Definicja 1 Niech R End(V ). Podprzestrzeń W przestrzeni V nazywamy podprzestrzenią niezmienniczą odwzorowania R jeśli Rw W, dla każdego w W ; równoważnie: R(W ) W. Jeśli W jest różna od przestrzeni {0} i V, to powiemy, że jest nietrywialną podprzestrzenią niezmienniczą. Niech Zauważmy, że V 0 = {v V : R k v = 0}. k N Rzeczywiście, jeśli x ker R j, gdzie j N, to ker R ker R 2 ker R 3.... (1) R j+1 x = R(R j x) = R(0) = 0. W rezultacie x ker R j+1. Przypuśćmy, że dim V <. Wtedy ciąg (1) może zawierać jedynie skończenie wiele różnych wyrazów. (Różne podprzestrzenie stojące w tym ciągu mają też różne wymiary!) Wynika stąd, że jeśli ker R {0}, to istnieje liczba k 0 N, że V 0 = ker R k 0. (2) Lemat 1 Niech k 0 oznacza liczbę zdefiniowaną powyżej. Wtedy V = V 0 V 0, gdzie V 0 = im R k 0. Obie podprzestrzenie są podprzestrzeniami niezmienniczymi odwzorowania R. Ponadto R ograniczone do V 0 jest bijekcją. Dowód. Przypuśćmy, że x V 0 V 0. Wtedy, na mocy (2), R k 0 x = 0, a z definicji V 0 wynika istnienie takiego elementu y, że x = R k 0 y. W konsekwencji, 0 = R 2k 0 y i y V 0. Odwołując się powtórnie do (2), otrzymujemy 0 = R k 0 y = x. Stąd V 0 V 0 = {0} i w następstwie dim V 0 V 0 = 0. Stosując kolejno twierdzenia 66 i 39, dostaniemy dim(v 0 + V 0) = dim V 0 + dim V 0 = dim ker R k 0 + dim im R k 0 = dim V. 1
W takim razie V = V 0 V 0. Niezmienniczość V 0 jest niemal oczywista: x V 0 0 = R(R k 0 x) = R k 0 (Rx) Rx V 0. Jeśli x V 0, to jest postaci x = R k 0 y. Wtedy Rx jest też takiej postaci, tzn. Rx = R k 0 u, gdzie u = Ry. W konsekwencji Rx V 0. W ten sposób dowiedliśmy, że także V 0 jest podprzestrzenią niezmienniczą odwzorowania R. By przekonać się, że odwzorowanie R V 0 jest bijekcją, wystarczy teraz dowieść, że ker R V 0 = {0}. Niech więc x V 0 i niech Rx = 0. Wtedy x V 0. Wykazaliśmy jednak, że V 0 V 0 = {0}, więc x = 0. Niech teraz V będzie przestrzenią liniową skończonego wymiaru nad ciałem C i niech T End(V ). Niech zbiór wartości własnych odwzorowania T spełnia równość σ(t ) = {λ 1,... λ m }. Określmy podprzestrzenie V λi, i = 1,..., m, wzorem V λi = k R k, gdzie R = T λ i E i E oznacza odwzorowanie identycznościowe. Twierdzenie 2 (o rozkładzie) Jeśli V, T End(V ) oraz V λi jak określiliśmy powyżej, to są takie, (1) V = V λ1 V λm ; (2) każda podprzestrzeń V λi jest podprzestrzenią własną odwzorowania T Dowód. Jeśli R = T λ 1 E, to V λ1 = V 0, gdzie V 0 i V 0 są określone tak jak w lemacie 1. Niech λ σ(t ) \ {λ 1 }. Pokażemy, najpierw że V λ V 0. Przypuśćmy, że tak nie jest. Istnieją wówczas elementy x V λ, 0 u V 0 oraz v V 0, że x = u + v. Niech S = T λe. Z definicji przestrzeni V λ wynika istnienie takiej liczby k, że S k x = 0. Stąd 0 = S k x = S k u + S k v. Ponieważ przestrzenie V 0 i V 0 są podprzestrzeniami niezmienniczymi odwzorowania R, więc także odwzorowania S. W rezultacie S k u V 0 i S k v V 0 i na mocy lematu 1 wnosimy, że S k u = 0. Rzecz jasna S = R + γe, gdzie γ = λ i λ. W takim razie rozwijając (R + γe) k możemy się przekonać, że 0 = S k u = Rw(R)u + γ k u, (3) 2
