Wielomiany ortogonalne i dyskretne zagadnienie brzegowe Ryszard Szwarc 1 Nieujemna linearyzacja wielomianów ortogonalnych Nastȩpuj aca tożsamość jest dobrze znana cos nθ cos mθ = 1 2 cos(n + m)θ + 1 cos(n m)θ. 2 Wiadomo, że cos nθ jest wielomianem stopnia n od cos θ tzn. cos nθ = T n (cos θ). T n nazywamy n-tym wielomianem Czebyszewa. Otrzymujemy zatem T n T m = 1 2 T n+m + 1 2 T n m n m > 0. W szczególności oznacza to, że iloczyn dwu wielomianów Czebyszewa jest kombinacj a liniow a wielomianów Czebyszewa z nieujemnymi współczynnikami. Zauważmy, że wielomiany Czebyszewa stanowi a układ ortogonalny, ponieważ jak łatwo wyprowadzić, zachodzi 1 1 dx T n (x)t m (x) 1 x 2 = 0 dla n m. Podobne zagadnienie można badać dla innych klas wielomianów, szczególnie wielomianów ortogonalnych. Niech µ bȩdzie miar a na prostej maj ac a wszystkie momenty skończone. Stosuj ac proces ortogonalizacji Grama Schmida do ci agu jednomianów 1, x, x 2,... wzglȩdem iloczynu skalarnego (f, g) = fḡdµ otrzymujemy układ wielomianów p 0, p 1, p 2,... o nastȩpuj acych własnościach. (i) p n (x) = k n x n +..., k n > 0, Odczyt przedstawiony na XIII Jubileuszowym Zjeździe Matematyków Polskich w Jachrance, 1994. 1
(ii) p n {1, x,..., x n 1 }, (iii) span {p 0, p 1,..., p n } = span {1, x,..., x n }. Mnoż ac dwa wielomiany p n i p m otrzymujemy wielomian stopnia n + m, który z własności (iii) jest kombinacj a liniow a pierwszych n + m wielomianów układu {p n }. Z ortogonalności można wykazać, że wielomiany o indeksach mniejszych od n m nie wystȩpuj a w tej kombinacji tzn. p n (x)p m (x) = n+m k= n m c(n, m, k)p k (x). (1) Liczby c(n, m, k) s a nazywane s a współczynnikami linearyzacyjnymi. Interesuje nas problem przy jakich warunkach zachodzi n, m, k c(n, m, k) 0. Mówimy wtedy o nieujemnej linearyzacji. Oto lista zagadnień, w których ta własność ma zastosowanie. 1. Analiza harmoniczna rozwiniȩć wzglȩdem układu {p n }. 2. Oszacowania wzrostu wielomianów p n. 3. Dodatnia określoność wielominów p n. 4. Twierdzenia graniczne zwi azane z układem {p n }. Na zakończenie odniesiemy siȩ do punktu 1 i 2. Obecnie przejdziemy do wielomianów Jacobi ego, dla których zagadnienie nieujemnej linearyzacji było intensywnie badane. Dla α, β > 1 wielomiany p (α,β) n ortogonalne wzglȩdem miary dµ α,β (x) = (1 x) α (1 + x) β, 1 < x < 1, nazywamy wielomianami Jacobi ego. Wśród nich, przy odpowiednich wartościach parametrów można odnaleźć wielomiany Czebyszewa α = β = 1 2, wielomiany Legendre a α = β = 0, wielomiany Czebyszewa II rodzaju α = β = 1 2, wielomiany ultrasferyczne α = β. Podajemy poniżej w skrócie historiȩ linearyzacji dla wielomianów Jacobi ego według kolejności: rok, autor i zakres parametrów, dla których udowodniono nieujemność. (1919) J. Dougall α = β 1 2, (1962) E. Hylleraas α = β 1 2 lub α = β + 1, (1971) G. Gasper α β i α + β + 1 0, (1971) G. Gasper α β i c(2, 2, 2) 0. 2
Dougall znalazł jawny wzór dla współczynników c(n, m, k) w przypadku α = β, który pozwala łatwo rozstrzygn ać nieujemność. Z kolei Hylleraas znalazł wzór rekurencyjny dla c(n, m, k) i zdołał go rozwi azać w dwu podanych wyżej przypadkach. Ten wzór rekurencyjny został wykorzystany przez Gaspera w dwu pracach z 1971. Warunki Gaspera podane w trzeciej i czwartej linii nieznacznie różni a siȩ od siebie, przy czym ostatni warunek jest już konieczny i wystarczaj acy dla nieujemnej linearyzacji. Na rysunku pokazujemy orientacyjnie odpowiadaj ace tym warunkom obszary. Obszar w linii 4 jest wiȩkszy od obszaru w linii 3 zaledwie o trójk