Modele wielorównaniowe (forma strukturalna)

Transkrypt

1 Modele wielorównaniowe (forma strukturalna) Formę strukturalna modelu o G równaniach AY t = BX t + u t, gdzie Y t = [y 1t,..., y Gt ] X t = [x 1t,..., x Kt ] u t = [u 1t,..., u Gt ] E (u t ) = 0 Var (u t ) = Σ E (u t u s ) = 0 dla t s Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 1

2 Y t wektorem zmiennych endogenicznych X t zakładamy jest wektorem zmiennych z góry ustalonych O macierzach A G G i B G K zakładamy, że maja pełen rzad W jednym równaniu może występować więcej niż jedna zmienna endogeniczna Przykład (popyt i podaż) Q D = α 0 + α 1 P + α 2 D + u 1 Q S = β 1 P + β 2 P M + u 2 Q D = Q S Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 2

3 Q D -popyt, Q S -podaż, P -cena, D dochody konsumentów, P M -ceny surowców. Endogeniczne Q D, Q S, P Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 3

4 Modele wielorównaniowe (forma zredukowana) Forma zredukowana modelu strukturalnego: Y t = A 1 BX t + A 1 u t Jeśli zdefiniujemy macierz Π = A 1 B i zaburzenie losowe ε t = A 1 u t, to Y t = ΠX t + ε t W jednym równaniu tylko jedna zmienna endogeniczna Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 4

5 Przykład (popyt i podaż) Q D = π 11 + π 12 D + π 13 P M + ε 1 = Q S P = π 21 + π 22 D + π 23 P M + ε 2 π sa funkcjami α i β π 11 = β 1α 0 β 1 α 1, π 12 = β 1α 2 β 1 α 1, π 13 = β 2α 1 β 1 α 1 π 21 = α 0 β 1 α 1, π 22 = α 2 β 1 α 1, π 23 = β 2 β 1 α 1 Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 5

6 ε sa kombinacjami u ε 1 = β 1 β 1 α 1 u 1 α 1 β 1 α 1 u 2 ε 2 = 1 β 1 α 1 u 1 1 β 1 α 1 u 2 Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 6

7 Identyfikacja Pomnóżmy model strukturalny lewostronnie przez F G G F AY t = F BX t + F u t Można go zapisać jako A Y t = B X t + u t Uzyskany w ten sposób model nie można na podstawie danych odróżnić od modelu pierwotnego! Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 7

8 Do identyfikacji konieczne ograniczenia nałożenie na A, B takich ograniczeń, że A, B spełniaja je jedynie dla F = I Warunek konieczny identyfikacji K G j + K j 1 gdzie K liczba zmiennych egzogenicznych, G j liczba zmiennych endogenicznych w j-tym równaniu, K j liczba zmiennych egzogenicznych w j-tym równaniu (wliczajac w to stała) Przykład (podaż i popyt) Q D = α 0 + α 1 P + ε 1 Q S = β 0 + β 1 P + ε 2 Q D = Q S Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 8

9 Sprawdźmy warunek konieczny: pierwsze równanie 1 < i 1 < Dla oryginalnego modelu: 3 = i 3 > (oba równania identyfikowalne, drugie przeidentyfikowane) Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 9

10 MNK i obciażenie Haavelmo W prostym modelem Keynsowskim C t = a + by t + ε t Y t = C t + I t C t to konsumpcja, Y t to GDP a I t to inwestycje. Drugie równanie w modelu jest tożsamościa - definiuje dochód narodowy jako sumę konsumpcji i inwestycji. Podstawiajac pierwsze równanie do drugiego otrzymujemy Y t = a + by t + ε t + I t Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 10

