B A D A N I A O E R A C Y J N E I D E C Y Z J E N 3 4 006 Mieczysław J. KRÓL* Miosław LIANA** DEFICYT I RZEEŁNIENIE W SYSTEMIE TYU TRANSORT ZAASY Z WIELOCZĘŚCIOWYM NIEJEDNORODNYM UKŁADEM TRANSORTOWYM Rozważany jest system N T O Nadawca Tanspot Odbioca) z wieloczęściowym ciągłym uładem tanspotowym. oszczególne części uładu tanspotowego chaateyzujące się óżną awayjnością połączone są szeegowo w tzw. puntach ewesji. W jednym z nich umieszczony jest magazyn-zbioni. Analizowany jest wpływ onfiguacji systemu miejsce loalizacji magazynu ustawienie nite tanspotowych) na staty spowodowane niedoboem lub nadmiaem zasobu w magazynie. Słowa luczowe: gospodaowanie zasobami tanspot zbioni pocesy stochastyczne. Wpowadzenie. Opis modelu W ealnie funcjonującej gospodace mamy do czynienia z ciągłym obotem suowcami półfabyatami i gotowymi wyobami wspólnie zwanymi zasobami. Możemy więc wyóżnić dostawców odbioców oaz ułady tanspotowe pzez tóe następuje pzesyłanie zasobów. Różnoodne systemy tego typu są pzedmiotem badań i analiz od ponad 50 lat a o tym że tematya jest wciąż inteesująca świadczą liczne publiacje ajowe np. [3 0 ]) i zaganiczne np. [ ]). Niejednootnie analizowano systemy np. [5 0 ]) w tóych ułady tanspotowe współpacują z magazynem-zbioniiem. * Załad Metod Ilościowych Wydział Eonomii Uniwesytet Rzeszowsi al. Rejtana 6c 35-959 Rzeszów e-mail: olmeav@city.net.pl ** Załad Metod Ilościowych w Eonomii Wydział Zaządzania i Maetingu olitechnia Rzeszowsa im. Ignacego Łuasiewicza ul. Wincentego ola 35-965 Rzeszów e-mail: mliana@man.zeszow.pl
88 M.J. KRÓL M. LIANA Rozpatywany w pacy system jest złożony z nadawcy N odbiocy O łączącego ich wieloczęściowego uładu tanspotowego oaz magazynu-zbionia zob. [8]). V zt) 0 Nadawca Zbioni Odbioca R 0 R R R R R R R n R n Rys.. Schemat systemu z szeegowo złożonym uładem tanspotowym Uład tanspotowy słada się z n n ) połączonych szeegowo poduładów ys. ). Kolejne niti uładu tanspotowego łączą się w tzw. puntach ewesji R i i... n ). W jednym z tych puntów umieszczony jest magazyn o sończonej pojemności V 0 < V < ). Miejsce loalizacji magazynu R... n ) dzieli natualnie cały uład tanspotowy na dwie części: od nadawcy do magazynu zwaną częścią wejściową) oaz od magazynu do odbiocy zwaną częścią wyjściową). Każdy z poduładów niezależnie od pozostałych może w sposób losowy ulegać awaiom. Funcjonowanie i-tego poduładu opisane jest dwustanowym pocesem stochastycznym { X i t) t 0} i... n) o tóym załada się że jest stacjonanym jednoodnym pocesem Maowa zob. [4]). zez i i > 0) oznacza się intensywność powstawania awaii natomiast pzez i i > 0) intensywność liwidowania awaii w i-tej nitce i... n) zob. [9]). Gdy wszystie niti uładu tanspotowego są spawne nadawca pzesyła zasób bezpośednio do odbiocy ze śednią pędością c c > 0). Awaia jednej z nite części wejściowej unieuchamia tylo tę część. Wtedy odbioca może nadal otzymywać zasób pzesyłany z magazynu ze śednią pędością c 0 < c c). odobnie jeśli awaii uległa jedna z nite części wyjściowej to nadawca może pzesyłać zasób do magazynu ze śednią pędością c 0 < c c). Na ysunu pzedstawiono uposzczony schemat systemu. Nie ozóżnia się już w nim poszczególnych nite uładu tanspotowego lecz jedynie część wejściową i wyjściową. zez ) oznacza się intensywność powstawania liwidowania) awaii w części wejściowej a pzez ) intensywność powstawania liwidowania) awaii w części wyjściowej uładu tanspotowego.
