WSPOMAGANIE DECYZJI - MIŁOSZ KADZIŃSKI LABORAORIUM II PROGRAMOWANIE CELOWE, ILORAZOWE I MIN-MAX Probley prograowae celowego lorazowego to probley prograowae ateatyczego elowego, który oża sktecze zlearyzować (zapsać rozwązać ako proble prograowaa lowego, którego rozwązae będze edocześe rozwązae proble elowego lb a ego podstawe będze oża edozacze e odczytać). Prograowae celowe Postać probleów prograowaa celowego: k = w c Ax { = } b x c kerek optyalzac fkc cel alzaca; sa k ważoych odłów; skalare współczyk c azywae są cela; wartośc wyrażeń c x aą dążyć do odpowedch celów; wele celów do edoczesego osągęca; aeszą ożlwą wartoścą fkc cel est ; cele est zalezee rozwązaa, które charakteryze sę alą odchyłką; wartość fkc cel est kotrolowaa za poocą wag w ( wększa waga w, ty stotesze est osągęce cel c ). Learyzac proble prograowaa celowego (Chares Cooper) rozkład dowolych wartośc rzeczywstych a różcę dwóch wartośc eeych; operacę rozkład oża zastosować do dowolego wyrażea; rozkład est edozaczy, gdy przye sę, że co ae eda z tych wartośc est staloa wyos ; dla probleów prograowaa wypkłego ograczee zapewaące, że eda z wartośc est rówa oża poąć, a rozwązae będze take sae (przy alzac fkc cel wartośc par zeych będą tak doberae, by eda z ch przyowała wartość ); rówoważa postać proble prograowaa lowego: k = w ( y + z ) bezpośrede odczytae rozwązań. c x c y z = y Ax { = }b z - -
Zadaa: I. Sforł proble prograowaa celowego, a pote sforł odpowadaące zadae prograowaa lowego dla astępącego proble: sporządź eszakę trzech pasz F, G oraz H, które zaweraą odpowedo 5, 3 edostkę sbstac odżywcze a a klogra paszy F, G H; 4, 5 2 edostk sbstac odżywcze b a klogra paszy F, G H oraz 2, 4 edostk sbstac odżywcze c a klogra paszy F, G H. Ilość sbstac odżywcze a, b oraz c w eszace e oże być esza ż odpowedo 5, 25 7 edostek. Łącza waga eszak e oże przekraczać 8 klograów. Zadae polega a wyzacze takego skład eszak, by sa odchyleń wag paszy F od 6kg, wag paszy G od 7kg wag paszy H od 3kg była w powstałe eszace ala. Rozwązae: X F waga paszy F w eszace, X G waga paszy G w eszace, X H waga paszy H w eszace PC: X F 6 + X G 7 + X H 3 5 X F + 3 X G + X H 5 4 X F + 5 X G + 2 X H 25 2 X F + 4 X G + X H 7 X F + X G + X H 8 X F, X G, X H Postać zlearyzowaa: y + z + y 2 + z 2 + y 3 + z 3 p.o X F 6 = y - z X G 7 = y 2 - z 2 X H 3 = y 3 - z 3 5 X F + 3 X G + X H 5 4 X F + 5 X G + 2 X H 25 2 X F + 4 X G + X H 7 X F + X G + X H 8 X F, X G, X H, y, z, y 2, z 2, y 3, z 3 II. Doprowadzć do postac proble prograowaa lowego (przykład z plk p-celowe.pdf, Lab2-PC-exaple.xls): x + 2x2-5 + 3x + 2x2-7 + 2x + x2-3 5x + 7x2 =< x, x2 >= III. Doprowadzć do postac proble prograowaa lowego: 3 4x + 2x2-7 + 2 x + 3x2-4 x + 3x2 >= 8 x x2 =< x, x2 >= - 2 -
IV. Uwaga: dla zadaa I dla wers by aks po odchyleach wag paszy F od 6kg, wag paszy G od 7kg wag paszy H od 3kg było w powstałe eszace ale f. cel a postać: trzeba dokoać learyzc proble -ax. Proble -ax (proble Czebyszewa): Ax { = } b Learyzaca: α w ( c x c ), = k Ax { = }b,..., ax{ X F 6, X G 7, X H 3 } -> ax{ w ( c x c )} α Ogóle wyprowadzee zakłada chęć osągęca cel (czyl rówość optyalzowaego wyrażea z wartoścą skalarą). Cele ogą eć róweż postać wyrażeń typ co ae co awyże : dla celów typ co ae odchylea w górę są pożądae; dla celów typ co awyże odchylea w dół są pożądae W tych przypadkach odpowede wag w fkc cel są zerowe. V. Zespół akwzytorów odwedza starych owych kletów. Przecęte akwzytor pośwęca 2h a edo spotkae ze stary klete 3h z owy. Stary klet przyos przecęte 25 PLN przychod a esąc, a owy 25 PLN. Należy stalć l starych, a l owych kletów odwedzać, eżel stee astępący zbór celów, które ależy spełć: przychody sza wyosć co ae 7 PLN; czas pracy s wyosć. 