Ekonometria Przestrzenna

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Ekonometria Przestrzenna"

Transkrypt

1 Ekonometria Przestrzenna Wykªad 2: Macierz wag przestrzennych W (2) Ekonometria Przestrzenna 1 / 34

2 Plan wykªadu 1 Macierz wag przestrzennych 2 Podstawowe metody konstrukcji macierzy W Na podstawie macierzy s siedztwa Macierz oparta na odlegªo±ci 3 Inne metody konstrukcji macierzy W Alternatywne metody wyboru s siadów Umowne miary odlegªo±ci 4 Normalizacja macierzy W Normalizacja Wnioski ko«cowe (2) Ekonometria Przestrzenna 2 / 34

3 Plan prezentacji 1 Macierz wag przestrzennych 2 Podstawowe metody konstrukcji macierzy W 3 Inne metody konstrukcji macierzy W 4 Normalizacja macierzy W (2) Ekonometria Przestrzenna 3 / 34

4 Macierz wag przestrzennych Problem identykacji w modelach przestrzennych (1) Rozwa»amy wektor y = (y 1,..., y N ) przestrzennie powi zanych obserwacji. Hipotetycznie map wszystkich powi za«mogliby±my przedstawi jako: y 1 = c 1,1 + α 1,2 y 2 + α 1,3 y α 1,N y N y 2 = c 2,1 + α 2,1 y 1 + α 2,3 y α 2,N y N... y N = c N,1 + α N,1 y 1 + α N,2 y α N,N 1 y N 1 Gdyby±my chcieli oszacowa wszystkie elementy α i,j, oznaczaªoby to (nie licz c staªych) konieczno± oszacowania N 2 N parametrów na podstawie N obserwacji. To oczywi±cie niewykonalne. (2) Ekonometria Przestrzenna 4 / 34

5 Macierz wag przestrzennych Problem identykacji w modelach przestrzennych (1) Rozwa»amy wektor y = (y 1,..., y N ) przestrzennie powi zanych obserwacji. Hipotetycznie map wszystkich powi za«mogliby±my przedstawi jako: y 1 = c 1,1 + α 1,2 y 2 + α 1,3 y α 1,N y N y 2 = c 2,1 + α 2,1 y 1 + α 2,3 y α 2,N y N... y N = c N,1 + α N,1 y 1 + α N,2 y α N,N 1 y N 1 Gdyby±my chcieli oszacowa wszystkie elementy α i,j, oznaczaªoby to (nie licz c staªych) konieczno± oszacowania N 2 N parametrów na podstawie N obserwacji. To oczywi±cie niewykonalne. (2) Ekonometria Przestrzenna 4 / 34

6 Macierz wag przestrzennych Problem identykacji w modelach przestrzennych (1) Rozwa»amy wektor y = (y 1,..., y N ) przestrzennie powi zanych obserwacji. Hipotetycznie map wszystkich powi za«mogliby±my przedstawi jako: y 1 = c 1,1 + α 1,2 y 2 + α 1,3 y α 1,N y N y 2 = c 2,1 + α 2,1 y 1 + α 2,3 y α 2,N y N... y N = c N,1 + α N,1 y 1 + α N,2 y α N,N 1 y N 1 Gdyby±my chcieli oszacowa wszystkie elementy α i,j, oznaczaªoby to (nie licz c staªych) konieczno± oszacowania N 2 N parametrów na podstawie N obserwacji. To oczywi±cie niewykonalne. (2) Ekonometria Przestrzenna 4 / 34

7 Macierz wag przestrzennych Problem identykacji w modelach przestrzennych (2) W praktyce posªugujemy si wi c nast puj cym uproszczeniem: kwadratow macierz α [α i,j ] (z zerowymi elementami diagonalnymi) traktujemy jako iloczyn: α = ρ W nieznanego parametru ρ znanej i egzogenicznej macierzy W Interpretacja: Niezerowe elementy i-tego wiersza wskazuj regiony powi zane z i-tym regionem, a proporcje mi dzy dodatnimi warto±ciami odpowiadaj wzgl dnej sile tego powi zania. ρ podlega estymacji. Dokªadna interpretacja jest uzale»niona od szczegóªowej konstrukcji macierzy W (zob. dalej), ale je»eli ρ nie ró»ni si istotnie od zera, to nie ma efektów przestrzennych (i mo»na np. stosowa klasyczny model regresji liniowej). (2) Ekonometria Przestrzenna 5 / 34

8 Macierz wag przestrzennych Problem identykacji w modelach przestrzennych (2) W praktyce posªugujemy si wi c nast puj cym uproszczeniem: kwadratow macierz α [α i,j ] (z zerowymi elementami diagonalnymi) traktujemy jako iloczyn: α = ρ W nieznanego parametru ρ znanej i egzogenicznej macierzy W Interpretacja: Niezerowe elementy i-tego wiersza wskazuj regiony powi zane z i-tym regionem, a proporcje mi dzy dodatnimi warto±ciami odpowiadaj wzgl dnej sile tego powi zania. ρ podlega estymacji. Dokªadna interpretacja jest uzale»niona od szczegóªowej konstrukcji macierzy W (zob. dalej), ale je»eli ρ nie ró»ni si istotnie od zera, to nie ma efektów przestrzennych (i mo»na np. stosowa klasyczny model regresji liniowej). (2) Ekonometria Przestrzenna 5 / 34

9 Macierz wag przestrzennych Macierz wag przestrzennych W jest centralnym poj ciem ekonometrii przestrzennej. Opisuje ona schemat wzajemnego powi zania jednostek (np. regionów). Ka»dy element opisuje relacj mi dzy par regionów. W jest macierz kwadratow o wymiarze równym liczbie regionów. Jej i-ty wiersz interpretujemy jako wektor wag, które okre±laj wpªyw innych regionów na i-ty region. Macierz W ma zerow diagonal. Region nie wpªywa bezpo±rednio na siebie sam. Ale po±rednio ju» tak: skoro wpªywamy na s siada, to s siad wpªywa na nas. (2) Ekonometria Przestrzenna 6 / 34

10 Macierz wag przestrzennych Macierz wag przestrzennych W jest centralnym poj ciem ekonometrii przestrzennej. Opisuje ona schemat wzajemnego powi zania jednostek (np. regionów). Ka»dy element opisuje relacj mi dzy par regionów. W jest macierz kwadratow o wymiarze równym liczbie regionów. Jej i-ty wiersz interpretujemy jako wektor wag, które okre±laj wpªyw innych regionów na i-ty region. Macierz W ma zerow diagonal. Region nie wpªywa bezpo±rednio na siebie sam. Ale po±rednio ju» tak: skoro wpªywamy na s siada, to s siad wpªywa na nas. (2) Ekonometria Przestrzenna 6 / 34

11 Macierz wag przestrzennych Macierz wag przestrzennych W jest centralnym poj ciem ekonometrii przestrzennej. Opisuje ona schemat wzajemnego powi zania jednostek (np. regionów). Ka»dy element opisuje relacj mi dzy par regionów. W jest macierz kwadratow o wymiarze równym liczbie regionów. Jej i-ty wiersz interpretujemy jako wektor wag, które okre±laj wpªyw innych regionów na i-ty region. Macierz W ma zerow diagonal. Region nie wpªywa bezpo±rednio na siebie sam. Ale po±rednio ju» tak: skoro wpªywamy na s siada, to s siad wpªywa na nas. (2) Ekonometria Przestrzenna 6 / 34