Deficyt i pzepełnienie... 89 V zt) 0 Nadawca Zbioni Odbioca R 0 R R n Rys.. Schemat systemu z dwuczęściowym uładem tanspotowym omiędzy paametami niezawodnościowymi uładów tanspotowych pzedstawionych na ysunach i zachodzą związi zob. [9]): i i i i i n i i n i. i i ) Zależności ) zapewniają ównoważność tych uładów pod względem śednich czasów pacy i częstości awaii.. Oeślenie wybanych wsaźniów W systemie funcjonującym zgodnie z powyższym opisem mogą wystąpić zjawisa nieozystne wymuszające niepotzebne pzestoje a pzez to geneujące dodatowe staty. Taimi zjawisami są np. niedobó lub nadmia zasobu w magazynie. Niedobó zasobu w magazynie zwany óto deficytem) występuje wtedy gdy spawna jest tylo część wyjściowa uładu tanspotowego oaz zbioni jest pusty. Z olei nadmia zasobu zwany óto pzepełnieniem) pojawia się gdy spawna jest tylo część wejściowa uładu tanspotowego oaz zbioni jest pełny. Wsaźniami stat spowodowanych tymi nieozystnymi zjawisami są pawdopodobieństwa wystąpienia deficytu d ) oaz pzepełnienia p ) zob. [5 6 7]). W ozpatywanym systemie z wieloczęściowym uładem tanspotowym wsaźnii d i p są oeślone następująco:
M.J. KRÓL M. LIANA 90 dla dla c V e xv d ) dla dla ) 3 3 c V e e xv xv p 3) gdzie: t x ) ) t x 3 ) 3 ) ) c x c c. Na watości wsaźniów d i p wywieają wpływ paamety technologiczne systemu V c c ) oaz paamety niezawodnościowe części wejściowej i wyjściowej uładu tanspotowego ) tóe z olei w istotny sposób zależą od miejsca loalizacji magazynu w systemie ) oaz od położenia poszczególnych nite w uładzie tanspotowym. Oznacza to że wsazanie optymalnej minimalizującej staty spowodowanej deficytem lub pzepełnieniem) onfiguacji systemu staje się ważnym poblemem decyzyjnym geneującym podczas jego późniejszej pacy znaczne i wymiene eonomicznie ozyści. 3. Opis algoytmu W celu wsazania optymalnej onfiguacji systemu można postępować według schematu pzedstawionego poniżej.. Oeślić liczbę nite uładu tanspotowego n oaz punty ewesji R... n ) w tóych jest możliwa instalacja magazynu.
