Wst p do ekonometrii II

Wst p do ekonometrii II Wykªad 1: Modele ADL. Analiza COMFAC. Uogólniona MNK (1) WdE II 1 / 36

Plan wykªadu 1 Restrykcje COMFAC w modelach ADL ADL(1,1) ADL(2,2) 2 Uogólniona MNK Idea UMNK Znajdowanie macierzy wariancji-kowariancji skªadnika losowego 3 Testowanie restrykcji COMFAC Proste przypadki: ADL(1,1) i dwie restrykcje w ADL(2,2) Jedna restrykcja COMFAC w ADL(2,2) 4 Analiza COMFAC: przykªad (1) WdE II 2 / 36

ADL(1,1) Plan prezentacji 1 Restrykcje COMFAC w modelach ADL ADL(1,1) ADL(2,2) 2 Uogólniona MNK Idea UMNK Znajdowanie macierzy wariancji-kowariancji skªadnika losowego 3 Testowanie restrykcji COMFAC Proste przypadki: ADL(1,1) i dwie restrykcje w ADL(2,2) Jedna restrykcja COMFAC w ADL(2,2) 4 Analiza COMFAC: przykªad (1) WdE II 3 / 36

ADL(1,1) Modele ADL ADL(I,J): autoregressive distributed lag y t = α 0 + I α i y t i + J β j x t j + ε t i=1 j=0 Zaªó»my,»e ε t jest sferycznym zaburzeniem. Na przykªad: ADL(1,1): y t = α 0 + α 1 y t 1 + x t + β 1 x t 1 + ε t ADL(2,2): y t = α 0 + α 1 y t 1 + α 2 y t 2 + x t + β 1 x t 1 + β 2 x t 2 + ε t (1) WdE II 4 / 36

ADL(1,1) Restrykcja wspólnego czynnika (COMFAC) ADL(1,1): y t = α 1 y t 1 + x t + β 1 x t 1 + ε t w notacji wielomianu opó¹nie«: (1 α 1 L) y t = ( + β 1 L) x t + ε t ) jest to równoznaczne z: (1 α 1 L) y t = (1 + β 1 L x t + ε t co by byªo gdyby α 1 = β 1? Testujemy H 0 : α 1 = β 1 i gdy jej nie odrzucimy: jest wspólny czynnik, przez który mo»emy podzieli obie strony, by upro±ci model......ale to wpªywa na skªadnik losowy! (1) WdE II 5 / 36

ADL(1,1) Skªadnik losowy przy COMFAC Przy H 0 : (1 α 1 L) y t = (1 α 1 L) x t + ε t ε t Podzielmy przez (1 α 1 L): y t = x t + 1 α 1 L }{{} v t v t = εt 1 α 1 L (1 α 1 L) v t = ε t v t = α 1 v t 1 + ε t Restrykcja wspólnego czynnika w modelu ADL(1,1)......prowadzi do modelu statycznego y t = x t + v t z autokorelacj skªadnika losowego! Taki model powinien by szacowany uogólnion MNK. (1) WdE II 6 / 36

ADL(2,2) Plan prezentacji 1 Restrykcje COMFAC w modelach ADL ADL(1,1) ADL(2,2) 2 Uogólniona MNK Idea UMNK Znajdowanie macierzy wariancji-kowariancji skªadnika losowego 3 Testowanie restrykcji COMFAC Proste przypadki: ADL(1,1) i dwie restrykcje w ADL(2,2) Jedna restrykcja COMFAC w ADL(2,2) 4 Analiza COMFAC: przykªad (1) WdE II 7 / 36

