Opcje III. 1. Opcje na indeksy

Transkrypt

1 . Opcje na ineksy Opcje III Na wielu giełach notowane są opcje na ineksy giełowe, w których instrumentem bazowym jest ineks. Najbarziej popularnymi opcjami ineksowymi są: opcja na ineks S&P500 (opcja typu europejskiego oraz wie opcje typu amerykańskiego, tj.: opcja na ineks S&P00 i opcja na Major Market Inex. Rozliczenie tych opcji obywa się w gotówce. Wielkość kwoty rozliczenia zależy o notowania ineksu na zakończenie nia giełowego, w którym zostały wyane instrukcje otyczące wykonania opcji. Mnożnikiem w kontrakcie opcyjnym jest 00, a więc kwota rozliczenia wynosi: o (S-K*00 o (K-S*00 w przypaku kupna opcji call, w przypaku kupna opcji put. Oprócz opcji ineksowych o stosunkowo krótkim terminie wygaśnięcia w obrocie giełowym znajują się także opcje ługoterminowe zwane LEAPS (Long-term Equity Anticipation Securities o terminie wygaśnięcia o trzech lat. Data wygaśnięcia opcji LEAPS wyznaczana jest zawsze na gruzień. Jeen kontrakt jest opcją na jeną ziesiątą wartość ineksu pomnożoną przez 00. Kolejną innowacją CBOE są opcje cap opiewające na S&P00 i S&P500. Są to opcje, z których ochó jest ograniczony o maksymalnej sumy $30. Opcje cap są opcjami europejskimi z zastrzeżeniem, że opcja cap call jest automatycznie wykonywana, jeżeli poziom zamknięcia ineksu przekroczy o $30 poziom ceny wykonania, zaś opcja sprzeaży jest automatycznie wykonywana, jeżeli poziom zamknięcia ineksu spanie o więcej niż $30 wzglęem poziomu ceny wykonania. CBOE wprowaziła także opcje flex. W przypaku tych opcji inwestorzy określają samozielnie atę wygaśnięcia, cenę wykonania, sposoby rozliczenia opcji, a także to czy ana opcja jest amerykańska, czy europejska. Moel wyceny Mertona Ineks giełowy możemy traktować tak samo jak walor przynoszący ywienę o znanej stopie. Poobne założenie zostało przyjęte w moelu Mertona wyprowazonego z moelu wyceny Blacka-Scholesa. Wartość opcji na ineksy w tym moelu została przestawiona w ćwiczeniach nr 0, gzie za wartość S przyjmujemy wartość ineksu giełowego, a za K cenę wykonania anego ineksu.. Opcje walutowe Philaelphia Stock Exchange rozpoczęła obrót opcjami walutowymi w 98 r. Najważniejszymi z nich są opcje opiewające na następujące instrumenty bazowe (waluty bazowe: olar australijski, funt brytyjski, olar kanayjski, jen japoński i frank szwajcarski. Dla większości tych walut występują opcje typu europejskiego i amerykańskiego.

2 Terminy wygaśnięcia opcji przypaają w marcu, czerwcu, wrześniu i gruniu, z tym, że nie mogą one przekraczać 9 miesięcy. Ponato notowane są opcje o atach wygaśnięcia w każym z następnych wóch miesięcy. Cena opcji otyczy zakupu lub sprzeaży jenej jenostki waluty obcej za określoną kwotę olarów amerykańskich. Wielkość kontraktu opcyjnego zależy o waluty, na którą opiewa, np: 3 50 funtów brytyjskich, 6,5 mln jenów japońskich, olarów australijskich i franków szwajcarskich. Znaczna liczba transakcji opcjami walutowymi obywa się także na rynkach pozagiełowych, gzie instytucje finansowe kupują i sprzeają kontrakty opcyjne o cenach wykonania i terminach wygaśnięcia okłanie opowiaających potrzebom ich klientów. W związku z tym opcje walutowe stanowią alternatywę wobec walutowych kontraktów futures. Opcja walutowa nie nakłaa ponato obowiązku jej wykonania, co stanowi oatkową zaletę w porównaniu z kontraktem forwar. Moel wyceny Garmana-Kohlhagena Dla potrzeb wyceny opcji przyjmujemy, że waluta obca przypomina akcje o znanej stopie ywieny. Posiaacz anej waluty obcej otrzymuje stopę ywieny równą wolnej o ryzyka stopie procentowej (r f la anej waluty. Możemy ponownie skorzystać z postawowego wzoru Blacka-Scholesa wyceny opcji wypłacającej ywienę. Jeśli zastąpimy q przez r f to otrzymamy wzory umożliwiające wycenę europejskich opcji walutowych: Call Put Se Ke r T f N ( N ( Ke Se r T f N ( N ( gzie : ln( S / K + ( r r f + σ / T ln( S / K + ( r r f σ / T σ T S wartość aktualnego kursu wymiany (wartość jenej jenostki waluty obcej wyrażonej w walucie krajowej, K cena wykonania, r krajowa wolna o ryzyka stopa procentowa, r f zagraniczna wolna o ryzyka stopa procentowa, T czas o wygaśnięcia opcji, σ zmienność kursu walutowego, N(x ystrybuanta stanaryzowanej zmiennej o rozkłazie normalnym 3. Opcje na kontrakty futures Opcja na kontrakty futures uprawnia, ale nie zobowiązuje, o zawarcia kontraktu futures po określonej cenie w określonym momencie w przyszłości. Opcja kupna kontraktu futures aje prawo o zajęcia ługiej pozycji futures po określonej cenie, zaś opcja sprzeaży aje