12 Macierz wag przestrzennych Przykªadowa macierz W ródªo: Arbia (2014). (2) Ekonometria Przestrzenna 7 / 34

13 Macierz wag przestrzennych Jak skonstruowa macierz W? 1 Zdeniuj przestrze«w sposób adekwatny do problemu. 1 geograa? 2 a mo»e co± innego? (blisko± / odlegªo± funkcj czynników ekonomicznych, spoªecznych, kulturowych...) 2 Zastosuj odpowiedni miar do tej denicji. 1 miara binarna: s siedztwo / przynale»no± do grupy 2 miara ci gªa: funkcja odlegªo±ci / odlegªo±ci 3 miara hybrydowa: wybór k najbli»szych / najbli»szych s siadów 3 Dokonaj normalizacji macierzy W. (2) Ekonometria Przestrzenna 8 / 34

14 Macierz wag przestrzennych Jak skonstruowa macierz W? 1 Zdeniuj przestrze«w sposób adekwatny do problemu. 1 geograa? 2 a mo»e co± innego? (blisko± / odlegªo± funkcj czynników ekonomicznych, spoªecznych, kulturowych...) 2 Zastosuj odpowiedni miar do tej denicji. 1 miara binarna: s siedztwo / przynale»no± do grupy 2 miara ci gªa: funkcja odlegªo±ci / odlegªo±ci 3 miara hybrydowa: wybór k najbli»szych / najbli»szych s siadów 3 Dokonaj normalizacji macierzy W. (2) Ekonometria Przestrzenna 8 / 34

15 Macierz wag przestrzennych Jak skonstruowa macierz W? 1 Zdeniuj przestrze«w sposób adekwatny do problemu. 1 geograa? 2 a mo»e co± innego? (blisko± / odlegªo± funkcj czynników ekonomicznych, spoªecznych, kulturowych...) 2 Zastosuj odpowiedni miar do tej denicji. 1 miara binarna: s siedztwo / przynale»no± do grupy 2 miara ci gªa: funkcja odlegªo±ci / odlegªo±ci 3 miara hybrydowa: wybór k najbli»szych / najbli»szych s siadów 3 Dokonaj normalizacji macierzy W. (2) Ekonometria Przestrzenna 8 / 34

16 Plan prezentacji 1 Macierz wag przestrzennych 2 Podstawowe metody konstrukcji macierzy W 3 Inne metody konstrukcji macierzy W 4 Normalizacja macierzy W (2) Ekonometria Przestrzenna 9 / 34

17 Na podstawie macierzy s siedztwa Macierz s siedztwa Macierz s siedztwa to szczególny, najpowszechniej stosowany przypadek macierzy wag. Regiony (kolumny) s siaduj ce z i-tym regionem s wskazane s jako 1 w i-tym wierszu. Problematyczny mo»e by przypadek, gdy istniej regiony nies siaduj ce z»adnym innym (Irlandia Póªnocna w UK, Sycylia w IT, itp.). Mo»na próbowa tego unikn, wskazuj c mimo wszystko np. najbli»ej poªo»ony region jako jedynego s siada, lub odpowiednio korygowa istniej ce metody. Metoda adekwatna wyª cznie do zbioru regionów (ale nie do zbioru punktów). (2) Ekonometria Przestrzenna 10 / 34

18 Na podstawie macierzy s siedztwa Macierz s siedztwa Macierz s siedztwa to szczególny, najpowszechniej stosowany przypadek macierzy wag. Regiony (kolumny) s siaduj ce z i-tym regionem s wskazane s jako 1 w i-tym wierszu. Problematyczny mo»e by przypadek, gdy istniej regiony nies siaduj ce z»adnym innym (Irlandia Póªnocna w UK, Sycylia w IT, itp.). Mo»na próbowa tego unikn, wskazuj c mimo wszystko np. najbli»ej poªo»ony region jako jedynego s siada, lub odpowiednio korygowa istniej ce metody. Metoda adekwatna wyª cznie do zbioru regionów (ale nie do zbioru punktów). (2) Ekonometria Przestrzenna 10 / 34

19 Na podstawie macierzy s siedztwa Macierz s siedztwa Macierz s siedztwa to szczególny, najpowszechniej stosowany przypadek macierzy wag. Regiony (kolumny) s siaduj ce z i-tym regionem s wskazane s jako 1 w i-tym wierszu. Problematyczny mo»e by przypadek, gdy istniej regiony nies siaduj ce z»adnym innym (Irlandia Póªnocna w UK, Sycylia w IT, itp.). Mo»na próbowa tego unikn, wskazuj c mimo wszystko np. najbli»ej poªo»ony region jako jedynego s siada, lub odpowiednio korygowa istniej ce metody. Metoda adekwatna wyª cznie do zbioru regionów (ale nie do zbioru punktów). (2) Ekonometria Przestrzenna 10 / 34

20 Na podstawie macierzy s siedztwa Macierz s siedztwa Macierz s siedztwa to szczególny, najpowszechniej stosowany przypadek macierzy wag. Regiony (kolumny) s siaduj ce z i-tym regionem s wskazane s jako 1 w i-tym wierszu. Problematyczny mo»e by przypadek, gdy istniej regiony nies siaduj ce z»adnym innym (Irlandia Póªnocna w UK, Sycylia w IT, itp.). Mo»na próbowa tego unikn, wskazuj c mimo wszystko np. najbli»ej poªo»ony region jako jedynego s siada, lub odpowiednio korygowa istniej ce metody. Metoda adekwatna wyª cznie do zbioru regionów (ale nie do zbioru punktów). (2) Ekonometria Przestrzenna 10 / 34

21 Na podstawie macierzy s siedztwa Macierz s siedztwa: przykªad Czy......s siaduje z......? USA Kanada TAK Kanada USA TAK USA Meksyk TAK Meksyk USA TAK Kanada Meksyk NIE Meksyk Kanada NIE US CA MX W S = W = US CA MX (2) Ekonometria Przestrzenna 11 / 34

22 Na podstawie macierzy s siedztwa Konstrukcja macierzy W na podstawie s siedztwa w R 1 Wczytujemy obiekt typu SpatialPolygonDataFrame (patrz: wykªad 1). Mapa b dzie ¹ródªem informacji, które regiony maj wspólne granice. 2 Tworzymy obiekt b d cy listami s siadów nb. contnb <- poly2nb(spatial_data, queen = T) queen = T traktujemy jako s siadów te regiony, które granicz jednym punktem (szachi±ci wiedz sk d ta nazwa...) 3 Normalizujemy wierszami, tworz c obiekt typu listw. W_list <- nb2listw(contnb, style = "W") Je»eli mamy (i chcemy pozostawi ) regiony izolowane, wówczas do polecenia nb2listw musimy dodawa argument zero.policy = TRUE. listw to efektywna forma przechowywania (zwykle rzadkiej) macierzy W. (2) Ekonometria Przestrzenna 12 / 34