ADL(2,2) COMFAC w modelu ADL(2,2) ADL(2,2): y t = α 1 y t 1 + α 2 y t 2 + x t + β 1 x t 1 + β 2 x t 2 + ε t W notacji wielomianu opó¹nie«: ( 1 α1 L α 2 L 2) y t = ( 1 + β 1 L + β 2 L 2 ) x t + ε t Faktoryzujemy wielomiany: (1 Lγ 1 ) (1 Lγ 2 )y t = (1 Lτ 1 ) (1 Lτ 2 )x t + ε t 2 testowalne restrykcje: γ 1 = τ 1 i γ 2 = τ 2 : ª czne odrzucenie obu restrykcji: model bez zmian odrzucenie 1 z 2: model upraszcza si do ADL(1,1) ze skªadnikiem losowym AR(1) nieodrzucenie»adnej: model upraszcza si do modelu statycznego ze skªadnikiem losowym AR(2) (1) WdE II 8 / 36

ADL(2,2) Mo»liwe przypadki w modelu ADL(1,1): brak wspólnego czynnika 1 wspólny czynnik model upraszcza si do statycznego z resztami AR(1) w modelu ADL(2,2): brak wspólnego czynnika 1 wspólny czynnik model upraszcza si do AR(1) z resztami AR(1) 2 wspólne czynniki model upraszcza si do statycznego z resztami AR(2) restrykcje COMFAC s nieliniowe i powinny by testowane w adekwatny sposób...ale czasami liniowy test Walda uznawany za wystarczaj ce przybli»enie (zob: Greene) (1) WdE II 9 / 36

Idea UMNK Plan prezentacji 1 Restrykcje COMFAC w modelach ADL ADL(1,1) ADL(2,2) 2 Uogólniona MNK Idea UMNK Znajdowanie macierzy wariancji-kowariancji skªadnika losowego 3 Testowanie restrykcji COMFAC Proste przypadki: ADL(1,1) i dwie restrykcje w ADL(2,2) Jedna restrykcja COMFAC w ADL(2,2) 4 Analiza COMFAC: przykªad (1) WdE II 10 / 36

Idea UMNK Estymator UMNK (1) y = Xβ + ε ε ( E [ε] = 0, E [ εε T ] = σ 2 Ω ) Przy dobrze okre±lonej, symetrycznej macierzy Ω......istnieje jednoznaczna dekompozycja Ω 1 = V T V. Mno»ymy równanie modelu lewostronnie przez V: Vy = VXβ + Vε Skªadnik losowy takiego zmodykowanego modelu jest sferyczny: [ ] var (Vε) = E (Vε) (Vε) T = E [ Vεε T V T ] = = VE [ εε T ] V T = Vσ 2 ΩV T = = σ 2 V ( V T V ) 1 V T = σ 2 VV 1 ( V T ) 1 V T = σ 2 I (1) WdE II 11 / 36

Idea UMNK Estymator UMNK (2) Vy = VXβ + Vε Przypu± my,»e V (i w konsekwencji Ω) jest znane. Wówczas estymacja wyj±ciowego równania za pomoc UMNK jest równoznaczna z estymacj powy»szego równania (na transformowanych danych) za pomoc KMNK.: ˆβ OLS = ( X T X ) 1 X T y [ ˆβ GLS 1 = (VX) (VX)] T (VX) T (Vy) = = [ X T V T VX ] 1 X T V T Vy = [ X T Ω 1 X ] 1 X T Ω 1 y (1) WdE II 12 / 36

Znajdowanie macierzy wariancji-kowariancji skªadnika losowego Plan prezentacji 1 Restrykcje COMFAC w modelach ADL ADL(1,1) ADL(2,2) 2 Uogólniona MNK Idea UMNK Znajdowanie macierzy wariancji-kowariancji skªadnika losowego 3 Testowanie restrykcji COMFAC Proste przypadki: ADL(1,1) i dwie restrykcje w ADL(2,2) Jedna restrykcja COMFAC w ADL(2,2) 4 Analiza COMFAC: przykªad (1) WdE II 13 / 36

