurki, której najduje się oda. Różnica poioó ody U-rurce ynosi c. c kg/ p
g 9.8 /s adciśnienie poietra rure oblicay ykorystując asadę nacyń połąconyc. W obu raionac U-rurki na poioie dolnego enisku ody ciśnienia ynosą: p L p, p P p a g, p L p P p p a g Stąd nadciśnienie: p n p - p a g p n 9.8 98 Pa Zadanie. (po. bibl. [], ad...9, str. ) Określić podciśnienie i ciśnienie absolutne gau najdującego się rurociągu R, jeżeli różnica ysokości słupó rtęci anoetre ynosi 5 ; ysokość ciśnienia atosferycnego a 75 g. 5.5 p a, p, p p a 75.75 55 kg/ g 9.8 /s Ciśnienie atosferycne yrażone Pascalac ynosi: p g a a p a 55 9.8.75 9969.[ Pa] Ciśnienie absolutne ynosi: p P p g, p L p a p g p a p p a - g 9969. 55 9.8.5 97.9 Pa Podciśnienie rurociągu ynosi: p p p a p g p p 55 9.8.5 666. Pa Zadanie. (po. bibl. [7], ad..7, str. ) Manoetr rtęcioy podłącony do prestreni poietrnej ydroforu skauje różnicę poioó a 6. Jakie nadciśnienie p n skaże anoetr ebranoy jeżeli aktualny poio ody? a 6.6 55 kg/ g 9.8 /s p n
W prestreni poietrnej ydroforu podciśnienie ynosi: p p pa p g a 55 9.8.6 68. 8 Pa a głębokości pod poiercnią ody ystępuje ciśnienie ydrostatycne: p g 9.8 9 Pa Posukiane nadciśnienie ynosi: pn p p p 9 68.8 797. 9 Pa Zadanie. (po. bibl. [7], ad..8, str. ) Oblicyć różnice poioó, na jakic najdują się rónoade tłoki o poiercniac F, F, F obciążone siłai P, P, P. F, F, F, P, P, P Warunek róności ciśnień nacyniac ley i środkoy na poioie tłoka leego: P F P g, skąd F P g F P F Analogicny arunek dla nacynia środkoego i praego: P P g, skąd F F P g F P F Zadanie.5 (po. bibl. [7], ad..6, str. ) Poiędy biornikie odą i oleje (o ciężare łaściy γ o 88 - ) podłącony jest anoetr różnicoy, który kolejno są: oda, ciec o ciężare łaściy γ 57 -, poietre ora olej. Różnice poioó ynosą:.,.,.. Oblicyć różnicę ciśnień iędy poioai i 5 biornikac. γ 98 / p - p 5 γ o 88 / γ 57 /... Startując punktu biorniku odą posuay się dłuż rurki, oblicając ciśnienia na poioac granicnyc,, ora 5. Jeżeli kolejny poio leży niżej (yżej) popredniego,
ciśnienie ydrostatycne dodajey (odejujey). Poijay ciśnienie ydrostatycne słupa poietrnego poiędy poioai i. W ten sposób otryay rónanie: ( ) o 5 γ γ γ p p poio i 5 5 Stąd różnica ciśnień: p p γ ( γ γ 5 ) o [ 5.7 (..) 9.8. 8.8.] Pa Zadanie.6 (po. bibl. [7], ad.., str. ) Manoetr rtęcioy podłącony do kondensatora turbiny ykaał różnicę poioó 6. Rónoceśnie baroetr ykaał a 755 g. Oblicyć podciśnienie ora ciśnienie beględne kondensatore. Pryjąć gęstość rtęci 55 kg/. 6 p p, p a 755 g Ciśnienie atosferycne yraża ależność: p g a p a 55 9.8.755 58.7 Pa kpa Z asady nacyń połąconyc dla anoetru rtęcioego: p g p a Stąd ciśnienie beględne (absolutne) kondensatore: p pa g p 58.7 5 9.8.6 58.7 79755. 6.Pa kpa Podciśnienie panujące skraplacu yraża ależność: p p pa p 8kPa Zadanie.7 (po. bibl. [7], ad..6, str. ) Manoetr kstałcie U-rurki ypełniony jest odą ora ciecą o nienanej gęstości. Wynacyć, jeżeli c, 5c, 5c. c 5 c 5 c. Precinay U-rurkę płascyną na ysokości i apisujey rónania dla praej i leej strony U-rurki. Ciśnienie panujące po stronie leej p L usi byś identycne jak po stronie praej p P : a Stąd: p L p L p P p g ( ) p p g ( ) a p a P ( ) p g ( ) g a a
