Zakład Zastosowań Techik Łączości lektoiczej (Z ) Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate iteligetych w systemach komókowych tzeciej i czwatej geeacji Paca : 35 Waszawa, gudzień 5
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate iteligetych w systemach komókowych tzeciej i czwatej geeacji Paca 35 Słowa kluczowe: adiokomuikacja, atey iteligete Kieowik pacy d iż. Aleksade Makiedoński Wykoawcy pacy: d iż. Jacek Jakowski Z mg iż. Kzysztof Łowczycki Z Maciej Odzikowski Z
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. SPIS TRŚCI. Wpowadzeie... 7. Teoia pomieiowaia... 9.. Wstęp... 9.. Uogólieie pojęcia pądu elektyczego i magetyczego... 9.3. Podstawowe źódła pomieiowaia....3.. Zasada ekwiwaletości....4. Rówaia Maxwella i potecjały wektoowe... 3.5. Źódła komplemetae (duale) oaz zasada Babieta... 5.6. Zasada wzajemości... 8.7. Zależości eegetycze w polu elektomagetyczym. Wekto Poytiga... 9 3. Wyzaczaie pola elektomagetyczego wokół ate... 3.. Obliczaie składowych pól elektomagetyczych za pomocą potecjałów wektoowych. Potecjały opóźioe... 3.. Obliczaie atężeia pola w stefie dalekiej... 4. Pomieiowaie gupy wibatoów... 6 4.. Pzypadek ogóly... 6 4.. Pomieiowaie gupy liiowej... 8 4.3. Pomieiowaie gupy liiowej - układ dwuwymiaowy... 3 4.4. Pomieiowaie gupy liiowej - układ tójwymiaowy... 3 5. Zastosowaie tasfomaty Fouiea w aalizie i sytezie ate... 3 6. Podstawowe zasady ateowe... 36 6.. Zasada Huyhesa... 36 6.. Zasada ekwiwaletości... 36 6.3. Zasada supepozycji... 36 6.4. Zasada wzajemości... 36 6.5. Zasada Babieta... 37 7. Podstawowe własości i paamety ate... 38 7.. Pojęcia podstawowe... 38 7... Popagacja w wolej pzestzei... 38 7... Wekto Poytiga... 39 7..3. Itesywość pomieiowaia... 4 7..4. Stumień wektoa pola... 4 7.. Podstawowe paamety ate... 4 7... Chaakteystyka pomieiowaia... 4 7... Chaakteystyka kieukowa fazowa i polayzacyja... 4 7..3. Zysk kieukowy... 4 7..4. Zysk eegetyczy... 43 7..5. Powiezchia czya atey (powiezchia skutecza)... 43 7..6. Impedacja wejściowa atey... 44 7..7. Rezystacja pomieiowaia, ezystacja stat i spawość atey... 44 7..8. Doboć atey... 45 7..9. Polayzacja atey... 45 7... Ie paamety ate... 46 8. Zastosowaie uogólioej metody dgań własych do badań ezoatoów otwatych i zamkiętych... 46 8.. Wpowadzeie... 46 8.. Fomułowaie zagadień bzegowych... 48 3
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. 8... Rezoato z gaicą impedacyją... 48 8... Rezoato z gaicą półpzezoczystą... 5 8.3. Techiki waiacyje... 5 8.4. Wioski końcowe... 53 9. Zastosowaie metamateiałów w techice ateowej... 53 9.. Ogiskowaie fal elektomagetyczych... 54 9.. Syteza piewszych metamateiałów... 55 9.3. Zastosowaie liii tasmisyjych o stałych ozłożoych do kostukcji metamateiałów... 58 9.4. Pzykłady zastosowań paktyczych... 6 9.4.. Spzęgacze kieukowe... 6 9.4.. Pzesuwiki fazowe ze spzęgaczami kieukowymi... 6 9.5. Filty ozdzielcze... 64 9.6. Atey... 65 SPIS TABL Tabl. Potecjały wektoowe źódeł... 4 Tabl. Tasfomacja systemów... 6 Tabl. 3 Tasfomacja stuktu komplemetaych... 37 Tabl. 4 Zyski pzykładowych ate... 39 SPIS RYSUNKÓW Rys. Objaśieie zasady ekwiwaletości... Rys. Doga całkowaia a powiezchi bzegowej wg wzou (.3)... Rys. 3 Zasada ekwiwaletości w zastosowaiu do atey paaboliczej... Rys. 4 Sposób całkowaia pzy wyzaczaiu potecjału wektoowego dla puktu P Rys. 5... 4 Dipol elektyczy i komplemetay do iego dipol magetyczy (atea szczeliowa)... 5 Rys. 6 Pzykłady stuktu samokomlemetaych... 7 Rys. 7 Układ dwóch ate oaz zastępczy czwóik... 8 Rys. 8 Zależość pola w stefie dalekiej od pola w stefie bliskiej... Rys. 9 Gupa wibatoów... 6 Rys. Liiowa gupa wibatoów w układzie jedowymiaowym... 8 Rys. Liiowa gupa wibatoów w układzie dwuwymiaowym... 3 Rys. Liiowa gupa wibatoów w układzie tójwymiaowym... 3 Rys. 3 Rys. 4 Zależość kształtu chaakteystyki pomieiowaia elemetu atey od ozkładu atężeia pądu w tym elemecie... 34 Zależość chaakteystyki kieukowej gupy liiowej w układzie jedowymiaowym od amplitud apięć zasilaia elemetów pomieiujących... 35 Rys. 5 System ate jako czwóik liiowy... 36 Rys. 6 Ilustacja zasady Babieta.... 38 Rys. 7 Tiplet wektoów, H, S... 4 Rys. 8 Pzykład chaakteystyki pomieiowaia atey... 4 Rys. 9 Ilustacje defiicji zysku kieukowego... 4 4
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. Rys. Geometia ezoatoa... 47 Rys. Popzeczy pzekój kołowosymetyczego ezoatoa... 49 Rys. Oietacja wektoów składowych pola elektomagetyczego, H Rys. 3 Rys. 4, wektoa Poytiga S i wektoa pędkości fazowej β w mateiałach pawoskętych (RHM) i lewoskętych (LHM).... 54 Skupiaie fali elektomagetyczej pzy popagacji popzez metamateiały (b, c) z ujemym współczyikiem efakcji i iewystępowaie takiego zjawiska pzy popagacji fali popzez mateiał z dodatim współczyikiem efakcji (a)... 54 Rozcięty ezoato pieścieiowy w postaci cylida i fomy plaaej wzbudzay składową magetyczą H fali elektomagetyczej w kieuku omalym do powiezchi czołowej ezoatoa.... 56 Rys. 5 Układ zastępczy medium tasmisyjego złożoego z ciekich pzewodów i ezoatoów SRR pzy d << λ... 56 Rys. 6 Widok pototypowego metamateiału zbudowaego z ezoatoów SSR i ciekich pzewodów.... 58 Rys. 7 Węzły metamateiału o topologii NRI-TL (Negative Refactio Idex Tasmissio Lies) a) Węzeł NRI-TL b) Węzeł NRI-TL zedukoway.... 59 Rys. 8 Pototypowy metamateiału dwuwymiaowego wykozystującego topologię NRI-TL... 59 Rys. 9 a) 3D Węzeł Koa; b) 3D Węzeł Koa zedukoway... 6 Rys. 3 Widok zewętzy ćwiećfalowych spzęgaczy kieukowych wykoaych w techologii mikopaskowej MS/MS i w techologii mieszaej MS/NRI... 6 Rys. 3 Chaakteystyki tasmitacji spzęgaczy kieukowych z ys. 3... 6 Rys. 3 Widok zewętzy 3 db spzęgacza kieukowego wykoaego w techologii MS/NRI... 6 Rys. 33 Chaakteystyki tasmitacji spzęgacza kieukowych z ys. 3... 6 Rys. 34 Widok zewętzy dwóch odzajów pzesuwików fazowych ze spzęgaczami kieukowymi wykoaych w techologii mieszaej NRI/MS... 63 Rys. 35 Chaakteystyki tasmitacji pzesuwików fazowych ze spzęgaczami kieukowymi z ysuku ys. 34... 63 Rys. 36 Kofiguacja dzielika mocy z pzesuwikami fazowymi w techologii mieszaej MS i NRI... 64 Rys. 37 Schematyczy pzebieg dogi sygału w filtze ozdzielczym wykoaym pzy użyciu metamateiałów.... 64 Rys. 38 Widok zewętzy pzesuwików fazowych º a liiach długich wykoaych z metamateiału... 65 Rys. 39 Chaakteystyki tasmitacji pzesuwików fazowych z ysuku ys. 38... 65 Rys. 4 Syfazowe pobudzaie liiowego szyku ateowego pzy wykozystaiu meadującej liii długiej o pzesuięciu fazowym π adiaów... 66 Rys. 4 Syfazowe pobudzaie liiowego szyku ateowego pzy wykozystaiu º metamateiałowych (MM) pzesuwików fazowych.... 66 Rys. 4 a) Układ zastępczy jedowymiaowego metamateiałowego ogiwa º pzesuwika fazowego, b) kombiowaa metamateiałowa liia opóźiająca.... 67 Rys. 43 Widok atey pieścieiowej z metamateiałów a pasmo częstotliwości,5 GHz. Watości dodatkowych elemetów dysketych: C 3,7 pf, L 7,8 H... 68 5