Deficyt i pzepełnienie... 9. Ustalić watości paametów technologicznych systemu V c c c ) oaz paametów niezawodnościowych i i i... n ) ażdej z nite uładu tanspotowego. 3. Dla ażdego puntu ewesji R oaz wszystich pemutacji nite uładu tanspotowego wyznaczyć watości paametów niezawodnościowych części wejściowej i wyjściowej wyozystując w tym celu zależności ). 4. Dla ażdego pzypadu obliczyć watość wybanego wsaźnia ozystając z odpowiednich wzoów ) lub 3). 5. Zestawienie otzymanych w popzednim puncie wyniów w tabelach lub na wyesach pomoże wybać te onfiguacje systemu miejsca loalizacji magazynu i ustawienia poszczególnych poduładów) dla tóych watości wybanego wsaźnia są optymalne. W pacy poddany jest analizie tzw. waiant niejednoodny omawianego systemu gospodai zasobami. W waiancie tym pzynajmniej dwa podułady chaateyzują się óżnymi paametami niezawodnościowymi. W waiancie niejednoodnym systemu pojawia się poblem decyzyjny nie występujący w waiancie jednoodnym zob. [8]). Mianowicie opócz wsazania optymalnego miejsca loalizacji magazynu w systemie ważne staje się ównież optymalne ustawienie poszczególnych poduładów. Wato w tym miejscu zauważyć że istotne jest jedynie z tóych poduładów złożona jest część wejściowa bądź wyjściowa a nie jest istotna ich olejność. Wynia to wpost ze wzoów ) i z pzemienności dodawania. Wniose. Zmiana olejności poduładów w części wejściowej lub wyjściowej złożonego szeegowo uładu tanspotowego nie ma wpływu na jego funcjonowanie ponieważ nie zmienia jego paametów niezawodnościowych. Z wniosu wynia że znacznie zmniejsza się liczba pzypadów tóe należy ozpatzyć w celu znalezienia optymalnej onfiguacji systemu. 4. zyład liczbowy Zapezentowane wynii są popate analizą liczbową pzyładowego systemu. Uład tanspotowy wybanego systemu słada się z 0 poduładów nite). Ze względu na paamety niezawodnościowe ozóżnia się 5 poduładów typu A i 5 typu B. Watości paametów niezawodnościowych są następujące: dla poduładów typu A: dla poduładów typu B: 05. odułady typu B są zatem mniej awayjne. Magazyn-zbioni może być uloowany w jednym z dziewięciu puntów ewesji R i i... 9). W analizie
9 M.J. KRÓL M. LIANA uwzględnia się óżne pojemności magazynu V 000 000 4000 np. m 3 ) oaz óżne pędości zapełniania c i wybieania c 600 lub 000 np. m 3 /h). Watości wsaźnia deficytu d dla V 000 c 000 c 000 Tabela s 0 3 4 5 Miejsce loalizacji magazynu R R R 3 R 4 R 5 R 6 R 7 R 8 R 9 000 0006 005 0075 07 6500 750 500 0875 0500 0000 0003 003 0045 07 039 4000 4000 000 43 0667 0364 000 0006 005 0075 07 034 6500 750 500 0875 0500 050 0003 003 0045 07 039 043 4000 000 43 0667 0364 054 0006 005 0075 07 034 0578 750 500 0875 0500 050 007 003 0045 07 039 043 000 43 0667 0364 054 Ź ódł o: opacowanie własne. W białych polach tabeli pzedstawiono watości wsaźnia deficytu odpowiadające wszystim możliwym onfiguacjom pzyładowego systemu dla V 000 c 000 c 000. W leżących poniżej polach szaych umieszczone są odpowiadające im watości wsaźnia chaateystycznego systemu. Zmienna s w tabeli oeśla liczbę nite typu B w części wejściowej uładu tanspotowego. Spełnia ona waune max{ 0 5} s min{5 }. Nietudno zauważyć że wsaźni deficytu pzyjmuje najmniejszą najlepszą) watość gdy paamet chaateystyczny systemu jest najwięszy. Magazyn znajduje się wtedy w puncie R czyli możliwie najbliżej nadawcy. Opócz tego w pzypadu loalizacji magazynu w dowolnym puncie R... 9) wzost paametu spowodowany zmianą onfiguacji uładu tanspotowego) zawsze powoduje spade watości wsaźnia d. Można też zauważyć identyczne watości wsaźnia d mimo loalizacji magazynu w óżnych puntach ewesji. Zawsze wtedy ównież są jednaowe watości wsaźnia. zy innych watościach paametów V c i c występują analogiczne zależności co pozwala zapezentować zwięźle wynii analizy liczbowej wsaźnia deficytu w tabeli.
