Pakiety statystyczne Wykªad 14

Transkrypt

1 Pakiety statystyczne Wykªad 14 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki

2 Plan wykªadu Model mieszany 1. Podstawy teoretyczne 2. Przykªady w R 3. Przykªady zastosowania Tomasz Suchocki, Wykªad 14 2/55

3 Podstawy teoretyczne Model mieszany zmienna zale»na jest typu ci gªego komplementarnie do efektów staªych mo»emy okresli efekty losowe, które w modelu uwzgl dniamy jako realizacje zmiennej losowej o pewnych parametrach Tomasz Suchocki, Wykªad 14 3/55

4 Podstawy teoretyczne Dlaczego u¹ywamy efektów losowych? Efektów tych mo»e by tak du»o,»e zamiast traktowa je jako parametry modelu, przyjmujemy,»e s to zmienne losowe z zadanego rozkªadu prawdopodobie«stwa, którego parametry b d parametrami modelu. Mo»emy nie by zainteresowani bezpo±redni ocen warto±ci efektów, lecz raczej zmienno±ci tych efektów w populacji. Tomasz Suchocki, Wykªad 14 4/55

5 Podstawy teoretyczne Ogólna posta modelu: Efekty staªe: X β y = X β + Zu + ɛ, X - macierz wyst pie«dla efektów staªych (n p) β - parametry do estymacji (p 1) Efekty losowe: Zu Z - macierz wyst pie«dla efektów losowych (n q) u - wektor zmiennych losowych odpowiadaj cych efektom losowym (q 1) Tomasz Suchocki, Wykªad 14 5/55

6 Podstawy teoretyczne Residua: ɛ - bªedy losowe (n 1) Zakªada si,»e wektory u i ɛ s niezale»ne i pochodz z rozkªadów normalnych: u N (0, G), z macierz G = Aσu 2 o wymiarach (q q) ɛ N (0, R), z macierz R = I σ 2 ɛ o wymiarach (n n) Przy powy»szych zaªo»eniach wariancja zmiennej y ma posta : Var(y) = V = ZGZ T + R Tomasz Suchocki, Wykªad 14 6/55

7 Podstawy teoretyczne Estymatory efektów staªych β uzyskane przy pomocy metody najwi kszej wiarygodno±ci: y N (X β, V ) z macierz V = ZGZ T + R Funkcja wiarygodno±ci powy»szego modelu mieszanego ma posta 2 log L = n log (2π) + log V + (y X β) T V 1 (y X β) β = ( X T V 1 X ) 1 X T V 1 y Tomasz Suchocki, Wykªad 14 7/55

8 Podstawy teoretyczne Jak otrzyma funkcj najwi kszej wiarygodno±ci? Wiemy,»e je»eli z N (A, B) to g sto± prawdopodobie«stwa zmiennej y ma posta ( 1 exp 1 ) (2π) n 2 B (z A)T B 1 (z A) Korzystaj c z tego faktu mamy i z tego,»e y N (X β, V ) otrzymujemy ( 1 L = exp 1 ) (2π) n 2 V (y X β)t V 1 (y X β) Tomasz Suchocki, Wykªad 14 8/55

9 Podstawy teoretyczne Logarytmuj c otrzyman funckj wiarygodno±ci otrzymujemy log L = n 2 log (2π) 1 2 log V 1 2 (y X β)t V 1 (y X β) Mno» c otrzymany logarytm funkcji wiarygodno±ci przez liczb ( 2) otrzymujemy ostateczn posta funkcji wiarygodno±ci. Tomasz Suchocki, Wykªad 14 9/55

10 Podstawy teoretyczne Jak otrzyma wzór na estymatory parametrów β metod najwi kszej wiarygodno±ci? 2 log L=n log (2π) + log V + y T V 1 y y T V 1 X β β T X T V 1 y + β T X T V 1 X β Ró»niczkuj c powy»sz funkcj wzgl dem parametru β i otrzymujemy ( 2 log L) = y T V 1 X X T V 1 y + 2X T V 1 X β β = 2X T V 1 y + 2X T V 1 X β Tomasz Suchocki, Wykªad 14 10/55