3 posiaaczowi prawo o zajęcia krótkiej pozycji futures po określonej cenie. Większość opcji na kontrakty futures to opcje amerykańskie. Datę wygaśnięcia tych opcji ustala się zwykle na kilka ni prze pierwszym niem ostawy la kontraktu futures, na który ana opcja opiewa. Kiey opcja kupna jest wykonywana to jej posiaacz otrzymuje ługą pozycję w kontraktach futures, na które opiewa opcja, a także sumę wynikającą z różnicy pomięzy ceną terminową, a ceną wykonania. Posiaacz opcji sprzeaży otrzymuje natomiast pozycję krótką w kontraktach futures, powiększoną o różnicę pomięzy ceną wykonania, a ceną terminową. W obu przypakach kontrakty futures maja zerową wartość i mogą być natychmiast zamknięte. Dochó związany z opcjami na kontrakty futures jest następujący: o Max[F-K,0] premia o Max[K-F,0] premia w przypaku kupna opcji call, w przypaku kupna opcji put. Przyczyny popularności opcji na kontrakty futures - płynność tego rynku jest większa niż płynność aktywów pierwotnych, - zajęcie pozycji w tych opcjach wiąże się zwykle z niższymi kosztami transakcyjnymi, - opcje na kontrakty futures nie wiążą się z fizyczną ostawą anego instrumentu bazowego, a jeynie kontraktu na ten instrument. W wielu przypakach łatwiej jest ostarczyć any kontrakt terminowy, niż konkretny instrument bazowy (waluta, towar. Moel Blacka wyceny opcji na kontrakty futures W artykule opublikowanym w 976 roku Fisher Black rozszerzył moel Blacka-Scholesa na europejskie opcje na kontrakty futures. Założył on, że cena terminowa ma taki sam rozkła logarytmiczno-normalny jak cena akcji wypłacającej ywienę w sposób ciągły o stopie równej wolnej o ryzyka stopie procentowej. Jeśli we wzorach na wycenę opcji zastąpimy S przez F i q przez r to otrzymamy wzory umożliwiające wyceną europejskiej opcji kupna i sprzeaży kontraktów futures: Call Put e e rt [ FN [ KN ( ( KN FN ( ( ] ] gzie : ln( F / K + σ / T ln( F / K σ / T σ T F cena terminowa K cena wykonania, r krajowa wolna o ryzyka stopa procentowa, T czas o wygaśnięcia opcji, σ zmienność ceny terminowej, N(x ystrybuanta stanaryzowanej zmiennej o rozkłazie normalnym 3