gdzie w(r) = k j=1 ( k j) γ k j R j. Ponieważ u jest niezerowym elementem V 0, więc istnieje minimalna liczba l, że R l u = 0, nadto l 1. Zastosujmy do równania (3) endomorfizm R l 1. Stąd, że Rw(R) = w(r)r otrzymamy 0 = w(r)r l u + γ k R l 1 u = γ k R l 1 u. Jednak z definicji γ wynika, że liczba ta jest różna od zera. W takim razie R l 1 u = 0, co przeczy definicji liczby l. Otrzymaliśmy sprzeczność, a tym samym dowiedliḿy, że V λ V 0. Fakt ten w połączeniu z V λ1 V 0 = {0} prowadzą do równości σ(t V 0) = {λ 2,..., λ m }. Rozumując indukcyjnie ze względu na m możemy więc stwierdzić, że i w konsekwencji, V 0 = V λ2 V λm V = V 0 V 0 = V λ1 V λ2 V λm. Co się tyczy (2), to wcześniej stwierdziliśmy, że V λ1 = V 0 jest poprzestrzenią niezmienniczą odwzorowania T. Z takich samych powodów podprzestrzeniami niezmienniczymi są pozostałe V λi. Definicja 2 Endomorfizm S przestrzeni liniowej W nazywamy nilpotentnym, jeśli istnieje liczba q N, że S q = 0 (to znaczy, S q w = 0, dla każdego wektora w W ). Najmniejszą liczbę q 0 N, że S q 0 = 0 nazywamy stopniemm nilpotentności odwzorowania S. Zauważmy, że ograniczenie R V 0, określonego wcześniej odwzorowania R jest odwzorowaniem nilpotentnym przestrzeni V 0 w siebie o stopniu nilpotentności nieprzekraczającym k 0. Definicja 3 Klatką Jordana o wartości λ i wymiarach m m nazywamy macierz J m (λ) M m m (C) postaci J m (λ) = λ 1 0... 0 0 0 λ 1... 0 0.................. 0 0 0... λ 1 0 0 0... 0 λ 3
Na przykład, macierz 3 1 0 0 3 1 0 0 3 jest klatką Jordana J 3 ( 3). Definicja 4 Macierzą Jordana nazywamy każdą macierz postaci J m1 (λ 1 ) 0... 0 J mk (λ k ) gdzie wzdłuż przekątnej mamy bloki o wymiarach m 1 m 1,..., m k m k a wszystkie pozostałe wyrazy macierzy są zerami. Na przykład, 2 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 4 1 0 0 0 0 0 4 1 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 2 jest macierzą Jordana o trzech blokach: J 2 (2), J 3 (4) oraz J 1 ( 2). Lemat 3 Niech W będzie przestrzenią liniową o wymiarze s i niech S End(W ) będzie odwzorowaniem nilpotentnym stopnia q. Istnieje baza uporządkowana v, że macierz A S odwzorowania S w bazach (v, v) jest macierzą Jordana z klatkami o wartości λ = 0. Każda klatka ma wymiary nieprzekraczające q q. Dowód. (indukcja ze względu na q) Niech W = im S. Oczywiście W jest podprzestrzenią niezmienniczą odwzorowenia S. Ponadto S := S W jest odwzorowaniem nilpotentnym stopnia q 1. Na mocy założenia indukcyjnego, istnieje więc baza uporządkowana b o wektorach b 1 1,..., b 1 n 1,..., b j 1,..., b j n j, 4
