16 Jednowymiarowy model Isinga

16 Jednowymiarowy model Isinga Jest to liniowy łańcuch N spinów mogących przyjmować wartości ± 1. Mikrostanem układu jest zbiór zmiennych σ i = ±1, gdzie i = 1,,..., N (16.1) Określają one czy i-ty spin jest skierowany w górę, czy w dół. Zazwyczaj zakłada się periodyczne warunki brzegowe, to znaczy warunek σ N+1 = σ 1 (16.) Geometrycznie oznacza to, że łańcuch spinów został zwinięty w kółko. Istnieje oddziaływanie pomiędzy najbliższymi sąsiadami. Jego energia zależy od tego czy sąsiednie spiny są równoległe, czy też ustawione w przeciwnych kierunkach. Energia oddziaływania równoległych spinów wynosi ɛ, a energia oddziaływania spinów o przeciwnych kierunkach wynosi ɛ. Przyjmijmy ɛ < ɛ (16.3) to znaczy, że oddziaływanie faworyzuje spiny równoległe. Formalnie energię oddziaływania dwóch spinów σ i σ można zapisać jako E = ɛ + ɛ + ɛ ɛ σσ = ɛ dla σ = σ Energię oddziaływania łańcucha N spinów da się więc zapisać jako E int = N ( ɛ + ɛ ɛ dla σ = σ (16.4) + ɛ ɛ ) σ i σ i+1 (16.5) Ponieważ sumujemy po całym łańcuchu wystarczy uwzględnić oddziaływanie spinu σ i z następnym sąsiadem σ i+1. Dodatkowo układ spinów jest umieszczony w zewnętrznym polu magnetycznym. Z elektrodynamiki wiadomo, że energia momentu magnetycznego µ w polu magnetycznym o indukcji B wynosi E B = µ B (16.6) Zakładając, że pojedynczy spin posiada moment magnetyczny ±µ, energię układu Nspinów w 1

polu magnetycznym można zapisać więc jako E B = N µ B σ i (16.7) Całkowita energia układu N spinów jest sumą energii oddziaływania wewnętrznego i energii w zewnętrznym polu magnetycznym E = E int + E B = N ( ɛ + ɛ + ɛ ɛ ) σ i σ i+1 µ B σ i (16.8) Zadanie Obliczyć sumę statystyczną dla jednowymiarowego modelu Isinga. Suma statystyczna jest sumą po wszystkich mikrostanach układu, czyli po wszystkich wartościach spinów σ 1, σ,..., σ N Z = σ 1,σ,...,σ N = 1 ( exp E(σ ) 1, σ,..., σ N ) (16.9) Dla uproszczenia zapisu możemy wprowadzić oznaczenia a = ɛ + ɛ, b = ɛ ɛ, c = µb (16.10) Wówczas E(σ 1, σ,..., σ N ) = N (a bσ i σ i+1 cσ i ) = Na N (bσ i σ i+1 + cσ i ) (16.11) Stąd suma statystyczna wynosi Z = e Na σ 1,σ,...,σ N = 1 exp (bσ 1 σ + cσ 1 )... exp (bσ N σ N+1 + cσ N ) (16.1) Możemy wprowadzić oznaczenie na pojawiającą się tutaj funkcję wykładniczą P σ,σ = exp (bσσ + cσ) (16.13)

Wówczas Z = e Na σ 1,σ,...,σ N = 1 Wielkości P σ,σ można potraktować jako składowe macierzy P σ1,σ P σ,σ 3... P σn,σ N+1 (16.14) P σ,σ = P 1, 1 P 1,1 P 1, 1 P 1,1 = exp (b c) exp ( b c) exp ( b + c) exp (b + c) (16.15) Wpatrując się dostatecznie długo w równanie (16.15) można się w nim dopatrzeć iloczynu macierzowego N kopii macierzy P σ,σ Z = e Na σ 1 = 1 (P P... P) σ1,σ N+1 = e Na σ 1 = 1 gdzie skorzystaliśmy z warunku periodyczności (16.). Wielkość (P P... P) σ1,σ 1 (16.16) Tr A = A ii (16.17) nazywa się śladem macierzy A; po angielsku trace. Ma on następujące własności i Stąd także zachodzi Tr (A B) = Tr (B A) (16.18) Tr ( A B A 1) = Tr ( A A 1 B ) = Tr B (16.19) Mówimy, że ślad macierzy B nie zmienia się przy transformacji podobieństwa zadanej macierzą A. Sumę statystyczną dla jednowymiarowego modelu Isinga możemy zapisać więc przy pomocy śladu w prostej formie jako Z = e Na Tr ( P N) (16.0) Gdyby udało się nam sprowadzić macierz P przy pomocy jakiejś macierzy podobieństwa A do postaci diagonalnej 3