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. Rys. 44 Chaakteystyka współczyika odbicia atey pieścieiowej z ys. 43... 69 6
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate.. Wpowadzeie Aktualie pacujące sieci komókowe wykozystują statyczie fomowae systemy ateowe o iezmieym w czasie kształcie chaakteystyki kieukowej ate adawczych i odbioczych. Dotyczy to zaówo stacji bazowych jak i temiali aboeckich. Zwiększeie zakesu częstotliwości pacy i zwiększeie szybkości tasmisji ifomacji oaz zmiejszeie mocy pomieiowaia temiali aboeckich ze względu a iekozyste oddziaływaie pomieiowaia elektomagetyczego a ogaizm człowieka powoduje adykale zmiejszeie zasięgów łączości adiowej ze stacjami bazowymi. Ze względu a ochoę śodowiska ie moża ówież zwiększać mocy adajików stacji bazowych. Ze względu a koieczość uwzględieia kompomisu pomiędzy szeokością wiązki a zyskiem kieukowym ate i tłumieia łączy powyżej 3 GHz oaz koieczości zapewieia coaz większej liczby kaałów adiowych i miimalizacji zakłóceń wewątz systemowych, potzeba jest coaz większa liczba stacji bazowych dla zapewieia pokycia obsługiwaych teeów. Zastosowaie ate iteligetych powadzi do optymalizacji liczby potzebych stacji bazowych i pokycia. Powyższe wyika wpost ze wzou opisującego moc sygału odebaego pzez ateę odbioczą umieszczoą w wolej pzestzei w odległości d od adajika []. gdzie: P G G P ( d) λ (4πd ) T T R R (.) P T moc dopowadzaa do atey adajika, G T zysk atey adawczej, G R zysk atey odbioczej, λ długość emitowaej pzez adajik fali elektomagetyczej. Moc sygału odbieaego zmiejsza się zatem z kwadatem zmiejszeia się długości fali. Dla skompesowaia tego zjawiska koieczy jest wzost zysku ate po stoie odbioczej i po stoie adawczej. W dotychczasowych systemach adiokomuikacji uchomej dugiej geeacji w stacjach bazowych szeoko stosowae atey sektoowe posiadają już dość wyśubowae zyski ate adawczych. Główą pzyczyą koieczości stosowaia ate iteligetych a stacjach bazowych po stoie adawczej jest, zatem koieczość zmiejszeia zakłóceń wewątz systemowych. W systemach komókowych (i ie tylko) zachodzi, bowiem potzeba powtazaia z pewym odstępem teytoialym częstotliwości. egia emitowaa pzez ateę stacji bazowej w iym kieuku iż koespodujący z ią temial aboecki jest iepotzebym źódłem zakłóceń wewątz systemowych. Dotyczy to także emisji eegii pzez ateę temiala aboeckiego w iych kieukach iż koespodująca z im stacja bazowa. W tym pzypadku temial te jest także źódłem zakłóceń wewątz systemowych dla odbioików iych zajdujących się w pobliżu stacji bazowych (ze względu a stefę zakłóceń). Badzo waże zaczeie ma także fakt, że sila kieukowość wiązki atey stacji bazowej ogaicza iepożąday efekt wielodogowości fal docieających do atey temiala aboeckiego w łączu w dół, któe są pzyczyą odległych w czasie ech sygału widoczych w odpowiedzi impulsowej kaału adiowego. Zastosowaie a stacjach bazowych także ate iteligetych po stoie odbioczej pozwala a optymalizację fomy chaakteystyki kieukowej pod względem maksymalizacji ie tylko poziomu sygału pzychodzącego od stoy temiala aboeckiego, ale także zmiejszeia poziomu odbieaych sygałów zakłócających od iych temiali, aby kieuki 7
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. z któych adchodzą sygały zakłócające zajdowały się w zeach chaakteystyki kieukowej. System ate iteligetych wykozystuje w swym działaiu szyk ateowy, zway także matycą ateową składający się z M elemetów ozłożoych pzestzeie oaz działający w czasie zeczywistym układ cyfowego pzetwazaia sygałów, któy wytwaza z kolei sygały steujące wielkością amplitud i faz fal ośych dopowadzaych do poszczególych elemetów szyku ateowego. Zasadiczą komplikacją wyikającą z zastosowaia w systemach ate iteligetych szyków ateowych ozpatzoych w ozdziale 4 tej pacy jest koieczość ealizacji w czasie zeczywistym fukcji wyzaczaia wag, pzez któe są możoe sygały z poszczególych elemetów szyku. W postszym pzypadku pewa liczba współczyików wagowych jest już upzedio wyzaczoa i zapamiętaa a astępie jest wpowadzaa do steowika mikopocesoowego geeującego sygały steujące podzielikami mocy i pzesuwikami fazowymi popzez któe fala ośa ze stopia wzmaciacza mocy adajika stacji bazowej dopowadzaa jest do poszczególych elemetów szyku ateowego, w astępstwie czego są geeowae chaakteystyki kieukowości atey w z góy wyzaczoych kieukach. Sytuacja zaczie komplikuje się w pzypadku adaptacyjej atey iteligetej, gdy atea stacji bazowej ma wyszukiwać uchomy temial aboecki (wyzaczać kieuek, z któego adchodzi fala adiowa) oaz śledzić zmiay położeia temiala aboeckiego. Fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate iteligetych ealizowae jest w opaciu o aalizę śodowiska zakłóceń elektomagetyczych występujących w systemach komókowych. Aaliza taka może być dokoaa w opaciu o zjawiska i kyteia opisujące wauki gaicze. Optymalizację chaakteystyk pomieiowaia powadzącą do okeśleia sposobu zasilaia tójpaametyczego uzyskuje się w wyiku zastosowaia zaawasowaych metod obliczeiowych. Jedym z twóców takich pocedu jest pof. M. Wojtowicz, z któym powyższy zespół IŁ współpacuje. Pofeso Wojtowicz waz ze współpacowikami jest autoem piewszych moogafii poświęcoych uogólioej metodzie dgań własych w teoii dyfakcji zajdującej ogome zaczeie w kostuowaiu szyków ate iteligetych. Zaówo fizyka opisywaych pocesów jak i stosoway apaat matematyczy pzy tego typu ozważaiach jest badzo złożoy. W ozdziale 8 iiejszego spawozdaia pzytoczoo kótki opis stosowaej pzez pof. Wojtowicza uogólioej metody dgań własych ezoatoów. Dotyczy to zaówo ezoatoów zamkiętych stosowaych p. w podzielikach mocy czy sumatoach jak i ezoatoów otwatych, jakimi są elemety pomieiujące ate iteligetych, lub całe zespoły tych pomieików, czyli szyki ateowe (matyce ateowe). Zozumieie mateiału zawatego w tym ozdziale bez wcześiejszego pzytoczeia w popzedzających ozdziałach wiedzy z zakesu teoii ate byłoby paktyczie iemożliwe. Dotyczy to p. pzytoczoej w pkt. 6. zasady ekwiwaletości mówiącej o tym że każdą stuktuę ateową wywołującą zay ozkład pzestzey pola elektyczego i pola magetyczego H moża zamieić gaiczą powiezchią zamkiętą otaczającą tą stuktuę a powiezchi któej możemy okeślić zastępczy ozkład pądów powiezchiowych. Taką zamkiętą powiezchią gaiczą jest właśie była obotowa V o skończoej impedacji falowej ozpatywaa pzy zastosowaiu uogólioej metody dgań własych opisaej w skócie w ozdziale 8 iiejszego spawozdaia. 8