Znajdowanie macierzy wariancji-kowariancji skªadnika losowego Jak znale¹ macierz Ω? nieznana i, w ogólnym przypadku, niemo»liwa do oszacowania (zawiera T 2 parametrów przy T obserwacjach) ale mo»e by wyra»ona jako funkcja niewielkiej liczby parametrów wymaga to pewnych zaªo»e«nt. procesu stochastycznego ε t, np.: ε t = ρε t 1 + η t η ( ) 0, σ 2 I wówczas: ˆΩ = Ω (ˆρ) ε t = ρ 1 ε t 1 + ρ 2 ε t 2 + η t η ( ) 0, σ 2 I wówczas: ˆΩ = Ω (ˆρ 1, ˆρ 2 ) itd. (1) WdE II 14 / 36

Znajdowanie macierzy wariancji-kowariancji skªadnika losowego Przykªad procesu AR(1): ˆΩ = Ω (ˆρ) (1) Przyjmijmy: ε t = ρε t 1 + η t η ( 0, σ 2 η I ) var(ε t) = var(ρε t 1 + η t) = var(ρ 2 ε t 2 + ρη t 1 + η t) = var ( η t + ρη t 1 + ρ 2 η t 2 +... ) = σ 2 η + σ 2 ηρ 2 + σ 2 ηρ 4 +... = cov(ε t, ε t 1 ) = cov (ρε t 1 + η t, ε t 1 ) = ρvar(ε t 1 ) = ρ σ2 η 1 ρ 2 σ2 η 1 ρ 2 cov(ε t, ε t 2 ) = cov ( ρ 2 ) ε t 2 + ρε t 1 + η t, ε t 2 = ρ 2 var(ε t 2 ) = ρ 2 1 ρ 2 σ2 η. ˆΩ = σ2 η 1 ρ 2 1 ρ ρ 2 ρ T 1 ρ 1 ρ...... ρ 2 ρ 1... ρ 2.......... ρ ρ T 1 ρ 2 ρ 1 (1) WdE II 15 / 36

Znajdowanie macierzy wariancji-kowariancji skªadnika losowego Przykªad procesu AR(1): ˆΩ = Ω (ˆρ) (2) W takiej sytuacji mo»na pokaza,»e: 1 ρ 0 0 ρ 1 + ρ 2. ρ..... ˆΩ 1 = 1 ση 2 0 ρ 1 + ρ 2... 0.......... ρ 0 0 ρ 1 1 ρ 2 0 0 0. ρ 1 0..... V =. 0 ρ 1.. 0.......... 0 0 0 ρ 1 Dowód: Oblicz ˆΩˆΩ 1 (powinno wyj± I ) oraz V T V (powinno wyj± ˆΩ 1 ). (1) WdE II 16 / 36

Znajdowanie macierzy wariancji-kowariancji skªadnika losowego UMNK w praktyce ˆΩ ˆρ ˆε Start: ˆβ OLS ˆβ GLS ŷ (1) WdE II 17 / 36

Znajdowanie macierzy wariancji-kowariancji skªadnika losowego Metoda Cochrane'a-Orcutta Szczególny przypadek UMNK: zakªadamy autokorelacj 1. rz du. y t = x t β + ε t ε t = ρ 1 ε t 1 + η t y t 1 = x t 1 β + ε t 1 η t = ε t ρ 1 ε t 1 Odejmujemy równania stronami, przy czym drugie z nich jest mno»one przez ρ 1 : y t ρ 1 y t 1 = x t β ρ 1 x t 1 β + ε t ρ 1 ε t y t ρ 1 y }{{ t 1 = } transformowana z.objaśniana (x t ρ 1 x t 1 ) }{{} transformowane z.objaśniające β + η t }{{} sferyczny sk l.losowy (1) WdE II 22 / 36

Proste przypadki: ADL(1,1) i dwie restrykcje w ADL(2,2) Plan prezentacji 1 Restrykcje COMFAC w modelach ADL ADL(1,1) ADL(2,2) 2 Uogólniona MNK Idea UMNK Znajdowanie macierzy wariancji-kowariancji skªadnika losowego 3 Testowanie restrykcji COMFAC Proste przypadki: ADL(1,1) i dwie restrykcje w ADL(2,2) Jedna restrykcja COMFAC w ADL(2,2) 4 Analiza COMFAC: przykªad (1) WdE II 23 / 36

