*** Elementy teorii popytu *** II. Funkcja popytu konsumenta x = (x 1, x 2,..., x n ), p = (p 1, p 2,..., p n ) p, x = p 1 x 1 + p 2 x 2 + + p n x n cena koszyka x Zbiór wszystkich koszyków, na jakie sta konsumenta o dochodzie I przy cenach p = (p 1, p 2,..., p n ): D(p, I) = {x R n + : p, x I} Def. 1. Lini (pªaszczyzn ) bud»etow nazywamy zbiór wszystkich tych koszyków, których kupno wymaga wydania caªego dochodu, tj. {x R n + : p, x = I} Tw. 1. Zbiór D(p, I) = {x R n + : p, x I} jest ograniczony, domkni ty i wypukªy. Tw. 2. Je»eli funkcja u»yteczno±ci u : R n + R jest ci gªa i silnie wkl sªa, to I > 0, p > 0 w zbiorze D(p, I) istnieje dokªadnie jeden opymalny koszyk x speªniaj cy warunek u( x) > u(x) x D(p, I) x x.
Koszyk x jest rozwi zaniem zadania maksymalizacji u»yteczno±ci konsumpcji: max u(x); x, p I, x 0. Tw. 3. Je»eli funkcja u»yteczno±ci u : R n + R jest rosn ca, ró»niczkowalna i silnie wkl sªa na intr n +, to koszyk x jest rozwi zaniem optymalnym zadania maksymalizacji u»yteczno±ci konsumpcji istnieje taka liczba λ > 0 (zwana mno»nikiem Lagrange'a),»e para ( x, λ) speªnia nast puj cy ukªad n + 1 równa«: u(x) x i x= x = λp i, i = 1, 2,..., n, x, p = I. Def. 2. Funkcj popytu konsumenta nazywamy odwzorowanie ϕ : intr n+1 + intr n +, która ka»dej parze (p, I) > 0 przyporz dkowuje odpowiadaj ce jej rozwi zanie x = ϕ(p, I) > 0 zadania maksymalizacji u»yteczno±ci konsumpcji. Tw. 4.Je»eli pewne dwie funkcje u»yteczno±ci u 1 (x) i u 2 (x) opisuj t sam relacj preferencji konsumenta, to odpowiada im jedna i ta sama funkcja popytu ϕ(p, I)
Tw. 5. Funkcja popytu konsumenta ϕ(p, I) jest dodatnio jednorodna stopnia zero tzn. p > 0, I > 0, λ > 0 ϕ(λp, λi) = ϕ(p, I). Tw. 6. Je»eli funkcja u»yteczno±ci jest rosn ca, silnie wkl sªa i ci gªa, to odpowiadaj ca jej funkcja popytu jest ci gªa. Je±li dodatkowo funkcja u»yteczno±ci jest dwukrotnie ró»niczkowalna, a jej hesjan H(x) jest ujemnie okre±lony, to odpowiadaj ca jej funkcja popytu jest ró»niczkowalna. Def. 3. Po±redni funkcj u»yteczno±ci nazywamy odwzorowanie v : intr n+1 + R, które ka»dej parze (p, I) > 0 przyporz dkowuje u»yteczno± u( x) optymalnego koszyka x = ϕ(p, I) > 0, b d cego rozwi zaniem zadania maksymalizacji u»yteczno±ci konsumpcji. Tw. 7. Je»eli funkcja u»yteczno±ci u(x) jest ci gªa i silnie rosn ca na R n +, to odpowiadaj ca jej po±rednia funkcja u»yteczno±ci v(p, I) jest: a) ci gªa na intr n=1 +, b) dodatnio jednorodna stopnia 0, c) rosn ca wzgl dem dochodu I oraz malej ca wzgl dem cen p i, i = 1, 2,..., n.