Deficyt i pzepełnienie... 93 Watości wsaźnia deficytu d Tabela c 600 c 000 c 000 c 000 c 000 c 600 V 000 V 000 V 4000 V 000 V 000 V 4000 V 000 V 000 V 4000 0043 0596 0596 0596 007 0578 0578 0578 09 0549 0548 0548 009 0463 0463 0463 054 043 043 043 056 038 0379 0379 050 0364 0364 0364 050 034 03 03 047 057 050 050 08 087 087 087 0364 039 034 033 0606 063 048 045 0300 03 0 0 0500 07 060 059 0833 0094 0069 0057 0400 068 066 066 0667 07 0099 0093 4 0049 00 0007 055 0 06 05 0875 0075 005 0037 458 00 0005 0 0686 0080 0070 0067 43 0045 00 0007 905 0009 000 0 0900 0048 003 003 500 005 0007 000 500 0004 0 0 00 005 000 000 000 003 000 0 3333 000 0 0 650 00 000 0 750 0006 0 0 4583 0 0 0 400 0004 0 0 4000 0003 0 0 6667 0 0 0 3900 000 0 0 6500 000 0 0 0.833 0 0 0 8400 0 0 0 4000 0 0 0 3333 0 0 0 Ź ódł o: opacowanie własne. Analiza wyniów pzedstawionych w obu tabelach powadzi do następujących wniosów. Wniose. Staty spowodowane deficytem są tym mniejsze im więszą watość pzyjmuje wsaźni chaateystyczny systemu po. ys. 3). W celu masymalizacji wsaźnia należy magazyn zloalizować możliwie bliso nadawcy oaz część wejściową uładu tanspotowego złożyć z najmniej awayjnych poduładów. d d 06 05 04 03 0 0 00 007 054 050 0364 0500 0667 0875 43 500 000 750 4000 6500 400 Rys. 3. Watości wsaźnia deficytu po. tab.) odpowiadające óżnym onfiguacjom pzyładowego systemu niejednoodnego V c c 000)
94 M.J. KRÓL M. LIANA Wniose 3. Zmiana pojemności magazynu nie powoduje zmiany optymalnego minimalizującego d ) puntu loalizacji magazynu w systemie. Jedna im magazyn jest więszy tym mniejsze są óżnice w watościach wsaźnia d między puntem R a puntami sąsiednimi np. R R 3 ). Uloowanie magazynu o odpowiednio dużej pojemności w puncie np. R 3 zamiast w R nie musi zatem powodować istotnego wzostu stat spowodowanych deficytem. Wniose 4. Zmiana watości iloazu pędości zapełniania i wybieania c /c nie powoduje zmiany optymalnego minimalizującego d ) puntu loalizacji magazynu w systemie. Jedna im ten iloaz jest więszy tym mniejsze są óżnice w watościach wsaźnia d między puntem R a puntami sąsiednimi np. R R 3 ). Uloowanie magazynu w puncie np. R 3 zamiast w R nie musi zatem powodować istotnego wzostu stat spowodowanych deficytem jeśli iloaz c /c będzie odpowiednio duży. Wynii analizy liczbowej wsaźnia pzepełnienia p znajdują się w tabeli 3. Odwotnie niż wsaźni deficytu wsaźni pzepełnienia we wszystich pzypadach pzyjmuje najmniejsze watości gdy paamet chaateystyczny systemu jest najmniejszy. Magazyn znajduje się wtedy w puncie R 9 czyli możliwie najbliżej odbiocy. Opócz tego pzy loalizacji magazynu w dowolnym puncie R... 9) spade paametu spowodowany zmianą onfiguacji uładu tanspotowego) zawsze powoduje spade watości