Przykłd Okrślić punky równowgi podngo ukłdu ZDNI Ukłdy niliniow u f(,5 y Ry. Część niliniow j okrślon z poocą funkcji: f ( Zkłdy, ż wyuzni j zrow: u. Punky równowgi odpowidją yucji, gdy pochodn części liniowj ą zrow, więc gdy:. Wówcz przybir poć, jk n Ry.. u f( y Ry. Z: Punky równowgi odpowidją z nępujący wrościo błędu: Nępni dokonujy linryzcji ukłdu w pozczgólnych punkch równowgi. Linryzcj polg n ząpiniu funkcji z poocą jj pochodnj w dny punkci równowgi: df d df d df d ( ( ( 9 9
* df * d,5 r Ry. Trnincj W ( ukłdu przy linryzcji w pozczgólnych punkch wynoi: punk: : ( W ( - ukłd owry,5 ( W ( - ukłd zknięy,5 punk: : 9( W ( - ukłd owry,5 9( W ( - ukłd zknięy 8,5 8 punk: : 9( W ( - ukłd owry,5 9( W ( - ukłd zknięy 8,5 8 Widć, ż ylko dl punku równni chrkryyczn ukłdu zknięgo pirwiki z ujną częścią rzczywią (ukłd bilny:,5,75 j,75 j,75,75 Dl punków i równni chrkryyczn: 8,5 8 8,5 8,5 9,5 8,5 8,5,85 jdn pirwik o ujnj części rzczywij, więc ukłd j nibilny. - -
Przykłd. Okrślić punky równowgi podngo ukłdu i zbdć ich bilność. - ( Ry.. Uwg: przyjąć, ż w punkci równowgi. Mod funkcji opiującj linryzcj hroniczn f( W ( Ry. Przyjuj ię złożni, ż: in( M M in( ϕ M in( ϕ śli chrkryyk j yryczn o: M. Gdy poinąć wyżz hroniczn (linryzcj hroniczn, o orzyy: M in( ϕ M in( coϕ M co( inϕ in( C co(, co ożn zpić w nępującj poci: {( jc ( co( jin( } I ( jc I gdzi:... j { j } I{ M }, M jc rprznuj zpoloną pliudę (zpolon wzocnini lnu niliniowgo związną z podwową hroniczną ygnłu wyjściowgo. Wpółczynniki j pliudy zpolonj odpowidją wpółczynniko zrgu Fourir ojący przy pirwzj hronicznj rozkłdu: π f ( in( d( f ( in( in( d( π π, π C f ( co( d( f ( in( co( d( π π. π π Widć ąd, ż dl niprzyj funkcji f(, wpółczynnik C j różny od zr ylko w przypdku funkcji z hirzą (gdy funkcj j wiloznczn. W przciwny przypdku funkcj M wrość rzczywią. - -
Funkcję opiując dfiniuj ię jko: M E j C (, jc(, gdzi wpółczynniki, C zlżą od pliudy orz pulcji wyuzni. Zlinryzowny hroniczni ch blokowy poć jk n ry. 5. E M W ( Y Ry. 5 Dl pulcji ygnł wyjściowy j okrślony przz nępującą pliudę zpoloną (w zpii yboliczny: Y ( j EW ( j, z: W ( j W ( j W ( j W ( j W ( j Gdyby, o y byłby liniowy. Wówcz kryriu lwj rony okrśl bilność (i dynikę w rlcji chrkryyki pliudowo fzowj W ( j do punku [-, j]. W ( j W ( j W ( j IW - RW Ry. 6 W ukłdzi niliniowy rolę punku [-, j] przjuj odwroność funkcji opiującj - -
IW (,,, - rośni W - rośni RW Ry. 7 Punky przcięci chrkryyki W ( j z chrkryyką ( wyznczją cykl grniczn. Cykl opiują częoliwość (z chrkryyki W ( j, orz pliud (z chrkryyki ( śli zwiękzni powoduj przunięci punku n chrkryyc ( w prwo od chrkryyki W ( j, o y do czynini z cykl nibilny. śli w lwo o cykl j bilny. Tk więc cykl [, ] j bilny, zś cykl [, ] orz [, ] ą nibiln. Możliw ą rzy chrkryyczn przypdki. ukłd nibilny ni cykli grnicznych IW RW Ry. 8 b ukłd bilny ni cykli grnicznych - 5 -
IW RW Ry. 9 c ukłd z cykli grnicznyi, bilny wwnąrz cyklu nibilngo IW - rośni RW Przykłd Ry. Dl podngo ukłdu zbdć inini bilngo punku równowgi (lub cyklu grniczngo. k j częoliwość ukłdu w y punkci? f( W ( Ry. f ( W ( ( śli: - 6 -
- 7 - in( { } j j C C f I co( in( in( in( in( ( in in( ( j in in in d π π π π co in co in π π d C, gdzi:. j C M Wyliczni pliudy,5, IW RW - rośni - rośni ( Ry. Inij z cykl grniczny o pliudzi orz częoliwości. o cykl nibilny, więc dl pliudy < ukłd będzi bilny. Przykłd W podny ukłdzi niliniowość chrkr funkcji przkźnikowj bz hirzy (Ry.. Okrślić bilny cykl grniczny i częoliwość ukłdu w y cyklu.
f( W ( Ry. - Ry. Funkcj opiując dl go lnu poć: ; w zdniu przyjąć,5. π Trnincj części liniowj: W ( ( Przykłd 5 Rozprzć ukłd z Przykłdu, w kóry ln niliniowy j rprznowny z poocą rzczywij chrkryyki przkźnikowj (z hirzą, jk n Ry. 5. - - Ry. 5 Funkcj opiując dl go lnu j nępując: j π Przyjąć:,5,,. Przprowdzić nlizę dl dwóch różnych rnincji: - 8 -
W ( orz b W (. ( 5 Przykłd 6 Okrślić wrunki bilności podngo ukłdu. Eln niliniowy chrkryykę yczną jk n Ry. 7. f( W ( Ry. 6 W ( ( - - Funkcj opiując : Ry. 7 π Przbig funkcji opiującj: π Ry. 8 Nich: ;, 6,5 π π - 9 -
Wyępują dw cykl grniczn dl IW - rośni - rośni - - rośni, ( RW 6,5,5 Ry. 9,5 ( π π <,5 z: ukłd będzi ypoyczni bilny gdy pliud ożliwych ocylcji będzi nijz niż. ' cykl nibilny cykl bilny Ry. - -
,5 śli wzocnini części liniowj znijzy ię z wrości do wrości poniżj,,,5 o ukłd będzi zwz ypoyczni bilny. IW -,5 RW, j( j Ry. - -