Ekonometria Przestrzenna

Podobne dokumenty
Ekonometria Przestrzenna

Ekonometria Przestrzenna

Ekonometria. wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Ekonometria. wiczenia 2 Werykacja modelu liniowego. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Wst p do ekonometrii II

Modele wielorównaniowe. Estymacja parametrów

Ekonometria. wiczenia 3 Autokorelacja, heteroskedastyczno±, wspóªliniowo± Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Modele wielorównaniowe. Problem identykacji

Ekonometria. wiczenia 4 Prognozowanie. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Ekonometria. wiczenia 5 i 6 Modelowanie szeregów czasowych. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Ekonometria Przestrzenna

Ekonometria Przestrzenna

Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6

Wykªad 1+2: Klasyczny model regresji liniowej. Podstawy R

Biostatystyka, # 5 /Weterynaria I/

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Ekonometria Bayesowska

In»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia

Ekonometria. wiczenia 7 Modele nieliniowe. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Metoda najmniejszych kwadratów

Ekonometria - wykªad 8

Ekonometria Bayesowska

Ekonometria Bayesowska

MODELE LINIOWE i MIESZANE

Prawdopodobieństwo i statystyka

Makroekonomia Zaawansowana

Ekonometria - wykªad 1

Ekonometria Bayesowska

Statystyka i eksploracja danych

Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for regression) / 13

5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

Interpolacja funkcjami sklejanymi

Podstawy statystycznego modelowania danych - Wykªad 7

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski

1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0

Macierze i Wyznaczniki

Ekonometria Przestrzenna

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych

Egzamin z ekonometrii - wersja ogólna

EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach. a) (6 pkt.) oblicz intensywno± pªaconych skªadek;

Wst p do sieci neuronowych 2010/2011 wykªad 7 Algorytm propagacji wstecznej cd.

Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych

Rozdziaª 6. Strukturalne modele VAR

KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu

Metody probablistyczne i statystyka stosowana

Ekonometria Bayesowska

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.

2. (8 punktów) 3. (8 punktów) 4. (8 punktów) 5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

Zadanie 1. (8 punktów) Dana jest nast puj ca macierz: M =

1 Ró»niczka drugiego rz du i ekstrema

Liniowe zadania najmniejszych kwadratów

Metody Ekonometryczne

Ekonometria Bayesowska

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Metody statystyczne w biologii - Wykªad 8. Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t

Wykªad 6: Model logitowy

Ekonometria. Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego Estymator KMNK. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej

STATYSTYKA MAŁYCH OBSZARÓW IV. EMPIRYCZNY NAJLEPSZY PREDYKTOR

Ekonometria Przestrzenna

2 Liczby rzeczywiste - cz. 2

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej

Wykład 4 Wybór najlepszej procedury. Estymacja parametrów re

Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach

Rozdział 2: Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów

Przetwarzanie sygnaªów

Rozdziaª 5. Modele wektorowej autoregresji

Numeryczne zadanie wªasne

Aproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów

Efekty przestrzenne w konwergencji polskich podregionów

Szeregowanie zada« Przedmiot fakultatywny 15h wykªadu + 15h wicze« dr Hanna Furma«czyk. 7 pa¹dziernika 2013

Statystyka. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski

Spis treści Wstęp Estymacja Testowanie. Efekty losowe. Bogumiła Koprowska, Elżbieta Kukla

Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1

Legalna ±ci ga z RRI 2015/2016

Ekonometria. wiczenia 8 Modele zmiennej jako±ciowej. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

I Kolokwium z Ekonometrii. Nazwisko i imi...grupa...

Elementarna statystyka Test Istotno±ci (Tests of Signicance)

Pakiety statystyczne - Wykªad 8

Stosowana Analiza Regresji

Rozwini cia asymptotyczne dla mocy testów przybli»onych

Pakiety statystyczne Wykªad 14

Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 1

Rozdziaª 4. Jednowymiarowe modele szeregów czasowych

Stopę zbieżności ciagu zmiennych losowych a n, takiego, że E (a n ) < oznaczamy jako a n = o p (1) prawdopodobieństwa szybciej niż n α.

Statystyka opisowa. Wykªad II. Elementy statystyki opisowej. Edward Kozªowski.

Maªgorzata Murat. Modele matematyczne.

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski

Wprowadzenie do teorii ekonometrii. Wykład 1 Warunkowa wartość oczekiwana i odwzorowanie liniowe

Monte Carlo, bootstrap, jacknife

Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni

LZNK. Rozkªad QR. Metoda Householdera

Strategia czy intuicja?

