3. F jest lewostronnie ciągła

Podobne dokumenty
Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski

Całka Riemanna Dolna i górna suma całkowa Darboux

Wykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 15. CAŁKI OZNACZONE. Egzaminy I termin poniedziałek :00 Aula B sala 12B Wydział Informatyki

N(0, 1) ) = φ( 0, 3) = 1 φ(0, 3) = 1 0, 6179 = 0, 3821 < t α 1 e t dt α > 0. f g = fg. f = e t f = e t. U nas: g = t α 1 g = (α 1)t α 2

RACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.

< f g = fg. f = e t f = e t. U nas: e t (α 1)t α 2 dt = 0 + (α 1)Γ(α 1)

1 Rachunek zdań 3. 2 Funkcje liczbowe 6

Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim

Analiza matematyczna i algebra liniowa Całka oznaczona

Całka Riemanna. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona

1 Definicja całki oznaczonej

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

Analiza Matematyczna. Całka Riemanna

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

ANALIZA MATEMATYCZNA 1

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna.

Całka oznaczona. Matematyka. Aleksander Denisiuk. Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza Elblag.

nazywamy odpowiednio dolną oraz górną sumą Darboux funkcji f w przedziale [a, b] wyznaczoną przez podział P.

Jednowymiarowa zmienna losowa

CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej

Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl

III. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej.

Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas

Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas

Najczęściej spotykane rozkłady dyskretne:

Całki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 Wykład 1

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty

Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

Prawdopodobieństwo i statystyka

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014

Przestrzeń probabilistyczna

MATEMATYKA 1 MACIERZE I WYZNACZNIKI

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1)

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa

Matematyka stosowana i metody numeryczne

Analiza Matematyczna (część II)

O SZEREGACH FOURIERA. T (x) = c k e ikx

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Statystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

( ) Lista 2 / Granica i ciągłość funkcji ( z przykładowymi rozwiązaniami)

Całka oznaczona i całka niewłaściwa Zastosowania rachunku całkowego w geometrii

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r

Prawdopodobieństwo i statystyka

Planowanie złożonych przedsięwzięć wieloczynnościowych (Project Management - zarządzanie projektami)

Całkowanie metodą Monte Carlo

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS

Metody numeryczne. Całkowanie. Janusz Szwabiński. nm_slides-4.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 23/10/ :07 p.

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =

Analiza Matematyczna

( ) Elementy rachunku prawdopodobieństwa. f( x) 1 F (x) f(x) - gęstość rozkładu prawdopodobieństwa X f( x) - dystrybuanta rozkładu.

Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju

Wariacje Funkcji, Ich Własności i Zastosowania

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa

LISTA02: Projektowanie układów drugiego rzędu Przygotowanie: 1. Jakie własności ma równanie 2-ego rzędu & x &+ bx&

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych.

Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

Matematyka dla biologów Zajęcia nr 7.

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych.

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

Analiza Matematyczna II

Rozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,

Matematyka dla biologów Zajęcia nr 13.

Analiza matematyczna ISIM II

Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych

PEWNIK DEDEKINDA i jego najprostsze konsekwencje

Wykład 3: Transformata Fouriera

Plan wykładów z Matematyki, I 2014/2015 semestr zimowy. (a) Podstawowe funkcje: pierwiastki, funkcja potęgowa, logarytm.

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki

Całki oznaczone. wykład z MATEMATYKI

4. RACHUNEK WEKTOROWY

Statystyka matematyczna

XI. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Całka podwójna Całka podwójna po prostokącie. Oznaczenia:

Zadania do rozdziału 7.

Kombinowanie o nieskończoności. 4. Jak zmierzyć?

PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek

Niewymierność i przestępność Materiały do warsztatów na WWW6

Transkrypt:

Def. Zmienną losową nzywmy funkcję X: tką, że x R : { : X( ) < x }. Ozn.: zmist pisd A = { : X( ) < x } piszemy A = { X < x } zdrzenie poleg n tym, że X( )<x Wniosek: Jeżeli X jest zmienną losową, to { : X( ) x }, { : X( ) x }, { : X( ) > x }, { : X( ) = x }, { : X( ) [,] }, { : X( ) [,) }, { : X( ) (,] }, { : X( ) (,) } Jeżeli f jest funkcją przedziłmi ciągłą i ziór wrtości zmiennej losowej X D f, to Y( ) = f(x( )) jest też zmienną losową określoną n. Np. 1. Rzucmy rz monetą. = { O,R }. Zmienn losow X(O) =, X(R) = 1.. W tlii 5 krt, krty zostły ponumerowne. Losujemy jedną krtę. = { k 1, k,, k 5 }. Zmienn losow X(k i ) = i, i=1,,5. Def. Dystryuntą zmiennej losowej X nzywmy funkcję F: określoną wzorem F(x) = P({ : X( ) < x }) = P( X < x). Funkcj F: jest dystryuntą pewnej zmiennej losowej 1. F jest niemlejąc. lim F x = lim F x = 1 x x + 3. F jest lewostronnie ciągł Wniosek: P(X = x) = lim F t F(x), P(X x) = lim F t, P(x t x + t x + 1 X < x ) = F x F(x 1 ), P(X > x) = 1 lim F t, P(x t x + 1 < X < x ) = F x F x 1 P(X = x 1 ) itd.

Np. 1. Doierz prmetry A,B,C,D tk, y funkcj F(x) ył dystryuntą pewnej zmiennej losowej A, x Bx, < x 1 F x = x. x + C, 1 < x lim x lim x + D, < x F x = A = F x = 1 D = 1 F jest niemlejąc i lewostronnie ciągł lim F x = F(1) lim F x lim F x = F() lim F x x 1 x 1 + x x + B lim ( x x + C) = C 1 C D A = B C 1 C 1 = D x 1 + A = B 1 C 1 = D, x,15 x, < x 1. Dl F x = x olicz P( X = 1), P(X 1), P(1 < X < 1,5), x +,75, 1 < x P(,5 < X < 1,5), P(X > ) 1, < x P( X = 1) = lim F t F 1 =,5,15 =,15, P( X 1) = lim F t =,5, t 1 + t 1 + P(1 < X < 1,5) = F(1,5) F(1) P(X = 1) =,375,15,15 =,15, P(,5 < X < 1,5) = F(1,5) F(,5) P(X =,5) =,815,7815 =,7337, P(X > ) = 1 - lim F t = t +

Def. Mówimy, że zmienn losow X jest dyskretn (typu skokowego) X m skooczony lu przeliczlny ziór wrtości,x 1, x,, x n, } Mówimy, że zmienn losow X jest typu ciągłego ziorem wrtości X jest przedził, często nieogrniczony, orz dystryunt X m postd F(x) = x f t dt Wniosek: Dl zmiennej losowej X typu skokowego dystryunt X m postd F(x) = x i <x P(X = x i ) jest przedziłmi stł i m skooczoną lu przeliczlną liczę nieciągłości typu skok Def. Niech X ędzie zmienną losową typu ciągłego. Funkcję f nzywmy gęstością zmiennej losowej X dystryunt zmiennej losowej X jest postci F(x) = f t dt. x Funkcj f jest gęstością zmiennej losowej X 1. x: f x +. f x dx = 1 Wniosek: Jeżeli istnieje gęstośd f zmiennej losowej X, to 1. w punktch różniczkowlności dystryunty F zchodzi związek f(x) = F (x).. P(X [,]) = P(X (,]) = P(X [,)) = P(X (,)) = f x dx Np. 1. Dl jkich wrtości prmetrów i funkcj f x = 1+(x) jest gęstością pewnej zmiennej losowej. Wyzncz jej dystryuntę. z wrunku f(x)