g g ( ) ( ) (..5).5.5 ( ) kg 75 Zadanie.8 (po. bibl. [7], ad..8, str. 5) Manoetr różnicoy ielokrotny tory układ n nacyń połąconyc seregoo i ypełnionyc jednakoą ciecą o ciężare łaściy γ. Wyproadić ór na nadciśnienie biorniku gae, ierone a poocą anoetru. Poinąć pły ciśnienia ydrostatycnego gau poiędy słupkai ciecy anoetrycnej. γ,... n p n Ciśnienie ydrostatycne ynacone piersej U-rurce p γ Ze ględu na to że kolejnyc U-rurkac ay tą saą ciec i różne różnice poioó ora poijay ciśnienie ydrostatycne gau prestreniac poiędy słupkai ciecy anoetrycnej to ciśnienie ydrostatycne skayane pre systkie U-rurki predstaia ależność n p n γ i W scególny prypadku gdy e systkic n U-rurkac ystępuje jednakoa różnica poioó ciecy, ócas: n γ p n i Zadanie.9 (po. bibl. [8], ad., str. 5) Seregoy anoetr rtęcioy jest ypełniony odą jako ciecą pośrednicącą. Jaka jest ależność ieronego ciśnienia p biorniku od skaania, jeżeli n onaca licbę U-rurek anoetru.,,, n p Żeby ustalić taką ależność, adanie ostanie roiąane dla n U-rurek. W najprostsy prypadku układ poioó ciecy będie taki sa jak na rysunku. Zgodnie definicją ciśnienia ydrostatycnego ożna napisać: p pa g p p g gdyż ciśnienie p jest niejse od ciśnienia p o ielkość ydrostatycnego słupa ody o ysokości
p p p g p g p p g Po yrugoaniu układu rónań ciśnień p, p, p, i p (dla n ) otryuje się: p pa g ( ), ate ogólnie dla n jest: n p pa n g n Jak idać, astosoanie anoetru seregoego poala na poiar naet dużyc ciśnień be nadiernego ięksania ysokości anoetru. Gdy nie a anoetre ciecy pośrednicącej, ócas stosoanie anoetru seregoego nie prynosi adniej koryści, gdyż po podstaieniu otryuje się: p pa g W skrajny prypadku bardo lekkiej ciecy pośrednicącej, ynik byłby następujący p pa n g Zadanie. (po. bibl. [7], ad..9, str. 5) Try nieiesające się ciece o gęstościac 8 kg/, kg/, 6 kg/, nalane do nacynia ajują poioy określone na rysunku ( etrac od poiou dna). Oblicyć ciśnienie ydrostatycne na poioie dna ora niesienie,, poioó rurkac pieoetrycnyc. 8 kg/ p,,, kg/ 6 kg/ Ciśnienie ydrostatycne na poioie dna nacynia ynosi: (. 5.) g ( 5..) (. ) p g g 8 p 8 9.8.7 9.8 69.8. 89.6 9 767. 889 Pa Poio ynosi tyle sao, co poio lustra ciecy biorniku, cyli 8.. Poio drugiej rurce ależny jest od ciśnienia ydrostatycnego yieranego pre ciec o gęstości. Ciśnienie ydrostatycne na poioie 5. ynosi: ( 8. 5.) 8 9.8. p 7 89.6 Pa 5. g Słup ciecy o gęstości pooduje podniesienie się poiou ciecy o gęstości drugiej rurce: p 5. g x p5. 89.6 x. 6 g 9.8 5
x 5..6 5. 7. 56 Poio treciej rurce ależny jest od ciśnienia ydrostatycnego yieranego pre ciece o gęstości i. Ciśnienie ydrostatycne na poioie. ynosi: p (. 5.) ( 5..). g 8 g p 8 9.8.7 9.8 89.6 9 569. 6 Pa. Słupy ciecy o gęstościac i poodują podniesienie się poiou ciecy o gęstości treciej rurce: p g x. p. 569.6 x. 5 g 6 9.8 x..5. 5. 65 Zadanie. (po. bibl. [7], ad.., str. 5) Oblicyć różnicę ciśnień prekrojac i dóc odociągó predstaionyc na rysunku jeżeli anoetry ykaują różnicę poioó, ale prypadku (a) ciecą anoetrycną jest rtęć, a prypadku (b) oda, nad którą najduje się poietre. Pryjąć: r 55 kg/, kg/. p r 55 kg/ kg/ Prypadek a) Ciśnienie ley raieniu U-rurki: pl p g Ciśnienie pray raieniu U-rurki: p p g ( ) p p P r g p L p P p g g g g r Prypadek b) p g ( ) 9.8. (55 ).5 [ Pa] r p p p g p 9.8. 98 Pa 6
