Matematyka fiasowa - 9 Istrumety pochoe - opcje Kombiacje opcji Zysk w zależości o cey T w momecie T z kombiacji 4 opcji kupa (2 pozycje łuie 2 pozycje krótkie) - la kostrukcji pozycji butterfly lo: 1- jea opcja kupa po 8PLN kosztująca 18PLN pozycja łua 1 8 6 4-4 6 8 1 1 14 16 18 2- oatkowo: jea wystawioa opcja kupa po 1PLN kosztująca 8PLN pozycja krótka (kombiacja bull sprea) 1 8 6 4-4 6 8 1 1 14 16 18-4 -6-8
3- oatkowo: jea wystawioa opcja kupa po 1PLN kosztująca 8PLN pozycja krótka (kombiacja call ratio sprea) 4 6 8 1 1 14 16 18 - -4-6 -8 4- oatkowo: jea opcja kupa po 1PLN kosztująca 6PLN pozycja łua (kombiacja butterfly) 6 4-4 6 8 1 1 14 16 18-4 -6-8
Dwumiaowy moel wycey istrumetów pochoych. Moel Coxa-Rossa-Rubisteia Załóżmy,że papier bazowy o ceie t w chwili t może w momecie t t kosztować: tt t t z prawopoobieństwem z prawopoobieństwem 1p p tj. zmiaa cey astępuje w schematu a rzewku: p t t 1p t Załóżmy,że rocze oprocetowaie lokat (obliacji) wyosi r i iech 1r e ( rocza stopa ciąła). Przyjmujemy,że: t e t t t yż w przypaku przeciwym możliwy by był tzw. arbitraż. Wartość t t istrumetu pochoeo a te papier w momecie t t jest zależa o cey papieru bazoweo tt w momecie t t : t z prawopoobieństwem z prawopoobieństwem 1p p Problem polea a ustaleiu sprawieliwej wartości istrumetu pochoeo w momecie t p? 1p
Rozważmy replikę istrumetu pochoeo, tz. portfel A skłaający się z: jeostek papieru bazoweo, jeostek obliacji utworzoy w momecie t. Jeo wartość w momecie t wyosi V A t t L t zie L t cea jeej obliacji w momecie t. W momecie t t wartość portfela A wyosi V A t t tt L tt t L t e t z pr. t L t e t z pr. 1p p Ustalmy przy jakich, wartość portfela A w momecie t t jest taka sama jak wartość istrumetu pochoeo, tz. rozwiążmy ze wzlęu a, ukła rówań Otrzymujemy: t L t e t t L t e t t t t t L t t t e t koro portfel A z tak obraymi, zapewia w momecie t t to samo co istrumet pochoy, to także w momecie t wiie być wart tyle samo (w przeciwym wypaku moża wykoać arbitraż). Zatem V A t t t t f t t t L t t t et L t e t e t f t t t t f t t t t t e t e t e t t f t e t t f t t f t t e t e t t t f t t e t t t t t t e t t t t t f t t e t t f t e t qf t 1qf t t t czyli
e t q 1q zie q et t t t t. Ootujmy,że poieważ t e t t t to q et t t t t 1 więc o q moża myśleć jak o owym (iezależym o p) prawopoobieństwie, tzw. prawopoobieństwie arbitrażowym (owa miara martyałowa). Dla opcji kupa z termiem wykoaia T i ceą rozliczeia X mamy więc (la okresu t,t t Tt,T): e t qmax t X, 1q max t X, q et t t t t Gy założymy,że t t u, t t l,u 1, l 1 to e t qmax t ux, 1q max t l X, q et t t t t Zaaie. Wyliczyć f T2t zakłaając schemat zmia ce papieru bazoweo w mometach t T2t,t t Tt,t 2t T
t t t t t t t Przy założeiu,że okres czasu t,t jest pozieloy a pookresów i1 Tt, i Tt,i 1, 2,..., łuości t 1 T, a zmiay ce są moelowae a okresowym rzewku wumiaowym, któreo pojeyńczym oiwem jest p i u i 1p i zie i t i Tt otrzymujemy (przez iukcję) wzór a ceę opcji c t C t c t,t t a,, q Xe Tt a,, q e t j j q j 1 q j max,u j j t X,
q et u,q e t uq l X a 1 t l u a,,q Q,i a i1 Uwaa. Przy opowieich założeiach, z powyższeo wzoru otrzymujemy w raicy ( ) formułę Blacka-cholesa: c t C t c t,t t Xe Tt Tt,