Stosowana Analiza Regresji

Transkrypt:

Ekonometria Przestrzenna Wykªad 8: w modelach przestrzennych (8) Ekonometria Przestrzenna 1 / 23

Plan wykªadu 1 Modele proste Modele zªo»one 2 Wnioskowanie statystyczne dla mno»ników przestrzennych i ±rednich efektów Wnioskowanie w modelach z komponentem SAR Wnioskowanie w modelach bez komponentu SAR (8) Ekonometria Przestrzenna 2 / 23

Plan prezentacji 1 2 Wnioskowanie statystyczne dla mno»ników przestrzennych i ±rednich efektów (8) Ekonometria Przestrzenna 3 / 23

Modele proste Kra«cowe efekty wzrostu regresorów w modelu liniowym Rozwa»my model SAR (i modele zªo»one, zawieraj ce komponent ρwy): y = ρwy + Xβ + ε W przypadku ρ = 0 kra«cowy wpªyw zmiennej x k na y jest po prostu parametrem β k, czyli odpowiednim elementem wektora β (st d interpretacja parametrów modelu liniowego): y = Xβ + ε (8) Ekonometria Przestrzenna 4 / 23

Modele proste Kra«cowe efekty wzrostu regresorów w modelu liniowym Rozwa»my model SAR (i modele zªo»one, zawieraj ce komponent ρwy): y = ρwy + Xβ + ε W przypadku ρ = 0 kra«cowy wpªyw zmiennej x k na y jest po prostu parametrem β k, czyli odpowiednim elementem wektora β (st d interpretacja parametrów modelu liniowego): y = Xβ + ε (8) Ekonometria Przestrzenna 4 / 23

Modele proste Kra«cowe efekty wzrostu regresorów w modelu liniowym (2) Wpªyw takiej zale»no±ci przyczynowo-skutkowej mo»emy zapisa dla ka»dej pary jednostek, ró»niczkuj c wektor y wzgl dem wektora x k (ka»dy z nich ma dªugo± N liczba obserwacji, st d wynik to macierz N N): x k,1 = 1 S k = y x = [x k β k ] k x = β k I N = k β k x k,2 = 1 0 x k,n = 1 0 y 1 0 β k 0 y 2........... 0 0 β k y N macierz diagonalna: zmiana x k dla i-tej jednostki nie ma wpªywu na y dla»adnej innej jednostki macierz sferyczna (równo± elementów diagonalnych): efekt kra«cowy równy dla wszystkich jednostek (8) Ekonometria Przestrzenna 5 / 23

Modele proste Kra«cowe efekty wzrostu regresorów w modelu SAR (1) Rozwa»my model SAR (i modele zªo»one, zawieraj ce komponent ρwy): y = ρwy + Xβ + ε W przypadku ρ 0 kalkulacja efektu kra«cowego wymaga najpierw rozwikªania tej zale»no±ci wzgl dem y: y = (I ρw) 1 Xβ + (I ρw) 1 ε (8) Ekonometria Przestrzenna 6 / 23

Modele proste Kra«cowe efekty wzrostu regresorów w modelu SAR (1) Rozwa»my model SAR (i modele zªo»one, zawieraj ce komponent ρwy): y = ρwy + Xβ + ε W przypadku ρ 0 kalkulacja efektu kra«cowego wymaga najpierw rozwikªania tej zale»no±ci wzgl dem y: y = (I ρw) 1 Xβ + (I ρw) 1 ε (8) Ekonometria Przestrzenna 6 / 23

Modele proste Kra«cowe efekty wzrostu regresorów w modelu SAR (2) Efekt ró»niczkowania to równie» macierz N N, ale tym razem... S k = y x k = [(I ρw) 1 x k β k] x = β k (I ρw) 1 = k x k,1 = 1 x k,2 = 1 x k,n = 1 m 1,1 m 1,2 m 1,N y 1 m 2,1 m 2,2 m 2,N y 2........... m N,1 m N,2 m N,N y N ta macierz nie jest ani diagonalna (zale»no± obserwacji: zmiana x k dla i-tej jednostki mo»e mie wpªyw na y dla innych jednostek)... ani sferyczna (ró»ne efekty bezpo±rednie w ró»nych jednostkach). (8) Ekonometria Przestrzenna 7 / 23

Modele proste Interakcje s siadów komplikacja mno»ników (1) (8) Ekonometria Przestrzenna 8 / 23

Modele proste Interakcje s siadów komplikacje mno»ników (2) Kot wpªywa na Pata (β 1 ). W konsekwencji Pat wpªywa na Mata (β 1 ρ 2 ), Mat na Pata (β 1 ρ 2 ρ 1 ), Pat znów na Mata (β 1 ρ 2 ρ 1 ρ 2 )... Innymi sªowy (w j zyku modeli przestrzennych): S k = β k (I ρw) 1 = β k I + β k ρw + β k ρ 2 W 2 +... β k I: efekt bez uwzgl dnienia zale»no±ci przestrzennej (diagonalny, sferyczny) β k ρw: efekt s siedztwa pierwszego rz du (ale efekty na diagonali S k wci» równe, bo diagonala W zerowa) β k ρ 2 W 2 +...: diagonala S k przestaje by równa (efekty s siedztwa drugiego rz du i dalszych oddziaªuj ju» z ró»n siª na poszczególne jednostki) (8) Ekonometria Przestrzenna 9 / 23