+ z wrunku f x dx = 1 + f x dx = π = 1 =, π x F(x) = dt π(1+ t ) lim lim A B A B 1 + (x) dx 1 = lim rctg( t) A π A x = 1 rctg x + 1 π = lim lim B A B rctg(x) = A π. Sprwdź, że funkcj F(x) = e e x jest dystryuntą zmiennej losowej X. Znjdź gęstośd zmiennej Y = X. poniewż e x jest funkcją mlejącą F jest rosnąc lim x e x = lim x + e x = lim F x = lim F x = 1 x x + funkcj e x jest ciągł F jest ciągł dystryunt zmiennej Y: G(x) = P(X, x < x) = P( X < x), x > =, x F x F x, x > =, x = e e x e e x, x >, x gęstośd zmiennej Y: g(x) = 1 x (e e x + x + e x e x ), x > Def. Rozkłdem zmiennej losowej X nzywmy: 1. prwdopodoieostw p i = P X = x i, i p i = 1 dl zmiennej X typu skokowego. gęstośd zmiennej X dl zmiennej typu ciągłego

Momenty zmiennych losowych: Def. Niech F(x) ędzie dystryuntą zmiennej X przedziłmi ciągłą i różniczkowlną w przedziłch ciągłości orz ziór,x 1, x, } ędzie ziorem punktów, w których funkcj F m skok. Cłką Stieltjes z funkcji g: względem dystryunty F(x) nzywmy liczę Wniosek: g x df x = g x F x dx + g x i [ lim t xi + F t F x i ] i 1. Jeżeli X jest typu ciągłego, to g x df x = g x F x dx. Jeżeli X jest typu skokowego, to g x df x = g x i P(X = x i ) i Np. Dl dystryunty F(x) =, x 1 1 e x, x > olicz cłkę x + 1 df(x). x + 1 df(x) = 1 lim B = x + 1 d B (x + 1)e x dx + x + 1 d(1 1 e x ) + 1 = 1 lim B [ x + 1 e x + e x ] + lim t + (1 1 e t ) F x i = B 1 + = 1 Def. Wrtością oczekiwną (ndzieją mtemtyczną, wrtością średnią) zmiennej losowej X o dystryuncie F nzywmy liczę (o ile cłk x df(x) jest zieżn) EX = xdf(x)

Jeżeli F jest dystryuntą zmiennej losowej X orz Y = g(x) dl funkcji g przedziłmi ciągłej, to o ile cłk EY = g x df(x) jest zieżn. g(x)df(x) Wniosek: 1. Jeżeli X jest zmienną typu ciągłego o gęstości f, to EX = xf(x)dx, o ile x f(x)dx jest zieżn. Jeżeli X jest zmienną typu skokowego o wrtościch,x 1, x, }, to EX = i x i p i, gdzie p i = P(X = x i ), o ile szereg i x i p i jest ezwzględnie zieżny Oserwcj: Jeżeli F jest dystryuntą zmiennej losowej X orz Y = g(x), to 1. jeżeli zmienn X typu skokowego m skooczoną liczę wrtości, to istnieje EY. jeżeli gęstośd f zmiennej X typu ciągłego m nośnik ogrniczony (tzn. istnieje ogrniczony ziór A tki, że f(x)= dl x A) orz g jest przedziłmi ciągł i ogrniczon n ziorze A, to istnieje EY, x x Np. Dystryuntą zmiennej losowej X jest F x =, < x 1. Olicz EY dl Y = ln(x+1). 1, x > 1 EY = ln (x + 1)dF(x) = 1 1 ln x + 1 dx + 1 1 = 1 [(x + 1)ln x + 1 x ] 1 1 + = = ln

Jeżeli istnieją wrtości oczekiwne EX i EY zmiennych losowych X i Y, to E(X+Y) = EX + EY Def. Niech F 1, F,, F n ędą dystryuntmi zmiennych losowych X 1, X,, X n. Mówimy, że zmienne losowe X 1, X,, X n są niezleżne x 1, x,, x n : P X 1 < x 1 X < x X n < x n = F 1 x 1 F x F n (x n ) Jeżeli zmienne losowe X 1, X,, X n są niezleżne, to E(X 1 X X n ) = EX 1 EX EX n Np. Znjdź wrtośd oczekiwną zmiennej Z = 3X-XY+Y, jeżeli X i Y są niezleżne orz EX=, EY=1. EZ = 3EX - EXEY + EY = 6 - + 1 = 3 Def. Momentem rzędu k zmiennej losowej X nzywmy E(X k ). Oznczenie m k. Wniosek: m k = x k df(x), o ile x k df(x) jest zieżn. Jeżeli dl zmiennej losowej X istnieje m k, to istnieją m l dl kżdego l k. Np. Olicz moment dowolnego rzędu dl zmiennej losowej X, jeżeli: 1. X m rozkłd zero-jedynkowy, tzn. P(X = 1) = p, P(X = ) = 1 p. m k = 1 k p + k 1 p = p

