Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi. Przykłady. Rzut monetą: Ω = {o, r}, gdzie o - wypadł orzeł, r - wypadła reszka, 2. Rzut kostką: Ω = {, 2, 3, 4, 5, 6}, gdzie k - wypadło k oczek, k =, 2, 3, 4, 5, 6, 3. Ω = {(x, y)}, gdzie x - losowo umieszczony punkt na odcinku [0; ], y - losowo umieszczony punkt na odcinku [0; ]. Dowolony podzbiór A Ω nazywamy zdarzeniem. Przykłady. A : wypadła reszka, 2. A : wyrzucono parzystą liczbę oczek, 3. A : x < i y. 2 2 Niech Ω będzie ustaloną przestrzenią zdarzeń elementarnych. Zdarzenia, będące podzbiorami tej przestrzeni tworzą rodzinę (zwaną σ-algebrą zdarzeń) S taką, że zbiór pusty S, jeżeli A S, to A S, jeżeli A i S, i N, to A i S. i= Zdarzenie nazywamy zdarzeniem niemożliwym, Ω - zdarzeniem pewnym, A = Ω \ A - zdarzeniem przeciwnym do A. Jeżeli Ω jest przestrzenią zdarzeń elementarnych, a S jest σ-algebrą zdarzeń, to prawdopodobieństwem nazywamy funkcję P : S R taką, że

dla każdego A S 0 P (A), p(ω) =, jeżeli A i A j =, i j, to ( ) P A i = P (A i ). i= i= Jeżeli przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω składa się z n zdarzeń elementarnych jednakowo możliwych i jeżeli jest wśród nich k zdarzeń sprzyjających zajściu zdarzenia A, to liczbę P (A) = k n nazywamy prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A. Przykład Dokonujemy trzech rzutów monetą. Przestrzeń zdarzeń elementarnych jest następująca: Ω = {ooo, oor, oro, roo, orr, ror, rro, rrr}, czyli n = 8. Niech zdarzenie A polega na tym, że orzeł pojawi się dwa razy. Zbiór zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A : A = {oor, oro, roo}, czyli k = 3, zatem P (A) = 3 8. Niech zdarzenie B polega na tym, że orzeł pojawi się co najmniej dwa razy. Zbiór zdarzeń sprzyjających zdarzeniu B : B = {ooo, oor, oro, roo}, czyli k = 4, zatem P (B) = 4 8 = 2. Niech zdarzenie C polega na tym, że orzeł pojawi się co najwyżej dwa razy. Zbiór zdarzeń sprzyjających zdarzeniu C : C = {oor, oro, roo, orr, ror, rro, rrr}, czyli k = 7, zatem P (C) = 7 8. W przypadku, gdy przestrzeń zdarzeń elementarnych jest nieskończona, zachodzi potrzeba rozsze- rzenia definicji prawdopodobieństwa. Niech dana będzie σ-algebra zdarzeń S określona na przestrzeni Ω. Każdemu zdarzeniu A S przypisujemy w sposób jednoznaczny liczbę m(a) R, spełniającą warunki 2

. m(a) 0, 2. m( ) = 0, 3. m ( i A i ) = i m(a i ), jeżeli A i A j =, i j. Prawdopodobieństwo zdarzenia A określamy wzorem P (A) = m(a) m(ω). Jeżeli Ω R, to m(a) jest długością zbioru A, jeżeli Ω R 2, to m(a) jest polem zbioru A, a jeżeli Ω R 3, to m(a) jest objętością zbioru A. Przykład Na odcinku [0; ] umieszczamy losowo oraz niezależnie dwa punkty x i y. Punkty te można traktować jako współrzędne punktu (x, y) należącego do kwadratu [0; ] [0; ]. Kwadrat ten jest przestrzenią zdarzeń elementarnych Ω, a punkty tego kwadratu ω = (x, y) - zdarzeniami elementarnymi. Oczywiście m(ω) =, jako pole kwadratu o boku długości. Niech A będzie zdarzeniem polegającym na tym, że x y < 2, tzn. A = { ω = (x, y) Ω : x y < }. 2 Ponieważ m(a) = 3 4, więc P (A) = 3 4. Przestrzeń probabilistyczną określamy jako (Ω, S, P ). Przykład Rzucamy jeden raz monetą. Wtedy Ω = {o, r}, S = {, o, r, Ω}, P (o) = P (r) = 2. W ten sposób została określona przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ). Twierdzenie Jeżeli przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω składa się z n zdarzeń elementarnych, to S składa się z 2 n zbiorów. 2 Zmienne losowe Niech dana będzie przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ). Zmienną losową nazywamy funkcję X : Ω R, spełniającą warunek { ω : X(ω) < x } S, czyli { ω : X(ω) < x } jest zdarzeniem dla każdego x R. Bezpośrednio z definicji wynika, że zdarzeniami są również zbiory: { ω : X(ω) x }, { ω : X(ω) > x }, { ω : X(ω) x }, { ω : X(ω) = x }, { ω : X(ω) (a; b) }, { ω : X(ω) [a; b) }, { ω : X(ω) (a; b] }, { ω : X(ω) [a; b] }. 3

