Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX

Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie pojęcia macierzy oraz podstawowych operacji na macierzach i zapoznanie słuchaczy z własnościami tychże operacji. Macierze są obiektami matematycznymi o bardzo szerokich zastosowaniach w matematyce, zarówno szkolnej, jak i wyższej. Stosuje się je między innymi do rozwiązywania układów równań liniowych postaci { ax + by = c1 cx + dy = c 2. Jednak w wykładzie tym, interesującymi dla nas będą fakty dotyczące macierzy i operacji na nich, a nie zastosowania. 1

Definicja macierzy Definicja 1. Niech m, n N. Macierzą o wymiarach m n o współczynnikach rzeczywistych nazywamy każdą funkcję A: {1,..., m} {1,..., n} R. Macierz jest zatem funkcją, która przyporządkowuje parze i, j liczb naturalnych, gdzie i {1,..., m}, j {1,..., n} liczbę rzeczywistą Ai, j, często oznaczaną symbolem a ij. 2

Jak rozumieć definicję macierzy? Macierz o wymiarach m n możemy traktować jako tablicę o m wierszach i n kolumnach. We wierszu o numerze i a w kolumnie o numerze j takiej tablicy umieszczamy wartość funkcji A w punkcie o współrzędnych i, j, czyli Ai, j, uzyskując np. dla m = 2, n = 3: A = A1, 1 A1, 2 A1, 3 A2, 1 A2, 2 A2, 3, czyli A = a11 a 12 a 13. a 21 a 22 a 23 3

Przykładowe macierze A = 3 2 1 1 7 0 8 2 4 2 1 1 0 7 4 3 a 11 = A1, 1 = 3, a 12 = A1, 2 = 2, a 23 = A2, 3 = 8 2, a 32 = A3, 2 = 2, a 43 = A4, 3 = 7. Poniżej macierz kwadratowa, czyli macierz o jednakowej liczbie kolumn i wierszy m = n = 3 1 2 1 B = 1 2 0 3 4 2 1 3 3.. 4

Dodawanie macierzy Definicja 2. Niech A, B będą macierzami o wymiarach m n, m, n N i współczynnikach rzeczywistych. Sumą macierzy A i B nazywamy macierz C = A + B o wymiarach m n taką, że c ij = a ij + b ij, dla dowolnej pary liczb i {1,..., m}, j {1,..., n}. A = 1 2 1 4 0 3 2 3 B = 8 2 1 2 0 1 2 3. C = A + B = 9 4 0 6 0 4 2 3 5

Mnożenie macierzy przez liczbę Oznaczmy przez M m n R zbiór wszystkich macierzy o współczynnikach rzeczywistych. Niech A M m n R, t R. Wynikiem mnożenia macierzy A przez liczbę t jest macierz B = ta taka, że dla dowolnej pary liczb i {1,..., m}, j {1,..., n} mamy równość b ij = ta ij. Na przykład dla mamy B = ta = 1 2 t = 1 2, A = 2 3 0 6 10 4 2 3 0 6 10 4 2 3 = 2 3, 1 3 2 0 3 5 2 2 3. 6

Mnożenie macierzy przez macierz Niech A M m n R, B M n k R, m, n, k N. Definicja 3. Iloczynem macierzy A i B nazywamy macierz C = AB M m k R taką, że dla dowolnej pary liczb i {1,..., m}, j {1,..., n} zachodzi równość gdzie n c ij = a ir b rj, r=1 n z r = z 1 + z 2 + z 3 +... + z n 1 + z n. r=1 7

Przykład. [Mnożenie macierzy przez macierz] A = 2 3 0 6 1 4 2 3 B = 1 5 2 2 6 3 1 0 4 3 3 AB = 2 2 + 3 1 + 0 1 2 6 + 3 5 + 0 0 2 3 + 3 2 + 0 4 6 2 + 1 1 + 4 1 6 6 + 1 5 + 4 0 6 3 + 1 2 + 4 4 C = AB = 7 27 12 9 41 36 2 3 2 3 8

Istotne uwagi Dodawać do siebie można tylko macierze o jednakowych wymiarach, ale niekoniecznie kwadratowe Macierze A i B możemy pomnożyć tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy A odpowiada liczbie wierszy macierzy B, Mnożenie macierzy na ogół nie jest przemienne AB BA, a często nawet niewykonalne jest mnożenie BA, pomimo, że możemy wykonać mnożenie AB, 9