6, aks. 68 godz ależy odwedzć co ae 2 starych kletów. VI. Sprawdź, czy podae że cele są sprzecze (tygodowy pla prodkc 3 wyrobów). Zapsać proble prograowaa lowego do sprawdzea sprzeczośc wykorzystać solver (Lab2-PCexaple.xls). Paraetry Wartośc docelowe Przychody (PLN/t) 2 9 5 Co ae 25 Zatrdee (os/t) 5 3 4 Dokłade 4 Koszty prodkc (PLN/t) 5 7 8 Co awyże 55 Rozwązać zadae etodą prograowaa celowego (z waga rówy ). - 3 -
Prograowae celowe ako alteratywa dla regres (le fttg): f = β β +... + β x ( x) ft + x Daych est obserwac: (x,,x ; f(x )) (x,,x ; f(x )) Chcey zaleźć współczyk β, które zalzą odchylea od rzeczywste wartośc y: ( y + z ) = f ( x... f ( x y, z + β x + β x, =,..., β, =,..., ) ( β ) ( β +... + β x +... + β x ) = y ) = y z z VII. Sforł proble prograowaa lowego, który pozwol a zyskae paraetrów a,b fkc lowe f(x) = ax + b (a, b ), które zalzą sę odchyłek dla dwóch rzeczywstych obserwac (x, f(x )): (, 3) oraz (3, 8). Rozwąż zadae Lab2-zadae_pc.xls - 4 -
2. Prograowae lorazowe Postać probleów prograowaa lorazowego: / ax c d x + c x + d Ax { = } b d x + d > kerek optyalzac fkc cel alzaca lb aksyalzaca; osągęce aks efekt przy rówoczese alzac akładów; fkca cel to loraz dwóch wyrażeń lowych; wydaość, koszt edostkowy; Learyzac proble prograowaa lorazowego (Chares Cooper) przy aksyalzac fkc cel lczk o ak awększe wartośc, aowk o ak aesze wartośc; trdo kotrolować wyrażea edocześe, alepe stalć wartość aowka p. a pozoe ; wprowadzee owych zeych x =, =,..., d x + d = d x + d lorazowa fkca cel przye postać zwykłe fkc lowe (aowk est rówy ); postać rówoważego proble prograowaa lowego: / ax c + c d + d = A{ = } b (po otrzya rozwązaa ależy sprawdzć, czy zachodz > ) odczytae rozwązaa perwotego proble: x =, =,..., - 5 -
Zadaa:. Sforł proble optyalzac skład eszak złożoe z 2 sbstac: I oraz II. Każda sbstaca zawera 2 składk oraz 2. Zae są lośc każdego składka w eszace. Należy aksyalzować zysk z prodkc (poeszoy o 9, które właśccel zawsze berze dla sebe w taecy przed y) w stosk do koszt zakp sbstac powększoego o stałą wartość rówą 5. Nastpe sforł te proble w postac zlearyzowae. Składk Sb. I Sb. II Wyaga lość składka w eszace 4 7 Co ae 85 2 2 3 Co awyże 6 Zysk ed. 5 62 Stały bytek w zysk = 9 Cea ed. 2 3 Koszt stały = 5 Rozwązae: X lość sbstac I w eszace X 2 lość sbstac II w eszace PI: ax (5 X + 62 X 2 9) / (2 X + 3 X 2 + 5) 4 X + 7 X 2 85 2 X + 3 X 2 6 X, X 2 Postać zlearyzowaa: = /(2 X + 3 X 2 + 5) = X /(2 X + 3 X 2 + 5) 2 = X 2 /(2 X + 3 X 2 + 5) Maowk est zawsze dodat ax 5 + 62 2 9 2 + 3 2 + 5 = 4 + 7 2 85 2 + 3 2 6, 2 (pote ależy sprawdzć, czy > ) - 6 -
2. Zadae (Lab2-PI-exaple.xls): Dae są astępące ograczea: () x + 3x2 =< 5 (2) x + 3x2 >= 9 (3) x >=.5 (4) x2 >=.5 Zadź optyale rozwązae, gdy fkca zysk est astępąca: Max 2x + 4x2 + 6 Zadź optyale rozwązae, gdy fkca koszt est astępąca: M x + x2 + 2 Zadź rozwązae koprosowe, gdy fkca cel przybera postać: Max (2x + 4x2 + 6)/(x + x2 + 2) Zapsz postać rówoważego proble prograowaa lowego (wyraź wzora owe zee decyzye) Rozwąż zadae Lab2-zadae_pc_p.xls. Na ego podstawe wkrótce (aprawdopodobe za dwa tygode) trzeba będze wypełć ały raport. - 7 -