4 4. Opcje procentowe Opcje procentowe to opcje, z których ochó jest w pewnym sensie uzależniony o poziomu stóp procentowych. Instrumentem bazowym jest instrument finansowy, w którym płatności zależą o stopy procentowej, np.: bony skarbowe, obligacje, epozyty. Ceny poawane są w procentach wartości nominalnej instrumentu bazowego. Najbarziej popularnymi opcjami procentowymi notowanymi na giełach są opcje na kontrakty futures na epozyty euroolarowe oraz na kontrakty futures na ługo- i śrenioterminowe obligacje skarbowe. Ceny wykonania opcji przestawiane są w procentach wartości nominalnej. Jeśli stopy procentowe rosną to ceny obligacji spaają, natomiast przy spaających stopach procentowych ich ceny wzrastają. W związku z tym spekulant nastawiony na wzrost stóp procentowych bęzie kupował opcje sprzeaży, poczas gy inwestor spoziewający się spaku stóp procentowych nabęzie opcje kupna. Możemy wyróżnić następujące rozaje opcji procentowych: Opcje wbuowane. Niektóre obligacje zawierają wbuowane w nie opcje kupna bąź sprzeaży. Obligacja z opcją przeterminowego wykupu na żąanie emitenta zawiera zastrzeżenie pozwalające emitentowi na wcześniejszy wykup tej obligacji po uprzenio określonej cenie w określonym momencie w przyszłości, co jest równoznaczne z tym, że nabywca takiej obligacji sprzeaje emitentowi opcję kupna. Występują także obligacje z opcją przeterminowego wykupu na żąanie posiaacza obligacji, zawierające zastrzeżenie pozwalające właścicielowi takiego instrumentu wymagać wcześniejszego wykupu po uprzenio określonej cenie w ustalonym okresie w przyszłości. Nabywca takiej obligacji kupuje wraz z sama obligacją opcję sprzeaży tej obligacji. Istnieją również inne instrumenty, w które wbuowane są opcje. Przywilej wcześniejszego wycofania epozytów o stałym oprocentowaniu jest opowienikiem obligacji z opcją przeterminowego wykupu na żąanie jej właściciela. Poobnie przywilej przeterminowej spłaty pożyczek o stałym oprocentowaniu jest opowienikiem obligacji z opcją przeterminowego wykupu na żąanie emitenta. Hipoteczne papiery wartościowe (mortgage-backe securities MBS. Powstają w wyniku sekurytyzacji pożyczek hipotecznych, czyli naania cech zbywalności pożyczkom hipotecznym pozostającym w portfelu wartościowym instytucji finansowej. Sprzeawane pożyczki są gromazone w formie funuszu zamkniętego zwanego pool, którego jenostki są rozprowazane wśró inwestorów nabywających prawa o określonego osetka wartości nominalnej oraz oprocentowania wynikającego z pożyczek hipotecznych wchozących w skła portfela. Pożyczki hipoteczne zgromazone w funuszu MBS uwzglęniają możliwość wcześniejszej spłaty. W związku z tym można uznać, że posiaacz MBS oferuje pożyczkobiorcy serię opcji procentowych. Opcje swapowe (swaptions są to opcje wystawiane na swapy procentowe. Instrumenty te aję posiaaczowi prawo zajęcia określonej pozycji w swapie procentowym w określonym momencie w przyszłości. Opcje swapowe są korzystniejsze niż stanarowe kontrakty swapowe z uwagi na to, że ają ich posiaaczowi prawo o zajęcia pozycji, a nie stanowią obowiązek o jej zajęcia. Związane są jenak z oatkową opłatą, którą należy ponieść w momencie otwierania pozycji ługiej lub krótkiej, czego nie ma w stanarowych kontraktach swapowych. Kontrakty na pułap stopy procentowej. Na rynku pozagiełowym oferowane są kontrakty na górny pułap stopy procentowej (interest-rate cap, na olny pułap stopy procentowej (floor oraz kontrakty na górny i olny pułap stopy procentowej (collar, 4

5 floor-ceiling. Kontrakt cap ma na celu zabezpieczenie inwestora prze wzrostem poziomu zmiennych stóp procentowych powyżej określonego w kontrakcie poziomu, natomiast kontrakt typu floor zabezpiecza inwestora prze spakiem poziomu stóp procentowych poniżej określonego poziomu. Kontrakt cap możemy rozpatrywać jako portfel europejskich opcji kupna. Skonstruowany jest on w ten sposób, że gwarantuje on w każym momencie stopę oprocentowania pożyczki na poziomie niższej z wóch wartości: stopy rynkowej i górnego pułapu procentowego (cap rate. Profil wypłaty la posiaacza takiej opcji określony jest następująco: t*n*max[r k- r CAP,0] gzie: N kapitał nominalny, t ostęp czasu w latach pomięzy poszczególnymi płatnościami osetek, r k- zmienna stopa procentowa w chwili (k-t, r CAP górny pułap stopy procentowej. Kontrakt floor jest portfelem procentowych opcji sprzeaży wystawianych przez pożyczkobiorcę korzystającego z kreytu o oprocentowaniu zmiennym. Moel Blacja-Scholesa wyceny opcji na obligacje Najprostszym moelem służącym o wyceny opcji na obligacje jest moel Blacka- Scholesa: Call Put BN ( Ke Ke N ( N ( BN ( gzie : ln( B / K + ( r + σ / T ln( B / K + ( r σ / T σ T B aktualna cena obligacji, K cena wykonania, r wolna o ryzyka stopa procentowa, T czas o wygaśnięcia opcji, σ zmienność ceny obligacji, N(x ystrybuanta stanaryzowanej zmiennej o rozkłazie normalnym Jeśli w okresie ważności mają być wypłacane płatności kuponowe z obligacji, to prze użyciem wzorów wartość bieżąca tych płatności powinna być ojęta o B, a w miejsce parametru zmienności σ powinien być wstawiony parametr la ceny obligacji pomniejszonej o wartość bieżącą płatności kuponowych. 5. Pozycje zabezpieczające w opcjach 5