Modele proste Interakcje s siadów komplikacje mno»ników (2) Kot wpªywa na Pata (β 1 ). W konsekwencji Pat wpªywa na Mata (β 1 ρ 2 ), Mat na Pata (β 1 ρ 2 ρ 1 ), Pat znów na Mata (β 1 ρ 2 ρ 1 ρ 2 )... Innymi sªowy (w j zyku modeli przestrzennych): S k = β k (I ρw) 1 = β k I + β k ρw + β k ρ 2 W 2 +... β k I: efekt bez uwzgl dnienia zale»no±ci przestrzennej (diagonalny, sferyczny) β k ρw: efekt s siedztwa pierwszego rz du (ale efekty na diagonali S k wci» równe, bo diagonala W zerowa) β k ρ 2 W 2 +...: diagonala S k przestaje by równa (efekty s siedztwa drugiego rz du i dalszych oddziaªuj ju» z ró»n siª na poszczególne jednostki) (8) Ekonometria Przestrzenna 9 / 23

Modele proste modeli SEM i SLX Du»o pro±ciej: M {}}{ SEM: y = Xβ + (I λw) 1 u β jak w modelu liniowym λ przez pryzmat macierzy M = [m i,j ]: u j = 1 y i = m i,j (z takich mno»ników rzadko korzystamy w praktyce...) SLX: y = Xβ + WXθ + ε β i θ efekty kra«cowe: S k = y x k = [x k(β k I+θ k W)] x k = β k I + θ k W...i dalej jak w SAR (8) Ekonometria Przestrzenna 10 / 23

Modele proste modeli SEM i SLX Du»o pro±ciej: M {}}{ SEM: y = Xβ + (I λw) 1 u β jak w modelu liniowym λ przez pryzmat macierzy M = [m i,j ]: u j = 1 y i = m i,j (z takich mno»ników rzadko korzystamy w praktyce...) SLX: y = Xβ + WXθ + ε β i θ efekty kra«cowe: S k = y x k = [x k(β k I+θ k W)] x k = β k I + θ k W...i dalej jak w SAR (8) Ekonometria Przestrzenna 10 / 23

Modele proste modeli SEM i SLX Du»o pro±ciej: M {}}{ SEM: y = Xβ + (I λw) 1 u β jak w modelu liniowym λ przez pryzmat macierzy M = [m i,j ]: u j = 1 y i = m i,j (z takich mno»ników rzadko korzystamy w praktyce...) SLX: y = Xβ + WXθ + ε β i θ efekty kra«cowe: S k = y x k = [x k(β k I+θ k W)] x k = β k I + θ k W...i dalej jak w SAR (8) Ekonometria Przestrzenna 10 / 23

Modele proste Efekty bezpo±rednie, po±rednie i caªkowite (1) Prezentacja macierzy S k w caªo±ci: kªopotliwa i zwykle niepotrzebna. Miary syntetyczne. Efekt bezpo±redni dla zmiennej x k : Ek D = tr(s k) N. Wpªyw jednostkowego wzrostu x k w danym regionie na y w tym samym regionie (u±redniony po regionach). Efekt caªkowity dla zmiennej x k : Ek T = 1 N ΣN i=1 m i,j. rednia sum kolumnowych macierzy S j. Wpªyw jednostkowego wzrostu x k w danym regionie na y we wszystkich regionach ª cznie (u±redniony po regionach, w których mo»e wyst pi impuls). Efekt po±redni dla zmiennej x k : Ek I = E k T E k D. Wpªyw jednostkowego wzrostu x j na y w pozostaªych regionach ª cznie (u±redniony po regionach, w których mo»e wyst pi impuls). (8) Ekonometria Przestrzenna 11 / 23

Modele proste Efekty bezpo±rednie, po±rednie i caªkowite (1) Prezentacja macierzy S k w caªo±ci: kªopotliwa i zwykle niepotrzebna. Miary syntetyczne. Efekt bezpo±redni dla zmiennej x k : Ek D = tr(s k) N. Wpªyw jednostkowego wzrostu x k w danym regionie na y w tym samym regionie (u±redniony po regionach). Efekt caªkowity dla zmiennej x k : Ek T = 1 N ΣN i=1 m i,j. rednia sum kolumnowych macierzy S j. Wpªyw jednostkowego wzrostu x k w danym regionie na y we wszystkich regionach ª cznie (u±redniony po regionach, w których mo»e wyst pi impuls). Efekt po±redni dla zmiennej x k : Ek I = E k T E k D. Wpªyw jednostkowego wzrostu x j na y w pozostaªych regionach ª cznie (u±redniony po regionach, w których mo»e wyst pi impuls). (8) Ekonometria Przestrzenna 11 / 23

Modele proste Efekty bezpo±rednie, po±rednie i caªkowite (1) Prezentacja macierzy S k w caªo±ci: kªopotliwa i zwykle niepotrzebna. Miary syntetyczne. Efekt bezpo±redni dla zmiennej x k : Ek D = tr(s k) N. Wpªyw jednostkowego wzrostu x k w danym regionie na y w tym samym regionie (u±redniony po regionach). Efekt caªkowity dla zmiennej x k : Ek T = 1 N ΣN i=1 m i,j. rednia sum kolumnowych macierzy S j. Wpªyw jednostkowego wzrostu x k w danym regionie na y we wszystkich regionach ª cznie (u±redniony po regionach, w których mo»e wyst pi impuls). Efekt po±redni dla zmiennej x k : Ek I = E k T E k D. Wpªyw jednostkowego wzrostu x j na y w pozostaªych regionach ª cznie (u±redniony po regionach, w których mo»e wyst pi impuls). (8) Ekonometria Przestrzenna 11 / 23