11 Podstawy teoretyczne Otrzyman ró»niczk funkcji wiarygodno±ci przyrównujemy do 0 i otrzymujemy ( 2 log L) β β = = 2X T V 1 y + 2X T V 1 X β = 0 ( X T V 1 X ) 1 X T V 1 y Tomasz Suchocki, Wykªad 14 11/55

12 Podstawy teoretyczne FAKT: Var(Ay) = A Var(y) A T, dla zmiennej losowej y i znanej macierzy A Tomasz Suchocki, Wykªad 14 12/55

13 Podstawy teoretyczne Macierz wariancji-kowariancji dla efektów staªych: ) ( ( ) ) 1 Var ( β =Var X T V 1 X X T V 1 y ( ) 1 ( ) ( ) 1 = X T V 1 X X T V 1 Var(y)V 1 X X T V 1 X Podstawiaj c za Var(y) = V otrzymujemy ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 Var ( β = X T V 1 X X T V 1 VV 1 X X T V 1 X i ostatecznie mamy ) ( ) 1 Var ( β = X T V 1 X Tomasz Suchocki, Wykªad 14 13/55

14 Podstawy teoretyczne Testowanie istotno±ci efektów staªych (Test Walda): Dla ka»dego efektu β j, j = 1,..., p mamy SE( β j ) = diag(var( β) j ) Hipotezy H 0 : β j = 0 vs. H 1 : β j 0 Statystyka testowa W = β j SE( β j ) Statystyka W przy prawdziwo±ci H 0 ma rozkªad N (0, 1) Tomasz Suchocki, Wykªad 14 14/55

15 Podstawy teoretyczne Testowanie istotno±ci efektów staªych (Test Walda): Hipotezy H 0 : Lβ = 0 vs. H 1 : Lβ 0, dla danej macierzy kontrastu L Statystyka testowa W = β T L T [ L(X T V 1 X ) 1 L T ] 1 L β Statystyka W przy prawdziwo±ci H 0 ma rozkªad chi 2 z liczb stopni swobody rown rz dowi macierzy L Tomasz Suchocki, Wykªad 14 15/55

16 Podstawy teoretyczne Testowanie istotno±ci efektów staªych (Test oparty na ilorazie wiarygodno±ci - porównywanie modeli z ró»n ilo±ci efektów staªych): Hipotezy H 0 : beta Ω 0, gdzie Ω 0 Ω Statystyka testowa 2 log λ N = 2 log L Ω 0 L Ω Statystyka przy prawdziwo±ci H 0 ma rozkªad chi 2 z liczb stopni swobody rown ró»nicy parametrów pomi dzy Ω i Ω 0 Tomasz Suchocki, Wykªad 14 16/55

17 Podstawy teoretyczne Estymacja parametrów wariancji: 2 log L REML = 2 log L + log X T V 1 X Metody estymacji parametrów wariancji: EM Newton-Raphson Fisher scoring Tomasz Suchocki, Wykªad 14 17/55

18 Podstawy teoretyczne Testowanie istotno±ci efektów losowych (Test oparty na ilorazie wiarygodno±ci): Hipotezy H 0 : σ 2 u = 0 Statystyka testowa 2 log λ N = 2 log L zredukowanej + 2 log L penej Statystyka przy prawdziwo±ci H 0 jest mieszanin rozkªadów chi 2 z 0 i 1 stopniem swobody ( 1 2 χ χ2 1 ) Tomasz Suchocki, Wykªad 14 18/55

19 Podstawy teoretyczne Porównywanie modeli: gdzie AIC = 2 log L + 2s BIC = 2 log L + s log (n ) s - liczba wszystkich parametrów w modelu n = n p dla funkcji L REML n = n dla funkcji L Tomasz Suchocki, Wykªad 14 19/55