Zadanie. (po. bibl. [7], ad.., str. 6) Aby ieryć ianę ciśnienia kanale entylacyjny użyto ikroanoetru rurką nacyloną pod kąte napełnionego spirytuse ( 8 kg/ ); jest to t. ikroanoetr Recknagla. Jaką długość l usi ieć skala, aby ożna ieryć różnicę ciśnień Pa? 8 kg/ l p Pa Ciśnienie ydrostatycne słupa ciecy yraża ależność: p g Posukujey jaka poinna być ysokość słupa ciecy anoetrycnej aby ieryć różnicę ciśnień p Pa p g.7 8 9.8 Znając niebędną ysokość ciecy anoetrycnej ożna na podstaie najoości kąta pocylenia rurki (prełożenia) określić niebędną yaganą długość skali l:.7 l.58 5.8 sin( ).5 Zadanie. (po. bibl. [7], ad.., str. 6) W celu ierenia ysokości poiou nafty ( 89 kg/ ) biorniku otarty staia się do niego pionoą otartą rurę, której dolny koniec praie dotyka dna i następnie tłocy się nią poietre bardo ałą prędkością (dięki teu ożna aniedbać straty prepłyu). Oblicyć ysokość, jeżeli podłącony do rury anoetr rtęcioy skauje różnicę 89. Pryjąć 55 kg/. 89 kg/ 89 55 kg/ Ze ględu na bardo ałą prędkość prepłyu poietra akłada się że ciśnienie poietra rure pry dnie biornika róne jest ciśnieniu jakie panuje U-rurce na poioie lustra rtęci. Ciśnienie to ynosi: p pa g Identycne ciśnienie panuje na ylocie rury, co poala na ynacenie ysokości słupa nafty. p pa g p g p g a r 7 a
r 55.89.55 89 Zadanie. (po. bibl. [7], ad.., str. 6) Scelnie dopasoany tłok ayka od góry pionoe nacynie alcoe o średnicy D. ypełnione odą. a poioie. poniżej tłoka najduje się ylot rurki, której panuje ciśnienie p a.5 MPa. Jakie ciśnienie p panuje bepośrednio pod tłokie, jeżeli siła tarcia tłoka o ściany nacynia stanoi % siły ciśnienioej. D. p. p a.5 MPa a artość ciśnienia panującego pod tłokie nie płya średnica tłoka, ora siła tarcia tłoka o ściany nacynia. Ciśnienie pod tłokie ależy jedynie od ciśnienia panującego na ylocie rurki p a i różnicy poioó poiędy osią rurki i dne tłoka. Ciśnienie ydrostatycne słupa ody o ysokości yraża ależność: p g p 9.8. 5 Pa. MPa Ciśnienie pod tłokie róne jest różnicy ciśnienia p a rurce i ciśnienia ydrostatycnego p pa p p.5..77 MPa Zadanie.5 Wynacyć położenie środka ciężkości c prostokątnej ściany o yiarac l, artości siły naporu ora punkt pryłożenia siły naporu cyli głębokość anurenia środka naporu. l, c,, Siła naporu jaką oddiałuje płyn na dno lub ścianę róny jest ilocynoi ciśnienia ydrostatycnego p g c panującego środku ciężkości SC dla dna lub ściany i pola poiercni dna lub ściany F: g c F Roiąanie dla prostokątnej ściany pionoej Ciśnienie panujące środku eleentarnego pola poiercni df: p g Eleentarne pole poiercni: df b d Eleentarny napór : d g df g b d 8
Wypadkoa siła naporu: Głębokość anurenia środka ciężkości - c : c df df g b d g b bd b b bd df oent statycny figury płaskiej o poiercni df ględe ierciadła ciecy Głębokość anurenia środka naporu - : df df b d b d b b df oent beładności figury płaskiej o poiercni df ględe poiou ierciadła ciecy Głębokość anurenia środka naporu - ożna ylicyć e oru: J xc c, c F gdie J - centralny oent beładności figury o poiercni F. Centralny oent xc b beładności dla prostokąta ynosi - J xc b b b 6 b Zadanie.6 Wynacyć artość siły naporu ydrostatycnego na pionoą ścianę o yiarac b jeżeli górna kraędź ściany leży płascyźnie ierciadła ciecy. Oblicyć artość oentu siły yażającej., b, M Siła naporu ynosi: gdie: g c F g b 9