Modele proste Efekty bezpo±rednie, po±rednie i caªkowite (1) Prezentacja macierzy S k w caªo±ci: kªopotliwa i zwykle niepotrzebna. Miary syntetyczne. Efekt bezpo±redni dla zmiennej x k : Ek D = tr(s k) N. Wpªyw jednostkowego wzrostu x k w danym regionie na y w tym samym regionie (u±redniony po regionach). Efekt caªkowity dla zmiennej x k : Ek T = 1 N ΣN i=1 m i,j. rednia sum kolumnowych macierzy S j. Wpªyw jednostkowego wzrostu x k w danym regionie na y we wszystkich regionach ª cznie (u±redniony po regionach, w których mo»e wyst pi impuls). Efekt po±redni dla zmiennej x k : Ek I = E k T E k D. Wpªyw jednostkowego wzrostu x j na y w pozostaªych regionach ª cznie (u±redniony po regionach, w których mo»e wyst pi impuls). (8) Ekonometria Przestrzenna 11 / 23

Modele proste Efekty bezpo±rednie, po±rednie i caªkowite (2) Zwykle, tzn. przy ρ (0; 1), mamy β k < E D k < E T k. Interpretuj c w takiej sytuacji β k tak jak w modelu liniowym popeªniamy wi c bª d, gdy» podobn interpretacj ma co najwy»ej Ek T (abstrahuj c od faktu u±rednienia po regionach). Efekty liczymy poleceniem impacts po oszacowaniu modelu impacts <- impacts(model, listw = W) Efekty z modelu SLX liczone s tylko przy jednym sposobie szacowania (z argumentem type) i nie wymagaj wówczas argumentu listw. (8) Ekonometria Przestrzenna 12 / 23

Modele zªo»one w modelach zªo»onych {}}{ SARAR: y = (I ρw) 1 Xβ + (I ρw) 1 (I λw) 1 u β i ρ ª cznie jak w modelu SAR (impacts w R) ρ i λ ª cznie przez pryzmat macierzy M (jak SEM) SDM: y = (I ρw) 1 Xβ + (I ρw) 1 WXθ + (I ρw) 1 ε β, θ, ρ efekty kra«cowe: S k = y x k = {x k[β k (I ρw) 1 +θ k (I ρw) 1 W]} x k = (I ρw) 1 [β k I + θ k W]...i dalej jak w SAR (impacts w R) SDEM: y = Xβ + WXθ + (I λw) 1 u β i θ jak w SLX (impacts w R) λ jak w SEM M (8) Ekonometria Przestrzenna 13 / 23

Modele zªo»one w modelach zªo»onych {}}{ SARAR: y = (I ρw) 1 Xβ + (I ρw) 1 (I λw) 1 u β i ρ ª cznie jak w modelu SAR (impacts w R) ρ i λ ª cznie przez pryzmat macierzy M (jak SEM) SDM: y = (I ρw) 1 Xβ + (I ρw) 1 WXθ + (I ρw) 1 ε β, θ, ρ efekty kra«cowe: S k = y x k = {x k[β k (I ρw) 1 +θ k (I ρw) 1 W]} x k = (I ρw) 1 [β k I + θ k W]...i dalej jak w SAR (impacts w R) SDEM: y = Xβ + WXθ + (I λw) 1 u β i θ jak w SLX (impacts w R) λ jak w SEM M (8) Ekonometria Przestrzenna 13 / 23

Modele zªo»one w modelach zªo»onych {}}{ SARAR: y = (I ρw) 1 Xβ + (I ρw) 1 (I λw) 1 u β i ρ ª cznie jak w modelu SAR (impacts w R) ρ i λ ª cznie przez pryzmat macierzy M (jak SEM) SDM: y = (I ρw) 1 Xβ + (I ρw) 1 WXθ + (I ρw) 1 ε β, θ, ρ efekty kra«cowe: S k = y x k = {x k[β k (I ρw) 1 +θ k (I ρw) 1 W]} x k = (I ρw) 1 [β k I + θ k W]...i dalej jak w SAR (impacts w R) SDEM: y = Xβ + WXθ + (I λw) 1 u β i θ jak w SLX (impacts w R) λ jak w SEM M (8) Ekonometria Przestrzenna 13 / 23

Plan prezentacji 1 2 Wnioskowanie statystyczne dla mno»ników przestrzennych i ±rednich efektów (8) Ekonometria Przestrzenna 14 / 23

Wnioskowanie w modelach z komponentem SAR Wnioskowanie w modelach z komponentem SAR SAR / SARAR: Ŝ k = (I ˆρW) 1 [ ˆβk SDM: Ŝ k = (I ˆρW) 1 ˆβk I + ˆθ ] k W W obu przypadkach macierze mno»ników stanowi nieliniow funkcj szacowanych parametrów (ze wzgl du na ˆρ). Ocena niepewno±ci takich szacunków (i pochodnej wobec nich niepewno±ci u±rednionych efektów) wymaga zastosowania przybli»e«lub metod numerycznych. (8) Ekonometria Przestrzenna 15 / 23