Ćwiczenia Ćwiczenie 1. Mając dane macierze A i B znajdź ich sumę C. Pomnóż każdą spośród macierzy A, B i C przez liczby 2 i 3. A = 5 7 8 0 6 8 2 3 B = 18 1 5 12 1 14 2 3. Ćwiczenie 2. Wykonaj mnożenie macierzy A = 2 3 1 1 4 3 2 3 B = 0 2 2 1 7 4 3 2. 10

Permutacje Zmierzamy do określenia wyznacznika macierzy kwadratowej. Definicja 4. Bijekcją nazywamy każdą funkcję f : X Y taką, że i jeżeli x 1 x 2, to fx 1 fx 2, f różnowartościowa ii dla dowolnego y Y istnieje element x X taki, że fx = y. f na Definicja 5. Niech n N. Permutacją zbioru {1, 2,..., n}, nazywamy każdą bijekcję f : {1, 2,..., n} {1, 2,..., n}. Permutacje oznaczamy często literkami greckimi σ, τ,... zamiast f, g,..., a zapisujemy w następującej postaci 11

1 2... n f1 f2... fn. 12

Przykłady permutacji, składanie permutacji Permutacje składamy w następujący sposób. Składając f = 1 2 3 4 4 2 1 3 z g = 1 2 3 4 2 3 4 1, uzyskujemy g f = 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 4 2 1 3 = 1 2 3 4 1 3 2 4 ; g f1 = gf1 = g4 = 1, g f2 = gf2 = g2 = 3, g f3 = gf3 = g1 = 2, g f4 = gf4 = g3 = 4. Zbiór wszystkich permutacji zbioru {1, 2,..., n} oznaczamy symbolem S n. 13

Cykle, transpozycje Definicja 6. Mówimy, że permutacja f S n zachowuje liczbę i {1, 2,..., n}, o ile fi = i. Definicja 7. Niech i 1, i 2,..., i k różne liczby ze zbioru {1, 2,..., n}, k n. Jeżeli permutacja f S n zachowuje pozostałe n k liczb ze zbioru {1, 2,..., n} oraz fi 1 = i 2, fi 2 = i 3,..., fi k 1 = i k, fi k = i 1, to mówimy, że f jest cyklem długości k i oznaczamy i 1 i 2... i k. Cykl długości 1 zachowuje każdy element zbioru, a cykl i j długości 2 nazywamy transpozycją. 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 = 1 2 3 4, = 1 4 3, = 2 3. 2 3 4 1 4 2 1 3 1 3 2 4 14

Rozkład permutacji na cykle i transpozycje Definicja 8. Niech k, l n Mówimy, że cykle f = i 1 i 2... i k, g = j 1 j 2... j l są rozłączne, o ile zbiory {i 1, i 2,..., i k }, {j 1, j 2,..., j l } są rozłączne. Zauważmy, że jeżeli cykle f, g są rozłączne, to g f = f g. Twierdzenie 9. Każda permutacja f S n jest złożeniem pewnej liczby cykli rozłącznych. Przedstawienie permutacji f w postaci złożenia cykli rozłącznych jest jednoznaczne z dokładnością do porządku czynników kolejności składania. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Przykład: = 1 8 9 52 3 6 4 7. 8 3 6 7 1 4 2 9 5 Każda permutacja z S n jest złożeniem pewnej liczby transpozy- Wniosek 10. cji. 15

Dowód. Zauważmy, że i 1 i 2... i k = i 1 i k i 1 i 3 i 1 i 2. Teza wniosku wynika z Twierdzenia 6. Ćwiczenie 3. Sprawdzić, że 1 2 3 4 = 1 41 31 2. 16

Rozkład permutacji na cykle i transpozycje Uwaga 11. Rozkład permutacji na iloczyn złożenie transpozycji nie jest jednoznaczny. Na przykład, w S 4 zachodzą równości 1 2 3 = 1 31 2 = 2 31 3 = = 1 34 21 21 4 = = 1 34 21 21 42 32 3. Uwaga 12. Przypomnijmy, że rozkład permutacji na cykle rozłączne jest jednoznaczny z dokładnością do kolejności ich składania. 17