20 Podstawy teoretyczne Predykcja efektów losowych: ( X T R 1 X X T R 1 ) ) Z ( β Z T R 1 X Z T R 1 Z + G 1 = û Warto przypomnie sobie funkcje cbind() i rbind() ( X T R 1 ) y Z T R 1 y Tomasz Suchocki, Wykªad 14 20/55

21 Przykªad Zbiór danych o nazwie "milkgene¹ pakietu "PBImisc". Kolejne kolumny zawieraj : numer krowy numer laktacji gen BTM3a1 wydajno± mleczn wydajno± tªuszczu Tomasz Suchocki, Wykªad 14 21/55

22 Przykªad Chcemy sprawdzi, czy obserwowana mutacja w genie BTN3a1 wpªywa na mleczno± krów. Mamy 915 pomiarów mleczno±ci dla osobników o genotypie 1 i 85 pomiarów dla genotypu 2. Nie mo»na zastosowa w tym przypadku testu t-studenta dla dwóch grup, ani modelu z jednym efektem staªym genu poniewa» cz ± osobników byªa mierzona wi cej ni» jeden raz (przez kilka laktacji). Aby uwzgl dni podobie«stwo w pomiarach do modelu doªo»ymy efekt losowy osobnika. Wybieramy efekt losowy, poniewa» krów jest du»o i nie chcemy wprowadza tak wielu parametrów do modelu. Dodatkowo nie interesuje nas efekt pojedynczych osobników, a efekt genu. Tomasz Suchocki, Wykªad 14 22/55

23 Przykªad Model: y mleko = X btn3a1 β btn3a1 + X laktacja β laktacja + Z krowa u krowa + ɛ u krowa - efekt losowy o rozkªadzie N (0, σ 2 krowa ) macierz Z krowa ma wymiary , z i,j = 1 gdy wiersz i dotyczy jtego osobnika oraz 0 w przeciwnym razie. Tomasz Suchocki, Wykªad 14 23/55

24 Przykªad Formuªa: require(lme4) m1=lmer(milk btn3a1+lactation+(1 cow.id),data=milkgene) Otrzymujemy wyniki: Efekt staªy genu O tyle ±rednio wy»sza jest mleczno± osobników o genotypie 2 od osobników o genotypie 1. Parametr σkrowa 2 = i jest praktycznie równy wariancji bª du. Nale»y sprawdzi zaªo»enia modelu tzn. Normalno± reszt i efektów losowych oraz ich niezale»no±. Tomasz Suchocki, Wykªad 14 24/55

25 Przykªad Istotno± efektów staªych: summary(m1)$coefs - testy t-studenta test opary na ilorazie wiarygodno±ci tzn. tworzymy dwa modele z i bez efektu genu btn3a1, nast pnie obliczamy logarytmy funkcji wiarygodno±ci dla ka»dego z modeli i wyznaczamy statystyk λ. Rozkªad lambdy to χ 2 1. Istotno± efektów losowych: test opary na ilorazie wiarygodno±ci tzn. tworzymy dwa modele z i bez efektu genu osobniczego, nast pnie obliczamy logarytmy funkcji wiarygodno±ci dla ka»dego z modeli i wyznaczamy statystyk λ. Rozkªad lambdy to 1 2 χ χ2 1. Tomasz Suchocki, Wykªad 14 25/55

26 Przykªad Istotno± efektów staªych: Efekt genu BTN3a1 wynosi 1.03 z p-warto±ci p = Istotno± efektów losowych: Statystyka λ = z p-warto±ci p = 5.49e 55 Tomasz Suchocki, Wykªad 14 26/55