Wnioskowanie w modelach z komponentem SAR Wnioskowanie w modelach z komponentem SAR SAR / SARAR: Ŝ k = (I ˆρW) 1 [ ˆβk SDM: Ŝ k = (I ˆρW) 1 ˆβk I + ˆθ ] k W W obu przypadkach macierze mno»ników stanowi nieliniow funkcj szacowanych parametrów (ze wzgl du na ˆρ). Ocena niepewno±ci takich szacunków (i pochodnej wobec nich niepewno±ci u±rednionych efektów) wymaga zastosowania przybli»e«lub metod numerycznych. (8) Ekonometria Przestrzenna 15 / 23

Wnioskowanie w modelach z komponentem SAR Wnioskowanie w modelach z komponentem SAR SAR / SARAR: Ŝ k = (I ˆρW) 1 [ ˆβk SDM: Ŝ k = (I ˆρW) 1 ˆβk I + ˆθ ] k W W obu przypadkach macierze mno»ników stanowi nieliniow funkcj szacowanych parametrów (ze wzgl du na ˆρ). Ocena niepewno±ci takich szacunków (i pochodnej wobec nich niepewno±ci u±rednionych efektów) wymaga zastosowania przybli»e«lub metod numerycznych. (8) Ekonometria Przestrzenna 15 / 23

Wnioskowanie w modelach z komponentem SAR Metoda 1: przybli»enie delta (model SAR) (1) Niech k = Ŝ k [ ˆρ ˆβ k ], gdzie Ŝ k oznacza pionowy wektor dªugo±ci N N zªo»ony z elementów macierzy Ŝ k. Macierz pochodnych k ma wymiary (N N) 2 (pochodne N N elementów po 2 parametrach). Ŝ k ˆβ k = (I ˆρW) 1 ˆβk ˆβ k Ŝ k ˆρ = (I ˆρW) 1 ˆβk ˆρ MWM = (I ˆρW) 1 M Z reguª ró»niczkowania macierzowego: U(x) 1 x = U (x) 1 U(x) x = (I ˆρW) 1 ( W) (I ˆρW) 1 U (x) 1 (8) Ekonometria Przestrzenna 16 / 23

Wnioskowanie w modelach z komponentem SAR Metoda 1: przybli»enie delta (model SAR) (1) Niech k = Ŝ k [ ˆρ ˆβ k ], gdzie Ŝ k oznacza pionowy wektor dªugo±ci N N zªo»ony z elementów macierzy Ŝ k. Macierz pochodnych k ma wymiary (N N) 2 (pochodne N N elementów po 2 parametrach). Ŝ k ˆβ k = (I ˆρW) 1 ˆβk ˆβ k Ŝ k ˆρ = (I ˆρW) 1 ˆβk ˆρ MWM = (I ˆρW) 1 M Z reguª ró»niczkowania macierzowego: U(x) 1 x = U (x) 1 U(x) x = (I ˆρW) 1 ( W) (I ˆρW) 1 U (x) 1 (8) Ekonometria Przestrzenna 16 / 23

Wnioskowanie w modelach z komponentem SAR Metoda 1: przybli»enie delta (model SAR) (1) Niech k = Ŝ k [ ˆρ ˆβ k ], gdzie Ŝ k oznacza pionowy wektor dªugo±ci N N zªo»ony z elementów macierzy Ŝ k. Macierz pochodnych k ma wymiary (N N) 2 (pochodne N N elementów po 2 parametrach). Ŝ k ˆβ k = (I ˆρW) 1 ˆβk ˆβ k Ŝ k ˆρ = (I ˆρW) 1 ˆβk ˆρ MWM = (I ˆρW) 1 M Z reguª ró»niczkowania macierzowego: U(x) 1 x = U (x) 1 U(x) x = (I ˆρW) 1 ( W) (I ˆρW) 1 U (x) 1 (8) Ekonometria Przestrzenna 16 / 23

Wnioskowanie w modelach z komponentem SAR Metoda 1: przybli»enie delta (model SAR) (2) Niech Σ k = ( ) Var (ˆρ) Cov ˆρ, ˆβ k ( ). Var ˆβk b dzie odpowiednim fragmentem 2 2 macierzy wariancji-kowariancji oszacowa«parametrów modelu. Z rozwini cia wzoru na wariancj Ŝ k w szereg Taylora 1. rz du wynika wzór ma macierz (N N) (N N): Var (Ŝ k ) T k (Σ k) 1 k Diagonalne elementy tej macierzy mog zosta z powrotem odpowiednio uªo»one w macierz N N, a ich pierwiastki b d stanowiªy oszacowania bª dów standardowych Ŝ k. (8) Ekonometria Przestrzenna 17 / 23