Proste przypadki: ADL(1,1) i dwie restrykcje w ADL(2,2) Testowanie restrykcji liniowych Test Walda: H 0 : Rβ = q, tzn. liniowe restrykcje dla β s prawdziwe H 1 : Rβ q, i.e. tzn. liniowe restrykcje dla β s odrzucane przez dane Statystyka testowa: F = (RRSS URSS)/m URSS/(T k) ma rozkªad F (m, T k), gdzie: RRSS: suma kwadratów reszt w modelu z restrykcjami URSS: suma kwadratów reszt w modelu bez restrykcji m: liczba restrykcji T : liczba obserwacji k: liczba szacowanych parametrów w modelu bez restrykcji (1) WdE II 24 / 36

Proste przypadki: ADL(1,1) i dwie restrykcje w ADL(2,2) ADL(1,1), nieliniowo± restrykcja α 1 = β 1 jest nieliniowa (wzgl dem parametrów) tym bardziej restrykcje dotycz ce modelu ADL(2,2) skomplikowane funkcje parametrów strukturalnych test Walda dla nieliniowych restrykcji hipoteza zerowa i alternatywna: jak w te±cie Walda (1) WdE II 25 / 36

Proste przypadki: ADL(1,1) i dwie restrykcje w ADL(2,2) ADL(2,2), 2 restrykcje COMFAC H 0 : λ 1 = τ 1 λ 2 = τ 2 model z 2 restrykcjami: y t = α 0 + (λ 1 + λ 2 ) y t 1 λ 1 λ 2 y t 2 + x t (λ 1 + λ 2 ) x t 1 + λ 1 λ 2 x t 2 + ε t (1) WdE II 26 / 36

Proste przypadki: ADL(1,1) i dwie restrykcje w ADL(2,2) ADL(2,2), 2 restrykcje COMFAC, nieliniowo± H 0 : β 1 = α 1 β 2 = α 2 (dwa wspólne czynniki) test mo»e, ale nie musi by prosty to zale»y od hipotezy alternatywnej: brak wspólnych czynników restrykcje ªatwo wyrazi jako funkcje parametrów strukturalnych jeden wspólny czynnik nie mo»na wówczas ªatwo wyj jednego z dwóch równa«z H 0, lecz musimy rozªo»y na czynniki wielomian opó¹nie«(1) WdE II 27 / 36

Jedna restrykcja COMFAC w ADL(2,2) Plan prezentacji 1 Restrykcje COMFAC w modelach ADL ADL(1,1) ADL(2,2) 2 Uogólniona MNK Idea UMNK Znajdowanie macierzy wariancji-kowariancji skªadnika losowego 3 Testowanie restrykcji COMFAC Proste przypadki: ADL(1,1) i dwie restrykcje w ADL(2,2) Jedna restrykcja COMFAC w ADL(2,2) 4 Analiza COMFAC: przykªad (1) WdE II 28 / 36

Jedna restrykcja COMFAC w ADL(2,2) ADL(2,2), 1 restrykcja COMFAC ( 1 α1 L α 2 L 2) y t = α 0 + ( 1 + β 1 L + β 2 L 2 )x t + ε t (1 Lλ 1 ) (1 Lλ 2 )y t = α 0 + (1 Lτ 1 ) (1 Lτ 2 )x t + ε t (1 (λ1 + λ 2 ) L + λ 1 λ 2 L 2) y t = α 0 + ( 1 (τ1 + τ 2 ) L + τ 1 τ 2 L 2) x t + ε t y t = α 0 + (λ 1 + λ 2 ) y t 1 λ 1 λ 2 y t 2 + x t (τ 1 + τ 2 ) x t 1 + τ 1 τ 2 x t 2 + ε t Testujemy λ 1 = τ 1. (Czy ma znaczenie, czy testujemy λ 1 = τ 1 czy λ 2 = τ 2?) (1) WdE II 29 / 36