11 Rozwiazuj ac dla Y t otrzymujemy Y t = a 1 b b I t + ε t 1 b Załóżmy, że ε t i I t sa nieskorelowane, wtedy Cov (ε t, Y t ) = Cov = ( ε t, 1 1 b Var (ε t) 0 a 1 b b I t + ε ) t 1 b Problem równoczesności pojawia się równaniu konsumpcji: zmienna objaśniajaca Y t skorelowana z błędem losowym. Zachodzi następujace sprzężenie zwrotne: C t (konsumpcja) zależy od Y t (dochodu) ale jednocześnie dochód zależy od konsumpcji. Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 11

12 Wynik Przyczyna występowania równoczesności jest występowanie między zmienna objaśniana i zmiennymi objaśniajacymi sprzężenia zwrotnego. Wynik Z powodu występowania problemu równoczesności, M N K zastosowane do poszczególnych równań formy strukturalnej modelu wielorównaniowego o równaniach współzależnych daje estymator, który nie jest zgodny. Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 12

13 Pośrednia MNK Estymacja formy zredukowanej po prawej stronie jedynie zmienne egzogeniczne założony brak heteroskedastyczności i autokorelacji można stosować MNK do każdego z równań z osobna Elementy macierzy Π sa funkcjami elementów macierzy A i B, ponieważ Π = A 1 B Czy można znaleźć estymatory A i B z układu równań Π = Â 1 B? Dla modelu strukturalnego Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 13

14 nieidentyfikowalnego: nieskończenie wiele rozwiazań dokładnie zidentyfikowanego: jedno rozwiazanie przeidentyfikowanego: kilka sprzecznych rozwiazań Przykład (równie popytu i podaży) ) β 1 = bπ 11 bπ 21, β1 = bπ 12 bπ 22, β2 = π 23 ( β1 α 1 ) ) α 1 = bπ 13 bπ 23, α 2 = π 22 ( β1 α 1, α 0 = π 21 ( β1 α 1 Dwa alternatywne wzory dla β 1!!! Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 14

15 Dwustopniowa MNK (2MNK) Problem równoczesności Estymatorem zgodnym w tym przypadku M ZI. Zmienne instrumentalne: wszystkie zmienne egzogeniczne w modelu Warunek stosowalności M ZI w j-tym równaniu: co najmniej tyle instrumentów co zmiennych Równoważny warunkowi identyfikowalności!!! Dwa etapy estymacji w 2MNK: Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 15

16 1. Obliczmy wartości dopasowane zmiennych endogenicznych z regresji na zmiennych egzogenicznych (wartości dopasowane z formy zredukowanej) 2. Obliczamy M ZI estymatory parametrów dla poszczególnych równań formy strukturalnej (zmienne endogeniczne zastępujemy wyliczonymi w pierwszym kroku ich wartościami teoretycznymi) j-te równanie formy strukturalnej można zapisać jako y j = Z j β j + u j gdzie Z j jest wektorem zmiennych endo i egzogenicznych występujacych w tym równaniu Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 16

17 Cały model można zapisać teraz w następujacy sposób y 1 y 2. y G = Z Z Z G β 1 β 2. β G + u 1 u 2. u G Co można też zapisać jako y = Z β + u Dopasowane wartości Ẑ j uzyskane z regresji Z j na zmiennych egzogenicznych (wartości dopasowane zmiennych endogenicznych uzyskane z formy zredukowanej): Ẑ j = X Π j = X ( X X ) 1 X Z j = P X Z j. Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 17

18 Estymator 2MNK można zapisać jako: b 2MNK = (Ẑ Ẑ) 1 Ẑ y gdzie Z = Ẑ Ẑ G Estymatory uzyskane z 2M N K sa estymatorami nieefektywnymi, ponieważ w trakcie estymacji i-tego równania nie wykorzystuja informacji wynikajacych z ograniczeń nałożonych na j-te równanie. Estymatory 2M N K należa do kategorii estymatorów ograniczonej informacji (Limited information), ponieważ do ich oszacowania nie jest konieczna znajomość wszystkich równań w modelu Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 18