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. Na kostukcjach masztów ateowych stacji bazowych często bak jest obecie miejsca a istalację atey iteligetej o dużej liczbie elemetów pomieiujących. W temialach aboeckich szczególie pzeośych zastosowaie kowecjoalych szyków ateowych ate iteligetych jest iemożliwe ze względu a zacze gabayty takich szyków. Rówież kowecjoale elemety tou ateowego takich ate, jakimi są egulowae podzieliki mocy i pzesuwiki fazowe ze względu a swe gabayty ie adają się do zastosowaia w temialach aboeckich. Jedyym ozwiązaiem będzie wykozystaie w kostukcjach pzyszłych ate iteligetych owych, iewystępujących w pzyodzie mateiałów zwaych metamateiałami o ujemym współczyiku efakcji. Opis takich metamateiałów waz z możliwościami paktyczej ealizacji tou ateowego ate iteligetych jest pzytoczoy w ozdziale 9 iiejszego spawozdaia. Zastosowaie metamateiałów w systemie ateowym pzeośego temiala aboeckiego pozwala także a zacze zmiejszeie oddziaływaia pola elektomagetyczego stefy bliskiej a ogaizm użytkowika. Metamateiały o ujemym współczyiku efakcji posiadają, bowiem zdolości ogiskowaia fal elektomagetyczych pozwalając budować pułapki pola stefy bliskiej. Aktualie a całym świecie, główie w kęgach akademickich, powadzoe są itesywe pace z tej dziedziy. Zaiteesowaie tymi mateiałami pzejawiają także potetaci światowego pzemysłu telekomuikacyjego. Jak a azie pzoduje pod tym względem koce NORTL powadzący w swoim Istytucie Telekomuikacji, pzy współpacy z Uiwesytetem w Tooto, itesywe pace badawcze ad paktyczym zastosowaiem metamateiałów w adiokomuikacji.. Teoia pomieiowaia.. Wstęp Dziedzia ate i popagacji fal wywodzi swe podstawy teoetycze z teoii pola elektomagetyczego opatego o zastosowaie azędzi matematyczych aalizy wektoowej. W dziedziie tej zagadieia paktyki iżyieskiej są szczególie silie związae z zagadieiami teoetyczymi. Bez zawatego w tym i astępych ozdziałach pzypomieiach i ozszezeia iektóych podstawowych zagadień teoetyczych ie jest możliwe zozumieie poblemów ate iteligetych z tójpaametowym fomowaiem chaakteystyk pomieiowaia, ai owych możliwości, jakie daje zastosowaie w techice ateowej sztuczie stwozoych pzez człowieka, iewystępujących w pzyodzie, metamateiałów o lewoskętym typlecie wektoów, H, ß... Uogólieie pojęcia pądu elektyczego i magetyczego Teoia pomieiowaia wywodzi się z opisu pola elektomagetyczego za pomocą ówań Maxwella. Rówaia te opisują pzy wykozystaiu matematyczego apaatu aalizy wektoowej związki zachodzące w pzestzei między polem elektyczym, polem magetyczym oaz pądami i ładukami. Nowoczesa teoia pomieiowaia posługuje się pzy tym obok pojęcia pądu elektyczego i ładuku elektyczego, aalogiczymi pojęciami pądu magetyczego i ładuków magetyczych. Źódłem sukcesu Maxwella pzy opisie pola elektomagetyczego było utożsamieie pzestzeej zmiay w czasie pola elektyczego z pzepływem pądu elektyczego, zwaego pądem pzesuięcia. W aalogiczy sposób moża utożsamić pzestzeą zmiaę w czasie pola magetyczego 9
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. z pzepływem pądu magetyczego. Gęstość elektyczego pądu objętościowego pzesuięcia defiiujemy wzoem: i ε [A/m ], (.) t gdzie: jest wektoem atężeia pola elektyczego w [V/m] a ε współczyikiem pzeikalości dielektyczej ośodka popagacji. Podobie gęstość magetyczego pądu objętościowego pzesuięcia defiiujemy wzoem: H m μ [V/m ], (.) t gdzie: H jest wektoem atężeia pola magetyczego w [A/m] a μ współczyikiem pzeikalości magetyczej ośodka popagacji. Z powyższych defiicji wyika, że kieuek pzepływu pądu elektyczego pokywa się z kieukiem liii sił pola elektyczego i odpowiedio pądu magetyczego z kieukiem liii sił pola magetyczego..3. Podstawowe źódła pomieiowaia.3.. Zasada ekwiwaletości Podstawowym źódłem pomieiowaia są układy pzewodików, w któych płyą zmiee w czasie pądy elektycze. Moża sobie ówież wyobazić atey z zastosowaiem pzewodików pądu magetyczego. Jedakże, w ogólym pzypadku, pomieiowaie może pochodzić od zmieego w czasie w pewym obszaze pola elektomagetyczego. Należy tu pzytoczyć ważą dla techiki ateowej zasadę ekwiwaletości. Zasada ta wyika ze zaej w teoii uchu falowego zasady Huyghesa. Wedle tej zasady, w polu elektomagetyczym zmieym w czasie hamoiczie, każdy pukt pzestzei może być uważay za elemetae źódło fali kulistej. Zasadę ekwiwaletości ilustuje ys.. Rys. Objaśieie zasady ekwiwaletości.
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. Wewątz pewej były otoczoej powiezchią zamkiętą S o dowolym kształcie zajduje się źódło pomieiowaia. Źódło to wytwaza w pzestzei a zewątz S okeśloe pole elektomagetycze. Moża wykazać, że takie same pole będzie wytwozoe, jeśli dae źódło zastąpimy źódłem ekwiwaletym (zastępczym) takim, że z wętza były usuiemy pole elektomagetycze, atomiast a powiezchię S wpowadzimy pądy powiezchiowe okeśloe pzez składowe stycze pól. Natężeie tych pądów okeśloe jest zależościami: gęstość pądu elektyczego powiezchiowego J H [A/m], (.3) zaś gęstość pądu magetyczego powiezchiowego K [A/m], (.4) gdzie: H i są składowymi styczymi pola do powiezchi. Zauważmy, że pzepływ pądów a powiezchi S jest iezbędy dla spełieia wauków bzegowych. Zależość bzegowa okeśloa wzoem (.5) wyika z pawa Ampea. Dla pętli zamkiętej obejmującej obie stoy powiezchi S (ys. ) pawo Ampea wyaża się wzoem: H dl I JΔl [A/m], (.5) Rys. Doga całkowaia a powiezchi bzegowej wg wzou (.3) Rówaie to okeśla, że ieciągłość składowej styczej pola magetyczego jest ówoważa pzepływowi pądu powiezchiowego o gęstości J, co w fomie wektoowej wyaża wzó (.3). Aalogiczie zależość bzegowa (.4) wyika z pawa Faadaya: gdzie: M jest pądem magetyczym. dl M KΔl (.6)
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. Nieciągłość składowej styczej pola jest ówoważa pzepływowi pądu magetyczego. W pzypadku ogólym pole wewątz powiezchi S może ie być ówe zeu i w tym pzypadku: J ( H ), (.7) H w ( ) K (.8) w gdzie: H w i w są składowymi styczymi pól po stoie wewętzej, i H po stoie zewętzej. Jeśli część powiezchi S byłaby utwozoa z idealego pzewodika elektyczego (w paktyce z dobego pzewodika), to a tej części powiezchi istiałaby jedyie składowa stycza pola magetyczego ówoważoa pądem elektyczym. Na pozostałej części powiezchi S, p. a powiezchi otwou w pzewodiku elektyczym istiałyby jedak składowe stycze obu pądów. Należy admieić, że obsewato miezący pole elektomagetycze pomieiowae pzez ateę ie może stwiedzić, czy pole pochodzi od pądów płyących w pzewodikach, czy też od pądów ekwiwaletych wedle wzoów (.) i (.). Rys. 3 Zasada ekwiwaletości w zastosowaiu do atey paaboliczej Pzy pojektowaiu iektóych typów ate omówioa wyżej zasada ekwiwaletości zajduje bezpośedie zastosowaie. Na pzykład pzy pojektowaiu atey paaboliczej (ys. 3), możliwe jest wyzaczeie ozkładu pól w płaszczyźie apetuy tej atey w miejsce ozkładu pądów a powiezchi paaboloidy. Zasada ta zajduje ówież zastosowaie w mieictwie chaakteystyk atey. Moża a pzykład/ pomiezyć ozkład pola bliskiego atey i astępie a podstawie wyików pomiau wyzaczyć chaakteystyki pola dalekiego a dodze obliczeń.