c F b Położenie środka naporu: J xc c c S b 6 b Moent yażający ynosi: M 6 ( ) g b g b Zadanie.7 Kaienna ściana o ysokości i gęstości k rodiela die cęści basenu ypełnione odą o poioac i. Jaka usi być grubość ściany b aby ściana nie uległa róceniu., k,, b Sua oentó ględe punktu A: M A G b Siła naporu od yżsego poiou ody: ( ) ( ) g c F g L g L, gdie: c F L Analogicne ynacay siłę naporu dla niżsego poiou ody: Ciężar ściany: g L G k g b L Wynacanie położenia środkó naporó:
L L F c Jxc c Podstaiając yrażenia na artości naporó i spółrędne pryłożenia sił do rónania oentó ględe punktu A ożna ynacyć serokość ściany b: A M... b L g b L b g L g 6 6 b Po prekstałceniac otryujey: 6 6 b Zadanie.8 Oblicyć siłę naporu i spółrędne środka naporu ciecy o gęstości na poiercnię koła o średnicy d uiesconego pionoej ścianie biornika. Środek ciężkości anurony jest na głębokości., d,, Siła naporu ynosi F g c gdie c F πd po podstaieniu otryujey: d g π Położenie środka naporu
c J xc F πd d d 6 π πd 6πd 6 Zadanie.9 (po. bibl. [], ad..., str. 6) Wynacyć parcie ciecy na półkulistą kopułę predstaioną na rysunku. c r, Ze ględu na syetrię kopuły ystępuje tylko parcie pionoe skieroane do góry. Siłę naporu ynacay ciężaru poornej objętości ciecy aartej iędy poiercnią kopuły i płascyną poioą precodącą pre poiercnię ierciadła ciecy: g V Poorna objętość ciecy aartej nad kopułą ynosi: V πr πr Siła naporu ynosi: g πr πr g πr πr g πr r Zadanie. (po. bibl. [8], ad. 6, str. 78) Znaleźć spółrędne środka parcia dla doolnego ielokąta forenego o boku a, jeżeli jest nany proień koła pisanego r lub opisanego R ora głębokość anurenia środka ciężkości s. a, r, R, c Głębokość anurenia środka parcia ynosi: J J x x c c, c F c F gdie: J x J xc c F - oent beładności poiercni ielokąta ględe osi x J - oent beładności ględe osi x xc c Moent beładności ględe osi x c a następującą postać: F J xc ( a r ) 8
( 6 R a ) F J xc 8 Podstaiając otryuje się: F ( a r ) 8 c s ( a r ) F c 8 c F ( 6 R a ) c s ( 6 R a ) F c c W prypadku scególny, gdy a, otryuje się obu poyżsyc oró takie sao yrażenie: r c R c c gdyż tedy ielokąt prekstałca się koło, dla którego r R. Gdy c r ócas otryuje się: 5 r c Zadanie. (po. bibl. [8], ad. 66, str. 88) W rurociągu o średnicy d najduje się prepustnica obrotoa (oś obrotu ), która odcina prepły ody. Oblicyć oent M potrebny do otarcia prepustnicy, poijając opory tarcia ecanicnego. d M Prepustnica predstaia sobą płaską prostopadłą płytę kołoą, na którą diała środku parcia (punkt S) parcie. Moent obrotoy ynosi: M ( ) c Odległość, cyli odległość środka parcia od ierciadła ody, ynosi: gdie: J x c M x d J xc π - oent beładności prepustnicy (koła) ględe osi 6 M x F c - oent statycny koła ględe osi x, precodącej pre najyżej położony punkt płascyny styku prepustnicy odą. J M xc x Uględniając, że parcie ynosi: g F g i podstaiając odpoiednie artości otryuje się: c M x