23 Na podstawie macierzy s siedztwa Konstrukcja macierzy W na podstawie s siedztwa w R 1 Wczytujemy obiekt typu SpatialPolygonDataFrame (patrz: wykªad 1). Mapa b dzie ¹ródªem informacji, które regiony maj wspólne granice. 2 Tworzymy obiekt b d cy listami s siadów nb. contnb <- poly2nb(spatial_data, queen = T) queen = T traktujemy jako s siadów te regiony, które granicz jednym punktem (szachi±ci wiedz sk d ta nazwa...) 3 Normalizujemy wierszami, tworz c obiekt typu listw. W_list <- nb2listw(contnb, style = "W") Je»eli mamy (i chcemy pozostawi ) regiony izolowane, wówczas do polecenia nb2listw musimy dodawa argument zero.policy = TRUE. listw to efektywna forma przechowywania (zwykle rzadkiej) macierzy W. (2) Ekonometria Przestrzenna 12 / 34

24 Na podstawie macierzy s siedztwa Konstrukcja macierzy W na podstawie s siedztwa w R 1 Wczytujemy obiekt typu SpatialPolygonDataFrame (patrz: wykªad 1). Mapa b dzie ¹ródªem informacji, które regiony maj wspólne granice. 2 Tworzymy obiekt b d cy listami s siadów nb. contnb <- poly2nb(spatial_data, queen = T) queen = T traktujemy jako s siadów te regiony, które granicz jednym punktem (szachi±ci wiedz sk d ta nazwa...) 3 Normalizujemy wierszami, tworz c obiekt typu listw. W_list <- nb2listw(contnb, style = "W") Je»eli mamy (i chcemy pozostawi ) regiony izolowane, wówczas do polecenia nb2listw musimy dodawa argument zero.policy = TRUE. listw to efektywna forma przechowywania (zwykle rzadkiej) macierzy W. (2) Ekonometria Przestrzenna 12 / 34

25 Na podstawie macierzy s siedztwa Kryterium królowej (queen = T) (1) ródªo: Arbia (2014). (2) Ekonometria Przestrzenna 13 / 34

26 Na podstawie macierzy s siedztwa Kryterium królowej (queen = T) (2) Wydaje si nienaturalnym problemem, gdy my±limy o powiatach w Polsce. Jednak wa»ne przy analizie takich obszarów jak np. hrabstwa (counties) w Teksasie lub przy analizie danych punktowych, które samodzielnie agregujemy za pomoc kwadratowej siatki: (2) Ekonometria Przestrzenna 14 / 34

27 Na podstawie macierzy s siedztwa Relacje s siedztwa 1 rz du dla polskich powiatów Funkcja: plot.nb (2) Ekonometria Przestrzenna 15 / 34

28 Na podstawie macierzy s siedztwa Relacje s siedztwa 1 i 2 rz du dla polskich powiatów S siad mojego s siada te» jest te» moim s siadem (nblag i nblag_cumul) (2) Ekonometria Przestrzenna 16 / 34

29 Macierz oparta na odlegªo±ci Konstrukcja macierzy opartej na odlegªo±ci Alternatywnym sposobem konstrukcji W jest dopuszczenie do bezpo±redniej interakcji mi dzy wszystkimi regionami. Jej siªa zale»y wówczas od odlegªo±ci. Niech d i,j oznacza odlegªo± mi dzy i oraz j. Wówczas: 1 0 (d 1,2 ) γ 1 (d 1,N) γ 1 (d 1,2 ) γ 0 1 (d W = 2,N) γ (d 1,N) γ (d 2,N) γ 0 γ to ustalony przez badacza parametr wygasania. Przy braku wyra¹nych przesªanek do przyj cia konkretnej warto±ci mo»na np. zaªo»y,»e γ = 1. (2) Ekonometria Przestrzenna 17 / 34

30 Macierz oparta na odlegªo±ci Konstrukcja macierzy opartej na odlegªo±ci Alternatywnym sposobem konstrukcji W jest dopuszczenie do bezpo±redniej interakcji mi dzy wszystkimi regionami. Jej siªa zale»y wówczas od odlegªo±ci. Niech d i,j oznacza odlegªo± mi dzy i oraz j. Wówczas: 1 0 (d 1,2 ) γ 1 (d 1,N) γ 1 (d 1,2 ) γ 0 1 (d W = 2,N) γ (d 1,N) γ (d 2,N) γ 0 γ to ustalony przez badacza parametr wygasania. Przy braku wyra¹nych przesªanek do przyj cia konkretnej warto±ci mo»na np. zaªo»y,»e γ = 1. (2) Ekonometria Przestrzenna 17 / 34

31 Macierz oparta na odlegªo±ci Konstrukcja macierzy opartej na odlegªo±ci Alternatywnym sposobem konstrukcji W jest dopuszczenie do bezpo±redniej interakcji mi dzy wszystkimi regionami. Jej siªa zale»y wówczas od odlegªo±ci. Niech d i,j oznacza odlegªo± mi dzy i oraz j. Wówczas: 1 0 (d 1,2 ) γ 1 (d 1,N) γ 1 (d 1,2 ) γ 0 1 (d W = 2,N) γ (d 1,N) γ (d 2,N) γ 0 γ to ustalony przez badacza parametr wygasania. Przy braku wyra¹nych przesªanek do przyj cia konkretnej warto±ci mo»na np. zaªo»y,»e γ = 1. (2) Ekonometria Przestrzenna 17 / 34

32 Macierz oparta na odlegªo±ci Konstrukcja macierzy opartej na odlegªo±ci w R Wymagana jest funkcja DistanceMatrix. Jej argumentem jest obiekt typu SpatialPolygonDataFrame. Funkcja dziaªa poprawnie wyª cznie wtedy, gdy wspóªrz dne wierzchoªków regionów s zadane jako stopnie dªugo±ci i szeroko±ci geogracznej. W plikach CODGiK tak nie jest. Dlatego potrzebowali±my wcze±niej polecenia sptransform. Przy pracy z wªasnymi zbiorami danych nale»y zawsze upewni si co do rz du wielko±ci lub, o ile taka informacja jest dost pna, kodowania wspóªrz dnych. Odlegªo±ci s wyznaczane mi dzy centroidami regionów lub mi dzy punktami (w zale»no±ci od tego, czy pracujemy ze zbiorem punktów, czy z regionami). (2) Ekonometria Przestrzenna 18 / 34

33 Macierz oparta na odlegªo±ci Centroidy geometryczne ±rodki ci»ko±ci (1) Mianownikiem w ka»dym przypadku jest pole gury. Jako»e granice regionów zwykle nie s zadane postaciami funkcyjnymi :-) (Teksas wyj tkiem...), to R korzysta z numerycznego przybli»enia powy»szych caªek. (2) Ekonometria Przestrzenna 19 / 34

34 Macierz oparta na odlegªo±ci Centroidy (2) Paradoks zwró my uwag na lokalizacj centroidu powiatu pozna«skiego (nie myli z powiatem m. Pozna«!). (2) Ekonometria Przestrzenna 20 / 34

35 Macierz oparta na odlegªo±ci Centroidy (3) Paradoks zwró my uwag na lokalizacj centroidu powiatu pozna«skiego (nie myli z powiatem m. Pozna«!). (2) Ekonometria Przestrzenna 21 / 34

36 Plan prezentacji 1 Macierz wag przestrzennych 2 Podstawowe metody konstrukcji macierzy W 3 Inne metody konstrukcji macierzy W 4 Normalizacja macierzy W (2) Ekonometria Przestrzenna 22 / 34