P = A Λ A 1 (16.1) gdzie Λ = λ 1 0 (16.) 0 λ to mielibyśmy Tr ( A Λ A 1... A Λ A 1) = Tr ( A Λ N A 1) = Tr ( Λ N) (16.3) Ślad macierzy Λ N łatwo wyliczyć, wynosi on Tr ( Λ N) = Tr λn 1 0 0 λ N = λn 1 + λn (16.4) Wobec czego suma statystyczna wynosi Z = e Na ( λ N 1 + λn ) (16.5) Wielkości λ 1 i λ są wartościami własnymi macierzy P; po angielsku eigenvalues. Jak wiadomo, z alegebry liniowej oblicza się je przy pomocy wyznacznika det (P λi) = det exp (b c) λ exp ( b c) exp ( b + c) exp (b + c) λ (16.6) gdzie I jest macierzą jednostkową. Otrzymujemy równanie kwadratowe na wartości własne Jego wyznacznik wynosi λ e b λ ( e c + e c) + e b e b = 0 (16.7) = e b ( e c + e c + ) 4 ( e b e b) = e b ( e c + e c ) + 4e b = e b ( e c e c) + 4e b przy pomocy funkcji hiperbolicznej sinh pierwiastek z wyznacznika da się zapisać jako (16.8) 4

= e b sinh c + e 4b (16.9) Stąd wartości własne macierzy P wynoszą λ 1, = e b (cosh c ± sinh c + e 4b ) (16.30) Możemy zauważyć, że jeśli liczba spinów jest bardzo duża N 1 to wówczas zachodzi λ N 1 λn (16.31) ponieważ λ 1 ma większą wartość bezwzględną niż λ. Sumę statystyczną modelu Isinga możemy więc zapisać w postaci Logarytm sumy statystycznej wynosi Z e Na λ N 1 = exp ( Na + N ln λ 1) (16.3) ln Z N [ ( a + b + ln cosh c + sinh c + e 4b )] (16.33) Z definicji (16.10) stałych a, b, c wynika, że suma statystyczna jednowymiarowego modelu Isinga jest funkcją temperatury i natężenia zewnętrznego pola magnetycznego. Z = Z(T, H) (16.34) Znając jej logarytm możemy obliczyć zależność energii wewnętrznej od temperatury i natężenia zewnętrznego pola magnetycznego U(T, H) = A stąd ciepło właściwe w stałym polu magnetycznym C H = U T T ln Z (16.35) H Wzór (16.4) jest dość skomplikowany. Dalej ograniczymy się do przypadku bez pola magnetycznego B = 0, czyli c = 0. Wówczas logarytm sumy statystycznej (16.4) redukuje się do 5 H

postaci: Energia wewnętrzna zgodnie ze wzorem (16.35) wynosi: ln Z = N [ a + b + ln ( 1 + e b)] (16.36) ( da U = ln Z dt a + db dt ) ( ln Z ɛ + ɛ = ln Z b a + ɛ ɛ ln Z ) b (16.37) Zgodnie ze wzorami (16.10). Pochodne ln Z po parametrach a i b wynoszą ln Z a = N (16.38) ln Z b ) = N (1 + e b = N 1 e b 1 + e b 1 + e = N eb e b = N tgh b (16.39) b e b + e b Wobec czego ( ɛ + ɛ U(T) = N ɛ ɛ tgh ɛ ) ɛ (16.40) Ciepło właściwe bez obecności pola magnetycznego wynosi więc: C B=0 = du dt = N(ɛ ɛ) 4 cosh ɛ ɛ (16.41) Zależność ciepła właściwego od pola magnetycznego można obliczyć przy pomocy programu Mathematica. 6