Jedna restrykcja COMFAC w ADL(2,2) ADL(2,2), 1 COMFAC, nieliniowo± ( 1 α1 L α 2 L 2) y t = α 0 + ( 1 + β 1 L + β 2 L 2 ) x t + ε t (1 Lλ 1 ) (1 Lλ 2 ) y t = α 0 + (1 Lτ 1 ) (1 Lτ 2 ) x t + ε t Jaka dokªadnie jest relacja mi dzy (wspólnymi) czynnikami a parametrami? = α 2 1 4 ( α 2) = α 2 1 + 4α 2 = β2 1 β 2 0 λ 1,2 = α 1± α 2 1 +4α β 1 2 2α 2 τ 1,2 = ± 4 β 2 β 1 2 β 0 2 4 β 2 2 β 2 (1) WdE II 30 / 36

Jedna restrykcja COMFAC w ADL(2,2) jeden wspólny czynnik H 0 : λ 1 = τ 1 α 1 ± α 2 1 +4α β 1 2 2α 2 = ± pierwiastków β 1 2 β 0 2 4 β 2 2 β 2 przynajmniej dla jednej pary mno»ymy obie strony przez 2α 2 β 2, pierwiastki kwadratowe umieszczamy po prawej stronie równania, podniosimy obie strony do kwadratu i redukujemy α 1 β 1 + 2 α 2 2β 2 ± (α 2 1 + 4α 2 ) ( β 2 1 4 β 2 ) = 0 s dwa równania i jeden wspólny czynnik, je»eli jedno z nich zostanie odrzucone (1) WdE II 31 / 36

wiczenie wiczenie Przykªad 19.6 z Greene, s. 585-586: Rozwa»amy model obja±niaj cy logarytm realnej konsumpcji przez logarytm PKB. Oszacuj model statyczny. Co z autokorelacj reszt? Oszacuj model ADL(1,1). Zwerykuj hipotez wspólnego czynnika. Oszacuj model ADL(2,2). Zwerykuj hipotezy wspólnych czynników. Czy s 2 wspólne czynniki w modelu ADL(2,2)? Omówmy otrzymane wyniki.. (1) WdE II 32 / 36

wiczenie ADL(1,1), test restrykcji liniowych Szacujemy model z nieliniow restrykcj za pomoc nieliniowej MNK. F (1, 199) = (0,0101 0,0096)/1 0,0096/(203 4) 9, 79 z p-value 0, 002 wspólny czynnik ODRZUCONY (1) WdE II 33 / 36

wiczenie ADL(2,2), 2 restrykcje COMFAC, test restrykcji liniowych F (2, 196) = (0,0094 0,0089)/2 0,0089/(202 6) 5, 99 z p-value 0,015 Odrzucenie (lub nie) hipotezy,»e model ADL(2,2) ze sferycznymi resztami upraszcza si do modelu statycznego z resztami AR(2) zale»y od wybranego poziomu istotno±ci. (1) WdE II 34 / 36

wiczenie Testy restrykcji nieliniowych Powy»sze post powanie jest niedokªadne ze wzgl du na nieuwzgl dnienie nieliniowych restrykcji. Statystyka testowa dla nieliniowych restrykcji: W = χ 2 (r) [ LHS ( ˆβ)] T { [ LHS( ˆβ) ] T Cov ˆβ gdzie: r liczba rozwa»anych restrykcji N liczba obserwacji ( ) LHS ˆβ ( [ ˆβ) LHS( ˆβ) ˆβ ] } 1 [ ( )] LHS ˆβ - lewa strona równania restrykcji (przy zaªo»eniu,»e prawa wynosi 0); przy r > 1 pionowy wektor Rozwi zanie: zob. kod w R. (1) WdE II 35 / 36

wiczenie Lektury Greene: rozdziaª Models With Lagged Variables (1) WdE II 36 / 36