37 Alternatywne metody wyboru s siadów Wybór s siadów wedªug kryterium odlegªo±ci Elementom macierzy W przypisujemy warto± 1, je»eli dwa regiony znajduj si nie dalej ni» w zadanej odlegªo±ci, albo 0 w przeciwnym przypadku. Metoda sprawdzi si dobrze w sytuacji, gdy: Nasze dane przestrzenne to nie regiony, tylko punkty w przestrzeni (trudno wtedy mówi o s siedztwie na podstawie kryterium wspólnej granicy). Mamy w naszej próbie regiony izolowane i chcemy tego unikn. Zamiast poly2nb u»ywamy funkcji dnearneigh (po wcze±niejszym uzyskaniu centroidów za pomoc funkcji coordinates). (2) Ekonometria Przestrzenna 23 / 34

38 Alternatywne metody wyboru s siadów Metoda k najbli»szych s siadów Elementom macierzy W = [w i,j ] przypisujemy warto± 1, je»eli region j nale»y do grona k najbli»szych geogracznie regionów dla i. Badania numeryczne pokazuj,»e dokªadny wybór k ma zwykle ograniczone znaczenie dla wyników (LeSage i Pace, 2014). Metoda sprawdzi si dobrze w sytuacji, gdy: Nasze dane przestrzenne to nie regiony, tylko punkty w przestrzeni (trudno wtedy mówi o s siedztwie na podstawie kryterium wspólnej granicy). Mamy w naszej próbie regiony izolowane i chcemy tego unikn. Zamiast poly2nb u»ywamy knearneigh (znów dla centroidów). (2) Ekonometria Przestrzenna 24 / 34

39 Umowne miary odlegªo±ci Umowne miary odlegªo±ci Czasami decydujemy o wykorzystaniu niegeogracznych, umownych miar odlegªo±ci (Corrado, Fingleton, 2012). Sprawdzamy stopie«podobie«stwa kulturowego, spoªecznego, ekonomicznego regionów niekoniecznie s siaduj cych czy pobliskich. Np. pod pewnymi wzgl dami Warszawa mo»e by bardziej poª czona z Poznaniem ni» z Otwockiem. Wówczas macierz W musimy skonstruowa sami (przykªad w pliku.r). Uwa»ajmy jednak! Stosowanie takiego podej±cia oznacza podwy»szon ekspozycj na ryzyko zªamania podstawowego zaªo»enia: o egzogeniczno±ci W. Skutkiem b dzie niezgodna estymacja modeli przestrzennych. Rozwi zanie: modele ko-ewolucji sieci (ang. network co-evolution models; zob. Franzese, Hays, Kachi 2012). (2) Ekonometria Przestrzenna 25 / 34

40 Umowne miary odlegªo±ci Macierze s siedztwa zadane przez u»ytkownika Na przykªad: s siedztwo tylko wewn trz jednego województwa albo s siadami tylko wªasne miasta wojewódzkie. (2) Ekonometria Przestrzenna 26 / 34

41 Plan prezentacji 1 Macierz wag przestrzennych 2 Podstawowe metody konstrukcji macierzy W 3 Inne metody konstrukcji macierzy W 4 Normalizacja macierzy W (2) Ekonometria Przestrzenna 27 / 34

42 Normalizacja Po co normalizacja macierzy W? Aby uzyska intuicyjn interpretacj parametru ρ: wpªyw ±redniej wa»onej s siadów. Aby unikn ryzyka próby odwrócenia osobliwej macierzy w procesie estymacji. Aby unikn komplikacji numerycznych zwi zanych ze skalowaniem ró»nych zmiennych. Aby parametr ρ nie implikowaª eksploduj cych mno»ników przestrzennych (przez analogi do szregów czasowych, gdzie oczekiwali±my parametru autoregresji co do moduªu < 1). (2) Ekonometria Przestrzenna 28 / 34

43 Normalizacja Po co normalizacja macierzy W? Aby uzyska intuicyjn interpretacj parametru ρ: wpªyw ±redniej wa»onej s siadów. Aby unikn ryzyka próby odwrócenia osobliwej macierzy w procesie estymacji. Aby unikn komplikacji numerycznych zwi zanych ze skalowaniem ró»nych zmiennych. Aby parametr ρ nie implikowaª eksploduj cych mno»ników przestrzennych (przez analogi do szregów czasowych, gdzie oczekiwali±my parametru autoregresji co do moduªu < 1). (2) Ekonometria Przestrzenna 28 / 34

44 Normalizacja Po co normalizacja macierzy W? Aby uzyska intuicyjn interpretacj parametru ρ: wpªyw ±redniej wa»onej s siadów. Aby unikn ryzyka próby odwrócenia osobliwej macierzy w procesie estymacji. Aby unikn komplikacji numerycznych zwi zanych ze skalowaniem ró»nych zmiennych. Aby parametr ρ nie implikowaª eksploduj cych mno»ników przestrzennych (przez analogi do szregów czasowych, gdzie oczekiwali±my parametru autoregresji co do moduªu < 1). (2) Ekonometria Przestrzenna 28 / 34

45 Normalizacja Po co normalizacja macierzy W? Aby uzyska intuicyjn interpretacj parametru ρ: wpªyw ±redniej wa»onej s siadów. Aby unikn ryzyka próby odwrócenia osobliwej macierzy w procesie estymacji. Aby unikn komplikacji numerycznych zwi zanych ze skalowaniem ró»nych zmiennych. Aby parametr ρ nie implikowaª eksploduj cych mno»ników przestrzennych (przez analogi do szregów czasowych, gdzie oczekiwali±my parametru autoregresji co do moduªu < 1). (2) Ekonometria Przestrzenna 28 / 34

46 Normalizacja Techniki normalizacji (1) Najcz ±ciej normalizuje si W wiersz po wierszu, w taki sposób, by ka»dy z nich sumowaª si do 1 (row-stochastic, row-standardized). nb2listw(..., style = "W") niepo» dany skutek: asymetria przeksztaªconego W (wbrew postulatom teoretycznym: Vega i Elhorst, 2014) Zamiast W mo»emy u»y te»: B: brak normalizacji C: normalizacja skalarem (wszystkie elementy sumuj si do N, cho niekoniecznie wiersze do 1) N: normalizacja skalarem (wszystkie elementy sumuj si do 1) S: Tiefelsdorf, Grith, Boots (1999) minmax: Kelejian, Prucha (2010) (2) Ekonometria Przestrzenna 29 / 34

47 Normalizacja Normalizacja wierszami czy zawsze dobra? Zaleta: wektor typu Wx (opó¹nienie przestrzenne wi cej na jego temat nast pnym razem) mo»emy interpretowa jako wektor zawieraj cy ±redni wa»on zjawiska w jednostkach powi zanych z pierwsz, drug, trzeci itd. jednostk (np. u s siadów). Wada: kto ma gªo±niej w mieszkaniu? czy? 0 db 150 db 0 db 0 db 0 db 0 db 0 db 0 db 0 db 0 db Przy elementach macierzy s siedztwaw normalizowanych wierszami: : 1 5 ( ) = 30dB (czyli ciszej ni» obok...) 1 : 3 ( ) = 50dB (czy na pewno tak powinno by...?) (2) Ekonometria Przestrzenna 30 / 34

48 Normalizacja Techniki normalizacji (2) Alternatywny sposób: normalizacja skalarem najwy»szym moduªem warto±ci wªasnej W : W = W λ max Najpopularniejsza strategia w±ród normalizacji skalarem. 1 Zaleta: λ min < ρ < 1. Wada: ρ nie podlega standardowej interpretacji. (2) Ekonometria Przestrzenna 31 / 34