19 Trójstopniowa MNK (3MNK) Wiemy, że Var (u t ) = Σ a jej elementami sa wariancje i kowariancje błędów losowych dla poszczególnych równań w okresie t Macierz wariancji kowariancji błędów losowych dla równania i jest z okresów 1,..., T jest równa: Var (u i ) = σ ii I Macierz kowariancji między błędami losowymi z równań i i j Cov (u i, u i ) = σ ij I Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 19

20 u jest więc heteroskedastyczny i jego macierz wariancji kowariancji ma postać: Var (u) = σ 11I σ 1G I... = Σ σ G1 I σ GG I Dysponujac zgodnym estymatorem β możemy spróbować policzyć estymator Σ i Σ. Dla każdego z policzonych równań liczymy reszty z 2M N K i na ich podstawie liczymy Σ Σ ij = σ ij = ẽ iẽj T W trzecim kroku liczymy estymator 3M N K jako stosowalny estymator Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 20

21 UMNK: b 3MNK = (Ẑ Σ 1Ẑ) 1 Ẑ Σ 1 y gdzie Σ = σ 11 I σ G1 I... σ 1G I σ GG I 3M N K zaliczamy do metod pełnej informacji, ponieważ musimy znać pełen model, by go zastosować przy znajomości pełnego modelu Przykład Jednym z pierwszych wyestymowanych modeli wielorównaniowych był model gospodarki Stanów Zjednoczonych w latach stworzony przez Kleina. Składa się on z następujacych równań Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 21

22 C t = α 1 + α 2 P t + α 3 P t 1 + α 4 (W t + W t) + u 1t W t = γ 1 + γ 2 X t + γ 3 X t 1 + γ 4 t + u 3t I t = β 1 + β 2 P t + β 3 P t 1 + β 4 K t 1 + u 2t K t = I t + K t 1 X t = C t + I t + G t P t = X t W t T t konsumpcja płace w sektorze prywatnym inwestycje wielkość kapitału równanie dochodu narodowego zyski w sektorze prywatnym Zmiennymi endogenicznymi w tym modelu jest konsumpcja C t, płace w sektorze prywatnym W t, inwestycje I t, wielkość kapitału w gospodarce K t, produkt narodowy X t oraz zyski w sektorze prywatnym P t. Zmiennymi egzogenicznymi w tym modelu sa stała, trend liniowy t, wydatki rzadowe G t, płace w sektorze państwowym W t, podatki T t oraz zmienne opóźnione P t 1, K t 1, X t 1. Zauważmy, że model ten różni się klasycznego modelu IS/LM, ponieważ nie ma w nim zmiennych zwiazanych z sektorem pieniężnym takich jak ilość pieniadza, czy stopy procentowe. Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 22

23 Estymacja pojedynczego równania MZI Instrumental variables (2SLS) regression Source SS df MS Number of obs = F( 3, 17) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = c Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] p wp_plus_wg p L _cons Instrumented: p L.p wp_plus_wg Instruments: year g wg t L.p k1 L.x Test Sargana na prawidłowość przeidentyfikowujacych ograniczeń Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 23

24 Tests of overidentifying restrictions: Sargan N*R-sq test Chi-sq(4) P-value = Basmann test Chi-sq(4) P-value = Test Hausaman-Wu na endogeniczność zmiennych objaśniajacych Tests of endogeneity of: p L.p wp_plus_wg H0: Regressors are exogenous Wu-Hausman F test: F(3,14) P-value = Durbin-Wu-Hausman chi-sq test: Chi-sq(3) P-value = Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] c p L wp_plus_wg _cons wp x Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 24

25 L year _cons i p L k _cons Endogenous variables: c wp i wp_plus_wg x p Exogenous variables: L.p L.x year k1 g wg t Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] c p L wp_plus_wg _cons wp Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 25

26 x L year _cons i p L k _cons Endogenous variables: c wp i wp_plus_wg x p Exogenous variables: L.p L.x year k1 g wg t Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 26