Powtórzenie wiadomości z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki.

Transkrypt

1 Powtórzenie wiadomości z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki. Zaj ecia 5 Natalia Nehrebeceka 04 maja, 2010

2 Plan zaj eć 1 Rachunek prawdopodobieństwa Wektor losowy Wartość oczekiwana Wariancja Odchylenie standardowe Kowariancja Korelacja Macierz wariancji-kowariancji 2

3 Wektor losowy Wartość oczekiwana Wariancja Odchylenie standardowe Kowariancja Korelacja Macierz wariancji-kowariancji X : Ω R K

4 Wektor losowy Wartość oczekiwana Wariancja Odchylenie standardowe Kowariancja Korelacja Macierz wariancji-kowariancji Zmienne dyskretne: EX = x i P(X = x i ) Zmienne ciag le: EX = xg(x)dx W lasności: 1 E(X + Y ) = EX + EY 2 E(a + bx ) = a + bex

5 Wektor losowy Wartość oczekiwana Wariancja Odchylenie standardowe Kowariancja Korelacja Macierz wariancji-kowariancji Var(X ) = E(X EX ) 2 = EX 2 (EX ) 2 0 W lasności: 1 Var(aX ) = a 2 Var(X ) 2 Var(a) = 0 3 Var(X + Y ) = Var(X ) + Var(Y ) + 2cov(X, Y )

6 Wektor losowy Wartość oczekiwana Wariancja Odchylenie standardowe Kowariancja Korelacja Macierz wariancji-kowariancji se(x ) = Var(X ) Przewaga nad wariancja: nie zależy od skali

7 Wektor losowy Wartość oczekiwana Wariancja Odchylenie standardowe Kowariancja Korelacja Macierz wariancji-kowariancji cov(x, Y ) = E(X EX )(Y EY ) = EXY EXEY

8 Wektor losowy Wartość oczekiwana Wariancja Odchylenie standardowe Kowariancja Korelacja Macierz wariancji-kowariancji corr(x, Y ) = cov(x, Y ) Var(X )Var(Y )

9 Wektor losowy Wartość oczekiwana Wariancja Odchylenie standardowe Kowariancja Korelacja Macierz wariancji-kowariancji W lasności: 1 kwadratowa 2 symetryczna 3 dodatnio określona Var(X 1 ) cov(x i, X j )..... cov(x j, X i ) Var(X k )

10 : statystyka s lużaca do oszacowania wielkości nieznanego parametru

11 Nieobciażoność: E(ˆθ) = θ

12 efektywny: posiada minimalna wariancje (jest najbardziej precyzyjny) w pewnej klasie, np. w klasie estymatorów liniowych

13 : daje pe lniejsza informacje na temat precyzji oszacowania parametrów; z określonym prawdopodobieństwem w tym przedziale zawiera sie nieznany parametr gdzie: θ - nieznany parametr P(g 1 (X N ) < ˆθ < g 2 (X N )) = 1 α, g 1 (X N ) 2 (X N ) - końce przedzia lu ufności, które sa funkcja próby 1 α - poziom ufności; z prawdopodobieństwem 1 α wartość nieznanego szacowanego parametru znajduje sie w przedziale ufności

14 Do testowania hipotez statystycznych używamy testów bazujacych na statystykach testowych. Test statystyczny: bada, czy hipoteza zerowa (H 0 ) nie jest sprzeczna z danymi. Jeśli jest sprzeczna, to odrzucamy H 0 na rzecz hipotezy alternatywnej. W przeciwnym przypadku - nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Statystyka testowa: funkcja danych, zmienna losowa, posiada pewnien (znany) rozk lad

15 Z określonym prawdopodobieństwem decyzje o odrzuceniu H 0 lub nie sa b l edne: B l ad I rodzaju: odrzucenie prawdziwej hipotezy zerowej; prawdopodobieństwo pope lnienia b l edu I rodzaju - rozmiar testu B l ad II rodzaju: przyjecie fa lszywej hipotezy zerowej; prawdopodobieństwo nie pope lnienia b l edu II rodzaju - moc testu Test idealny osiaga najwyższa moc przy określonym rozmiarze.

16 Hipotezy jednostronne α - poziom istotności: akceptowalne prawdopodobieństwo pope lnienia b l edu I rodzaju k - wartość statystyki testujacej k α - wartość krytyczna, czyli taka, że F (k α ) = 1 α

17 Wada: konieczność znalezienia w tablicach wartości krytycznej k α Wspó lcześnie pakiety ekonometryczne znajduja wartość p-value (policzony poziom istotności), czyli α = 1 F (k ) = P(k α k ). Ma le p-value sk lania do odrzucenia H 0.