27 Przykªadowy program Model: y = X β + Zu + ɛ Predykcja efektów losowych: ( X T R 1 X X T R 1 ) ) Z ( β Z T R 1 X Z T R 1 Z + G 1 = û Warto przypomnie sobie funkcje cbind() i rbind() ( X T R 1 ) y Z T R 1 y Tomasz Suchocki, Wykªad 14 27/55

28 Pzykªadowy program Tomasz Suchocki, Wykªad 14 28/55

29 Model mieszany - algorytm EM Estymatory parametrów wariancji uzyskane przy pomocy algorytmu EM: σ 2[t+1] u = û [t] A 1û [t] + tr(a 1 Cu 1[t] NA )σɛ 2[t] σ 2[t+1] ɛ [t] ɛ [t] = ɛ + tr([x, Z]C 1[t] [X, Z] )σɛ 2[t] N Tomasz Suchocki, Wykªad 14 29/55

30 Pzykªadowy program Tomasz Suchocki, Wykªad 14 30/55

31 Pzykªadowy program Tomasz Suchocki, Wykªad 14 31/55

32 Wst p Modelowanie efektów genów zlokalizowanych na chromosomie szóstym Bos taurus jako zmiennych w czasie przy u»yciu modeli mieszanych z regresjami losowymi QTL (ang. Quantitative Trait Locus) region na chromosomie zwi zany z siª ekspresji danej cechy ilo±ciowej (np. wydajno± mleka u krów). Na jedn cech mo»e wpªywa kilka QTL z ró»n siª. Tomasz Suchocki, Wykªad 14 32/55

33 Wst p 1. Zmienno± genetyczna wiele loci z maªymi efektami (efekt poligenów) kilka loci z du»ymi efektami (QTL) Tomasz Suchocki, Wykªad 14 33/55

34 Wst p 2. Model mieszany z regresjami losowymi wiele obserwacji dla ka»dego osobnika modelowanie struktury kowariancji na poziomie genetycznym efekty zmienne w czasie Tomasz Suchocki, Wykªad 14 34/55

35 Wst p 3. Chromosom szósty Bos taurus obecno± wielu QTL dotychczas efekt QTL staªy w czasie brak mutacji funkcjonalnych Tomasz Suchocki, Wykªad 14 35/55

36 Cele 1. Sprawdzenie nowego modelu pod k tem przydatno±ci do detekcji QTL. 2. Sprawdzenie, czy istotne QTL s staªe, czy zmienne w czasie. 3. Próba estymacji nowych pozycji QTL na chromosomie szóstym Bos taurus. Tomasz Suchocki, Wykªad 14 36/55

37 Zbiór danych - zwierz ta 716 krów rasy holszty«sko-fryzyjskiej 23 ojców 9 stad wiele obserwacji fenotypowych (6 497) rozwa»ane cechy dzienna wydajno± mleka ¹ródªo: Tomasz Suchocki, Wykªad 14 37/55

38 Zbiór danych - markery N Marker Poªo»enie (cm) Allele 1 BM BMS BMS BM BMS BM BMS ILSTS RM BM ILSTS ILSTS BMS BP MARC map (Ihara et al., 2004) Tomasz Suchocki, Wykªad 14 38/55

39 Zbiór danych - chromosom 6 Tomasz Suchocki, Wykªad 14 39/55

40 Wykorzystane modele - model 1 y i = µ + β + α i + ρ i + ɛ i, y i skumulowana 305 dniowa warto± cechy dla osobnika i β efekty staªe α i losowy efekt addytywnie poligeniczny, ρ i losowy efekt QTL, ρ N ( 0, IBDσρ 2 ) ɛ i residua, ɛ N ( 0, I N σɛ 2 ) α N ( 0, Aσα 2 ) Tomasz Suchocki, Wykªad 14 40/55

41 Wykorzystane modele - macierz IBD IBD (ang. Identical By Descent) oszacowanie podobie«stwa genetycznego pomi dzy osobnikami w danym miejscu genomu. ϑ = 1 P(IBD = 1) + P(IBD = 2) 2 Tomasz Suchocki, Wykªad 14 41/55