M J M x ( ) xc c g M x c c g J xc Zadanie. (po. bibl. [7], ad..7, str. 8) Lekki tłok o średnicy D, ysokości, ykonany blacy, oże preiescać się pionoo (be tarcia) rure o średnicy d, która stanoi jedno raię nacynia połąconego. Po napełnieniu tłoka i rur ciecą, jego rónoaga ustaliła się pry penej różnicy poioó. Oblicyć, pry jaki stosunku / ustali się rónoaga, jeżeli D/d 6, a ciężar tłoka ożna poinąć. D,, d, / D/d 6 Ropatrujey arunek rónoagi tłoka. Jeżeli poinąć jego ciężar łasny ora tarcie proadnicy, to rónoaga tłoka acodi pod diałanie dóc naporó: π D a denko górne g γ (rócony górę) π ( D d ) na denko dolne d γ ( ) ( dół) Warunek rónoagi pryjuje postać: g D d ( ) ( D d ) Dieliy go obustronnie pre d i podstaiay ( D d ) 6 D d. Otryujey: D d, 6 5 5 Zadanie. (po. bibl. [7], ad..8, str. 8) Soreń A składa się dóc odcinkó alcoyc o średnicac d i D, połąconyc odcinkie stożkoy. Pray koniec sornia jest styno utierdony. Z drugiej strony na soreń nasunięto nacynie B, które napełniono doa ciecai: do poiou osi sornia rtęcią, poyżej odą. Jaki arunek usi być spełniony aby nacynie poostaało rónoade?
D, d,, γ, γ r arunek rónoagi a leej ściance nacynia ( niejsy otore) ilżona jest ięksa cęść poiercni niż na ściance praej, gdie otór jest ięksy. apory na te ściany nie będą ięc jednakoe i postanie pena ypadkoa siła poioa, usiłująca presunąć nacynie po sorniu leo. Jej oduł róna się naporoi na pierścień kołoy o średnicac D i d. Dla rónoagi nacynia treba do niego pryłożyć siłę preciną (poijay tu tarcie ścian nacynia o soreń). Poiercnia ilżona jest odą i rtęcią, ięc napór na nią jest suą naporó na górną połoę, ilżoną odą ( g ) ora dolną połoę, ilżoną rtęcią ( d ). Siła pryłożona do nacynia ynosi: g d () Każda połoa pierścienia a pole: ( D d ) F π, 8 a jej środek ciężkości SC oddalony jest od płascyny granicnej o: D d π D d apór ody na górną połoę pierścienia: g γ ( )F apór na dolną połoę ynika ciśnienia ydrostatycnego całego słupa ody (o ysokości ) ora słupa rtęci (o ysokości ), cyli: d ( γ γ r )F Podstaiając poyżse do oru (), otryay: γ [ π ( D d ) ( D d )] [ πγ ( D d ) γ r ( D d )] Zadanie. (po. bibl. [8], ad. 77, str. ) Znaleźć parcie ody na poiercnię akryioną postaci trec cartyc bocnej poiercni alca o proieniu r i długości torącej l 6. Zbiornik jest napełniony do ysokości. r l 6 Składoa poioa parcia x róna się parciu na poiercnię F x, gdie F x jest rute górnej jednej cartej poiercni alca na płascynę pionoą, boie składoe poioe na dolne poiercnie alca nosą się. A ięc: r x g c Fx g r l x 9.8 6 6 Składoa pionoa parcia róna się ciężaroi słupa ody o prekroju ABCDFGA i długości l. Ten słup ody jest różnicą słupó o prekroju ABCDEA i DEGF. Różnica ta ynika stąd, że parcie na dolną poiercnię o łuku BCD jest skieroane do dołu, a na górną poiercnię o łuku DF do góry. A ięc: 5
g VABCDFGA g π r r l 9.8 π 6 7 Parcie ypadkoe ynosi: x 6 7 6 Parcie usi ocyiście precodić pre oś alca (punkt O). Zadanie.5 (po. bibl. [7], ad.., str. 9) W pocyły dnie basenu najduje się prostokątny otór aykany klapą AB, osadony obrotoo. W jaki iejscu należy uieścić poioą oś obrotu klapy, aby otieranie jej yagało użycia jak najniejsego oentu obrotoego? Dane są długości odcinkó a i b. a, b AO/OB Oś obrotu klapy poinna precodić pre środek naporu, bo tedy oent naporu ględe osi róna się eru, a oent obrotoy potrebny do otarcia klapy ynika tylko