Metody dokładne w astosowaniu do rowiąywania łańcuchów Markowa Beata Bylina, Paweł Górny Zakład Informatyki, Instytut Matematyki, Uniwersytet Marii Curie-Skłodowskiej Plac Marii Curie-Skłodowskiej 5, 2-31 Lublin W artykule predstawiono metody dokładne, a mianowicie rokład LU i rokład WZ stosowane do rowiąywania równań liniowych powstających podcas modelowania sieci komunikacyjnych łańcuchami Markowa wiąanymi modelowaniem kolejkowym 1 Wprowadenie Proces stochastycny X ( jest to rodina miennych losowych, określonych na tej samej prestreni probabilistycnej i uporądkowanych według parametru t Dla każdej dopuscalnej wartości t = t określona jest dystrybuanta i F X ( x; t ) = P[ X ( t ) x] i Wartości pryjmowane pre mienną tworą prestreń stanów procesu, która może być dyskretna (wtedy proces wiemy łańcuchem) lub ciągła Zależności statystycne pomiędy X ( dla różnych wartości t opisuje się a pomocą n-wymiarowej dystrybuanty i F X ( x; = FX ( x1, x2,, xn ; t1, t2, tn ) = P[ X ( t1) x1, X ( t2 ) x2,, X ( tn ) xn ] Procesy Markowa stanowią scególną klasę procesów stochastycnych mających tw własność Markowa (własność braku pamięci ), która to dla casu ciągłego definiowana jest a pomocą prawdopodobieństwa warunkowego: P X ( x X ( t ) = x, X ( t ) = x,, X ( t ) = x ] = P[ X ( x X ( t ) = [ n n n 1 n 1 n xn dla wsystkich t > tn > tn 1 > > t Prestreń stanów łańcucha Markowa jest awycaj podbiorem bioru licb naturalnych Parametr indeksujący t prybiera wartości ciągłe lub dyskretne mówi się odpowiednio o procesach ciągłym lub dyskretnym casem System modelowany a pomocą procesu Markowa pryjmuje w danej chwili casowej jeden i tylko jeden ]
spośród całego bioru stanów Ewolucja modelowanego systemu jest repreentowana prejściami procesu Markowa jednego stanu do drugiego W prypadku takiego modelu najcęściej posukiwaną informacją jest prawdopodobieństwo prebywania systemu w określonym stanie (lub biore stanów) w pewnym casie t Jeżeli cas ten jest na tyle długi, że anika wpływ wyboru stanu pocątkowego systemu, uyskane prawdopodobieństwa można traktować jako stacjonarne (ang stationary probabilities) W niniejsej pracy roważane są łańcuchy Markowa ciągłym casem i jednorodne, tn procesy, dla których P [ X ( x X ( t n ) = xn] ależy tylko t tn Niech łańcuch Markowa ciągłym casem pryjmuje wartości e bioru { x1, x2,, xn} Jeżeli X ( = xi, mówimy, że łańcuch jest w stanie i Onacmy pre π i ( prawdopodobieństwo, że łańcuch jest w stanie i w casie t ora p ij ( s, u) prawdopodobieństwo prejścia do stanu j w casie u pod warunkiem, że model najdował się w stanie i w casie s: Zdefiniowano: π i ( t ) = P[ X ( = xi ], pij ( s, u) = P[ X ( u) = x j X ( s) = xi ] pij ( t, t + lim, dla i j, t t qij ( = n (1) qik (, dla i = j, k = 1, k i gdie współcynnik q ij ( naywany jest współcynnikiem (lub intensywnością) prejścia (tranycji) e stanu i do stanu j Pry t otrymuje się układ, który ma następującą postać macierową: dπ( dt = π( Q, π(, π( e = 1, (2) gdie e = ( 1,,1), a Q = ( q ij ) jest macierą tranycji (macierą współcynników prejścia) Z tego układu treba wylicyć wektor π( = ( π 1(,, π n ( ) prawdopodobieństw stanów modelu Gdy prawdopodobieństwa nie ależą od casu (pry sukaniu prawdopodobieństw stacjonarnych) achodi równość πq =, π, πe = 1 (3)