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate..4. Rówaia Maxwella i potecjały wektoowe Pzy pojektowaiu ate zazwyczaj zakłada się, że pzebiegi czasowe są hamoicze. j t Jeśli pzebieg hamoiczy pzedstawić pzebiegiem zespoloym e ω, to opeato óżiczkowy moża zastąpić możeiem pzez opeato j ω. Stąd wyika, że dla t pzebiegów hamoiczych ówaia Maxwella dla ośodka bez stat pzyjmują postać: m jωμh (.9) H i jωε (.) D ρ e (.) B ρ m (.) gdzie: m oaz i są gęstościami magetyczego i elektyczego pądów objętościowych pzewodzeia, ρ m ρ e są gęstościami ładuków magetyczego oaz elektyczego. Rówaia ciągłości pól (.) oaz (.) moża ówież zapisać w fomie: i jρ e m jρ m (.3) (.4) W techice ateowej zadaie polega a wyzaczeiu a podstawie ówań Maxwella składowych pola elektyczego i magetyczego wytwozoych w pzestzei otaczającej ateę. Zadaie to wygodie jest wykoać posługując się pojęciem potecjałów wektoowych. Jak wiadomo, polu elektostatyczemu lub magetostatyczemu związaych z ieuchomymi ładukami elektyczymi moża pzypoządkować potecjały skalae wyażoe wzoami: potecjał elektyczy Φ 4πε zaś potecjał magetyczy e jk e ρ e dv (.5) Φ 4πμ e jk m ρ m Symbolem k ozaczoo tutaj współczyik popagacji w póżi. dv (.6) Pojęcie potecjału moża ozszezyć a pola zmiee w czasie związae z uchem ładuków, czyli pzepływem pądów. W tym pzypadku potecjały są wektoami wyażającymi się wzoami zestawioymi w tabl.. Tablica dotyczy źódeł tójwymiaowych (gęstość pądów objętościowego elektyczego[a/m], bądź magetyczego [V/m]), dwuwymiaowych (gęstość pądów powiezchiowych odpowiedio [A/m], bądź [V/m]) i jedowymiaowych (pądy w A lub V wzdłuż pzewodików ieskończeie ciekich). 3
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. Wektoowy potecjał magetyczy A elektyczy F Tabl. Potecjały wektoowe źódeł Źódło tójwymiaowe dwuwymiaowe jedowymiaowe jk jk jk μ ie μ Je μ Ie dv ds 4π 4π dz 4π ε 4π me jk dv jk ε Ke ε Me ds 4π 4π jk dz (.7) (.8) Sposób całkowaia objaśia ys. 4. Pzy całkowaiu zmiee są współzęde x', y', z' puktu Q leżącego w elemecie dv, lub ds, lub dz, a iezmiee współzęde puktu P, dla któego wyzacza się watość potecjału wektoowego. Obsza całkowaia ozciąga się a wszystkie pukty Q wchodzące w skład źódła (atey) lub źódła zastępczego (pzy zastosowaiu zasady ekwiwaletości). Pzydatość pojęcia potecjałów wektoowych wyika z podaych iżej wzoów, pozwalających wyzaczyć atężeie pól oaz H w pukcie P w zależości od ozkładu potecjałów wektoowych w otoczeiu tego puktu. Należy zwócić uwagę, że zaówo atężeie pola elektyczego jak i magetyczego mają dwie składowe, z któych jeda uzależioa jest od ozkładu potecjału elektyczego F, a duga od ozkładu potecjału magetyczego A, czyli: oaz m e (.9) H H m H e (.) Rys. 4 Sposób całkowaia pzy wyzaczaiu potecjału wektoowego dla puktu P Koketie wektoy atężeń pól i H moża wyzaczyć za pomocą astępujących opeacji óżiczkowych: 4
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. j F A ε ωμε (.) Składowe z ideksem m idukowae są pzez pądy magetycze, a z ideksem e pzez pądy elektycze. Rzecz jasa, że opeacje óżiczkowe dotyczą współzędych (x, y, z) puktu P. W liteatuze dotyczącej teoii ate stosuje się iekiedy pojęcie wektoa Hetza P, okeśloego ówaiem P A εμ jωεμp (.3) t jak ówież wektoa Fitzgealda Q, okeśloego ówaiem: Q F εμ jωεμq (.4) t Wyika stąd, że potecjał wektoowy magetyczy jest pochodą czasową wektoa Hetza, a potecjał wektoowy elektyczy wektoa Fitzgealda..5. Źódła komplemetae (duale) oaz zasada Babieta Źódło wytwazające pole elektomagetycze wyłączie pzez pzepływ pądów elektyczych azywae jest źódłem elektyczym i odpowiedio - pzez pzepływ wyłączie pądu magetyczego - źódłem magetyczym. Każdemu źódłu elektyczemu moża pzypoządkować komplemetae (duale lub dopełiające) źódło magetycze. Pzykładem dwóch źódeł komplemetaych jest dipol półfalowy elektyczy (ys..5) i dipol magetyczy, któy moża zealizować za pomocą szczeliy w powiezchi pzewodika elektyczego (atea szczeliowa). - Rys. 5 Dipol elektyczy i komplemetay do iego dipol magetyczy (atea szczeliowa) 5
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. Należy zazaczyć, że ówież geometyczie dipol elektyczy dopełia płaszczyzę, w któej wycięta jest szczelia. Źódłom mieszaym ówież moża pzypoządkować źódła komplemetae, zastępując pądy elektycze magetyczymi i a odwót. Pzy pzejściu od źódeł elektyczych do magetyczych obowiązują astępujące elacje duale (tabl. ). Relacje te wyikają bezpośedio z symetyczej budowy ówań Maxwella. Rówaia te moża apisać w postaci dwóch kompletów wzoów: H e i jωε e m m jωμh m e jωμh e H m jωεm (.6) (.7) H (.8) e m e ρ e ε H m ρ m μ (.9) Wielkość Tabl. Tasfomacja systemów System elektyczy System magetyczy Gęstość ładuku ρ ρ m Gęstość objętościowa i m pądu powiezchiowa J K Pąd I M Potecjał (patz wzoy Φ e Φ m.5 i.6) Natężeia pól e H m H e - m Pzeikalości ε μ μ ε Pzewodości σ σ m Impedacja Admitacja Admitacja Impedacja 6
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. Jak widać, wielkości magetycze (z ideksem m) mogą być pzetasfomowae w elektycze (z ideksem e) wedle zależości: m μ H ε e H ez ε H m e ey μ Z μ m i iz ε e o (.9) (.3) (.3) μ ρ m ρ ρz (.3) ε gdzie Y i Z są odpowiedio admitacją i impedacją falową ośodka jedoodego. Jeśli impedacja wejściowa daego źódła jest ówa Z, a źódła komplemetaego Z, to obowiązuje zależość: Z Z Z (.33) 4 Moża wpowadzić pojęcie źódeł samokomplemetaych. Źódła te wykazują idetyczą impedację wejściową Z. Z Z Z (.34) Rys. 6 Pzykłady stuktu samokomlemetaych 7