Zamiast A = { ω : X(ω) < x } będziemy pisać w skróconej postaci A = { X < x } i mówić, że zdarzenia A polega na tym, że X < x. Analogicznie w przypadku wyżej wymienionych zdarzeń. Przykład Rzucamy dwiema monetami. Przestrzeń zdarzeń elementarnych jest następująca: Ω = {oo, or, ro, rr}, czyli n = 4. Określamy funkcję X(ω) = 2 gdy ω = rr, 0 gdy ω = or lub ω = ro, 4 gdy ω = oo. Tak określona funkcja jest zmienną losową, gdyż { X < x } = S, gdy x 2, { X < x } = rr S, gdy 2 < x 0, { X < x } = {or, ro, rr} S, gdy 0 < x 4, { X < x } = Ω S, gdy x 4. Funkcję F : R [0; ] określoną wzorem P (X < x), czyli prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową X wartości mniejszej od x, nazywamy dystrybuantą lub funkcją rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Twierdzenie Funkcja F jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej X wtedy i tylko wtedy, gdy F jest funkcją niemalejącą i lewostronnie ciągłą oraz Przykład lim 0, lim x. x + Rzucamy dwiema monetami. Funkcja 2 gdy ω = rr, X(ω) = 0 gdy ω = or lub ω = ro, 4 gdy ω = oo. jest zmienną losową. Dystrybuanta tej zmiennej losowej jest postaci 0 gdy x 2, gdy 2 < x 0, 4 3 gdy 0 < x 4, 4 gdy x > 4. Wśród zmiennych losowych można, ze względu na postać dystrybuanty, wyróżnić dwa typy: 4

zmienna losowa typu skokowego (zmienna losowa dyskretna), zmienna losowa typu ciągłego. Zmienną losową typu skokowego nazywamy taką zmienną losową X, dla której istnieje funkcja P (X = x k ) = p k > 0, k = 0,, 2,..., taka, że dla każdego x R zachodzi relacja x k <x P (X = x k ) = Funkcję P (X = x k ) = p k nazywamy funkcją prawdopodobieństwa zmiennej losowej typu skokowego X, wartości x k nazywamy punktami skokowymi, a prawdopodobieństwa p k - skokami. Z definicji dystrybuanty wynika, że Zauważmy, że P (a X < b) = gdzie a < b +, a jednocześnie p k =. k a x k <b x k <x p k. P (X = x k ), P (a X < b) = F (b) F (a). Zmienną losową typu ciągłego nazywamy zmienną losową X, dla której istnieje taka nieujemna funkcja f, że dla każdego x R zachodzi relacja x f(t) dt. Funkcję f nazywamy gęstością prawdopodobieństwa albo gęstością zmiennej losowej typu ciągłego. Z definicji dystrybuanty wynika, że + Zauważmy, że gdzie a < b +. P (a X < b) = f(t) dt =. b a f(t) dt = F (b) F (a), Mówimy, że dany jest rozkład zmiennej loswej, jeżeli znana jest dystrybuanta, albo jeśli znana jest funkcja prawdopodobieństwa w przypadku zmiennej losowej typu skokowego lub gęstość w przypadku zmiennej losowej typu ciągłego. Przykład orłów. Funkcja Rzucamy trzema monetami. Niech zmienna losowa będzie liczbą wyrzuconych 0 gdy ω = rrr, gdy ω = orr lub ω = ror lub ω = ror, X(ω) = 2 gdy ω = oor lub ω = roo lub ω = oro, 3 gdy ω = ooo. 5

jest zmienną losową typu skokowego. Rozkład tej zmiennej losowej jest następujący x k 0 2 3 p k 0,25 0,375 0,375 0,25 Przykład Zmienna losowa typu ciągłego X podlega rozkladowi według gęstości danej wzo- 0 dla x < 0, f(x) = Cx dla 0 x 4, 0 dla x > 4. rem Stałą C obliczamy z zależności czyli C = 8. + Wyznaczymy dystrybuantę x f(t) dt = f(t) dt = x 0 4 0 [ ] 4 Ct dt = C 2 t2 = 8C =, 0 [ ] x 8 t dt = 6 t2 = 0 6 x2 dla 0 < x 4, skąd 0 dla x 0, 6 x2 dla 0 < x 4, dla x > 4. Obliczymy prawdopodobieństwo P ( X 2) = 2 [ ] 2 8 t dt = 6 t2 = 3 6 albo P ( X 2) = F (2) F () = 3 6. 3 Pewne rozkłady zmiennych losowych 3. Rozkład jednopunktowy Mówimy, że zmienna losowa podlega rozkładowi jednopunktowemu, jeżeli istnieje taki punkt x 0 R, że P (X = x 0 ) =. Dystrybuanta tego rozkładu jest określona wzorem 0 dla x x 0, dla x > x 0. 6

