ykład 5: Paca i enegia d inż. Zbigniew Szklaski szkla@agh.edu.pl http://laye.uci.agh.edu.pl/z.szklaski/
Enegia a paca Enegia jest to wielkość skalana, okeślająca stan, w jakim znajduje się jedno lub wiele ciał. Np. enegia kinetyczna jest związana ze stanem uchu ciała. Paca jest to enegia pzekazana ciału lub od niego odebana w wyniku działania na ciało siłą. Gdy enegia jest pzekazana ciału, paca jest dodatnia, a gdy enegia jest ciału odebana, paca jest ujemna. Paca jest ówna zmianie enegii. Jednostką pacy i enegii w układzie SI jest J.
Paca stałej siły F φ B ekto pzesunięcia F s B φ F s cos s B B skutek wykonanej nad ciałem pacy wzasta jego pędkość od do B czyli ośnie enegia kinetyczna 3
4 Pacę wykonuje składowa -owa siły F t a t s + F φ F s a m s F B t a B t s B + zatem k kb B B B B B E E m m t t m + Paca wykonana pzez siłę nad cząstką swobodną jest ówna zmianie enegii kinetycznej cząstki m Ek ale m p m p E k
Pzykład Pianino o masie M zsuwa się uchem jednostajnym po podjeździe o długości L, nachylonym pod kątem. Pianino usiłuje zatzymać człowiek działający siłą F c skieowaną pzeciwnie do kieunku uchu, a współczynnik tacia o podłoże wynosi. Obliczyć: a. Siłę z jaką działa człowiek, b. atość pacy wykonanej pzez człowieka, c. Pacę siły tacia, d. Pacę siły gawitacji, e. Całkowitą pacę wykonaną w układzie 5
Paca zmiennej siły Załóżmy, że siła F zależy od położenia czyli F() Dzielimy pzedział <, > na odcinki Δ, na któych można pzyjąć, że siła jest stała. Obliczamy pacę Δ wykonaną pzez siłę stałą na odcinku Δ Δ F Δ Sumując otzymamy F 6
F Gdy Δ lim F Fd ogólnym pzypadku: B B F d skoo więc B d d dt t B B F d t dt Moc jest definiowana jako : P d/dt t B t Pdt P F t 7
Enegia potencjalna nie tylko gawitacyjna k k k k Paca siły zależnej od położenia siły hamonicznej F k( ) F k d Fd k ( ) ( k ) d skoo E p E p k k d k Enegia potencjalna spężystości paca wykonana pzez siłę spężystości 8
Poblem z enegią potencjalną spężystości? Powieszenie masy m wydłużyło spężynę o Enegia potencjalna ozciągniętej spężyny: L n L k kosztem: k mg k Es E p mg mg aunek ównowagi: k mg?? Stan ównowagi po wygaśnięciu dgań uzupełnienie zasady zachowania enegii: k mg + Q Ile enegii taci spężyna - połowę!! 9
Enegia potencjalna Enegia potencjalna E p jest to enegia związana z konfiguacją układu ciał, działających na siebie siłami. by móc wpowadzić pojęcie enegii potencjalnej, pole sił musi mieć okeśloną własność - taką, że paca wykonana w tym polu nie może zależeć od dogi, wzdłuż któej zachodzi pzemieszczenie Takie pola i siły nazywamy zachowawczymi
B Paca wykonana pzez siłę zachowawczą nie zależy od dogi lecz zależy jedynie od położeń punktów i B. Doga Doga 3 F d L Doga B doga B doga B doga3 Paca wykonana pzez siłę zachowawczą nad cząstką pouszającą się po dodze zamkniętej jest ówna zeu. B + B
Pzykład Dane jest pole wektoowe o składowych F Ky; F y K; F z ; gdzie K jest stałą. Spawdzić czy to pole jest zachowawcze obliczając pacę po kontuze tójkątnym o bokach y ; y ;. Rozwiązanie F Kyiˆ + Kj ˆ iˆ + yj ˆ B(, ) C(,) (,) F d F d + Fydy Kyd + Kdy B B F dˆ F dˆ + F dˆ + B F d y C B Kyd + y C F dˆ Kdy... y
ISTOTNE SIŁY RZECZYISTE Siły centalne: F f () ˆ Siła ciężkości (siła gawitacji) F() G Mm ˆ Siła oddziaływania elektostatycznego (siła kulombowska) Qq F( ) 4π ˆ są siłami zachowawczymi Siła tacia NIE JEST siłą zachowawczą! 3
Jak obliczać enegię potencjalną? Z definicji E p (B) E p () ( B) atość enegii potencjalnej w punkcie opisanym wektoem jest okeślona z dokładnością do stałej - ównej E p (), któą można obać umownie. Sens fizyczny ma jedynie óżnica enegii potencjalnej pomiędzy dwoma punktami. E p ( ) E p E p ( ) () F d F d Umowa: leży w nieskończoności czyli E p ( ) 4
Jak obliczać enegię potencjalną gawitacji? g F g d F g GMm F Mm lub 3 Mm g G F g G ˆ d 3 d d g d Mm GMm G G Mm g Ep E E E p G Mm 5