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. Pzykłady źódeł o stuktuze samokomplemetaej uwidoczioo a ys. 6. Ważą cechą tego typu źódeł jest iezależość impedacji wejściowej od częstotliwości. Dlatego tego odzaju stuktuy są dogode dla ealizacji ate szeokopasmowych Pojęcie komplemetaości ma istote zaczeie pzy pojektowaiu ate, gdyż jeśli zae jest pole elektomagetycze wytwazae pzez daą ateę, to pole dla atey komplemetaej moża wyzaczyć bezpośedio z elacji komplemetaych wg tabl. oaz wzoów (.9 -.5). Z elacji tych wyika ówież tzw. zasada Babieta. Zasadę tę ilustuje ys. 6 źódło S wytwaza w wolej pzestzei pole, zaś źódło komplemetae S - pole. Po wpowadzeiu pzysło, jak a, ys. 6 czyli dla źódła S płaszczyzy metalowej, a dla źódła komplemetaego - pzysłoy komplemetaej (płaszczyzy z otwoem), źódło S wytwaza pole, a źódło S - pole. Wedle zasady Babieta, w tym pzypadku obowiązuje zależość (.35).6. Zasada wzajemości W teoii czwóików liiowych zaa jest zasada wzajemości polegająca a tym, że chaakteystyki czwóika ie ulegają zmiaie pzy zamiaie miejscami źódła i obciążeia. Rys. 7 Układ dwóch ate oaz zastępczy czwóik W zastosowaiu do ate z zasady tej wyika, że paamety atey pozostają te same pzy adawaiu i odbioze. Zasadę wzajemości w zastosowaiu do ate objaśia ys. 7 Uwidoczioo tam zespół dwóch ate i zastępczy czwóik. Z zasady wzajemości wyika, że impedacje wzajeme zdefiiowae wzoami: są sobie ówe, czyli Z Z U U ( I ) (.36) I U Z ( I ) (.37) I 8
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. Zasada wzajemości może być udowodioa a podstawie ówaia Maxwella. W szczególości, jeśli w ateie piewszej płyą pądy I, M, któe wytwazają pole, H, i aalogiczie w ateie dugiej płyą pądy I, M, któe wytwazają pola odpowiedio, H, to moża wykazać, że spełioa jest zależość: ( I H M ) dv ( I H M ) dv (.38) Całka po lewej stoie jest miaą eakcji pola atey a pądy w ateie i aalogiczie całka po pawej stoie jest miaą eakcji pola atey dugiej a pądy atey piewszej. Zgodie z zasadą wzajemości, eakcje te muszą być jedakowe. Zasada wzajemości obowiązuje jedak tylko dla układów liiowych, bilatealych. W pzypadku układów ieliiowych lub liiowych uilatealych zasada wzajemości ie obowiązuje..7. Zależości eegetycze w polu elektomagetyczym. Wekto Poytiga Jak wiadomo, w pola elektostatyczym o atężeiu, eegia zmagazyowaa w jedostce objętości wyaża się wzoem ε zaś w polu mageto statyczym o atężeiu H We [J/m 3 ] (.39) μ H Wm [J/m 3 ] (.4) Jeśli pole elektostatycze istieje w ośodku o pzewodości elektyczej σ e, to w jedostce objętości oaz w jedostce czasu pzetwaza się a ciepło eegia okeśloa wzoem W σ e se I [W/m 3 ] (.4) Aalogiczie w polu mageto statyczym w ośodku o pzewodości magetyczej σ m : W σ H m sm HM [W/m 3 ] (.4) Całkowita eegia pzetwazaa a ciepło w ośodku wykazującym pzewodość zaówo elektyczą jak i magetyczą jest zatem: W s W se W sm σ e σ H m [W/m 3 ] (.43) Pzed opisem zależości eegetyczych w polu elektomagetyczym atey ależy zazaczyć, że atea może być epezetowaa jako ezoato, w otoczeiu któego w polu elektyczym oaz w polu magetyczym zmagazyowaa jest eegia opisaa zależościami (.59) i (.4). Pzy hamoiczej zmiaie w czasie tych pól ma miejsce peiodycze pzelewaie się eegii pola elektyczego w eegię pola magetyczego i a odwót. Takie pzelewaie się eegii ma miejsce w fali stojącej, czyli w pzestzei sąsiadującej z ateą istieje w tym pzypadku fala stojąca. Poieważ ozpatujemy sta ustaloy pzy zasilaiu atey ze źódła pzebiegu hamoiczego, eegia, zawata w fali stojącej musi być dostaczoa w okesie aastaia pola pzy włączeiu źódła. Natomiast zjawisko pomieiowaia eegii pzez ateę polega a uoszeiu tej eegii z otoczeia atey pzez 9
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. falę bieżącą. Poadto może zachodzić pzemiaa eegii elektomagetyczej a eegię cieplą wedle paw (,4) i (.4). Chwilowa gęstość mocy pomieiowaej okeśloa jest pzez wekto Poytiga zdefiioway zależością σ H [W/m ] (.44) s Wekto te jest postopadły do płaszczyzy, w któej leżą wektoy i H. W polu pomieiowaia, to jest w dostateczej odległości od atey, wektoy, H i σ s '- są do siebie postopadłe i twozą układ pawoskęty (ys,.9). Wektoy i H zmieiają się czasowo w tej samej fazie, czyli w pewym pukcie pzestzei y y cos ( ω t ϕ ) oaz H H cos ( ω t ϕ z z ) (, H - amplitudy). Watość chwilowa modułu wektoa Poytiga wyaża się zatem wzoem: σ s H xh z cos ( ωt ϕ ) (.45) Watość śedia za okes jest ówa: zh z σ s H [W/m ] (.46) gdyż jak wiadomo watość śedia za okes cos ( ωt ϕ ). Poieważ w polu pomieiowaia amplitudy obu pól związae są zależością Z H y z (.47) więc dlatego zależość (.46) moża pzedstawić w postaci y H zz σ s [W/m ] (.48) Z Watość mocy wypomieiowaej pzez ateę moża wyzaczyć całkując składową omalą wektoa Poytiga (.46) po powiezchi zamkiętej otaczającej ateę, czyli P σ s ds S [W] (.49) gdzie - wekto omaly do powiezchi S. Jeśli jest długością pomieia łączącego elemet powiezchi czoła fali ds z ateą, to watość: U σ s [W/S] (.5) gdzie U jest gęstością kątową mocy pomieiowaej w kieuku, a watość mocy pomieiowaej obliczamy ze wzou: P 4π UdΩ gdzie dω jest elemetaym kątem byłowym. [W] (.5) Bilas eegetyczy w polu elektomagetyczym atey ujmuje twiedzeie Poytiga sfomułowae astępująco: Jeśli ozpatujemy obsza V w otoczeiu atey zamkięty powiezchią S, to suma eegii pzetwozoej w obszaze V a ciepło oaz wypomieiowaej z tego obszau pzez powiezchię S a zewątz jest ówa ubytkowi eegii zmagazyowaej w polu elektomagetyczym w tym obszaze.