przestrzeni W, że S ma w bazach (b, b) postać Jordana o klatkach J n1 (0),..., J nj (0). Równoważnie, każdy blok b i 1,..., b i n i wektorów bazy b zachowuje się pod działaniem S następująco: S(b i 1) = 0, S(b i 2) = b i 1,..., S(b i n i ) = b i n i 1. Co więcej, n i q 1. Ponieważ b i n i im S, więc istnieje wektor b i n i +1, że Sb i n i +1 = b i n i. Utwórzmy układ b wektorów: b 1 1,..., b 1 n 1, b 1 n 1 +1,..., b j 1,..., b j n j, b j n j +1. Wektory tego układu są liniowo niezależne, bo jeśli α 1 1b 1 1+ +α 1 n 1 b 1 n 1 +α 1 n 1 +1b 1 n 1 +1+ +α j 1b j 1+ +α j n j b j n j +α j n j +1b j n j +1 = 0, (4) to stosując S dostaniemy α 1 2b 1 1 + + α 1 n 1 +1b 1 n 1 + + α j 2b j 1 + + α j n j +1b j n j = 0. Ponieważ wektory układu b są liniowo niezależe, a tylko one występują w ostatniej równości, więc α 1 2 =... = α 1 n 1 +1 =... = α j 2 =... = α j n j +1 = 0. Stąd tożsamość (4) można przepisać tak α 1 1b 1 1 + + α j 1b j 1 = 0. Powtórnie korzystając z liniowej niezależności wektorów układu b wnioskujemy, że także współczynniki α1, 1..., α j 1 są zerami, co ostatecznie dowodzi liniowej niezależności wektorów układu b. Jeśli układ b nie stanowi bazy przestrzeni V, to możemy go do bazy dopełnić; to znaczy istnieją wektory b j+1 1,..., b k 1, które dopisane do układu b w postaci jednoelementowych bloków, utworzą wraz z nim bazę. Zauważmy, że możemy zażądać, by Sb l 1 = 0, dla l k. (5) Bo gdyby Sb l 1 0 dla jakiegoś wskaźnika l j + 1, to ponieważ Sb l 1 im S, istniałyby stałe α i r, że Sb l 1 = α 1 1b 1 1 + + α 1 n 1 b 1 n 1 + + α j 1b j 1 + + α j n j b j n j 5
Wtedy jednak zastępując b l 1 przez bl 1 = b l 1 α 1 1b 1 2 α 1 n 1 b 1 n 1 +1 α j 1b j 2 α j n j b j n j +1 mielibyśmy S b l 1 = 0 i nowopowstały układ byłby żądaną bazą v. Macierz A S odwzorowania S jest w bazach (v, v) macierzą Jordana o blokach J n1 +1(0),..., J nj +1(0), J 1 (0),..., J 1 (0). }{{} k j Każdy blok ma wymiary nieprzekraczające q q. Twierdzenie 4 (o rozkładzie Jordana) Jeśli V jest przestrzenią skończonego wymiaru nad C, T End(V ), σ(t ) = {λ 1,..., λ m }. V λi są zdefiniowanymi wcześniej przestrzeniami niezmienniczymi, to (3) w każdej przestrzeni V λi można znaleźć bazę uporządkowaną b i, że macierz A i odwzorowania T V λi jest w bazach (b i, b i ) Jordana; jej bloki J r (λ) mają wszystkie λ = λ i ; (4) bazy opisane w (3) tworzą łącznie bazę uporządkowaną b = b 1,..., b m ; macierz T w bazach (b, b) jest Jordana. Dowód. Z (3) wynika natychmiast (4). Pozostaje więc dowieść (3). Jak pamiętamy, R i := T λ i E, i = 1,..., m, odwzorowują V λi w V λi. Ponadto odwzorowanie R i V λi jest nilpotentne. Zgodnie z lematem 3, istnieje baza uporządkowana b i, że macierz A i odwzorowania R i V λi w bazach (b i, b i ) ma postać: A i = Ponieważ T = R i + λ i, więc T V λi A i + λ i I = J ni1 (0) 0... 0 J niki (0) będzie miało w bazach (b i, b i ) macierz J ni1 (λ i ) 0... 0 J niki (λ i ) 6