logarym sumy statystycznej liczony na jeden spin In[47]:= lnz a_, b_, c_ a b Log Cosh c Sqrt Sinh c Exp 4 b ; definicja stalych In[48]:= In[49]:= Ε 1; Ε 1.; Μ ; sub a Ε Ε T, b Ε Ε T, c Μ H T ; lnz T_, H_ lnz a, b, c. sub; U T_, H_ T D lnz T, H, T ; C B T_, H_ D U T, H, T ; cieplo wlasciwe modelu Isinga dla kilku wartosci pola magnetycznego jako funkcja temperatury In[5]:= rys H_ : Plot C B T, H, T, 0, 3, DisplayFunction Identity, PlotStyle Hue 0.35 H 0.7 Show Map rys, Table H, H, 0, 1, 0.15, DisplayFunction $DisplayFunction, Frame True, FrameLabel "T", "C H ", RotateLabel False, FrameTicks False ; C H T Jak widać wraz ze wzrostem pola magnetycznego maksimum ciepła właściwego przesuwa się w kierunku wyższych temperatur. Zadanie Obliczyć magnetyzację jednowymiarowego modelu Isinga, czyli średni całkowity moment magnetyczny łańcucha spinów. Magnetyzacja jest równa całkowitemu momentowi magnetycznemu układu uśrednionemu po rozkładzie kanonicznym. Moment magnetyczny pojedynczego spinu σ wynosi µσ. Stąd M = µ (σ 1 + σ +... + σ N ) czyli na podstawie równania (16.9) na sumę statystyczną w rozkładzie kanonicznym: 7

M = 1 Z σ 1,σ,...,σ N = 1 ( µ B (σ 1 + σ +... + σ N ) exp E(σ ) 1, σ,..., σ N ) Przyglądając się postaci wyrażenia (16.11) na E/ można zauważyć, że zawiera ono w sobie potrzebną sumę wszystkich spinów: E(σ 1, σ,..., σ N ) = Na N bσ i σ i+1 c (σ 1 + σ +... + σ N ) czyli c ( ) E = σ 1 + σ +... + σ N Wobec czego magnetyzację M można wyrazić przez pochodną sumy statystycznej Z po parametrze c M = µ Z Z c = µ c ln Z Różniczkując po parametrze c wzór (16.4) otrzymujemy: M = ln Z µ B N cosh c ± sinh c + e 4b ( sinh c + ) sinh c cosh c = sinh c + e 4b = µ B sinh c sinh c + e 4b gdzie c = µ B B/. W nieobecności pola magnetycznego, dla c = 0 mamy M = 0. Jednowymiarowy układ spinów Isinga nie wykazuje spontanicznej magnetyzacji. Maksymalna wartość namagnesowania jest wtedy gdy wszystkie spiny są ustawione w tym samym kierunku: M max = ±Nµ 8

zaleznosc magnetyzacji M od zewnetrznego pola magnetycznego H In[8]:= M a_, b_, c_ D lnz a, b, c, c ; M H_, T_ M a, b, c. sub; In[]:= rys T_ : Plot M H, T, H, 5, 5, DisplayFunction Identity, PlotStyle Hue 0.0 T 0.5 ; Show Map rys, Table T, T, 0.5, 10, 0.8, DisplayFunction $DisplayFunction, Frame True, FrameLabel "H", "M", RotateLabel False, FrameTicks None, 1, " NΜ", None, 1, "NΜ" ; NΜ M NΜ H Wielkość zwana podatnością magnetyczną χ = M B określa wpływ jaki wywiera na namagnesowanie łańcucha zmiana zewnętrznego pola magnetycznego. Jest ona równa nachyleniu stycznej do wykresu funkcji M(H). Jak widać w bardzo niskich temperaturach i dla słabego pola magnetycznego χ dąży do nieskończoności. Oznacza to, że bardzo słabe pole magnetyczne może wywołać uporządkowanie spinów. Przykładanie silniejszego pola nie wpływa już istotnie na uporządkowanie łańcucha. T 9