Wnioskowanie w modelach z komponentem SAR Metoda 1: przybli»enie delta (model SAR) (2) Niech Σ k = ( ) Var (ˆρ) Cov ˆρ, ˆβ k ( ). Var ˆβk b dzie odpowiednim fragmentem 2 2 macierzy wariancji-kowariancji oszacowa«parametrów modelu. Z rozwini cia wzoru na wariancj Ŝ k w szereg Taylora 1. rz du wynika wzór ma macierz (N N) (N N): Var (Ŝ k ) T k (Σ k) 1 k Diagonalne elementy tej macierzy mog zosta z powrotem odpowiednio uªo»one w macierz N N, a ich pierwiastki b d stanowiªy oszacowania bª dów standardowych Ŝ k. (8) Ekonometria Przestrzenna 17 / 23

Wnioskowanie w modelach z komponentem SAR Metoda 1: przybli»enie delta (model SAR) (2) Niech Σ k = ( ) Var (ˆρ) Cov ˆρ, ˆβ k ( ). Var ˆβk b dzie odpowiednim fragmentem 2 2 macierzy wariancji-kowariancji oszacowa«parametrów modelu. Z rozwini cia wzoru na wariancj Ŝ k w szereg Taylora 1. rz du wynika wzór ma macierz (N N) (N N): Var (Ŝ k ) T k (Σ k) 1 k Diagonalne elementy tej macierzy mog zosta z powrotem odpowiednio uªo»one w macierz N N, a ich pierwiastki b d stanowiªy oszacowania bª dów standardowych Ŝ k. (8) Ekonometria Przestrzenna 17 / 23

Wnioskowanie w modelach z komponentem SAR Metoda 2: bootstrap (1) Zwykle mówi c o metodach bootstrapowych mamy na my±li wariant nieparametryczny: Losujemy niezale»nie ze zwracaniem N regionów z populacji N regionów. Dla ka»dego wyniku losowania r = 1,..., R wyznaczamy Ŝ (r) Z otrzymanego rozkªadu Ŝ (r) k wyznaczamy wybrane kwantyle ka»dego elementu tej macierzy (np. rz du 0,025 i 0,975, otrzymuj c 95-procentowy przedziaª ufno±ci). Jednak ten wariant nie sprawdzi si w modelach przestrzennych! Obserwacje nie s niezale»ne. Losuj c w ten sposób, rozrywamy cz ±ciowo sie zale»no±ci, o której pó¹niej b dziemy wnioskowa na podstawie ˆρ. Rozwi zaniem mogªoby by losowanie grupowe (ang. block bootstrap), jak w dynamicznych modelach szeregów czasowych (obserwacja + opó¹nienie). Bardzo trudne w dynamicznych panelowych modelach przestrzennych (dwa wymiary grupowania: czas i przestrze«!). k. (8) Ekonometria Przestrzenna 18 / 23

Wnioskowanie w modelach z komponentem SAR Metoda 2: bootstrap (1) Zwykle mówi c o metodach bootstrapowych mamy na my±li wariant nieparametryczny: Losujemy niezale»nie ze zwracaniem N regionów z populacji N regionów. Dla ka»dego wyniku losowania r = 1,..., R wyznaczamy Ŝ (r) Z otrzymanego rozkªadu Ŝ (r) k wyznaczamy wybrane kwantyle ka»dego elementu tej macierzy (np. rz du 0,025 i 0,975, otrzymuj c 95-procentowy przedziaª ufno±ci). Jednak ten wariant nie sprawdzi si w modelach przestrzennych! Obserwacje nie s niezale»ne. Losuj c w ten sposób, rozrywamy cz ±ciowo sie zale»no±ci, o której pó¹niej b dziemy wnioskowa na podstawie ˆρ. Rozwi zaniem mogªoby by losowanie grupowe (ang. block bootstrap), jak w dynamicznych modelach szeregów czasowych (obserwacja + opó¹nienie). Bardzo trudne w dynamicznych panelowych modelach przestrzennych (dwa wymiary grupowania: czas i przestrze«!). k. (8) Ekonometria Przestrzenna 18 / 23

Wnioskowanie w modelach z komponentem SAR Metoda 2: bootstrap (2) Bootstrap parametryczny: dysponuj c oszacowanym modelem z parametrami ˆρ, ˆβ: Losujemy R realizacji wektora skªadników losowych ε (r) : i.i.d., N ( 0, ˆσ ( 2) Dla ka»dej z nich rekonstruujemy y (r) = f ε (r), X, W, ˆβ, ) ˆρ. [ Szacujemy ˆρ (r), ˆβ (r)] = f (y (r), X, W) i na tej podstawie wyznaczamy Ŝ (r) k. Równowa»nie (i pro±ciej w praktyce): Losujemy R razy [ ˆρ (r), ˆβ (r)] MVN podstawie wyznaczamy Ŝ (r) k. ([ ] [ ]) ˆρ, ˆβ, Cov ˆρ, ˆβ i na tej Z otrzymanego rozkªadu Ŝ (r) k wyznaczamy wybrane kwantyle ka»dego elementu tej macierzy (np. rz du 0,025 i 0,975, otrzymuj c 95-procentowy przedziaª ufno±ci). Ograniczenie: zakªadamy,»e mamy model o prawidªowych wªasno±ciach statystycznych! (8) Ekonometria Przestrzenna 19 / 23