42 Wykorzystane modele - macierz A a macierz IBD Tomasz Suchocki, Wykªad 14 42/55

43 Wykorzystane modele - model y ij = β + α im φ m (τ ij ) + ρ i + ξ im φ m (τ ij ) + ɛ ij, m=0 m=0 y ij jta obserwacja dla osobnika i φ m (τ ij ) mty wielomian Legendre'a w czasie τ ij α im mty wspóªczynnik regresji losowej dla efektu addytywnie poligenicznego, α N (0, A G α ) ξ im mty wspóªczynnik regresji losowej dla efektu trwale ±rodowiskowego, ξ N (0, I NA P ξ ) Tomasz Suchocki, Wykªad 14 43/55

44 Wykorzystane modele - model y ij = β + α im φ m (τ ij ) + ρ im φ m (τ ij ) + ξ im φ m (τ ij ) + ɛ ij, m=0 m=0 m=0 ρ im mty wspóªczynnik regresji losowej dla efektu QTL, ρ N (0, IBD G ρ ) Tomasz Suchocki, Wykªad 14 44/55

45 Wykorzystane modele - testowane hipotezy Hipotezy dla modeli 1 i 2: H 0 : σ 2 ρ = 0 vs. H 1 : σ 2 ρ 0 Λ 1 2 χ χ2 1 Hipotezy dla modelu 3: H 0 : G ρ = 0 vs. H 1 : G ρ jest macierz nieujemnie okre±lon o wymiarze 3 3 Λ χ 2 6 Tomasz Suchocki, Wykªad 14 45/55

46 Wykorzystane modele - testowane hipotezy Hipotezy do porównywania modeli 2 i 3: σ 2 ρ 0 σρ 2 G ρ12 H 0 : G ρ = vs. H1 : G ρ = 0 0 G T ρ12 G ρ22 Λ χ 2 2 Tomasz Suchocki, Wykªad 14 46/55

47 Wykorzystane modele - ilo± parametrów do estymacji Model 1 3 parametry ( 65 cm 4 cechy = 780) σ 2 α, σ2 ρ i σ2 ɛ Model 2 14 parametrów (3 640) G α, σ 2 ρ, P ξ i σ 2 ɛ Model 3 19 parametrów (4 940) G α, G ρ, P ξ i σ 2 ɛ G α, G ρ, P ξ s wymiaru 3 3 Tomasz Suchocki, Wykªad 14 47/55

48 U»yte oprogramowanie 1. ASReml 2. LOKI estymacja parametrów wariancji estymacja macierzy IBD 3. R - samodzielnie napisane programy do: wyznaczania macierzy spokrewnie«a rozwi zywania ukªadu równa«modelu mieszanego wyznaczania warto±ci funkcji wiarygodno±ci wyznaczania warto±ci statystyki testu opartego na ilorazie wiarygodno±ci Tomasz Suchocki, Wykªad 14 48/55

49

50 Wyniki - wydajno± mleka (model 1) Tomasz Suchocki, Wykªad 14 50/55

51 Wyniki - wydajno± mleka (model 2) Tomasz Suchocki, Wykªad 14 51/55

52 Wyniki - wydajno± mleka (model 3) Tomasz Suchocki, Wykªad 14 52/55

53 Wyniki - wydajno± mleka (wariancja QTL) Tomasz Suchocki, Wykªad 14 53/55

54 Wnioski Modele uwzgl dniaj ce zmienny w czasie efekt QTL maj wi ksz moc detekcji ni» modele z efektem QTL staªym w czasie. Modele ze staªym efektem QTL nie s w stanie wykry QTL o wyra¹nie zmiennym efekcie. Tomasz Suchocki, Wykªad 14 54/55

55 Dzi kuj za uwag Tomasz Suchocki, Wykªad 14 55/55