49 Wnioski ko«cowe Jak R przechowuje macierze W? W zale»no±ci od rodzaju informacji wej±ciowych oraz celu analizy musimy wykorzystywa ró»ne obiekty, przeksztaªcaj c je wzajemnie. (2) Ekonometria Przestrzenna 32 / 34

50 Wnioski ko«cowe Jak wybra najlepsze W? Zwykle mamy niewiele przesªanek do takiego wyboru (Anselin, 2002). Best guess. Neumayer, Plumper (2016) ka» kierowa si teori (ªatwo powiedzie...). Mo»na jednak po oszacowaniu modelu porówna logarytm warto±ci funkcji wiarygodno±ci (log-likelihood) lub bayesowskie prawdopodobie«stwa modeli a posteriori dla ró»nych W. Zasadnicze pytanie, na które musimy sobie odpowiedzie : Czy W adekwatnie obrazuje sie bezpo±rednich zale»no±ci mi dzy jednostkami w kontek±cie analizowanej zmiennej obja±niaj cej? Konsekwencje pomyªki: niska moc testów diagnostycznych; niezgodno± i obci»enie estymatorów; sªaba statystyczna identykowalno± modeli. (2) Ekonometria Przestrzenna 33 / 34

51 Wnioski ko«cowe Zadanie domowe 2 Dla zbioru danych przestrzennych, który byª przedmiotem pierwszej pracy domowej, zbuduj trzy dodatkowe macierze W: 1 s siedztwa pierwszego rz du, ale jako kryterium normalizacji zastosuj najwy»sz warto± wªasn (wskazówka: mo»na to zrobi bezpo±rednio na macierzy, a potem przeksztaªci j w listw bez normalizacji). 2 Macierz opart na odwróconych kwadratach odlegªo±ci, ale tylko do progu 200 km (powy»ej tego progu brak poª czenia). 3 Macierz opart na euklidesowej odlegªo±ci mi dzy trzema wystandaryzowanymi zmiennymi dla par regionów i, j ( (x 1,i x 1,j ) 2 + (x 2,i x 2,j ) 2 + (x 3,i x 3,j ) 2 ), o których s dzimy,»e prawidªowo obrazuj sie poª cze«w kontek±cie zmiennej obrazowanej w poprzedniej pracy. (2) Ekonometria Przestrzenna 34 / 34

Ekonometria Przestrzenna

Ekonometria Przestrzenna Ekonometria Przestrzenna Wykªad 4: Model autoregresji przestrzennej. Dane GIS: punkty i siatki (4) Ekonometria Przestrzenna 1 / 24 Plan wykªadu 1 Model czystej autoregresji przestrzennej (pure SAR) Specykacja

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Ekonometria. wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej Ekonometria wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK (1) Ekonometria 1 / 25 Plan wicze«1 Ekonometria czyli...? 2 Obja±niamy ceny wina 3 Zadania z podr cznika (1) Ekonometria 2 / 25 Plan prezentacji 1 Ekonometria

Bardziej szczegółowo

Numeryczne zadanie wªasne

Numeryczne zadanie wªasne Rozdziaª 11 Numeryczne zadanie wªasne W tym rozdziale zajmiemy si symetrycznym zadaniem wªasnym, tzn. zadaniem znajdowania warto±ci i/lub wektorów wªasnych dla macierzy symetrycznej A = A T. W zadaniach

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - wykªad 8

Ekonometria - wykªad 8 Ekonometria - wykªad 8 3.1 Specykacja i werykacja modelu liniowego dobór zmiennych obja±niaj cych - cz ± 1 Barbara Jasiulis-Goªdyn 11.04.2014, 25.04.2014 2013/2014 Wprowadzenie Ideologia Y zmienna obja±niana

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Bayesowska

Ekonometria Bayesowska Ekonometria Bayesowska Wykªad 6: Bayesowskie ª czenie wiedzy (6) Ekonometria Bayesowska 1 / 21 Plan wykªadu 1 Wprowadzenie 2 Oczekiwana wielko± modelu 3 Losowanie próby modeli 4 wiczenia w R (6) Ekonometria

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. wiczenia 2 Werykacja modelu liniowego. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Ekonometria. wiczenia 2 Werykacja modelu liniowego. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej Ekonometria wiczenia 2 Werykacja modelu liniowego (2) Ekonometria 1 / 33 Plan wicze«1 Wprowadzenie 2 Ocena dopasowania R-kwadrat Skorygowany R-kwadrat i kryteria informacyjne 3 Ocena istotno±ci zmiennych

Bardziej szczegółowo

1 0 Je»eli wybierzemy baz A = ((1, 1), (2, 1)) to M(f) A A =. 0 2 Daje to znacznie lepszy opis endomorzmu f.

1 0 Je»eli wybierzemy baz A = ((1, 1), (2, 1)) to M(f) A A =. 0 2 Daje to znacznie lepszy opis endomorzmu f. GAL II 2012-2013 A Strojnowski str1 Wykªad 1 Ten semestr rozpoczniemy badaniem endomorzmów sko«czenie wymiarowych przestrzeni liniowych Denicja 11 Niech V b dzie przestrzeni liniow nad ciaªem K 1) Przeksztaªceniem

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. wiczenia 8 Modele zmiennej jako±ciowej. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Ekonometria. wiczenia 8 Modele zmiennej jako±ciowej. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej Ekonometria wiczenia 8 Modele zmiennej jako±ciowej (8) Ekonometria 1 / 25 Plan wicze«1 Modele zmiennej jako±ciowej 2 Model logitowy Specykacja i interpretacja parametrów Dopasowanie i restrykcje 3 Predykcja

Bardziej szczegółowo

Wykªad 6: Model logitowy

Wykªad 6: Model logitowy Wykªad 6: Model logitowy Ekonometria Stosowana SGH Model logitowy 1 / 18 Plan wicze«1 Modele zmiennej jako±ciowej idea 2 Model logitowy Specykacja i interpretacja parametrów Dopasowanie i restrykcje 3

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Bayesowska

Ekonometria Bayesowska Ekonometria Bayesowska Wykªad 9: Metody numeryczne: MCMC Andrzej Torój 1 / 17 Plan wykªadu Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 / 17 Plan prezentacji Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 3 / 17 Zastosowanie metod numerycznych

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Interpolacja PWSZ Gªogów, 2009 Interpolacja Okre±lenie zale»no±ci pomi dzy interesuj cymi nas wielko±ciami, Umo»liwia uproszczenie skomplikowanych funkcji (np. wykorzystywana

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Wprowadzenie PWSZ Gªogów, 2009 Plan wykªadów Wprowadzenie, podanie zagadnie«, poj cie metody numerycznej i algorytmu numerycznego, obszar zainteresowa«i stosowalno±ci

Bardziej szczegółowo

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Przestrzenna

Ekonometria Przestrzenna Ekonometria Przestrzenna Wykªad 3: Testowanie obecno±ci procesów przestrzennych (3) Ekonometria Przestrzenna 1 / 25 Plan wykªadu 1 Testowanie efektów przestrzennych 2 Testy ogólne Test Morana I Globalne

Bardziej szczegółowo

Liniowe zadania najmniejszych kwadratów

Liniowe zadania najmniejszych kwadratów Rozdziaª 9 Liniowe zadania najmniejszych kwadratów Liniowe zadania najmniejszych kwadratów polega na znalezieniu x R n, który minimalizuje Ax b 2 dla danej macierzy A R m,n i wektora b R m. Zauwa»my,»e