wsaźnia p. Można ównież zauważyć identyczne watości wsaźnia p mimo loalizacji magazynu w óżnych puntach ewesji co jest spowodowane tą samą watością paametu. Watości wsaźnia pzepełnienia p Tabela 3 c 600 c 000 c 000 c 000 c 000 c 600 V 000 V 000 V 4000 V 000 V 000 V 4000 V 000 V 000 V 4000 0043 0 0 0 007 0 0 0 09 0 0 0 009 0 0 0 054 000 0 0 056 000 0 0 050 0 0 0 050 0003 0 0 047 0004 0 0 08 0 0 0 0364 0006 0 0 0606 00 000 0 0300 000 0 0 0500 003 000 0 0833 005 000 000 0400 0004 0 0 0667 005 0007 000 4 0048 003 003 055 0009 000 0 0875 0045 00 0007 458 0080 0070 0067 0686 00 0005 0 43 0075 005 0037 905 0 06 05 0900 0049 00 0007 500 07 0099 0093 500 068 066 066 00 0094 0069 0057 000 07 060 059 3333 03 0 0 650 063 048 045 750 039 034 033 4583 087 087 087 400 057 050 050 4000 034 03 03 6667 0364 0364 0364 3900 038 0379 0379 6500 043 043 043 0.833 0463 0463 0463 8400 0549 0548 0548 4000 0578 0578 0578 3333 0596 0596 0596 Ź ódł o: opacowanie własne.
Deficyt i pzepełnienie... 95 Wniose 5. Staty spowodowane pzepełnieniem są tym mniejsze im mniejszą watość pzyjmuje wsaźni chaateystyczny systemu po. ys. 4). W celu minimalizacji wsaźnia należy magazyn zloalizować możliwie bliso odbiocy oaz część wyjściową uładu tanspotowego złożyć z najmniej awayjnych poduładów. p p 06 05 04 03 0 0 00 007 054 050 0364 0500 0667 0875 43 500 000 750 4000 6500 400 Rys. 4. Watości wsaźnia pzepełnienia po. tab. 3) odpowiadające óżnym onfiguacjom pzyładowego systemu niejednoodnego V c c 000) Wniose 6. Zmiana pojemności magazynu nie powoduje zmiany optymalnego minimalizującego p ) puntu loalizacji magazynu w systemie. Jedna im magazyn jest więszy tym mniejsze są óżnice w watościach wsaźnia p między puntem R n a puntami sąsiednimi np. R n R n 3 ). Uloowanie magazynu o odpowiednio dużej pojemności w puncie np. R n 3 zamiast w R n nie musi zatem powodować istotnego wzostu stat spowodowanych pzepełnieniem. Wniose 7. Zmiana watości iloazu pędości zapełniania i wybieania c /c nie powoduje zmiany optymalnego minimalizującego p ) puntu loalizacji magazynu w systemie. Jedna im ten iloaz jest mniejszy tym mniejsze są óżnice w watościach wsaźnia p między puntem R n a puntami sąsiednimi np. R n R n 3 ). Uloowanie magazynu w puncie np. R n 3 zamiast w R n nie musi zatem powodować istotnego wzostu stat spowodowanych pzepełnieniem jeśli iloaz c /c będzie odpowiednio mały. 5. Uwagi ońcowe Wynii pzepowadzonych badań wsazują ja istotne znaczenie dla efetywnego funcjonowania ozważanego systemu ma jego właściwa onfiguacja miejsce instalacji magazynu oaz ustawienie poszczególnych nite tanspotowych). Uzysaną wiedzę można wyozystać do optymalnego steowania już istniejącymi systemami lub w pojetowaniu nowych systemów.