Parzystość, nieparzystość i znak permutacji Twierdzenie 13. Jeżeli f = g 1 g 2... g r, r N jest jednym z rozkładów permutacji f S n na iloczyn transpozycji, to liczba sgnf = 1 r, nazywana znakiem permutacji f, zależy jedynie od f, a nie zależy od rozkładu. Zatem parzystość liczby r jest taka sama w każdym rozkładzie permutacji f na iloczyn transpozycji. Jeżeli również g S n, to sgng f = sgng sgnf. Definicja 14. Permutację f S n nazywamy parzystą, jeśli sgnf = 1. Jeśli sgnf = 1, to mówimy, że f jest permutacją nieparzystą. Uwaga 15. Liczba elementów zbioru S n, tj. permutacji zbioru {1, 2,..., n}, wynosi n! = 1 2... n. 18

Wyznacznik macierzy Definicja 16. nazywamy liczbę Niech n N, A M n n R. Wyznacznikiem macierzy A deta = f S n sgnf a f11 a f22... a fnn. Przykład 17. Niech n = 1, A = a 11, wówczas S 1 = {id {1} } = { 1 1 } oraz deta = sgnid {1} a 11 = a 11. Przykład 18. Niech n = 2, A = a 11 a 12 a 21 a 22 2 2, wówczas S 2 = { 1 2 1 2, 1 2 2 1 } = {1 22 1, 1 2} =: {f, g} oraz deta = sgnf a f11 a f22 +sgng a g11 a g22 = a 11 a 22 a 21 a 12. 19

Przykład 19. Niech n = 3, A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 M 3 3 R, wtedy S 3 = oraz { 1 2 3 1 2 3, 1 2 3 1 3 2, 1 2 3 2 1 3, 1 2 3 2 3 1, 1 2 3 3 1 2 = {1 22 1, 2 3, 1 2, 2 31 2, 2 31 2, 1 3} =: {f 1, f 2, f 3, f 4, f 5, f 6 }, 1 2 3 3 2 1 } deta = sgnf 1 a f1 11 a f1 22 a f1 33 + sgnf 2 a f2 11 a f2 22 a f2 33 + sgnf 3 a f3 11 a f3 22 a f3 33 + sgnf 4 a f4 11 a f4 22 a f4 33 + sgnf 5 a f5 11 a f5 22 a f5 33 + sgnf 6 a f6 11 a f6 22 a f6 33 20

deta = a 11 a 22 a 33 a 11 a 32 a 23 a 21 a 12 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23 a 31 a 22 a 13. 21

Istotne uwagi Wyznacznik macierzy definiuje się tylko dla macierzy kwadratowych o jednakowej liczbie wierszy i kolumn. Składanie permutacji na ogół nie jest przemienne, ale składanie rozłącznych cykli jest przemienne. Każdą permutację można w sposób jednoznaczny z dokładnością do kolejności składania przedstawić w postaci złożenia pewnej ilości rozłącznych cykli. Każdą permutację można przedstawić w postaci złożenia pewnej ilości transpozycji. Przedstawienie to nie jest jednoznaczne, ale parzystość liczby czynników rozkładu jest taka sama dla każdego z przedstawień. Identyczność jest permutacją parzystą, a każda transpozycja jest permutacją nieparzystą. 22

Ćwiczenia Podaj przykład permutacji f, g S n takich, że g f f g. Przedstaw poniższe permutacje w postaci złożenia rozłącznych cykli f = 1 2 3 4 5 6 7 8 3 2 4 5 1 6 8 7, g = 1 2 3 4 5 4 3 2 5 1. Przedstaw powyższe permutacje w postaci złożenia transpozycji. Wypisz wszystkie permutacje zbioru {1, 2, 3, 4}. Ile elementów ma zbiór S 7? 23

Ćwiczenia Zastanów się kiedy dla jakich wymiarów dwie macierze możemy zarówno dodać do siebie, jak i pomnożyć przez siebie. Oblicz wyznacznik macierzy A = 1 2 3 1 2 1 4 3 1 2 2 1 0 1 2 0 4 4. 24

Zadania Napisać programy np. w języku Pascal realizujące algorytmy: dodawania macierzy o podanych przez użytkownika wymiarach, mnożenia macierzy przez liczbę, mnożenia macierzy o podanych przez użytkownika wymiarach, obliczania wyznacznika macierzy dowolnego wymiaru. 25

Bibliografia G. Banaszak, W. Gajda, Elementy algebry liniowej cz. Naukowo-Techniczne, Warszawa 2002 I, Wydawnictwa 26