Macier Q jest macierą osobliwą, jej rąd wynosi n 1 Dodatkowe własności maciery Q to fakt, że jest ona duża, kwadratowa o romiare n, dominującą główną prekątną, ora radka Wymienione cechy powodują, że do rowiąania równania (3) potrebne są specjalnie skonstruowane metody Stosuje się metody iteracyjne, projekcyjne i dekompoycyjne, ora metody dokładne predstawione w tym artykule 2 Metody dokładne Metody numerycne, które oblicają rowiąania problemów matematycnych w ustalonej licbie operacji naywane są ogólnie metodami bepośrednimi lub dokładnymi Dla prykładu eliminacja Gaussa niejednorodnego układu ( n n ) równań liniowych nieosobliwą macierą współcynników najduje rowiąanie w dokładnie 3 2 2 n n 5n n n + mnożeniach i + dieleniach Cechy metod dokładnych: 3 2 6 2 2 metody bepośrednie dają rowiąanie w skońconej licbie kroków wykorystując dekompoycję; w bepośrednich metodach rowiąywania równań eliminacja jednego nieerowego elementu maciery w faie redukcji cęsto pociąga a sobą stworenie kilku nieerowych elementów tam, gdie wceśniej były era Efekt ten (naywany wypełnianiem, ang fill-in) nie tylko sprawia, że organiacja prechowywania maciery staje się bardiej skomplikowana (bo treba prewidieć wstawianie i usuwanie elementów), ale także wielkość wypełnienia może być tak wielka, że dostępna pamięć sybko się skońcy Mająca prynieść sukces implementacja metody bepośredniej musi prewyciężyć te trudności metody dokładne umożliwiają określenie licby wymaganych operacji pred akońceniem obliceń; dla pewnych klas problemów metody bepośrednie dają dokładniejsą odpowiedź w krótsym casie Prykłady metod dokładnych to rokład WZ i LU opisane wra ich astosowaniem do łańcuchów Markowa w dalsej cęści pracy 3 Rokłady LU i WZ W tym rodiale krótko predstawione ostanie metodą rokładu WZ i LU rowiąywania układów równań linowych postaci: Ax = b, n n n, gdie A R, b x R (4) Niech A będie macierą nieosobliwą, która może być apisana jako ilocyn dwóch trójkątnych i nieredukowalnych maciery L i U, takich, że
l ik u kj,, i = 1,2,, n; j = 1,2,, n; k = 1,2, i k = 1,2,, j ora A = LU to wtedy wektor x, będący rowiąaniem układu równań Ax = b jest równy: x = U 1 1 L b i można oblicyć 1 = L b (rowiąując L = b ), a następnie 1 x = U Zasadnico, powinno się preprowadać sprawdanie wynacnika, aby badać stabilność dekompoycji Jednak w prypadku łancuchów Markowa nie jest to wcale potrebne [5] Rokład WZ jest opisany w [3, 6]: A = WZ, gdie maciere W i Z są następującej postaci: 1 w p W = wq 1 1 1 1 w pn, wqn 1 Z = 11 n1 pp qp pq qq 1n nn, gdie ( n + 1) / 2, q = ( + 1) / 2 p = n Po całkowitym rokładie możemy rowiąać parę układów dodatkowym wektorem jak dla rokładu LU 4 Algorytmy erowy wynacnik Po podstawieniu równanie (3) pryjmuje postać x = π, (5) Q x =, x, e x = 1 (6)
Za [5] prytocono tu metodę waną erowy wynacnik do rowiąywania równania (6) W podejściu erowy wynacnik wymagane jest, by istniał rokład LU maciery A = Q (istnieje dla maciery nieredukowalnych, gdyby Q była redukowalna, problem sprowadiłby się do kilku mniejsych maciery [5]) Podstawiając Ux = i rowiąując L =, otrymuje się (co wynika nieosobliwości maciery L) = W równaniu Ux = = ostatni wiers maciery U jest równy Można prypisać dowolną nieerową wartość (np m) do x n, jako że będie awse mnożony pre ero ostatniego wiersa U W kolejnych krokach można wynacyć następne składowe wektora x w oparciu o m Wydawać by się mogło, e wynik ależy od obranego m jednakże wektor prawdopodobieństw musi spełniać jesce jeden warunek suma jego składowych powinna wynosić 1 Po normaliowaniu otrymanego wyniku, uyskuje się sukany wektor prawdopodobieństw Dla rokładu WZ równanie (6) pryjmuje postać WZx = [1, 2], skąd: Wy = Zx = y y = Zx = y Zx = Równanie Zx = ma nieskońconą prestreń rowiąań Wprowadono parametr ξ będący dowolną recywistą licbą nieerową i pryjęto x = ξ (1) p Poostałe rowiąania otrymano uależniając je od parametru ξ, na końcu normaliowano wektor x (tak, by x ora e x = 1) 5 Eksperyment numerycny Obydwie metody (rokład LU i WZ) astosowano do najdowania charakterystyk licbowych analitycnego modelu formowania pakietu optycnego pakietów elektronicnych W celu analitycnego amodelowania formowania bloków pakietów optycnych [4] stosuje sie awycaj model kolejkowy oparty na kolejce FIFO i pewnej ilości źródeł Poissonowskich (rysunek 1) W prykładie ogranicono się do 25 bloków i 2 źródeł Odpowiada to długości pakietu równej 25 i 2 źródłom Ponieważ pakiety mogą mieć różną długość, od 1 do 2 bloków, w modelu ałożono pewien biór źródeł, w którym każde źródło generuje pakiety o określonej długości; np: źródło 1 pakiety składające się jednego bloku, źródło 2 pakiety składające się 2 bloków itd