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. Twiedzeie to opisae jest astępującą, zależością: t V V ε μ H dv ( σ σ m H ) dv [ H ] S ds (.5) Pochoda czasowa całki objętościowej po lewej stoie epezetuje ubytek eegii zmagazyowaej w polu w obszaze V.. Całka objętościowa po stoie pawej epezetuje moc stat w obszaze V, a całka powiezchiowa moc pomieiowaą, zgodie z (.49). 3. Wyzaczaie pola elektomagetyczego wokół ate 3.. Obliczaie składowych pól elektomagetyczych za pomocą potecjałów wektoowych. Potecjały opóźioe Defiicja potecjału wektoowego magetyczego. μ H B A j j (3.) H A j μ (3.) po zóżiczkowaiu ówaia (3.) otzymujemy H A (3.3) j μ Podstawiając do ówaia Maxwella otzymujemy d j H J ε (3.4) j dt dla pzebiegów hamoiczych ówaie (3.4) pzybiea postać: H J jωε (3.5) j j i dalej: J j ωε A (3.6) j μ W obszaze gdzie J otzymujemy: j A (3.7) j ωεμ Aalogiczie dla pądów magetyczych: Wzó defiicyjy a elektyczy potecjał wektoowy F (3.8) m ε podstawiając do wzou Maxwella: K jωμh (3.9) m m otzymujemy: H j F (3.) m ωεμ Razem:
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. F j A (3.) ε ωεμ H A j F (3.) μ ωεμ Potecjały wektoowe wyzacza się z astępujących wzoów: potecjał magetyczy A: jk ' μ Je A dv (3.3) 4π v ' potecjał elektyczy F: jk ' ε Ke F dv (3.4) 4π v ' 3.. Obliczaie atężeia pola w stefie dalekiej Rys. 8 Zależość pola w stefie dalekiej od pola w stefie bliskiej A χa oaz F χf gdzie: ` e k χ (3.5) `
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. 3 ( ) ( ) ` ` ` 4 dv P i jk e A π μ (3.6) ( ) ( ) ` ` ` 4 dv P m jk e F π ε (3.7) gdzie i(p`) jest gęstością pądu elektyczego, m(p`).jest gęstością pądu magetyczego w otoczeiu puktu P`. z y x ( ) ( ) ( ) ` ` ` ` z z y y x x (3.8) (3.9) cosθ ` q q q ( ) ( ) A F ωμε ε (3.) ( ) ( ) F A H ωμε μ (3.) A jk jk j F jk ωμε ε (3.) A Z F jk ε (3.3) F jk jk j A jk H ωμε μ (3.4)
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. 4 F Z A jk H μ (3.5) jeżeli: ( ) ( ) ( ) ( )m P m P i P P i ` `, ` ` α α (3.6) to: (3.7), g gdzie: i Z m jk 4π (3.8) chaakteystyką elemetaego wycika pzestzei z pądem i zaś (3.9) ( ) ( ) ` ` ` dv e P jk g α poieważ: Az A A z y x y x z y x A (3.3) oaz siδ cosϕ x ϕ siδ si y δ si z (3.3)
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. x y z A y x y ϕ a ctg δ a ctg x z (3.3) δ ϕ siδ siδ (3.33) δ ϕ A A δ Aϕ δ ϕ δ ϕ si siδ δ siδ siδ A jk jk jk jk jk A A A A A A A δ ϕ δ ϕ (3.34) Dla fali płaskiej m Z i jk 4π i m oaz (3.35) jk Z i Z i 4π jωμ i 4π (3.36) (3.37) Pzyjmując w układzie współzędych x,y,z, że kieuek z, oaz odpowiedio i x i x y i y to po pzejściu a układ współzędych sfeyczych,δ,ψ, otzymujemy jωμ ( cosδ ) δ( ix cosψ i y siψ ) ψ( ix siψ i y cosψ ) (3.38) 4π 5
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. 4. Pomieiowaie gupy wibatoów 4.. Pzypadek ogóly z P m x Q v y Rys. 9 Gupa wibatoów gdzie: jβ jβ μ μ e e ( ) ( ) ( ) (4.) μ μ μ μ jest wektoem jedostkowym, μ [ Qμ, P], [ Q, P] Dla pocesu tłumieia fali kulistej pzyjmujemy μ Suma wypadkowa pola elektyczego od wszystkich wibatoów pzyjmuje postać: jβ N μ e () () μ μ Podstawiając χ e jβ otzymujemy: ( ) ( ) (4.) N jβ μ χ e (4.3) μ μ 6
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. Po zomowaiu chaakteystyki pomieiowaia gupy wibatoów otzymujemy: N μ μ ( ) ( ) jβ μ e jϕ μ gdzie ( ) ( ) e μ μ jest chaakteystykami zespoloymi pomieiowaia poszczególych elemetów atey złożoej. μ ( ) jest amplitudową chaakteystyka pomieiowaia μ-tego elemetu, ϕ μ ( ) jest fazową chaakteystyka pomieiowaia μ-tego elemetu. (4.4) Pzypadek gupy idetyczych i jedakowo ukieukowaych elemetów składowych atey złożoej. Chaakteystykę pomieiowaia elemetu moża pzedstawić w postaci: gdzie μ ( ) ( ) A μ (4.5) ( ) jest idywidualą amplitudową chaakteystyką pomieiowaia, μ μ jϕ μ A A e jest amplitudą zespoloą zasilaia μ-tego elemetu. Wtedy chaakteystykę pomieiowaia atey zespoloej moża pzedstawić w postaci: w któym: ( ) ( ) ( ) * (4.6) g g ( ) N A e μ μ jβ μ (4.7) 7
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. 4.. Pomieiowaie gupy liiowej d θ 3 N dcosθ Rys. Liiowa gupa wibatoów w układzie jedowymiaowym Chaakteystyka gupowa gupy liiowej opisaa jest wzoem: ( ) N ( ) j[ β μ d cosθ ϕ A e ] μ μ μ θ (4.8) jϕ μ gdzie A e jest zespoloym pądem w μ-tym elemecie, a A tzw. amplitudą μ μ zespoloą. W pzypadku gdy A A A, oaz ϕ μ ( μ )ϕ (4.9) μ moża wpowadzić ową zmieą: πd u ( β d cosθ ϕ ) cosθ ϕ (4.) λ co po podstawieiu daje: m ( u) e j μ u μ (4.) j u Jest to suma m elemetów postępu geometyczego z iloazem e, któą moża pzedstawić w postaci: si mu ( u) (4.) siu a po zomowaiu: si mu ( u) (4.3) msiu Ta fukcja jest peiodycza z okesem π i symetycza względem watości u. Maksyma tej fukcji występują dla u ; ± π ; ± π a pukty zeowe występują dla: 8
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. u ± π ; ± π π ; ± π π itd. (4.4) m m m dla,,...m -. Chaakteystyka pomieiowaia jest okeśloa dla pzedziału kąta θ: o θ 8 o co okeśla pzedział zmieej u (4.5) πd ϕ πd ϕ u (4.6) λ λ Z powyższej zależości moża wyzaczyć kieuki maksymalego pomieiowaia ϕ u θ 9 o dla: m ϕλ ϕ ϕ accos m πd (4.7) co dla pomieiowaia wzdłużego daje wauek dla poskoku fazy a stuktuze gupy liiowej: ϕ βd. (4.8) Dla dużej liczby elemetów stuktuy moża pzyjąć, że: siu u (4.9) i wtedy otzymujemy si mu (4.) mu okeślając długość jako Lmd moża okeślić szeokość listka główego dla ϕ si x z własości fukcji x λ λ α,88, 88 (4.) md L 9
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. 4.3. Pomieiowaie gupy liiowej - układ dwuwymiaowy z θ y x ϕ Rys. Liiowa gupa wibatoów w układzie dwuwymiaowym simu siu ( ϕ, θ ) msiu siu (4.) gdzie π ϕ u d cos ϕ cosθ λ (4.3) π ϕ u d siϕ cosθ λ (4.4) oaz ostateczie * g gx gy (4.5) 3
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. 4.4. Pomieiowaie gupy liiowej - układ tójwymiaowy Rys. Liiowa gupa wibatoów w układzie tójwymiaowym si mu si u si su ( ϕ, θ ) 3 msiu siu ssiu 3 (4.6) gdzie: π ϕ u d 3 si θ 3 3 λ (4.7) i tak jak upzedio: * * g gx gy gz (4.8) gdzie: m jβ μ d cosϕ cosθ A e x gx μ μ (4.9) gy gz m jβ ν d siϕ cosθ y A e ν ν m jβ σ d siθ A e z s σ (4.3) (4.3) 3
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. 5. Zastosowaie tasfomaty Fouiea w aalizie i sytezie ate Rozpatujemy ozkład pola w apetuze w postaci: ( x, y) ( x) ( y), (5.) W pzypadku apetuy postokątej pole stefie dalekiej w płaszczyźie ma postać: jk e λ ( θ ) j ( x) ( y) S po zamiaie całki podwójej a dwie liiowe: e jk a x y jky siθ e dxdy, jky siθ ( θ ) j ( x) dx ( y) e dy, λ a x b b Piewsza całka ie zależy od kąta θ, więc moża powyższą zależość pzedstawić w postaci : i dalej: jky siθ ( θ ) ( y) e dy, x y jky siθ ( siθ ) ( y) e dy, x y Wyżej pzedstawioa zależość odpowiada pzekształceiu Fouiea. Wyika z tego, że: ozkład pola (lub pądu) w ateie jest związay z chaakteystyką pomieiowaia pzekształceiem Fouiea. y (5.) (5.3) (5.4) (5.5) 3