Wnioskowanie w modelach z komponentem SAR Metoda 2: bootstrap (2) Bootstrap parametryczny: dysponuj c oszacowanym modelem z parametrami ˆρ, ˆβ: Losujemy R realizacji wektora skªadników losowych ε (r) : i.i.d., N ( 0, ˆσ ( 2) Dla ka»dej z nich rekonstruujemy y (r) = f ε (r), X, W, ˆβ, ) ˆρ. [ Szacujemy ˆρ (r), ˆβ (r)] = f (y (r), X, W) i na tej podstawie wyznaczamy Ŝ (r) k. Równowa»nie (i pro±ciej w praktyce): Losujemy R razy [ ˆρ (r), ˆβ (r)] MVN podstawie wyznaczamy Ŝ (r) k. ([ ] [ ]) ˆρ, ˆβ, Cov ˆρ, ˆβ i na tej Z otrzymanego rozkªadu Ŝ (r) k wyznaczamy wybrane kwantyle ka»dego elementu tej macierzy (np. rz du 0,025 i 0,975, otrzymuj c 95-procentowy przedziaª ufno±ci). Ograniczenie: zakªadamy,»e mamy model o prawidªowych wªasno±ciach statystycznych! (8) Ekonometria Przestrzenna 19 / 23

Wnioskowanie w modelach z komponentem SAR Metoda 2: bootstrap (2) Bootstrap parametryczny: dysponuj c oszacowanym modelem z parametrami ˆρ, ˆβ: Losujemy R realizacji wektora skªadników losowych ε (r) : i.i.d., N ( 0, ˆσ ( 2) Dla ka»dej z nich rekonstruujemy y (r) = f ε (r), X, W, ˆβ, ) ˆρ. [ Szacujemy ˆρ (r), ˆβ (r)] = f (y (r), X, W) i na tej podstawie wyznaczamy Ŝ (r) k. Równowa»nie (i pro±ciej w praktyce): Losujemy R razy [ ˆρ (r), ˆβ (r)] MVN podstawie wyznaczamy Ŝ (r) k. ([ ] [ ]) ˆρ, ˆβ, Cov ˆρ, ˆβ i na tej Z otrzymanego rozkªadu Ŝ (r) k wyznaczamy wybrane kwantyle ka»dego elementu tej macierzy (np. rz du 0,025 i 0,975, otrzymuj c 95-procentowy przedziaª ufno±ci). Ograniczenie: zakªadamy,»e mamy model o prawidªowych wªasno±ciach statystycznych! (8) Ekonometria Przestrzenna 19 / 23

Wnioskowanie w modelach z komponentem SAR Metoda 2: bootstrap (2) Bootstrap parametryczny: dysponuj c oszacowanym modelem z parametrami ˆρ, ˆβ: Losujemy R realizacji wektora skªadników losowych ε (r) : i.i.d., N ( 0, ˆσ ( 2) Dla ka»dej z nich rekonstruujemy y (r) = f ε (r), X, W, ˆβ, ) ˆρ. [ Szacujemy ˆρ (r), ˆβ (r)] = f (y (r), X, W) i na tej podstawie wyznaczamy Ŝ (r) k. Równowa»nie (i pro±ciej w praktyce): Losujemy R razy [ ˆρ (r), ˆβ (r)] MVN podstawie wyznaczamy Ŝ (r) k. ([ ] [ ]) ˆρ, ˆβ, Cov ˆρ, ˆβ i na tej Z otrzymanego rozkªadu Ŝ (r) k wyznaczamy wybrane kwantyle ka»dego elementu tej macierzy (np. rz du 0,025 i 0,975, otrzymuj c 95-procentowy przedziaª ufno±ci). Ograniczenie: zakªadamy,»e mamy model o prawidªowych wªasno±ciach statystycznych! (8) Ekonometria Przestrzenna 19 / 23

Wnioskowanie w modelach z komponentem SAR Ocena niepewno±ci wokóª ±rednich efektów R dostarcza gotowej procedury bootstrapowej w odniesieniu do ±rednich efektów bezpo±rednich, po±rednich i caªkowitych. Oceniaj c efekty za pomoc polecenia impacts uzupeªniamy je o argumenty: R = 200 (liczba powtórze«r w procedurze bootstrapowej) zstats = TRUE Na podstawie uzyskanego rozkªadu zostanie przeprowadzony test trzech hipotez: H 0 : E D k = 0 H 0 : E I k = 0 H 0 : E T k = 0 (8) Ekonometria Przestrzenna 20 / 23

Wnioskowanie w modelach bez komponentu SAR Wnioskowanie w modelach bez komponentu SAR Obie metody mo»na równie» stosowa w odniesieniu do modelu SLX / SDEM. Metoda delta zapewni wówczas dokªadn formuª zamiast przybli»enia, bo S k = β k I + θ k W to funkcja liniowa ze wzgl du na β k i θ k. (Dokªadna formuªa analityczna dla rozkªadu liniowych funkcji parametrów modelu liniowego wyprowadzona np. w Greene, 2003). Metoda bootstrapowa równie» zapewni prawidªowe wnioskowanie (cho jej stosowanie w praktyce nie jest obliczeniowo efektywne wobec ªatwego rozwi zania analitycznego). (8) Ekonometria Przestrzenna 21 / 23