tarcia łożyskac. Uględniając ór (odległość środka naporu od lustra ody): y J x F yc i y xc c yc docodiy do niosku; że oś obrotu treba uieścić poniżej środka ciężkości o ixc y c (ierąc płascyźnie klapy). Oblicenia ykonay dla ycinka klapy o długości jednostkoej kierunku osi obrotu. Wobec tego roażana figura jest prostokąte o bokac a. Ponieaż: a a a i xc y c b preto b a Zgodnie poyżsyi uagai oś obrotu poinna dielić ysokość klapy stosunku: a A B a Podstaiając i prekstałcając otryujey: A a b B a b 6
Zadanie.6 (po. bibl. [], ad..., str. 6) Zbiornik ypełniony ciecą porusa się ruce prostolinioy e stały pryspiesenie po poioej płascyźnie. Wynacyć kstałt poiercni sobodnej ciecy biorniku ora określić rokład ciśnień. a, g, α, p a doolną cąstkę ciecy biorniku diałają siły asoe: jednostkoa siła ciężkości g i jednostkoa siłą beładności - a. Ic składoe pryjęty układie spółrędnyc są: X a, Y, Z g Zate rónanie różnickoe poiercni ekipotencjalnej a postać: a dx g d Po scałkoaniu otryay: a x g C, a iec układe poiercni ekipotencjalnyc jest układ płascyn torącyc osią x kąt α taki, że: d a tg α dx g Znak inus ynika tutaj orientacji pryjętego układu spółrędnyc. Jedną poiercni ekipotencjalnyc jest poiercnia sobodna będąca, jak idać obliceń, płascyną nacyloną do poiou pod kąte α. Rokład ciśnień określa roiąanie rónania: ate: ( a dx g d) dp, [ a x g ( ) ] p pa Tutaj stałą całkoania ynacono arunku p p a dla x,, tj. dla punktu poiercni sobodnej leżącego na osi. 7
ZADAIA DO SAMODZIELEGO ROZWIĄZAIA Zadanie.7 (po. bibl. [6], ad..., str. 6) Oblicyć różnicę ysokości ciecy, jaka ustaliła się anoetre U-rurkoy, jeżeli poscególnyc raionac diałają ciśnienia p i p. Odpoiedź: p p g Zadanie.8 (po. bibl. [6], ad..., str. 6) Pre preód prostoosioy, nacylony do poiou odniesienia O-O, prepłya oda. Do poiaru różnicy ciśnień p użyto anoetru rtęcioego. Oblicyć artość p p p prypadku, gdy różnica ysokości poiędy otorai pieoetrycnyi ynosi, a ysokość słupa rtęci anoetre. Pryjąć kg/, 5 kg/. Odpoiedź: p. MPa Zadanie.9 (po. bibl. [6], ad...5, str. 7) Oblicyć różnicę ciśnień ( ilietrac słupa ody) poiędy doa prekrojai rurociągu, pre który płynie oda o gęstości kg/. Do otoró pieoetrycnyc rurociągu podłącono anoetr różnicoy ypełniony odą i oleje, którego gęstość 86 kg/. Różnica poioó poiędy poiercniai rodiału ciecy 6. Odpoiedź: -. O Zadanie. (po. bibl. [6], ad...6, str. 8) Da preody, któryc jedny płynie olej o gęstości 85 kg/ a drugi oda, są presunięte ględe siebie o. Oblicyć różnicę ciśnień panującyc rurociągac, jeśli podłącony do nic anoetr rtęcioy skauje różnicę poioó.5. Odległość osi dolnego rurociągu od niżej położonej płascyny rodiału ciecy ynosi.8. Odpoiedź: p 77.5 kpa 8
Zadanie. (po. bibl. [6], ad..., str. ) Try tłoki o poiercniac: F.6, F.8 i F., obciążone odpoiednio siłai: P k, P k ora P k, diałają na odę o gęstości kg/. Określić, dla jakic artości i układ tłokó poostanie stanie rónoagi? Odpoiedź:.85,.5 Zadanie. (po. bibl. [8], ad. 7, str. 5) Jaką siłę P ożna yołać ręcnej prasie ydraulicnej pry poocy siły P 5, jeżeli a 6, b 5, d, D 8? Poinąć ciężary tłokó i siły tarcia. Odpoiedź: P 6 Zadanie. (po. bibl. [], ad..., str. ) W ręcnej popie do tłocenia ciecy najdują się da tłoki o