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. Dla ozkładu ówomieego (x,y) mamy: x oaz y (y) wyik pzekształceia Fouiea w płaszczyźie ma postać: πb si siθ λ (5.6) πb siθ λ Postać ta jest idetycza jak w pzypadku apetuy postokątej. 33
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. Rys. 3 Zależość kształtu chaakteystyki pomieiowaia elemetu atey od ozkładu atężeia pądu w tym elemecie 34
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. Rys. 4 Zależość chaakteystyki kieukowej gupy liiowej w układzie jedowymiaowym od amplitud apięć zasilaia elemetów pomieiujących 35
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. 6. Podstawowe zasady ateowe 6.. Zasada Huyhesa Podczas popagacji fali elektomagetyczej (i ie tylko) każdy pukt pzestzei, do któego dotze fala, staje się źódłem owej fali kulistej. 6.. Zasada ekwiwaletości Każdą stuktuę ateową wywołującą zay ozkład pola elektyczego i pola magetyczego H moża zamieić powiezchią zamkiętą, otaczającą tą stuktuę, a powiezchi któej możemy okeślić zastępczy ozkład pądów powiezchiowych: i H m (6.) s s Powiezchia ta zastępuje stuktuę ateową poddawaą aalizie. Pądy a powiezchi odpowiedio dobaej wyzacza się popzez pzepowadzeie pomiaów. Dalszą aalizę atey pzepowadza się w opaciu o ozkład pądów zastępczych. W te sposób ówież wpowadza się hipotetycze pądy magetycze. 6.3. Zasada supepozycji Zasada supepozycji dotyczy stuktu liiowych. Wszystkie składowe widma mogą być ozpatywae osobo, a w ostateczym etapie aalizy mogą być sumowae. 6.4. Zasada wzajemości Atey adawczą i odbioczą i ośodek pomiędzy imi możemy taktować jako czwóik liiowy biey. Rys. 5 System ate jako czwóik liiowy Czwóik taki możemy opisać w zay sposób odpowiedimi maciezami. Własości czwóika ie zależą od tego, któe zaciski uzamy za wejściowe, a któe za wyjściowe. 36
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. Ateę adawczą możemy taktować jako odbioczą i odwotie. Takie podejście jest iezmieie użytecze podczas pojektowaia i pomiaów ate. 6.5. Zasada Babieta Zasada ta dotyczy stuktu komplemetaych (dualych), czyli wzajemie uzupełiających się. Tabl. 3 System elektyczy ρ i v, i s I Tasfomacja stuktu komplemetaych System magetyczy ρ m m v, m s M K e H e μ ε H m -K m ε μ δ e δ m Z, Y Y, Z 37
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. Rys. 6 Ilustacja zasady Babieta. Dla układu pzedstawioego a ys. 6 obowiązuje zależość według zasady Babieta. (6.) 7. Podstawowe własości i paamety ate 7.. Pojęcia podstawowe 7... Popagacja w wolej pzestzei PN S 4πd (7.) S- gęstość mocy w Wm - P N - moc w W d- odległość w m 38
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. albo w postaci logaytmiczej, S 4 PN log d gdzie wielkości podawae są w decybelach; S- gęstość mocy w stosuku do Wm- PN- moc w stosuku do kw d- odległość w km Natężeie pola elektyczego fali pomieiowaej izotopowo jest dae pzez: 3PN π S (7.) d Natomiast w jedostkach paktyczych kw, km, mv/m itp. mv m 73 k kw (7.3) d G km P Tabl. 4 Zyski pzykładowych ate Rodzaj atey G k G k (db) Siła em. (kw) [V] Atea izotopowa 73 Dipol Hetza w wolej pzestzei,5,75 Dipol półfalowy,65,5 Dipol Hetza pioowy ad ziemią. 3 4,8 3 doskoale pzewodzącą Atea pioowa ćwiećfalowa ad 3,3 5, 34 ziemią doskoale pzewodzącą 7... Wekto Poytiga Atea pomieiując moc P N wytwaza wokół siebie w tzw. stefie dalekiej pole wektoowe gęstości mocy chaakteyzowae wektoem Poytiga S. 39
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. Rys. 7 Tiplet wektoów, H, S Zespoloy wekto Poytiga jest opisay wzoem: S H (7.4) a jego część zeczywista S Re( S ) (7.5) epezetuje uśedioą w czasie powiezchiową gęstość mocy. Dla atey izotopowej moduł wektoa Poytiga moża obliczyć ze wzou: 7..3. Itesywość pomieiowaia PN S [W/m ] (7.6) 4πd Wekto Poytiga okeśla gęstość powiezchiową mocy w odległości d od atey, atomiast, aby okeślić itesywość pomieiowaia atey stosuje się wielkość okeślająca moc pomieiowaa w jedostkowym kącie byłowym. Ta wielkość okeśloa jest wzoem: ietudo zauważyć, że P U N [W/s] (7.7) 4π U Sd. 7..4. Stumień wektoa pola Jeżeli w polu wektoowym umieścimy amkę o powiezchi A, to stumień wektoa pola okeśla moc pzepływającą pzez tą powiezchię. P st S A SAcosϕ (7.8) 4
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. 7.. Podstawowe paamety ate 7... Chaakteystyka pomieiowaia Defiicja: Chaakteystyka pomieiowaia jest to figua geometycza opisaa końcem wektoa, któego początek umieszczoy jest w początku bieguowego układu współzędych, a jego długość jest popocjoala do itesywości pomieiowaia atey w jego zwocie. Rys. 8 Pzykład chaakteystyki pomieiowaia atey. Jedostką chaakteystyki pomieiowaia tak zdefiiowaej jest W/s. Pzykład chaakteystyki pomieiowaia pzedstawioy jest a Rys.. Całka chaakteystyki pomieiowaia w układzie bezstatym, po pełym kącie byłowym jest ówa mocy wypomieiowaej pzez ateę. W paktyce często stosuje się chaakteystyki pomieiowaia zomowae do jej watości maksymalej, wtedy gdy istote jest pzedstawieie własości kieukowych atey a ie jej stau elektyczego. Alteatywie stosuje się chaakteystyki pomieiowaia okeślające atężeie pola elektyczego w fukcji kieuku i odległości. 7... Chaakteystyka kieukowa fazowa i polayzacyja Chaakteystyka ta okeśla óżicę faz fali pomieiowaej w daym kieuku i fali pomieiowaej w kieuku odiesieia. Chaakteystyka kieukowa polayzacyja okeśla zależość od kieuku polayzacji fali pomieiowaej. Chaakteystyka kieukowa atey odbioczej dotyczy fali płaskiej padającej a ateę i dopasowaej polayzacyjie (patz: polayzacja atey). Chaakteystyka ta jest zależością mocy dyspoowalej a obciążaiu atey vi zależości od kieuku padaia fali płaskiej. Na podstawie zasady wzajemości moża wykazać, że chaakteystyki kieukowe (adawca i odbiocza tej samej atey) są jedakowe. W paktyce diagamy kieukowości są pzedstawiae ie tylko we współzędych sfeyczych, a a ie sposoby, p. we współzędych postokątych, gdzie a osi odciętych odkłada się kąt (ϕ lub θ, a a osi zędych w skali logaytmiczej watość lub S. 4
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. 7..3. Zysk kieukowy Defiicja: Zysk kieukowy jest to stosuek maksymalej itesywości pomieiowaia daej atey do maksymalej itesywości pomieiowaia atey odiesieia. (, φ ) ( θ φ ) U G θ (7.9) max, U od max Rys. 9 Ilustacje defiicji zysku kieukowego Najczęściej ateą odiesieia jest atea izotopowa i wtedy maksymala itesywości pomieiowaia atey odiesieia jest ówa mocy śediej atey w kącie byłowym. max ( θ, φ) ( θ, φ) dω 4πU G ( θ, φ) (7.) U 4π Wpowadzając pojęcie zastępczego kąta byłowego B otzymujemy: ( θ, φ) ( θ φ ) Ω U B d U 4π max, (7.) G k 4π B (7.) Itepetacją zastępczego kąta byłowego jest kąt, w któym atea pomieiuje ówomieie ze swoją itesywością maksymalą. 4