. X m rozkłd jednostjny n odcinku *,1+, tzn. gęstością X jest funkcj f x = m k = 1 x k dx = xk+1 1 k + 1 = 1 k + 1 1, x [,1], x [,1]. Def. Wrincją zmiennej losowej X nzywmy liczę D X = E(X EX). Oserwcj: D X Def. Średnim odchyleniem stndrdowym (dyspersją) zmiennej losowej X nzywmy liczę = D X Dyspersj jest mirą rozrzutu zmiennej losowej, tzn. odchyleni zmiennej losowej od jej średniej wrtości. Jeżeli istnieje wrincj zmiennej X, to D X = EX EX = m (m 1 ) Wniosek: Jeżeli X m moment co njmniej -go rzędu, to istnieje wrincj X. 1. Jeżeli X i Y są zmiennymi losowymi o skooczonych wrincjch, to D X = D X D X + = D X. Jeżeli X i Y są niezleżnymi zmiennymi losowymi o skooczonych wrincjch, to D X ± Y = D X + D Y D X = P X = = 1 tzn. X przyjmuje stłą wrtośd z prwdopodoieostwem 1

Def. Momentem centrlnym rzędu k zmiennej losowej X nzywmy liczę c k = E(X EX) k. Wrincj jest momentem centrlnym rzędu. Wniosek: Jeżeli istnieją momenty zwykłe m i, i k, to c k = Np. c 3 = m 3 3m m 1 + (m 1 ) 3 c = m m 3 m 1 + 6m m 1 3(m 1 ) k i= k i m k i ( m 1 ) i Def. Kwntylem rzędu p dl p (,1) rozkłdu zmiennej losowej X nzywmy liczę ξ p tką, że: 1. P(X ξ p ) p. P(X ξ p ) 1 p Wniosek: Jeżeli dystryunt F jest nieciągł, to kwntyle mogą nie yd wyznczone jednozncznie Jeżeli dystryunt jest ciągł, to kwntyl ξ p jest rozwiązniem równni F(ξ p ) = p. Oznczeni: Kwntyle rzędu 1, 1, 3 nzywmy kwrtylmi rzędu 1,, 3 odpowiednio. Kwrtyl rzędu nzywmy mediną i oznczmy Me. Odchyleniem dwirtkowym zmiennej X nzywmy liczę Q = 1 (ξ3 ξ1). Np. Olicz kwntyle rozkłdu zmiennej losowej X: 1. o rozkłdzie prwdopodoieostw P(X = k) =,1 dl k=,1,,9. P(X ξ p ) p P(X ξ p ) 1 p k ξ p,1 p 1 k<ξ p,1 1 p 1 1p k ξ p 1 1p k<ξ p

np. medin Me [,5] kwrtyle ξ1 =, ξ3 = 7 Q = 1 7 = 5, x <. o gęstości f x = λe λx, x. ξ p λe λx λe λx ξ p dx p dx 1 p np. medin Me = ln λ kwrtyle ξ1 = ln ln3 λ, ξ3 3. o dystryuncie F x = e λx ξ p p lim B e λx B ξp = ln λ ln3 Q = λ 1 p 1 e λξ p = p ξ p =, x 1 x 3 + 1,15, 1 < x,6 1, x >,6 ln (1 p) λ lim F(x) p x ξ+ p 1 F ξ p 1 p np. medin Me = 3 5 kwrtyle ξ1 = 3 7, ξ3 lim F(x) p x ξ+ p F ξ p p = 3 3 Q = 7 ξ p = 3 3 3 3 1, p (;,15] p 1,15, p (,15;,99],6, p (,99; 1)