Tw. 8. (To»samo± Roy'a) Je»eli po±rednia funkcja u»yteczno±ci v(p, I) jest ró»niczkowalna na R n+1 v(p,i) oraz 0, to (p, I) speªniona + jest równo± : ϕ i (p, I) = v(p, I)/ p i v(p, I)/ (i = 1,..., n). Def. 4. Pochodn v(p,i) u»yteczno±ci dochodu. nazywamy kra«cow Tw. 9. Je»eli po±rednia funkcja u»yteczno±ci v(p, I) jest ró»niczkowalna na intr n+1 + oraz x = ϕ(p, I), to (p, I) > 0 speªniona jest równo± : v(p, I) = u(x) x i 1 p i = λ, i = 1,..., n. Def. 5. Popytem kra«cowym na i-ty towar wzgl dem ceny j-tego towaru nazywamy pochodn : P c ij (p, I) = ϕ i(p, I) p j. Def. 6. Elastyczno±ci popytu na i-ty towar wzgl dem ceny j-tego towaru (elastyczno±ci
cenow ) nazywamy funkcj ε c ij : intrn+1 + R postaci: ε c ij (p, I) = ϕ i(p, I) p j p j ϕ(p, I) Def. 7. Towar nazywamy normalnym, je»eli popyt na ten towar maleje wraz ze wzrostem jego ceny. Def. 8. Towar nazywamy towarem Giena, je»eli popyt na ten towar ro±nie wraz ze wzrostem jego ceny. Def. 9. Towar i-ty nazywamy substytucyjnym wzgl dem towaru j-tego, je±li wzrost ceny towaru j-tego powoduje wzrost popytu na towar i-ty. Def. 10. Towar i-ty nazywamy komplementarnym wzgl dem towaru j-tego, je»eli wzrost ceny towaru j-tego powoduje spadek popytu na towar i-ty Def. 11. Popytem kra«cowym na i-ty towar wzgl dem dochodu konsumenta nazywamy
pochodn Pi d (p, I) = ϕ i(p, I). Def. 12. Elastyczno±ci popytu na i-ty towar wzgl dem dochodu konsumenta (elastyczno±ci dochodow ) nazywamy funkcj ε d i : intrn+1 + R postaci ε d i (p, I) = ϕ i(p, I) I ϕ i (p, I). Def. 13. Towarem wy»szego rz du nazywamy towar, na który konsument zwi ksza popyt, gdy wzrasta jego dochód. Def. 14. Towarem ni»szego rz du nazywamy towar, na który konsument zmniejsza popyt, gdy wzrasta jego dochód. Twi. 10. Wzrost dochodu konsumenta powoduje wzrost popytu na przynajmniej jeden towar, tzn. (p,i) j ϕ j (p, I) > 0.
Twi. 11. Wzrost ceny jakiegokolwiek towaru powoduje spadek popytu na przynajmniej jeden towar, tzn. (p,i) j ϕ j (p, I) p i < 0. Twi. 12. Je»eli wraz ze wzrostem ceny popyt na towar ro±nie, to wraz ze wzrostem dochodu popyt na ten towar maleje, tzn. ( ϕj (p, I) (p,i) i > 0 ϕ i(p, I) p i < 0 ). III. Funkcja kompensacyjnego popytu Twi. 13. Je»eli funkcja u»yteczno±ci u : R n + R jest ci gªa, rosn ca i silnie wkl sªa, to wektor x > 0 jest rozwi zaniem optymalnym zadania minimalizacji wydatków gdy istnieje taka liczba λ > 0,»e para (x, λ ) speªnia ukªad warunków: u(x) x i x=x = λ p i (i = 1,..., n) u(x ) = u.
Def. 15. Funkcj kompensacyjnego popyt konsumenta nazywamy odwzorowanie f : intr n + U R n +, które ka»demu wektorowi cen p > 0 i ka»demu poziomowi u»yteczno±ci u u(0) przyporz dkowuje odpowiadaj ce im rozwi zanie x = f(p, u) zadania minimalizacji wydatków. Def. 16 Funkcj wydatków konsumenta nazywamy odwzorowanie e : intr n + R +, które ka»dej parze (p, u) przyporz dkowuje minimalny wydatek e(p, u) = p, f(p, u), jaki musi ponie± konsument, aby naby koszyk o u»yteczno±ci równej u. Twi. 14. Je»eli funkcja u»yteczno±ci u : R n + R jest ci gªa i rosn ca, to funkcja wydatków konsumenta e(p, u) ma nast puj ce wªasno±ci: (a) e(p, u(0)) = 0, (b) jest ci gªa i rosn ca, (c) jest dodatnio jednorodna stopnia 1 wzgl dem cen p, (d) jest wkl sªa wzgl dem cen p.
Twi. 15. Je»eli funkcja u»yteczno±ci u : R jest ci gªa, rosn ca i silnie wkl sªa, R n + to funkcja wydatków konsumenta e(p, u) jest ró»niczkowalna wzgl dem cen, przy czym p > 0, u u(0) speªniona jest równo± : e(p, u) p i = f i (p, u), i = 1,..., n. R n + Twi. 16. Je»eli funkcja u»yteczno±ci u : R jest rosn ca, silnie wkl sªa i dwukrotnie ró»niczkowalna, a jej hesjan H(x) jest ujemnie okre±lony na intr n +, to funkcja kompensacyjnego popytu f(p, u) jest ró»niczkowalna, a jej pochodne cz stkowe speªniaj nast puj ce warunki: (a) p > 0, u u(0) f i(p,u) p i < 0, i = 1,..., n, (b) p > 0, u u(0) 1,..., n. f i(p,u) p j = f j(p,u) p i, i, j =