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. Dla egulaych chaakteystyk pomieiowaia: albo w stopiach: k π 4 ΔθΔφ G (7.3) k 453 G (7.4) Δθ Δφ Pzykład: Zysk kieukowy dipola elemetaego. ππ 3 8 B si ( θ ) dω si ( θ ) dθdφ π (7.5) 3 4π 4 π G,5 B (7.6) 7..4. Zysk eegetyczy Dla ate statych defiiuje się zysk eegetyczy G e. jako: G η (7.7) e G k 7..5. Powiezchia czya atey (powiezchia skutecza) Dla okeśleia własości odbioczych ate defiiuje się tzw. powiezchię czyą atey. Wielkość tę defiiuje się wzoem: P A c (7.8) S W postaci wektoowej wzó powyższy pzybiea postać: P Ac S A S cosα c (7.9) Powyższe wzoy pozwalają a wyzaczeie mocy odebaej pzez ateę, a w pzypadku atey bezstatej moc tę moża uważać za dostaczoa do obciążeia. Jedak w pzypadku atey ze statami moc użytecza jest pomiejszoa o moc stat. Puż P P st (7.) Dla takiego pzypadku stosujemy pojęcie powiezchi skuteczej. Puż Ask (7.) S 43
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. Łatwo zauważyć, że Ask ηac (7.) gdzie η jest spawością atey. Jeśli atea wykazuje własości kieukowe, to w kieuku watości maksymalej chaakteystyki pomieiowaia obowiązuje zależość: oaz Gkλ A c pq (7.3) 4π G pλ A sk pq (7.4) 4π gdzie p jest współczyikiem dopasowaia polayzacyjego h p (7.5) h w któym h v jest wysokością skuteczą atey, okeślającą związek pola elektyczego z siłą elektomotoyczą e zaidukowaą w ateie w obecości pola elektomagetyczego. e hsk hsk cosα (7.6) q jest atomiast jest współczyikiem dopasowaia eegetyczego wyażoego wzoem: 4RARL q (7.7) ( R ) ( ) A RL X A X L gdzie: Z L RL jx L jest impedacją obciążeia atey, Z R jx jest impedacją wewętzą atey. A A A 7..6. Impedacja wejściowa atey Impedację wejściową atey defiiuje się aalogiczie jak dwójika. Dla liii tasmisyjej TM wielkość impedacji defiiuje się jako stosuek watości zespoloej apięci do pądu a zaciskach atey. Uˆ we Zˆ we (7.8) Iˆ we W pzypadku liii falowodowej, impedacje wejściowa defiiujemy dla modu podstawowego. 7..7. Rezystacja pomieiowaia, ezystacja stat i spawość atey Rezystację pomieiowaia atey defiiujemy wzoem gdzie P p R p P (7.9) I p jest mocą pomieiowaą, 44
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. I pądem zasilaia atey (ewetualie pądem miezoym w iym okeśloym pzewodzie atey). Moc pomieiowaą P p moża wyliczyć ze wzou Pp S da H gdzie S A A [ ] da (7.3) jest wektoem Poytiga epezetującym gęstość-mocy pzepływającej pzez elemet powiezchi da ( - wekto omaly). jest powiezchią zamkiętą, a któej okeśloy jest ozkład wektoa Poytiga S. Całka dotyczy powiezchi otaczającej ateę kulistą o dostateczie dużym pomieiu. gdzie Rezystację stat atey defiiujemy wzoem P st R st jest mocą stat atey. P I (7.3) st Rezystacja stat epezetuje moc pzetwozoą a ciepło w stuktuze atey i jej ajbliższym otoczeiu, p. w uziemieiu atey masztowej lub w otaczających ateę pzedmiotach statych. Spawość eegetycza atey okeśloa jest wzoem: P Rp η P P R R st p st (7.3) 7..8. Doboć atey Każda atea, opócz pola pomieiowaia, wytwaza pole bliskie. egia elektomagetycza pola bliskiego jest eegią eaktywą. Taktując ateę jako ezoato, moża pzypisać temu ezoatoowi doboć zdefiiowaą iloazem mocy eaktywej i mocy wypomieiowaej czyej waz z mocą stat. 7..9. Polayzacja atey Polayzację atey defiiuje się zgodie z odzajem polayzacji fali, jaka atea emituje. Rozóżia się polayzację liiową (pioową, poziomą i ukośą), kołową (pawoskęta i lewoskętą) oaz eliptyczą jako pzypadek ogóly polayzacji. 45
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. Każdą falę o okeśloej polayzacji moża taktować jako supepozycję fal o podstawowych odzajach polayzacji. 7... Ie paamety ate Defiiuje się szeeg iych paametów ate, do któych moża zaliczyć: szeokość listka główego szeokość pasma, poziom listków boczych, współczyik odbicia a wejściu atey, współczyik fali stojącej, itp. 8. Zastosowaie uogólioej metody dgań własych do badań ezoatoów otwatych i zamkiętych 8.. Wpowadzeie Uogólioa metoda dgań własych (UMDW) [,] jest badzo skuteczym azędziem do badań ezoatoów mikofalowych, zaówo zamkiętych jak i otwatych to jest ate. Metoda ta polega a tym, że ozszeza klasycze pojecie dgaia własego a miaowicie: dopuszcza ozpatywaie iych paametów (iż częstotliwość) jako watości włase. Takimi paametami mogą być impedacja falowa, pzezoczystość powiezchi ogaiczającej, pzeikalość dielektycza ośodka, elemety maciezy ozposzeia itp., umożliwia opisaie dgań wymuszoych za pomocą watości własych, zastosowaie metody do badań ezoatoów otwatych ie wosi zaczących komplikacji, wybó paametu jako wielkości własej zależy od typu ezoatoa i celu badań. Takie ozszezeie powoduje istote zalety w poówaiu z klasyczą metodą dgań własych. Dla pzykładu, w zamkiętym ezoatoze z jedoodym wętzem V ogaiczoym powiezchią S o skończoej impedacji falowej (ys. ). W pzypadku dwuwymiaowym jedoode zagadieie bzegowe dla dgań własych w podejściu klasyczym opisae jest ówaiem: z waukiem bzegowym u Δu k u (8.) w u N, (8.) 46
Tójpaametowe fomowaie chaakteystyk pomieiowaia ate. S N V Rys. Geometia ezoatoa. gdzie impedacja falowa w jest watością zadaą, k są szukaymi liczbami falowymi (dalej będą azywaymi częstotliwościami własymi), oaz u są odpowiadającymi im fukcjami własymi opisującymi ozkład pola dgań własych. Zależość pola w takim ezoatoze od częstotliwości pobudzających k w małym zakesie częstotliwości własej k opisae jest współczyikiem ( k k ). W jedym z odmia UMDW, miaowicie w metodzie impedacji własych, odpowiedie zagadieie jest opisae ówaiem: z waukiem bzegowym Δv k v (8.3) v w v N. (8.4) W tym ostatim zagadieiu częstotliwość k jest zadaa, a impedacje włase w i odpowiadające im fukcje włase v są poszukiwae. Odpowiedio, zależość pola od impedacji w powiezchi S w małym zakesie impedacji własej w opisuje współczyik ( w w ). Oczywistym jest, że gdy k k, w w to u v. W [] opisao szeeg odmia UMDW, w któych watości włase są wpowadzoe pzez óże paamety. To daje możliwość wybou waiatu w zależości od tego, wpływ któego paametu fizyczego a właściwości układu podlega badaiu. Metoda klasycza zostaje wygoda do stosowaia w badaiach zależości cech ezoatoa od częstotliwości (i to tylko w pzypadku ezoatoów zamkiętych), w iych zaś pzypadkach wygodiej jest stosować odpowiedią odmiaę UMDW. W pzypadku ezoatoów otwatych we wszystkich waiatach UMDW dgaia włase spełiają właściwe wauki pomieiowaia w ieskończoości, czego ie spełiają te dgaia w podejściu klasyczym. Podobo jak i w metodzie własych częstotliwości, główy poblem matematyczy w UMDW polega a ozwiązaiu jedoodych zagadień bzegowych typu (8.3), (8.4). W iiejszym atykule ozważae są zagadieia dotyczące ezoatoów zamkiętych i otwatych w kształcie ciała ogaiczoego powiezchią obotową. Powiezchia ta może być impedacyja (tz. chaakteyzująca się skończoą impedacją własą) lub półpzezoczystą. Zagadieia te były wpowadzoe po az piewszy w pacy [3] i astępie 47