MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 1. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań

Transkrypt

1 MTEMTYK Przed próbną maturą. Sprawdzian. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań Zadanie. ( pkt) III... Uczeń posługuje się w obliczeniach pierwiastkami i stosuje prawa działań na pierwiastkach = =, NW Zadanie. ( pkt) P.. Uczeń rozwiązuje nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą. x < x < Odpowiedź:. Zadanie. ( pkt) P.7. Uczeń oblicza błąd bezwzględny i błąd względny przybliżenia. Rzeczywista pojemność: M Pojemność z etykiety (deklarowana): 500 G G = 0 M, więc rzeczywista pojemność dysku w G jest równa: = 88, 8 łąd względny: 88, % =, % 88, 8 Odpowiedź:. Zadanie. ( pkt) P.9. Uczeń wykonuje obliczenia procentowe. ena smartfonu: 800 zł Pierwsza obniżka o 0%: 0% 800 = 60 (zł) ena smartfonu po pierwszej obniżce: 60 (zł) ruga obniżka: 0% 60 = 8 (zł) Obecna cena smartfonu: 5 (zł) Odpowiedź:. Zadanie 5. ( pkt) P.. Uczeń korzysta z własności iloczynu przy rozwiązywaniu równań. P.7. Uczeń rozwiązuje równanie kwadratowe. x 6x + 8x = 0 x(x 6x + 8) = 0 x = 0, x =, x = Suma najmniejszego i największego rozwiązania: 0 + =. Odpowiedź:. Symbol III oznacza wymaganie z podstawy programowej dla III etapu edukacyjnego (gimnazjum), P część podstawy programowej dla zakresu podstawowego szkoły ponadgimnazjalnej.

2 Zadanie 6. ( pkt) P.. Uczeń używa wzorów skróconego mnożenia. ( ) + ( + ) Odpowiedź: = = = 7 Zadanie 7. ( pkt) P.. Uczeń oblicza wartości funkcji. Miejsce zerowe funkcji g(x): x =. Wartość funkcji f(x) dla x = : ( ) + ( ) + m = 0 m = Zadanie 8. ( pkt) III.7.6. Uczeń rozwiązuje układy równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi. x + y + x = x + y + x = x + y = x y x y + y = + y = x + y = x + y = x + y = y = Po odjęciu stronami x = x = x = Odpowiedź:. Zadanie 9. ( pkt) P.7.. Uczeń rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje cechy podobieństwa trójkątów. Trójkąty EF, E i są podobne (kkk). PEF = E PE = = k k = Zatem = = i trójkąty i E są podobne w skali k = i stąd pole trójkąta jest k = 9 razy większe niż pole trójkata E, czyli P = 9 P E = 9 = 7. Odpowiedź:. EF E F Zadanie 0. ( pkt) III.0.7. Uczeń stosuje twierdzenie Pitagorasa. III.0.8. Uczeń rozpoznaje symetralną odcinka. P = 0, PR = PQ = 8 Trójkąt PR jest prostokątny (prosta jest symetralną PQ). Z twierdzenia Pitagorasa R = 6 i stąd =. Odpowiedź:. P R Q

3 Zadanie. ( pkt) P5.. Uczeń stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego. Mamy: a aq aq = 6 (aq) = 6 aq = 6 Stąd wymiary prostopadłościanu: a =, b = 6, c = 8 i suma długości krawędzi: S = 0. Zadanie. ( pkt) P0.. Uczeń oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa. Ω = {0,,,, 99}; Ω=90 zbiór liczb podzielnych przez 6 należących do Ω = {, 8,,, 96}; = 5 P() = 5 = 90 6 Zadanie. ( pkt) P.7.. Uczeń korzysta z własności funkcji trygonometrycznych. III.6.7. Uczeń wyznacza wskazaną wielkość z podanych wzorów, w tym geometrycznych i fizycznych. III..7. Uczeń stosuje obliczenia na liczbach wymiernych do rozwiązywania problemów w kontekście praktycznym, w tym do zamiany jednostek. Ze skali na mapie: cm odpowiada 50 m. Odległość rzeczywista pozioma między i : d = 000 m. Zatem z własności trójkąta równobocznego lub funkcji trygonometrycznych (jeśli przyjmiemy =, 7) w trójkącie prostokatnym s = m. Stąd V = s t t = s, km = 0, h,87 min min V 0 km/h UWG: Uznajemy rozwiązania powstałe z przyjęcia innych przybliżeń! wyznaczenie drogi s; obliczenie czasu podróży t i podanie wyniku w minutach. = 0 s d Zadanie. ( pkt) P.. Uczeń stosuje wzory skróconego mnożenia. P.5. Uczeń rozwiązuje nierówności kwadratowe. (x ) x(x ) (x + ) 7 x x + 0 x =, x = x, doprowadzenie nierówności do postaci x x + 0; rozwiązanie nierówności.

4 Zadanie 5. ( pkt) P.7.. Uczeń korzysta z własności stycznej do okręgu. Z własności stycznej do okręgu: P = Q = a oraz P = R i R = Q. Stąd obwód trójkąta jest równy: + R + R + = + P + Q + = P + = a. przeprowadzenie pełnego uzasadnienia. P R Q S Zadanie 6. ( pkt) P5.. Uczeń bada, czy dany ciąg jest arytmetyczny i geometryczny. P.8. Uczeń rozwiązuje proste równania wymierne, prowadzące do równań liniowych lub kwadratowych. Szukane liczby: a, b, c. Z warunków zadania wynika: a + b + c b c = 9; b a = c b; a = +. b Ponadto a + c = b a + c = b. Stąd a + b + c = 9 b = 9 b = 9 (można to też łatwo wywnioskować z własności ciągu arytmetycznego). o rozwiązania jest układ równań: 9 a = c 9 a + c = = c + ( a ) ( c + ) = a 9 (a ) ( a) = 8 a a = 0 = 576 a = a = 8 c = c = 0 Warunki zadania spełniają a =, b = 9, c =. wyznaczenie b; zapisanie układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi; rozwiązanie równania kwadratowego; wybranie i zapisanie właściwego rozwiązania. Zadanie 7. ( pkt) III.0.7. Uczeń stosuje twierdzenie Pitagorasa. III.0.9. Uczeń oblicza pole trójkąta. P.8.5. Uczeń wyznacza współrzędne środka odcinka. P.8.6. Uczeń oblicza odległość dwóch punktów. = (0, 0), = (, ) Punkt leży na osi OY, zatem = (0, y). Trójkąt jest równoramienny, więc jest środkiem podstawy, stąd = (, ). Odcinek jest wysokością prostopadłą do podstawy i trójkąt jest prostokątny. Stosując twierdzenie Pitagorasa do wyznaczenia długości odcinków i, a następnie do trójkąta, wyznaczymy wierzchołek. = 5, = y, = y y + 5 i dalej y = 5. Wierzchołek ma współrzędne (0, 5). Pole trójkąta (z wykorzystaniem poprzednich obliczeń): = 5 Y Y X X

5 = y y + 5 = 0 = P = = 0 (Pole łatwo obliczyć przez przyjęcie podstawy lub przez dorysowanie prostokąta i odpowiednią różnicę pól.) sporządzenie rysunku, wyznaczenie współrzędnych punktu ; wyznaczenie i ; wyznaczenie współrzędnych punktu ; obliczenie pola trójkąta. 5