Rysunek 1 Model kolejkowy formowania pakietu optycnego Proces tworenia kolejki jest następujący: Pakiet optycny jest gotowy do wysłania kiedy 25 bloków prybyło, lub mniej niż 25 bloków jest w kolejce ale pakiet który właśnie prybył spowodowałby wydłużenie kolejki ponad 25 bloków Ponadto akłada się, że proces ten nie może prekrocyć pewnego ałożonego casu (ang timeou Powyżse ałożenie definiują określony łańcuch Markowa (jak na rysunku 2) Węły grafu są Markowowskimi stanami systemu Poiomo, krawędie międy węłami onacają prybycie kolejnych pakietów Ponieważ prybywające pakiety mogą mieć różną długość, może istnieć kilka krawędi tego samego węła prejść jednego stanu do kolejnych w ależności od długości prybyłego pakietu Dla stanów ilością bloków w kolejce bliską 25 prejścia mogą spowodować powrót do stanów małą ilością bloków próba wstawienia prychodącego pakietu może powodować prepełnienie kolejki; wtedy tworenie kolejki pakietów jest końcone, pakiet jest wysyłany i acyna się tworenie nowej kolejki Pionowe rędy węłów onacają okresy gdy żaden pakiet nie prybył i bloki cekają określony cas (który nie może być prekrocony) na akońcenie formowania kolejki Ponieważ model ma charakter łańcucha Markowa ciągłym casem, jest prybliżone rokładem Erlanga 1-tego rędu, tn jest 1 fa o rokładie wykładnicym (średni cas trwania każdej fay to w prykładie µ r = 1 ) Kiedy ostaje osiągnięty limit casu, system wraca do stanu pocątkowego pakiet optycny utworony do tej pory ostaje wysłany i acyna się tworenie nowej kolejki
Rysunek 2 Diagram prejść międy stanami w modelu formowania pakietu optycnego
Macier prejścia dla modelu formowania węła ma 2491 elementów (jest wględnie mała) dlatego prechowywano ją w dwuwymiarowej tablicy be kompresji Algorytmy aimplementowano w jęyku C dla licb recywistych o pojedyncej precyji Program skompilowano pry użyciu kompilatora gcc opcją -O3 Programy testowano na komputere procesorem Pentium IV, 733 MH Na rysunku 3 predstawiono casy wykonania metody erowy wynacnik wykorystaniem rokładu LU i WZ dla maciery prejścia powstałej podcas formowania prełącnika optycnego ora błąd obliceń Rokład Cas [s] Błąd obliceń Q x 2 LU 98,89 3,6961e-3 WZ 228,65 2,94519e-7 Rysunek 3 Casy i błąd obliceń wykonania metody erowy wynacnik wykorystaniem rokładu WZ i LU 6 Podsumowanie Z eksperymentu numerycnego można wywnioskować, że astosowana metoda erowy wynacnik rokład LU wymaga mniej casu do wynacenia wektora prawdopodobieństw stanów, ale dokładność obliceń jest dużo mniejsa Odwrotnie jest w prypadku rokładu WZ, który daje bardo dużą dokładność (jest ona istotna pry oblicaniu np prawdopodobieństwa strat pakietu) Porównanie to wymaga dokładnej analiy ilości operacji Literatura 1 Bylina B: Wykorystanie biblioteki Blas do numerycnego rowiąywania modeli sieci optycnych Algorytmy, metody i programy naukowy Polskie owarystwo Informatycne, Lublin 24, s 11 18 2 Bylina B, Bylina J: Solving Markov Chains with the WZ Factoriation for Modelling Networks, Proceadings of Aplimat 24, Bratislava 24, s 37 312 3 Chandra Sekhara Rao S: Existence and uniqueness of WZ factoriation Parallel Computig, 1997 (23), s 1129 1139 4 Domańska J, Cachórski : Model formowania pakietów w węźle bregowym sieci optycnej Studia Informatica 23, vol 24, nr 2A (53) 5 Stewart W: Introduction to the Numerical Solution of Markov Chains, Princeton University Press, Chichester, West Sussex 1994 6 Yalamov P, Evans D J: he WZ matrix factoriation method Parallel Computing, 1995 (21), s 1111 112