6 Hanel opcjami wiąże się z ryzykiem poniesienia straty. Inwestorzy ążą o skonstruowania opowienich strategii zabezpieczających spaek wartości portfela poniżej określonej wartości. Skonstruowanie takiej strategii nie jest procesem łatwym, z uwagi na to, że wraz z upływem czasu zmieniają się czynniki wpływające na wartość opcji (zmienność, stopa procentowa, stopa ywieny i w związku z tym na całą strategię zabezpieczającą. Wyróżniamy następujące strategie zabezpieczające: Pozycje bez pokrycia i z pokryciem. Jena z możliwych strategii polega na tym by nie poejmować żanych kroków w celu zabezpieczenia pozycji. Jest to tzw. pozycja bez pokrycia (nake position. Jeśli inwestor zajmuje pozycję krótką w opcji, to w momencie wygaśnięcia, bęzie zmuszony o zakupu lub sprzeaży instrumentu bazowego po aktualnej cenie rynkowej. Jeśli opcja bęzie in-themoney poniesie on stratę równą różnicy pomięzy ceną wykonania, a ceną instrumentu bazowego w momencie wygaśnięcia, z opowienim znakiem, w zależności o tego czy bęzie to opcja kupna czy sprzeaży. Alternatywą la powyższej strategii jest zajęcie pozycji z pokryciem (covere position. Strategia ta polega na wystawieniu opcji kupna i kupnie opowieniej ilości instrumentów bazowych, na które te opcje opiewają. Przynosi ona opowienie efekty, jeśli ochozi o wykonania opcji. Inwestor ostarcza wtey zakupione wcześniej aktywa bazowe, a jego zysk jest równy zainkasowanej premii. W przeciwnym wypaku, jeśli cena instrumentu bazowego spanie, to inwestor poniesie stratę. Strategia ograniczania straty (stop-loss strategy Wyobraźmy sobie sytuację instytucji, która wystawiła opcję kupna. Strategia ograniczania straty polega na utrzymywaniu pozycji bez pokrycia, kiey opcja jest out-of-the-money i na utrzymywaniu pozycji z pokryciem, gy opcja jest in-the-money. Oznacza to kupno akcji w chwili, gy ich cena wzrośnie o poziomu K i sprzeaży tych akcji, gy ich cena spanie poniżej tego poziomu. Początkowy koszt skonstruowania strategii wynosi S, gy S>K, lub 0 w innym wypaku. W związku z tym wyaje się, jeśli opcja bęzie in-the-money, że całkowity koszt związany z wystawieniem i zabezpieczeniem opcji wyniósłby: Koszt max(s-k, 0 Jenak w rzeczywistości należałoby zyskontować te przepływy pieniężne, a ponato nie jest możliwy zakup i sprzeaż akcji po tej samej cenie K. W związku z tym koszt tej strategii staje się zbyt wysoki. Strategia zabezpieczająca elta (elta heging. Współczynnik elta opcji ( efiniujemy jako wzglęną zmianę ceny opcji wzglęem zmiany ceny jej aktywów bazowych: Delta ceny opcji / S Strategia zabezpieczająca elta ma na celu uopornić wartość portfela zawierającego opcje na niewielkie wahania cen aktywów bazowych w niewielkim przeziale czasu. Polega na stworzeniu portfela złożonego z opcji i aktywów bazowych, la którego współczynnik elta 6