96 M.J. KRÓL M. LIANA Dalsze pace badawcze powadzone nad systemami gospodai zasobami ze złożonymi uładami tanspotowymi dotyczą m.in. analizy ozpatywanego w pacy systemu ze względu na inne wsaźnii oaz analizy systemów o innej onfiguacji uładu tanspotowego. Bibliogafia [] DASKIN M.S. COULLARD C.R. SHEN Z.J. M. An inventoy location model: fomulation solution algoithm and computational esults Annals of Opeations Reseach 0/4) 00 s. 83 06. [] DEMCHENKO S.S. KNOOV.S. CHORNEY R.K. Optimal stategies fo a semi Maovian inventoy system Cybenetics & Systems Analysis 38) 00 s. 4 36. [3] GALANC T. OSTASIEWICZ W. ISZ Z. Stan ganiczny dolny pocesu opisującego wąsie gadło pewnego systemu poducyjno-zaopatzeniowego Badania Opeacyjne i Decyzje Wocław 997 n 4 s. 3 38. [4] GICHMAN I.I. SKOROCHOD A.V. Wstęp do teoii pocesów stochastycznych WN Waszawa 968. [5] KRÓL M.J. Стохастический анализ экономико-организационной оценки функционированиая системы непрерывный транспорт хранение Дисс. докт. Московский Государственный Университет Экономики Статистики и Информатики Москва 990. [6] KRÓL M.J. LIANA M. Analiza zjawisa zwanego pzepełnieniem magazynu występującego w systemie tanspot-zapasy Zeszyty Nauowe olitechnii Rzeszowsiej n 53 Rzeszów 996 Eonomia i Naui Humanistyczne z. 4 s. 07 4. [7] KRÓL M.J. LIANA M. Ilościowa ocena deficytu u odbiocy w pewnym systemie gospodai zasobami Zeszyty Nauowe olitechnii Rzeszowsiej n 5 Rzeszów 996 Eonomia i Naui Humanistyczne z. 3 s. 07. [8] KRÓL M.J. LIANA M. Wpływ miejsca instalacji magazynu-zbionia w systemie tanspotowym na staty spowodowane deficytem lub pzepełnieniem Badania Opeacyjne i Decyzje Wocław 997 n s. 4 48. [9] LIANA M. O educji liczby paametów wieloczęściowych uładów tanspotowych występujących w systemach gospodai zasobami Badania Opeacyjne i Decyzje Wocław 003 n s. 3 44. [0] ISULA T. Ocena efetywności funcjonowania pewnego systemu cybenetyczno-eonomicznego typu tanspot-zapasy Badania Opeacyjne i Decyzje Wocław 003 n s. 59 77. [] SO K.C. Optimal buffe allocation stategy fo minimizing wo-in-pocess inventoy in unpaced poduction lines IIE Tansactions 9 997 s. 8 88. [] ŚWIĄTEK J. GALANC T. ocess density functions in the poblem of the identification of a baie in the functioning of a cetain inventoy stoage and issue system Badania Opeacyjne i Decyzje Wocław 004 n 3 4 s. 83 89. The deficit and the ovefilling in a system of Tanspot Reseves type with multi-component non-homogenous tanspotation An S-T-R system Sende Tanspotation Receive) with multi-component continuous tanspotation is consideed. Until now systems of this type wee studied in which damage paametes of sepaate units of tanspotation wee identical so-called homogenous tanspotation). In this pape the units ae
Deficyt i pzepełnienie... 97 chaacteized by the damage paametes which have diffeent values so-called non-homogenous tanspotation). Thei functioning is modeled by using stationay and homogenous Maov pocesses. Moeove these units ae connected in seies at so-called evesal points. At one of these points a esevoi of finite capacity is placed. The influence of the system configuation i.e. location of the esevoi and aangement of the specific tanspot subsystems) in elation to the volume of losses caused by andomly aising advese events such as oveflow o deficit of esouces in the esevoi is analysed. The coefficients of deficit and ovefilling of the esevoi that wee descibed in the authos ealie papes ae used in simulation studies. A numbe of conclusions have been dawn which can be used fo the pupose of optimal contol of existing systems of this type o in designing new systems. Keywods: esouces management tanspot a esevoi stochastic pocesses