at krzywoliniowy położony po lewej stronie odcinka ł acz acego punkty ( 1 2, 1 2 ) i (0, 1). Dla dociekliwych podajemy, że warunek c(2, 2, 2) 0 przy pomocy s = α + β + 1 przedstawia siȩ nastȩpuj aco. s(s + 3) 2 (s + 5) (α β) 2 (s 2 7s 24). β α = β ( 1 2, 1 2 ) 1 β = 1 α Pierwszy wynik dotycz acy nieujemnej linearyzacji ogólnych wielomianów ortogonalnych należy do Richarda Askey a. Niech {p n } bȩdzie układem wielomianów ortogonalnych wzglȩdem miary µ. Ponieważ xp n (x) jest wielomianem stopnia n + 1 ortogonalnym do każdego z jednomianów 1, x,..., x n 2 to xp n (x) = γ n p n+1 + β n p n (x) + α n p n 1 (x) (2) dla pewnych współczynników α n, β n i γ n. Wzór ten nosi nazwȩ formuły trójczłonowej. W 1970 Askey [1] udowodnił Twierdzenie 1 (Askey) Jeśli β n i α n+1 γ n s a ci agami niemalej acymi to wielomiany p n maj a nieujemn a linearyzacjȩ. Zastosujmy ten wynik do wielomianów ultrasferycznych p (α,α) n. Jeśli unormujemy je tak, aby p (α,α) n (1) = 1, to spełniaj a one xp (α,α) n (x) = n + 2α + 1 2n + 2α + 1 p(α,α) n+1 + n 2n + 2α + 1 p(α,α) n 1. 3
Stwierdzamy, że β n = 0 oraz α n+1 γ n = 1 4 + 1 1 4α 2 4 4(n + α + 1) 2 1. Zatem ci ag α n+1 γ n jest niemalej acy wtedy i tylko wtedy, gdy α 1 2. To oznacza, że kryterium Askey a nie obejmuje wielomianów ultrasferycznych dla 1 2 α 1 2, a w szczególności wielomianów Legendre a. Askey postawił w swojej pracy problem znalezienia ogólnego kryterium, które poci agałoby nieujemn a linearyzacje dla α β, α+β+1 0, lub przynajmniej dla wielomianów Legendre a, tzn. α = β = 0. Nastȩpne dwa twierdzenia pochodz ace z pracy [5] stanowi a rozwi azanie problemu Askey a. Twierdzenie 2 Jeśli ci agi α n, β n i α n + γ n s a niemlaj ace oraz α n γ n, to wielomiany p n maj a nieujemn a linearyzacjȩ. Twierdzenie 3 Niech β n = 0 dla n IN (to oznacza, że miara µ jest symetryczna wzglȩdem 0). Jeśli ci agi α 2n, α 2n+1, α 2n + γ 2n i α 2n+1 + γ 2n+1 s a niemalaj ace oraz α n γ n, to wielomiany p n maj a nieujemn a linearyzacjȩ. Zastosujmy Twierdzenie 2 do wielomianów ultrasferycznych, których formuła trójczłonowa była podana wcześniej. Wtedy β n = 0 i α n + γ n = 1. Ponadto α n = n 2n + 2α + 1 1 2 α 1 2. W klasie wielomianów ultrasferycznych jest to warunek konieczny i wystarczaj acy. Z kolei Twierdzenie 3 poci aga (choć nie bezpośrednio) nieujemn a linearyzacjȩ wielomianów Jacobi ego dla α β, α + β + 1 0. Po szczegóły odsyłamy do [5]. Mimo usiłowań nie udało siȩ znaleźć kryterium, które objełoby również krzywoliniowy trójk at, o którym wspominaliśmy wcześniej w zwi azku z wynikami Gaspera. 2 Dyskretne zagadnienie brzegowe W dowodach Twierdzeń 2 i 3 używa siȩ operatorów różnicowych zwi azanych z formuł a trójczłonow a (2). Niech L oznacza operator działaj acy na ci agach a = {a n } n 0 według wzoru (La) n = γ n a n+1 + β n a n + α n a n 1, n 0. Warto zauważyć, że jeśli przyjmiemy oznaczenie p(x) = {p n (x)} n 0, to formuła trójczłonowa przybierze postać xp(x) = Lp(x). (3) 4
Niech L 1 i L 2 oznaczaj a operatory działaj ace na macierzach u = {u(n, m)} n,m 0 jak operator L, ale ze wzglȩdu na pierwsz a lub drug a zmienn a traktuj ac pozostała zmienn a jako parametr. Rozważmy zagadnienie brzegowe { (L1 L 2 )u = 0 (4) u(n, 0) 0 n Twierdzenie 4 Przy założeniach Twierdzeń 2 lub 3 rozwi azanie zagadnienia (3) jest nieujemne, tzn. u(n, m) 0, n, m. Dowód Twierdzenia 4 można znaleźć w pracy [5]. Pokażemy teraz jak z Twierdzenia 4 wyprowadza siȩ Twierdzenia 2 i 3. Ustalmy k. Niech u(n, m) = c(n, m, k). Mnoż ac obie strony (1) przez p k (x) i całkuj ac wzglȩdem µ uzyskamy u(n, m) = ω k p n (x)p m (x)p k (x)dµ(x), gdzie ω 1 k = p 2 k (x)dµ(x). Wtedy korzystaj ac z definicji L 1, L 2 i z (4) otrzymujemy (L 1 u)(n, m) = ω k (Lp(x)) n p m (x)p k (x)dµ(x) = ω k xp n (x)p m (x)p k (x)dµ(x), (L 2 u)(n, m) = ω k p m (x)(lp(x)) m p k (x)dµ(x) = ω k xp n (x)p m (x)p k (x)dµ(x). Zatem Ponadto z ortogonalności mamy (L 1 L 2 )u = 0. u(n, 0) = ω k p n (x)p k (x)dµ(x) = δk n 0. Z Twierdzenia 3 otrzymujemy wtedy, że u(n, m) 0, dla każdych n, m IN, co kończy dowód. 