Wnioskowanie w modelach bez komponentu SAR Wnioskowanie w modelach bez komponentu SAR Obie metody mo»na równie» stosowa w odniesieniu do modelu SLX / SDEM. Metoda delta zapewni wówczas dokªadn formuª zamiast przybli»enia, bo S k = β k I + θ k W to funkcja liniowa ze wzgl du na β k i θ k. (Dokªadna formuªa analityczna dla rozkªadu liniowych funkcji parametrów modelu liniowego wyprowadzona np. w Greene, 2003). Metoda bootstrapowa równie» zapewni prawidªowe wnioskowanie (cho jej stosowanie w praktyce nie jest obliczeniowo efektywne wobec ªatwego rozwi zania analitycznego). (8) Ekonometria Przestrzenna 21 / 23

Wnioskowanie w modelach bez komponentu SAR Wnioskowanie w modelach bez komponentu SAR Obie metody mo»na równie» stosowa w odniesieniu do modelu SLX / SDEM. Metoda delta zapewni wówczas dokªadn formuª zamiast przybli»enia, bo S k = β k I + θ k W to funkcja liniowa ze wzgl du na β k i θ k. (Dokªadna formuªa analityczna dla rozkªadu liniowych funkcji parametrów modelu liniowego wyprowadzona np. w Greene, 2003). Metoda bootstrapowa równie» zapewni prawidªowe wnioskowanie (cho jej stosowanie w praktyce nie jest obliczeniowo efektywne wobec ªatwego rozwi zania analitycznego). (8) Ekonometria Przestrzenna 21 / 23

Wnioskowanie w modelach bez komponentu SAR Wnioskowanie w modelach bez komponentu SAR Obie metody mo»na równie» stosowa w odniesieniu do modelu SLX / SDEM. Metoda delta zapewni wówczas dokªadn formuª zamiast przybli»enia, bo S k = β k I + θ k W to funkcja liniowa ze wzgl du na β k i θ k. (Dokªadna formuªa analityczna dla rozkªadu liniowych funkcji parametrów modelu liniowego wyprowadzona np. w Greene, 2003). Metoda bootstrapowa równie» zapewni prawidªowe wnioskowanie (cho jej stosowanie w praktyce nie jest obliczeniowo efektywne wobec ªatwego rozwi zania analitycznego). (8) Ekonometria Przestrzenna 21 / 23

Wnioskowanie w modelach bez komponentu SAR Zmienne interakcyjne Uwaga! W caªym wykªadzie (niezale»nie od modelu i metody wnioskowania) zakªadali±my,»e w±ród zmiennych X nie ma zmiennych interakcyjnych (typu x 1 x 2 ). W przeciwnym razie nale»y inaczej wyprowadzi mno»niki dla zmiennych x 1 i x 2. Polecam jako wiczenie. Mno»niki przestrzenne dla danej jednostki zale» od: siªy aprzestrzennego oddziaªywania X na y (β) siªy powi za«przestrzennych (ρ, θ) stopnia zintegrowania jednostki z sieci powi za«(w) w modelach ze zmiennymi interakcyjnymi: poziomu innych predyktorów w analizowanym regionie i innych regionach (X) (8) Ekonometria Przestrzenna 22 / 23

Wnioskowanie w modelach bez komponentu SAR Zmienne interakcyjne Uwaga! W caªym wykªadzie (niezale»nie od modelu i metody wnioskowania) zakªadali±my,»e w±ród zmiennych X nie ma zmiennych interakcyjnych (typu x 1 x 2 ). W przeciwnym razie nale»y inaczej wyprowadzi mno»niki dla zmiennych x 1 i x 2. Polecam jako wiczenie. Mno»niki przestrzenne dla danej jednostki zale» od: siªy aprzestrzennego oddziaªywania X na y (β) siªy powi za«przestrzennych (ρ, θ) stopnia zintegrowania jednostki z sieci powi za«(w) w modelach ze zmiennymi interakcyjnymi: poziomu innych predyktorów w analizowanym regionie i innych regionach (X) (8) Ekonometria Przestrzenna 22 / 23

Wnioskowanie w modelach bez komponentu SAR Zadanie domowe 7 Wybierz dowoln zmienn obja±niaj c z modeli omawianych w pracach domowych 5 i 6. Dla modelu wskazanego jako najlepszy (a je»eli byª to model SEM to dla dowolnego innego modelu) wyznacz w przypadku tej zmiennej efekt bezpo±redni, po±redni i caªkowity. Przeprowad¹ test istotno±ci ww. efektu po±redniego. Zilustruj na mapie wpªyw jednostkowej zmiany wskazanej zmiennej obja±niaj cej w wybranym regionie na zmienn obja±nian w poszczególnych regionach. Skomentuj wyniki. Plik PDF powinien zawiera wyniki oblicze«wraz z interpretacjami i map. (8) Ekonometria Przestrzenna 23 / 23