średnicac odpoiednio D i d połącone dźignią ABC i spocyające na poiercni ciecy ypełniającej połącone nacynia cylindrycne. Oblicyć artość siły P jaką należy pryłożyć do końca dźigni, by aistniała rónoaga, jeżeli ciężar tłoka o średnicy D róna się G. G a d Odpoiedź: P b D d D ( ) a Zadanie. (po. bibl. [6], ad...8, str. 9) a podstaie skaań anoetró ciecoyc, podłąconyc seregoo do biornika ypełnionego oleje napędoy, określić nadciśnienie p p p a dla danyc: 86 kg/, kg/, 6 kg/, 5,,.5,, 5, 6, 7.5, g 9.8 /s. Odpoiedź: p p p a 7 kpa Zadanie.5 (po. bibl. [6], ad...5, str. 6) Wynacyć napór ydrostatycny ora określić spółrędne środka naporu S dla ściany pionoej o kstałcie i yiarac jak na rysunku: a) b) c) 9
Odpoiedź: a) b, γ ; b) a a, γ ; c) D d 6 7, π γ Zadanie.6 (po. bibl. [6], ad...6, str. 6) a jaką głębokość należy anuryć płaską ścianę kstałcie trójkąta rónoraiennego o podstaie a i ysokości 6, aby środek naporu najdoał się odległości b od ierciadła ciecy? Odpoiedź: 7.795 Zadanie.7 (po. bibl. [8], ad., str. 7) Znaleźć siły P i P prenosone pre śruby kołniera ięksego i niejsego biorniku cylindrycny ypełniony ciecą o gęstości, jeżeli na ciec diała dodatkoo tłok o średnicy d obciążony siłą P. Średnice i ysokości ynosą odpoiednio d, d i,. Odpoiedź: g d g d P d P π π π, ( ) g d P d P π π. Zadanie.8 (po. bibl. [6], ad...8, str. 9) Zbiornik odny aknięto klapą obrotoą kstałcie cartej cęści alca o proieniu R i długości L (ieronej prostopadle do płascyny rysunku). Wynacyć ielkość naporu ydrostatycnego yieranego na klapę, dla dóc prypadkó predstaionyc na rysunkac. Pryjąć ciężar łaściy ody róny γ, a ysokość poiou ciecy biorniku. Odpoiedź: a) R R L R π γ, b) R R R L R π γ a) b)
Zadanie.9 (po. bibl. [6], ad...7, str. 7) acynie półkoliste o średnicy D napełniono całkoicie ciecą i prykryto płytą sklaną. acynie odrócono i położono na płaskiej poioej poiercni. ależy ynacyć ciężar Q nacynia, jaki oże apobiec podniesieniu go pre parcie aartej ni ciecy. πd Odpoiedź: Q g Zadanie. (po. bibl. [8], ad. 7, str. 96) Poiercnia bocna blasanego stożka o średnicy podsta d i d, ysokości i ciężare G jest dołe uscelniona i prytierdona śrubai do podłoża. Tak utorony biornik jest napełniony całkoicie ciecą o gęstości. Kiedy śruby acną prenosić siły rociągające od parcia ciecy i jaka jest artość tyc sił? π Odpoiedź: P roc g ( d d d d ) G Zadanie. (po. bibl. [6], ad..., str. 8) W dnie biornika ykonano otór o średnicy d, aykany aore kstałcie stożka o średnicy D d i ysokości. Oblicyć siłę P potrebną do otarcia aoru jeżeli biornik ypełniono do ysokości ciecą o gęstości. Gęstość ateriału którego ykonano stożek pryjąć róną. Odpoiedź: P π D g[ ( 6 7) 8 ] 96 Zadanie. (po. bibl. [], ad..., str. 7) Stożkoy aór preleoy o ysokości, średnicy podstay D i ciężare G, ający półkuliste ybranie o średnicy d, ayka prepły ody iędy koorai biornika. Wynacyć ysokość napełnienia leej cęści biornika, dla której nastąpi otarcie aoru. Odpoiedź: G D π d g d d Zadanie. (po. bibl. [7], ad.., str. 9) Oblicyć napór na dno alcoego biornika o proieniu podstay r, stojącego pod kąte α do poiou. Oblicyć głębokość anurenia środka naporu. Gdy biornik stoi pionoo, poio ciecy ynosi. Odpoiedź: γ π r r cosα, α cosα tg