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski

Statystyka. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Statystyka Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Statystyka Statystyka: nauka zajmuj ca si liczbowym opisem zjawisk masowych oraz ich analizowaniem, zbiory informacji liczbowych. (Sªownik

Bardziej szczegółowo

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. wiczenia 5 i 6 Modelowanie szeregów czasowych. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Ekonometria. wiczenia 5 i 6 Modelowanie szeregów czasowych. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej Ekonometria wiczenia 5 i 6 Modelowanie szeregów czasowych (5-6) Ekonometria 1 / 30 Plan prezentacji 1 Regresja pozorna 2 Testowanie stopnia zintegrowania szeregu 3 Kointegracja 4 Modele dynamiczne (5-6)

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. wiczenia 7 Modele nieliniowe. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Ekonometria. wiczenia 7 Modele nieliniowe. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej Ekonometria wiczenia 7 Modele nieliniowe (7) Ekonometria 1 / 19 Plan wicze«1 Nieliniowo± : co to zmienia? 2 Funkcja produkcji Cobba-Douglasa 3 Nieliniowa MNK (7) Ekonometria 2 / 19 Plan prezentacji 1 Nieliniowo±

Bardziej szczegółowo

2. L(a u) = al( u) dla dowolnych u U i a R. Uwaga 1. Warunki 1., 2. mo»na zast pi jednym warunkiem: L(a u + b v) = al( u) + bl( v)

2. L(a u) = al( u) dla dowolnych u U i a R. Uwaga 1. Warunki 1., 2. mo»na zast pi jednym warunkiem: L(a u + b v) = al( u) + bl( v) Przeksztaªcenia liniowe Def 1 Przeksztaªceniem liniowym (homomorzmem liniowym) rzeczywistych przestrzeni liniowych U i V nazywamy dowoln funkcj L : U V speªniaj c warunki: 1 L( u + v) = L( u) + L( v) dla

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne

Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4

Bardziej szczegółowo

Modele wielorównaniowe. Estymacja parametrów

Modele wielorównaniowe. Estymacja parametrów Modele wielorównaniowe. Estymacja parametrów Ekonometria Szeregów Czasowych SGH Estymacja 1 / 47 Plan wykªadu 1 Po±rednia MNK 2 Metoda zmiennych instrumentalnych 3 Podwójna MNK 4 Estymatory klasy k 5 MNW

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Przestrzenna

Ekonometria Przestrzenna Ekonometria Przestrzenna Wykªad 6: Zªo»one modele regresji przestrzennej (6) Ekonometria Przestrzenna 1 / 21 Plan wykªadu 1 Modele zªo»one 2 Model SARAR 3 Model SDM (Durbina) 4 Model SDEM 5 Zadania (6)

Bardziej szczegółowo

Modele wielorównaniowe. Problem identykacji

Modele wielorównaniowe. Problem identykacji Modele wielorównaniowe. Problem identykacji Ekonometria Szeregów Czasowych SGH Identykacja 1 / 43 Plan wykªadu 1 Wprowadzenie 2 Trzy przykªady 3 Przykªady: interpretacja 4 Warunki identykowalno±ci 5 Restrykcje

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9

Metody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Wst p do metod numerycznych Dawid Rasaªa January 9, 2012 Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Czym s metody numeryczne? Istota metod numerycznych Metody numeryczne s

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Przestrzenna

Ekonometria Przestrzenna Ekonometria Przestrzenna Wykªad 8: w modelach przestrzennych (8) Ekonometria Przestrzenna 1 / 23 Plan wykªadu 1 Modele proste Modele zªo»one 2 Wnioskowanie statystyczne dla mno»ników przestrzennych i ±rednich

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. wiczenia 4 Prognozowanie. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Ekonometria. wiczenia 4 Prognozowanie. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej Ekonometria wiczenia 4 Prognozowanie (4) Ekonometria 1 / 18 Plan wicze«1 Prognoza punktowa i przedziaªowa 2 Ocena prognozy ex post 3 Stabilno± i sezonowo± Sezonowo± zadanie (4) Ekonometria 2 / 18 Plan

Bardziej szczegółowo

In»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia

In»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia Uwagi: 27012014 poprawiono kilka literówek, zwi zanych z przedziaªami ufno±ci dla wariancji i odchylenia standardowego In»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia Przedziaªy wiarygodno±ci, testowanie

Bardziej szczegółowo

Wektory w przestrzeni

Wektory w przestrzeni Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem

Bardziej szczegółowo

Macierz A: macierz problemów liniowych (IIII); Macierz rozszerzona problemów liniowych (IIII): a 11 a 1m b 1 B = a n1 a nm b n

Macierz A: macierz problemów liniowych (IIII); Macierz rozszerzona problemów liniowych (IIII): a 11 a 1m b 1 B = a n1 a nm b n Plan Spis tre±ci 1 Problemy liniowe 1 2 Zadania I 3 3 Formy biliniowe 3 3.1 Odwzorowania wieloliniowe..................... 3 3.2 Formy biliniowe............................ 4 4 Formy kwadratowe 4 1 Problemy

Bardziej szczegółowo

Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja

Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy

Bardziej szczegółowo

Makroekonomia Zaawansowana

Makroekonomia Zaawansowana Makroekonomia Zaawansowana wiczenia 1 Stan ustalony i log-linearyzacja MZ 1 / 27 Plan wicze«1 Praca z modelami DSGE 2 Stan ustalony 3 Log-linearyzacja 4 Zadania MZ 2 / 27 Plan prezentacji 1 Praca z modelami

Bardziej szczegółowo

1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna

1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna 1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy

Bardziej szczegółowo

Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Marek Majewski Aktualizacja: 31 pa¹dziernika 2006

Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Marek Majewski Aktualizacja: 31 pa¹dziernika 2006 Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ Marek Majewski Aktualizacja: 1 pa¹dziernika 006 Spis tre±ci 1 Macierze dziaªania na macierzach. Wyznaczniki 1 Macierz odwrotna. Rz d macierzy

Bardziej szczegółowo

PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow V, o wymiarze dim V = n < nad ciaªem F mo»na jednoznacznie odwzorowa na przestrze«f n n-ek uporz dkowanych:

PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow V, o wymiarze dim V = n < nad ciaªem F mo»na jednoznacznie odwzorowa na przestrze«f n n-ek uporz dkowanych: Plan Spis tre±ci 1 Homomorzm 1 1.1 Macierz homomorzmu....................... 2 1.2 Dziaªania............................... 3 2 Ukªady równa«6 3 Zadania 8 1 Homomorzm PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Przestrzenna

Ekonometria Przestrzenna Ekonometria Przestrzenna Wykªad 9: Przestrzenne modele panelowe (9) Ekonometria Przestrzenna 1 / 37 Plan wykªadu 1 Podstawowe poj cia ekonometrii panelowej Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych

Bardziej szczegółowo

Wst p do ekonometrii II

Wst p do ekonometrii II Wst p do ekonometrii II Wykªad 1: Modele ADL. Analiza COMFAC. Uogólniona MNK (1) WdE II 1 / 36 Plan wykªadu 1 Restrykcje COMFAC w modelach ADL ADL(1,1) ADL(2,2) 2 Uogólniona MNK Idea UMNK Znajdowanie macierzy

Bardziej szczegółowo

1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0

1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0 1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski III. CAŠKOWAIE METODAMI MOTE CARLO Janusz Adamowski 1 1 azwa metody Podstawowym zastosowaniem w zyce metody Monte Carlo (MC) jest opis zªo-»onych ukªadów zycznych o du»ej liczbie stopni swobody. Opis zªo»onych

Bardziej szczegółowo

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14 WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................