3 Analiza harmoniczna rozwiniȩć wzglȩdem układu {p n } n 0 W tej czȩści przyjmujemy, że wielomiany p n, ortogonalne wzglȩdem miary µ, maj a nieujemn a linearyzacjȩ. Zakładamy również, że nośnik miary supp µ jest ograniczony z góry. Przez analogiȩ z wielomianami Jacobi ego niech kresem górnym liczb leż acych w nośniku miary bȩdzie liczba 1. Wtedy p n (1) > 0. To 5
pozwala unormować wielomiany p n w punkcie 1 bez zmiany ich znaku, tzn. niech R n (x) = p n(x) p n (1). Ze wzoru (1) dostajemy gdzie R n (x)r m (x) = d(n, m, k) = n+m k= n m d(n, m, k)r k (x), (5) p k (1) c(n, m, k). p n (1)p m (1) Współczynniki d(n, m, k) s a nieujemne. Podstawiaj ac x = 1 w (5) otrzymamy n+m k= n m d(n, m, k) = 1. Niech l 1 (ω n ) oznacza przestrzeń ci agów a = {a(n)} n 0, dla których a = a(n) ω n < +. Dla dwu ci agów a i b definiujemy ich splot wzorem a b(k) = n,m=0 a(n)b(m)d(n, m, k)ω n ω m. Dla ci agu a określamy jego transformatȩ â poprzez â(x) = a(n)r n (x)ω n. Wtedy (l 1 (ω n ), ) staje siȩ algebr a Banacha. Przestrzeń ideałów maksymalnych M tej algebry można utożsamić z M = {z C : R n (z) 1 n}. Można pokazać (patrz [6]), że nośnik miary supp µ jest zawsze zawarty w M, tzn. p n (x) p n (1) dla x supp µ. Innymi słowy na zbiorze supp µ kres górny wielomianów p n przyjmowany jest w prawym końcu nośnika miary. Zbiór M jest raczej trudno wyznaczyć chyba, że w jakiś sposób udałoby siȩ pokazać, że supp µ = M. Tak jest w przypadku wielomianów Jacobi ego, gdzie supp µ = M = [ 1, 1]. Wtedy na podstawie ogólnej teorii algebr Banacha można wyprowadzić nastȩpuj ac a wersjȩ twierdzenia Wienera. 6
Twierdzenie 5 Jeśli funkcja f(x) = a(n)r (α,β) n (x), gdzie a(n) <, nie znika w przedziale [ 1, 1], to 1 f(x) = b(n)r n (α,β) (x), przy czym b(n) <. W naturalny sposób nasuwa siȩ pytanie, czy równość supp µ = M jest zawsze spełniona. Pewne wyniki sugeruj ace pozytywn a odpowiedź znajduj a siȩ w [7]. W pełnej ogólności problem jest nadal otwarty. Literatura 1. R. Askey, Linearization of the product of orthogonal polynomials, Problems in Analysis, R. Gunning, ed., Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1970, 223-228. 2. R. Askey, Orthogonal polynomials and special functions, Regional Conference Series in Applied Mathematics 21, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, Pensylwania, 1975. 3. G. Gasper, Linearization of the product of Jacobi polynomials, I, Canad. J. Math. 22 (1970), 171-175,. 4. G. Gasper, Linearization of the product of Jacobi polynomials, II, Canad. J. Math. 22 (1970), 582-593. 5. R. Szwarc, Orthogonal polynomials and a discrete boundary value problem I, II, SIAM J. Math. Anal. 23(1992), 959-964, 965-969. 6. R. Szwarc, Convolution structures associated with orthogonal polynomials, J. Math. Anal. Appl. 170 (1992), 158-170. 7. R. Szwarc A lower bound for orthogonal polynomials with an application to polynomial hypergroups, ukaże siȩ w J. Approx. Theory. Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski pl. Grunwaldzki 2/4 50 384 Wrocław 7