7 bęzie równy 0 (elta neutral. Wówczas zysk lub strata z pozycji w opcjach jest rekompensowany przez stratę lub zysk w aktywach bazowych (elta aktywów bazowych jest równa. Pozycja inwestora pozostaje elta neutral jeynie przez krótki okres, co wynika z ciągłych zmian wartości elta. W praktyce, więc stosowanie strategii zabezpieczającej elta związane jest z koniecznością okresowego korygowania zajmowanej pozycji (rebalancing. Wówczas mamy o czynienia z tzw. ynamiczną strategią zabezpieczającą (ynamic elta heging. Współczynnik elta możemy wyprowazić z wzorów zaproponowanych przez Blacka- Scholesa. W przypaku europejskiej opcji kupna i sprzeaży spółek nie wypłacających ywieny bęzie on równy: call N( put N( - Konstruowanie strategii zabezpieczającej w oniesieniu o krótkiej (ługiej pozycji w europejskiej opcji kupna polega na utrzymywaniu ługiej (krótkiej pozycji w N( aktywach bazowych. W przypaku europejskiej opcji sprzeaży elta przyjmuje wartość ujemną, co oznacza, że ługą (krótką pozycję w opcjach sprzeaży należy zabezpieczać ługą (krótką pozycją w (N( - akcjach. Strategia zabezpieczająca elta stanowi jenak zabezpieczenie jeynie przy niewielkich zmianach ceny instrumentu bazowego mięzy kolejnymi korektami pozycji. Barziej skuteczną strategią zabezpieczającą,, eliminującą część nieoskonałości elta hegingu, bęzie strategia zabezpieczająca gamma. Strategia zabezpieczająca Gamma. Polega ona na tworzeniu portfela o zerowym współczynniku gamma i elta jenocześnie. Współczynnik gamma portfela skłaającego się z opcji określa wzglęną zmianę wartości współczynnika elta wzglęem zmiany ceny aktywów bazowych. Niewielka wartość Γ oznacza, że elta zmienia się barzo powoli, a korekty pozycji zabezpieczającej mogą być okonywane niezmiernie rzako. Gy wartość gamma jest wysoka, elta wykazuje wysoką wrażliwość na zmiany ceny aktywów bazowych. W takiej sytuacji pozostawienie portfela o zerowym współczynniku elta jest barzo ryzykowne i prowazi o błęu (rysunek nr. W związku z tym, że współczynnik gamma pozycji w aktywach bazowych i kontraktach terminowych na te aktywa jest równy zero, to jeyną możliwością zmiany współczynnika gamma jest zajęcie opowieniej pozycji w opcjach. 7

8 cena opcji kupna C C C S S cena akcji Rysunek nr. Błą strategii zabezpieczającej elta związany z zakrzywieniem (współczynnikiem gamma. Załóżmy, że portfel elta neutral charakteryzuje się współczynnikiem gamma równym Γ, a zbywalna opcja ma współczynnik gamma równy Γ T. Jeśli liczba oanych o portfela opcji bęzie równa w T, to gamma tego portfela bęzie równa: W T *Γ T + Γ 0 <> w T - Γ / Γ T Zawarcie takiej pozycji spowouje naturalnie zmianę wartości elta portfela. Konieczna jest korekta pozycji w aktywach bazowych w celu przywrócenia elty portfela równej zero. W ten sposób inwestor może stworzyć strategię zabezpieczającą gamma, która pozwoli zabezpieczyć portfel opcyjny prze użymi i małymi zmianami wartości aktywów bazowych. Musimy jenak pamiętać, że zerowa wartość współczynnika gamma może być utrzymana jeynie przez krótki okres i w miarę upływu czasu musi być korygowana. Współczynnik gamma la europejskiej opcji kupna/sprzeaży akcji nie wypłacających ywieny możemy obliczyć na postawie wzoru Blacka-Scholesa: Γ N ( / (S*σ*T /, gzie: ln( N ' ( S / K y + σ ( r + σ T e y / T / Możliwe są także inne strategie zabezpieczające oparte na współczynnikach charakterystycznych la opcji: - vega określa wzglęną zmianę wartości portfela wzglęem zmiany zmienności aktywów bazowych, 8

9 - theta - określa wzglęną zmianę wartości portfelu wzglęem czasu o wygaśnięcia opcji, - rho określa wzglęną zmianę wartości portfela wzglęem zmiany wolnej o ryzyka stopy procentowej. Zaania o ćwiczeń. Zaanie nr /38. Inwestor posiaa portfel o zerowym współczynniku elta i współczynniku gamma równym Delta i gamma la opcji wchozących w skła tego portfela wynoszą opowienio 0.6 i.5. Inwestor pragnie sprowazić wartość współczynników gamma i elta powyższego portfela o zera. Zaproponuj strategię. Zaanie nr. Oblicz wartość europejskiej opcji kupna walutowej wystawionej na EURO, o następujących charakterystykach: S , K , r 7%, r f 3%, T 0.5, σ 3%. Sprawź jak zmieni się cena tej opcji, jeśli jej zmienność wyniesie: (a %, (b 4%. Zaanie nr 3. Oblicz wartość europejskiej opcji kupna na kontrakt futures na ineks S&P500 o następujących charakterystykach: S 90, K 960,r 3%, T 0.5, σ 9%. Delta tej opcji wynosi., a gamma Inwestor pragnie sprowazić wartość współczynników gamma i elta powyższego portfela o zera. Zaproponuj strategię. 9