Bardziej szczegółowo

Listy Inne przykªady Rozwi zywanie problemów. Listy w Mathematice. Marcin Karcz. Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki.

Listy Inne przykªady Rozwi zywanie problemów. Listy w Mathematice. Marcin Karcz. Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki. Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki 10 marca 2008 Spis tre±ci Listy 1 Listy 2 3 Co to jest lista? Listy List w Mathematice jest wyra»enie oddzielone przecinkami i zamkni te w { klamrach }. Elementy

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. Metodyka bada«do±wiadczalnych dr hab. in». Sebastian Skoczypiec Cel wiczenia Zaªo»enia

wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. Metodyka bada«do±wiadczalnych dr hab. in». Sebastian Skoczypiec Cel wiczenia Zaªo»enia wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. wiczenia 1 2 do wiczenia 3 4 Badanie do±wiadczalne 5 pomiarów 6 7 Cel Celem wiczenia jest zapoznanie studentów z etapami przygotowania i

Bardziej szczegółowo

Elementy geometrii w przestrzeni R 3

Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi

Bardziej szczegółowo

Lekcja 12 - POMOCNICY

Lekcja 12 - POMOCNICY Lekcja 12 - POMOCNICY 1 Pomocnicy Pomocnicy, jak sama nazwa wskazuje, pomagaj Baltiemu w programach wykonuj c cz ± czynno±ci. S oni szczególnie pomocni, gdy chcemy ci g polece«wykona kilka razy w programie.

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR ANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR WYKŠAD II Maªgorzata Murat MACIERZ A rzeczywist (zespolon ) o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporz dkowanie ka»dej uporz dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie

Bardziej szczegółowo

STATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH

STATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH STATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH WYKŠAD 4 03 listopad 2014 1 / 47 Plan wykªadu 1. Testowanie zaªo»e«o proporcjonalnym hazardzie w modelu Cox'a 2. Wybór zmiennych do modelu Cox'a 3. Meta analiza

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów

Aproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów Aproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów Teoria Interpolacja polega na znajdowaniu krzywej przechodz cej przez wszystkie w zªy. Zdarzaj si jednak sytuacje, w których dane te mog by obarczone

Bardziej szczegółowo

Materiaªy do Repetytorium z matematyki

Materiaªy do Repetytorium z matematyki Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (

Bardziej szczegółowo

KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu

KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu ➏ Filozoa z elementami logiki Na podstawie wykªadów dra Mariusza Urba«skiego Sylogistyka Przypomnij sobie: stosunki mi dzy zakresami nazw KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE Trzy znaczenia sªowa jest trzy rodzaje

Bardziej szczegółowo

O pewnym zadaniu olimpijskim

O pewnym zadaniu olimpijskim O pewnym zadaniu olimpijskim Michaª Seweryn, V LO w Krakowie opiekun pracy: dr Jacek Dymel Problem pocz tkowy Na drugim etapie LXII Olimpiady Matematycznej pojawiª si nast puj cy problem: Dla ka»dej liczby

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 4 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 4 1 / 18 Wykªad 4 - zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Efekty przestrzenne w konwergencji polskich podregionów

Efekty przestrzenne w konwergencji polskich podregionów Efekty przestrzenne w konwergencji polskich podregionów Mikoªaj Herbst EUROREG UW Piotr Wójcik WNE UW Konferencja Ministerstwa Rozwoju Regionalnego Budowanie spójno±ci terytorialnej i przeciwdziaªanie

Bardziej szczegółowo

Macierze i Wyznaczniki

Macierze i Wyznaczniki Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,

Bardziej szczegółowo

2 Liczby rzeczywiste - cz. 2

2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdze«

Metody dowodzenia twierdze« Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku

Bardziej szczegółowo

Programowanie wspóªbie»ne

Programowanie wspóªbie»ne 1 Programowanie wspóªbie»ne wiczenia 5 monitory cz. 1 Zadanie 1: Stolik dwuosobowy raz jeszcze W systemie dziaªa N par procesów. Procesy z pary s nierozró»nialne. Ka»dy proces cyklicznie wykonuje wªasnesprawy,

Bardziej szczegółowo

Kwantowa teoria wzgl dno±ci

Kwantowa teoria wzgl dno±ci Instytut Fizyki Teoretycznej Uniwersytetu Warszawskiego Festiwal Nauki, 16 wrze±nia 2006 Plan wykªadu Grawitacja i geometria 1 Grawitacja i geometria 2 3 Grawitacja Grawitacja i geometria wedªug Newtona:

Bardziej szczegółowo

i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski 5 kwietnia 2017

i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski 5 kwietnia 2017 i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski Uniwersytet Šódzki, Wydziaª Matematyki i Informatyki UŠ piotr@fulmanski.pl http://fulmanski.pl/zajecia/prezentacje/festiwalnauki2017/festiwal_wmii_2017_

Bardziej szczegółowo

Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for regression) / 13

Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for regression) / 13 Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference for regression) Alexander Bendikov Uniwersytet Wrocªawski 2 czerwca 2016 Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for

Bardziej szczegółowo

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdziaª 9 RÓWNANIA ELIPTYCZNE 9.1 Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych cz stkowych 9.1.1 Problemy z warunkami brzegowymi W przestrzeni dwuwymiarowej

Bardziej szczegółowo

x y x y x y x + y x y

x y x y x y x + y x y Algebra logiki 1 W zbiorze {0, 1} okre±lamy dziaªania dwuargumentowe,, +, oraz dziaªanie jednoargumentowe ( ). Dziaªanie x + y nazywamy dodawaniem modulo 2, a dziaªanie x y nazywamy kresk Sheera. x x 0

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x

Bardziej szczegółowo

Metody statystyczne w biologii - Wykªad 8. Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t

Metody statystyczne w biologii - Wykªad 8. Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Metody statystyczne w biologii - Wykªad 8 Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Regresja logistyczna 1. Podstawy teoretyczne i przykªady zastosowania

Bardziej szczegółowo

Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6

Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6 Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Model mieszany

Bardziej szczegółowo

Ukªady równa«liniowych

Ukªady równa«liniowych dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast

Bardziej szczegółowo

Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze

Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a

Bardziej szczegółowo

Podstawy statystycznego modelowania danych - Wykªad 7

Podstawy statystycznego modelowania danych - Wykªad 7 Podstawy statystycznego modelowania danych - Wykªad 7 Tomasz Suchocki ANOVA Plan wykªadu Analiza wariancji 1. Rys historyczny 2. Podstawy teoretyczne i przykªady zastosowania 3. ANOVA w pakiecie R Tomasz

Bardziej szczegółowo

1 Granice funkcji wielu zmiennych.

1 Granice funkcji wielu zmiennych. AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica

Bardziej szczegółowo

*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów

*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów *** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów I.1 Przestrze«towarów Podstawowe poj cia Rynek towarów

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Ukªady równa«liniowych PWSZ Gªogów, 2009 Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zada«redukuje si do problemu rozwi zania ukªadu