3.2 Rozkład dwupunktowy Mówimy, że zmienna losowa podlega rozkładowi jednopunktowemu, jeżeli przyjmuje jedynie dwie wartości x, x 2 R, x < x 2 oraz P (X = x ) = p, P (X = x 2 ) = p = q, 0 < p <. Dystrybuanta tego rozkładu jest określona wzorem 0 dla x x, q dla x < x x 2, dla x > x 2. Często dla wygody przyjmuje się, że x = 0, x 2 =. Wtedy P (X = 0) = p, P (X = ) = p = q, 0 < p < i taki rozkład nazywa się zero-jedynkowym. Modelem rozkładu dwupunktowego jest rzut monetą, jeżeli zdarzeniu polegającemu na wyrzuceniu orła przypisać, a wyrzuceniu reszki - 0. Wtedy P (X = 0) =, P (X = ) =. 2 2 3.3 Rozkład dwumianowy (Bernoulliego) Niech zmienna losowa X równa się sumie n zmiennych losowych, tzn. X = X + X 2 +... + X n, z których każda może przyjmować wartość z prawdopodobieństwem p albo wartość 0 z prawdopodobieństwem q = p, niezależnie od wartości przyjmowanych przez pozostałe zmienne. Tak określona zmienna losowa X może przyjąć każdą wartość całkowitą z przedziału [0; n], przy czym X = k oznacza, że k spośród n zmiennych X i przyjmuje wartość, a n k wartość 0. Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy (Bernoulliego), jeżeli jej funkcja prawdopodobieństwa dana jest wzorem P (X = k) = ( n k ) p k q n k, q = p, k = 0,,..., n. Dystrybuanta rozkladu dwumianowego jest określona wzorem 3.4 Rozkład Poissona P (X < k) = ( ) n p k q n k. 0 k<x k Niech zmienna losowa X n ma rozkład dwumianowy określony wzorem P (X n = k) = ( n k ) p k q n k, q = p, k = 0,,..., n. Załóżmy, że n oraz iloczyn np jest stały, czyli np = λ. Wtedy P (X = k) = lim n P (X n = k) = λk k! e λ, k = 0,,.... 7

Mówimy,że zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ, jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa dana jest wzorem P (X = k) = λk k! e λ, k = 0,,.... Z uwagi na metodę uzyskania funkcji prawdopodobieństwa, rozkład Poissona jest rozkładem granicznym rozkładu Bernoulliego przy podanych warunkach. 3.5 Rozkład jednostajny Mówimy, że zmienna losowa X podlega rozkładowi jednostajnemu (równomiernemu, prostokątnemu) na odcinku [a; b], < a < b < +, jeżeli jej gęstość jest określona wzorem Dystrybuanta tego rozkładu jest postaci 3.6 Rozkład wykładniczy 0 dla x < a, f(x) = dla a x b, b a 0 dla x > b. 0 dla x a, x a dla a < x b, b a dla x > b. Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ, λ > 0, jeżeli jej gęstość jest określona wzorem Dystrybuanta tego rozkładu jest postaci 3.7 Rozkład Weibulla 0 dla x < 0, f(x) = λe λx dla x 0. 0 dla x 0, e λx dla x > 0. Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład Weibulla z parametrami λ i α λ, α > 0, jeżeli jej gęstość jest określona wzorem 0 dla x < 0, f(x) = αλx α e λxα dla x 0. 8

Dystrybuanta tego rozkładu jest postaci 0 dla x 0, e λxα dla x > 0. Rozkład Weibulla jest uogólnieniem rozkładu wykładniczego i ma liczne zastosowania w teorii niezawodności. 3.8 Rozkład normalny Mówimy, że zmienna losowa X ma rozklad normalny o parametrach m i σ, σ > 0, który oznacza się N(m, σ), jeżeli jej gęstość wyraża się wzorem f(x) = [ ] σ 2π exp (x m)2, < x < +. 2σ 2 Dystrybuanta rozkładu normalnego N(m, σ) wyraża się wzorem [ ] x σ (z m)2 exp dz. 2π 2σ 2 Wprowadźmy nową zmienną losową U określoną wzorem U = X m. σ Zmienna losowa U ma gęstość ϕ(u) = [ ] exp u2, < u < + 2π 2 oraz dystrybuantę Φ(u) = 2π u exp [ z2 2 Rozkład zmiennej losowej U nazywa się standaryzowanym rozkładem normalnym i jest oznaczany N(0, ). Dystrybuanta tego rozkładu jest stablicowana. ] dz. 3.9 Rozkład lognormalny Zmienna losowa X przyjmująca wartości dodatnie ma rozkład lognormalny (logarytmicznonormalny), gdy jej logarytm ma rozkład normalny, tzn. ln X N(m, σ). Dystrybuanta tej zmiennej wyraża się wzorem 0 dla x 0, Φ ( ) ln x m dla x > 0, σ gdzie Φ jest dystrybuantą rozkładu N(0, ). Gęstość tego rozkładu jest określona wzorem 0 dla x 0, f(x) = x σ exp [ ] (ln x m)2 dla x > 0, 2π 2σ 2 9