Siła zachowawcza Enegia potencjalna układ: F mg E p () mg mg masa m - Ziemia ԦF G Mm Ƹ E p () Mm G masa m masa M Qq F( ) 4π ˆ E p () 4π Qq ładunek q ładunek Q F( ) kˆ E p() k masa m spężyna k 6
Związek pomiędzy siłą a enegią potencjalną Pzypadek jednowymiaowy E Uogólnienie na 3D p () E p F ( ) Ep E E F ˆ p i ˆ p j kˆ y z ˆi + d ˆj + y E p F d kˆ z gad F E p de d p stąd F...? opeato nabla 7
zatem: F gad E p k(ˆi + yˆj + zkˆ ) k UG! Paca wykonana nad układem pzez siłę zewnętzną jest pzeciwna do pacy wykonanej pzez siły układu. 8
Pzykład siła spężystości Enegia potencjalna układu masa-spężyna dana jest wzoem: E p() k Kozystając z zależności F gad spężystości. E p wypowadzić wzó na siłę Rozwiązanie: Ep () k k( + y + z gad E k ˆi ky ˆj kz kˆ p + + F gad E p k(ˆi + yˆj + zkˆ ) ) k ( + y + z ) k Ep (, y,z) k Ep k( + y + z ) ky y y Ep k( + y + z ) kz z z 9
Zadanie domowe Oddziaływania jądowe między dwoma neutonami w jądze atomowym opisuje tzw. potencjał Yukawy: U U e / gdzie odległość między neutonami, U i to stałe. Obliczyć siłę F j () oddziaływania neutonów. Obliczyć stosunek F j (3 )/F j ( ). Oddziaływania dwóch naładowanych cząsteczek opisuje potencjał U() - C gdzie C to stała. Obliczyć taki sam stosunek sił elektycznych F e (3 )/F e ( ) dla oddziaływań elektycznych cząsteczek. Na podstawie obliczonych stosunków wyciągnij wnioski z poównania sił jądowych i elektycznych.
Zasada zachowania enegii układzie izolowanym, w któym zmiany enegii pochodzą jedynie od sił zachowawczych enegia kinetyczna i potencjalna mogą się zmieniać, lecz ich suma czyli enegia mechaniczna E mech nie może ulegać zmianie. ΔE k + ΔE p E k - E k + E p - E p E k +E p E k + E p E k +E p const d dt (Ek + Ep)
Zastosowanie zasady zachowania enegii dla oscylatoa hamonicznego Ek m Ep k d dt ( m + k ) d dt (Ek + Ep) m d dt k d + dt d dt m + k ównanie oscylatoa hamonicznego
Podsumowanie Istnieje ścisły związek pomiędzy pacą a enegią O enegii potencjalnej układu można mówić tylko dla sił zachowawczych Zasada zachowania enegii mechanicznej pozwala ozwiązywać zagadnienia, któe są tudne lub niemożliwe do ozwiązania na guncie zasad dynamiki Całkowita enegia jest wielkością stałą. Enegia może być pzekształcana z jednej fomy w inną, ale nie może być wytwazana ani niszczona ΔE mech + ΔE tem +ΔE wew 3
Pzykład Kolaz o masie 8 kg chce wyjechać na wzgóze o wysokości h m, postą dogą nachyloną pod kątem. Jeden obót pedałów pouszających się po okęgu o śednicy D 36 cm powoduje pzemieszczenie oweu o odcinek S 5, m. Zaniedbując staty enegii oblicz: a) atość pacy jaka wykona kolaz, b) Siłę z jaką kolaz naciska na pedały. Rozwiązanie: d a) E p mgh 8 9,8 [J] 78,5 [kj] d b) Paca podczas jednego obotu pedałami: F π D powoduje zmianę enegii potencjalnej o E p mgs sin 4,5,74 696,4 [J] stąd FD E p F 696,4 3,4,36 66, [N] 4
Enegia elatywistyczna Lukecjusz (99 p.n.e.-55 p.n.e.) De Reum Natua Rzeczy nie mogą powstawać z niczego, a gdy zostały stwozone, nie mogą zamienić się w nicość piewsze sfomułowanie ZSDY ZCHONI MTERII. Laoisie (743-794) zasada zachowania masy Einstein (95) Teoia względności połączyła w jedną zasadę: zasadę zachowania masy i zasadę zachowania enegii. Masa elatywistyczna m m m ( c ) / 5
m m zatem enegia kinetyczna: E k m E k mc mc ( m m ) c m c dla małych pędkości, gdy /c << Zasada ównoważności masy i enegii: Każda ilość dostaczonej enegii powoduje wzost masy ciała. E k m m E c Pzykład: powstawanie deuteonu (jąda deuteu) m p,73 u m n,867 u m d,36 u p+ n Δm,38 u E,5 6 ev H 6
E,5 6 ev Taka enegia wyzwala się jako kwant - enegia wiązania. Enegia całkowita en. spoczynkowa + en. kinetyczna m c m c + stąd E k ( ) c m E k Enegia a pęd nieelatywistycznie: p E m k elatywistycznie ( p c) E E m c k + k stąd ( ) ( pc m c ) E + HR, t4 7