Bardziej szczegółowo

W zadaniach na procenty wyró»niamy trzy typy czynno±ci: obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba,

W zadaniach na procenty wyró»niamy trzy typy czynno±ci: obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba, 2 Procenty W tej lekcji przypomnimy sobie poj cie procentu i zwi zane z nim podstawowe typy zada«. Prosimy o zapoznanie si z regulaminem na ostatniej stronie. 2.1 Poj cie procentu Procent jest to jedna

Bardziej szczegółowo

Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach

Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie

Bardziej szczegółowo

3. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka

3. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka EGZAMIN MAGISTERSKI, 26.06.2017 Biomatematyka 1. (8 punktów) Rozwój wielko±ci pewnej populacji jest opisany równaniem: dn dt = rn(t) (1 + an(t), b gdzie N(t) jest wielko±ci populacji w chwili t, natomiast

Bardziej szczegółowo

Uczenie Wielowarstwowych Sieci Neuronów o

Uczenie Wielowarstwowych Sieci Neuronów o Plan uczenie neuronu o ci gªej funkcji aktywacji uczenie jednowarstwowej sieci neuronów o ci gªej funkcji aktywacji uczenie sieci wielowarstwowej - metoda propagacji wstecznej neuronu o ci gªej funkcji

Bardziej szczegółowo

1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci

1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,

Bardziej szczegółowo

1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d

1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wst p do sieci neuronowych 2010/2011 wykªad 7 Algorytm propagacji wstecznej cd.

Wst p do sieci neuronowych 2010/2011 wykªad 7 Algorytm propagacji wstecznej cd. Wst p do sieci neuronowych 2010/2011 wykªad 7 Algorytm propagacji wstecznej cd. M. Czoków, J. Piersa Faculty of Mathematics and Computer Science, Nicolaus Copernicus University, Toru«, Poland 2010-11-23

Bardziej szczegółowo

Pakiety statystyczne - Wykªad 8

Pakiety statystyczne - Wykªad 8 Pakiety statystyczne - Wykªad 8 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Analiza wariancji 1. Rys historyczny 2. Podstawy teoretyczne

Bardziej szczegółowo

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14 WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 203/4 Spis tre±ci Kodowanie i dekodowanie 4. Kodowanie a szyfrowanie..................... 4.2 Podstawowe poj cia........................

Bardziej szczegółowo

det A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32

det A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 Wyznacznik Def Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcj, która ka»dej macierzy A = (a ij ) przyporz dkowuje liczb det A zgodnie z nast puj cym schematem indukcyjnym: Dla macierzy A = (a ) stopnia

Bardziej szczegółowo

Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 1

Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 1 Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 1 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Analiza wariancji

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja 2018 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(, y b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Bayesowska

Ekonometria Bayesowska Ekonometria Bayesowska Wykªad 10: Symulacje a posteriori w R Andrzej Torój 1 / 23 Plan wykªadu 1 Przykªad: model ze skªadnikiem losowym o grubych ogonach 2 3 4 2 / 23 Plan prezentacji 1 Przykªad: model

Bardziej szczegółowo

Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni

Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Wykªad 3 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni W wykªadzie tym wi kszy nacisk zostaª poªo»ony raczej na intuicyjne rozumienie deniowanych poj, ni» ±cisªe ich zdeniowanie. Dlatego niniejszy wykªad

Bardziej szczegółowo

Metodydowodzenia twierdzeń

Metodydowodzenia twierdzeń 1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych

Bardziej szczegółowo

Metody bioinformatyki (MBI)

Metody bioinformatyki (MBI) Metody bioinformatyki (MBI) Wykªad 9 - mikromacierze DNA, analiza danych wielowymiarowych Robert Nowak 2016Z Metody bioinformatyki (MBI) 1/42 mikromacierze DNA Metoda badawcza, pozwalaj ca bada obecno±

Bardziej szczegółowo

Rzut oka na zagadnienia zwi zane z projektowaniem list rozkazów

Rzut oka na zagadnienia zwi zane z projektowaniem list rozkazów Rzut oka na zagadnienia zwi zane z projektowaniem list rozkazów 1 Wst p Przypomnijmy,»e komputer skªada si z procesora, pami ci, systemu wej±cia-wyj±cia oraz po- ª cze«mi dzy nimi. W procesorze mo»emy

Bardziej szczegółowo

JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1

JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1 J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)

Bardziej szczegółowo

Macierze i Wyznaczniki

Macierze i Wyznaczniki dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja. Tablic nast puj cej postaci a a... a n a a... a n A =... a m a m...

Bardziej szczegółowo

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy. Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta

Bardziej szczegółowo

Modele ARIMA prognoza, specykacja

Modele ARIMA prognoza, specykacja Modele ARIMA prognoza, specykacja Wst p do ekonometrii szeregów czasowych wiczenia 3 5 marca 2010 Plan prezentacji 1 Specykacja modelu ARIMA 2 3 Plan prezentacji 1 Specykacja modelu ARIMA 2 3 Funkcja autokorelacji

Bardziej szczegółowo

Wst p do sieci neuronowych, wykªad 14 Zespolone sieci neuronowe

Wst p do sieci neuronowych, wykªad 14 Zespolone sieci neuronowe Wst p do sieci neuronowych, wykªad 14 Zespolone sieci neuronowe M. Czoków, J. Piersa Faculty of Mathematics and Computer Science, Nicolaus Copernicus University, Toru«, Poland 2011-18-02 Motywacja Liczby

Bardziej szczegółowo

Model obiektu w JavaScript

Model obiektu w JavaScript 16 marca 2009 E4X Paradygmat klasowy Klasa Deniuje wszystkie wªa±ciwo±ci charakterystyczne dla wybranego zbioru obiektów. Klasa jest poj ciem abstrakcyjnym odnosz cym si do zbioru, a nie do pojedynczego

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Przestrzenna

Ekonometria Przestrzenna Ekonometria Przestrzenna Wykªad 5: Proste modele regresji przestrzennej. Dane GIS: analiza w regionach (5) Ekonometria Przestrzenna 1 / 47 Plan wykªadu 1 Model liniowy i SAR (Spatial Lag) Model liniowy

Bardziej szczegółowo

Wst p do informatyki. Systemy liczbowe. Piotr Fulma«ski. 21 pa¹dziernika 2010. Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska

Wst p do informatyki. Systemy liczbowe. Piotr Fulma«ski. 21 pa¹dziernika 2010. Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska Wst p do informatyki Systemy liczbowe Piotr Fulma«ski Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska 21 pa¹dziernika 2010 Spis tre±ci 1 Liczby i ich systemy 2 Rodzaje systemów liczbowych

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Przestrzenna

Ekonometria Przestrzenna Ekonometria Przestrzenna Wykªad 1: Idea modelowania przestrzennego. Wizualizacja danych przestrzennych w R (1) Ekonometria Przestrzenna 1 / 30 Plan wykªadu 1 Dlaczego modelowanie przestrzenne? Przestrze«a

Bardziej szczegółowo

Interpolacja Lagrange'a, bazy wielomianów

Interpolacja Lagrange'a, bazy wielomianów Rozdziaª 4 Interpolacja Lagrange'a, bazy wielomianów W tym rozdziale zajmiemy si interpolacj wielomianow. Zadanie interpolacji wielomianowej polega na znalezieniu wielomianu stopnia nie wi kszego od n,

Bardziej szczegółowo