Konspekt wykładów AFiW (wydruk 27 października 29 roku) 11 Wykład II(2X29) Abstrakcyjne przestrzenie wektorowe 1.3 Przestrzenie wektorowe i ich podprzestrzenie 1.3.1 Definicja abstrakcyjnej przestrzeni wektorowej Przypomniane wyżej przestrzenie kartezjańskie są przykładem ogólnego pojęcia przestrzeni wektorowej. Choć są to przykłady ważne, a nawet typowe w przypadku skończenie wymiarowym, to ograniczanie się do badania tylko tych przestrzeni byłoby nieproduktywne i pozbawiałoby nasze rozważania ogólności potrzebnej również w wielu sytuacjach napotykanych w zastosowaniach. Dla wygody czytelnika przedstawimy krótko tę ogólną koncepcję przestrzeni wektorowej, odsyłając po szersze wyjaśnienia i dodatkowe szczegóły do cytowanej literatury, np. podręczników Gelfanda[?], Smirnowa[?] i Sołtysiaka [?]. Definicja 1.6(Przestrzeń wektorowa nad ciałem K) Niech K będzie ciałem, a V niepustym zbiorem. Będziemy mówili, że V jest przestrzenią wektorową z ciałem skalarów K(krócej: nad ciałem K), jeśli określone są dwa odwzorowania V V (v,w) v+w V, dodawaniewektorów; (1.35) K V (λ,v) λv V, mnożeniewektoraprzezskalar. (1.36) któredladowolnychelementówu,v,w Viλ,µ Kspełniająnastępującewarunki: Własności dodawania wektorów Łączność u+(v+w)=(u+v)+w. Przemienność v+w=w+v. Istnienie elementu neutralnego Istnieje V,żedlakażdegov V +v=v. Istnienie elementu przeciwnego Własności mnożenia przez skalary Łączność λ (µ v)=(λ µ) v. Unitarność mnożenia przez skalary Dlakażdegov Vzachodzi 1 v=v. Dwa prawa rozdzielności mnożenia (λ+µ) v=λ v+µ v; λ (v+w)=λ v+λ w. Dlakażdegov Vistniejev V,że v+v =. Własności dodawania wektorów można wypowiedzieć krótko mówiąc, że zbiór V jest grupą przemienną względem dodawania. Element przeciwny do v oznacza sie zwykle v i wykazuje bez trudności,
Konspekt wykładów AFiW (wydruk 27 października 29 roku) 12 że v =( 1)v. Prawa łączności i rozdzielności mnożenia gwarantują zgodność działań wykonywanych na wektorach z tymi wykonywanymi na skalarach w szczególności pokazują one, że dla każdego wektorav zbiór K vmożnautożsamić(zzachowaniemobudziałań)zosiąliczbową Kzapomoca odwzorowania λ λv. Dodajmy jeszcze jedną uwagę o możliwości zawężenia ciała skalarów od ciała liczb zespolonych do ciała liczb rzeczywistych. Załóżmy, że dana jest przestrzeń wektorowa V nad ciałem liczb zespolonych. Korzystając z tego, że liczby rzeczywiste tworzą podciało R ciała liczb zespolonych C, można łatwoprzekonaćsię,żeograniczeniemnożenia(1.36)doodwzorowania R V (t,v) tv V spełnia wszystkie warunki wymagane od mnożenia wektorów przez skalary. W ten sposób z dowolnej przestrzeni wektorowej V nad ciałem C otrzymuje się przestrzeń wektorową nad ciałem R, oznaczaną symbolemv R,ztymsamymzbioremwektorówV,tymsamymdodawaniemwektorówimnożeniem przez skalary otrzymanym przez ograniczenie mnożenia wektorów tylko do liczb(skalarów) rzeczywistych( 4 ).PrzeprowadźmydlailustracjitękonstrukcjędlanajprostszejprzestrzenizespolonejV= C. Ponieważdowolnąliczbęzespolonąα=a+bimożnazapisaćjakoa+bi=a 1+b i,tospostrzegamy odrazu,żerzeczywistąprzestrzeń C R możnautożsamićzprzestrzenią R 2.Analogicznie,dlaV= C n otrzymamy(zdokładnościądoizomorfizmu)(c n ) R = R 2n. 1.3.2 Przestrzeń wektorowa funkcji na zbiorze X i wartościach w K Większość, jeśli nie wręcz wszystkie, przykładów przestrzeni wektorowych omawianych w tych wykładach daje się wyprowadzić z następującej ogólnej konstrukcji przestrzeni wektorowej jako przestrzeni funkcji. Symbolem F(X, K) będziemy oznaczać zbiór funkcji określonych na niepustym zbiorze X i przyjmującychwartościwwybranymcieleliczbowym K(naogółbędzietojednozciał Rlub C). W zbiorze F(X, K) rozważamy tak zwane działania punktowe suma dwóch funkcji określonych nazbiorzexiiloczyntakiejfunkcjiprzezliczbęa Ksąokreślone punktpopunkcie zgodniez następującą definicją. Definicja1.7(Przestrzeńwektorowafunkcji)Dladowolnychf,g F(X, K)oraza Ksuma f+giiloczynafsąokreślonewzorami (f+g)(x)=f(x)+g(x), (af)(x)=af(x), dla x X. (1.37) Przytychokreśleniachmamyf,g F(X, K), a K = f+g F(X, K), af F(X, K),a ponadto te działania mają wszystkie własności wymagane w definicji przestrzeni wektorowej. A zatem F(X, K) z działaniami określonymi wzorem(1.37) jest przestrzenią wektorową nad ciałem K. Przypomnijmy, że funkcje, których dziedziną jest zbiór N liczb naturalnych noszą nazwę ciągów, a bardziej szczegółowo mówimy o ciągach o wyrazach ze zbioru X dla określenia funkcji postaci f: N X.Dociągówstosujemytradycyjnąnotacjęoznaczającprzezf n wartośćciąguf: N X wpunkcien N,asamciągzapisujemywpostaci(f n )lub(f n ) n=1.jakoszczególnyprzypadek powyższej konstrukcji otrzymujemy więc przestrzeń wektorową S(R) ciągów o wyrazach z ciała R wyposażoną w punktowe działania dodawania ciągów i mnożenia ich przez liczby zgodnie ze wzorami: (x n )+(y n )=(x n +y n ); α(x n )=(αx n ), dla α R. (1.38) 4 Niecożartobliwiemówisięczasami,żejestonaotrzymanazprzestrzenizespolonejprzez zapominanie ojejzespolonej strukturze(mnożeniu przez liczbę urojoną i).
Konspekt wykładów AFiW (wydruk 27 października 29 roku) 13 W analogiczny sposób z ciągów o wyrazach zespolonych można zbudować przestrzeń S(C) z ciałem liczb zespolonych jako ciałem skalarów szczegółowe prześledzenie tej konstrukcji pozostawimy zainteresowanym czytelnikom. 1.3.3 Podprzestrzenie wektorowe nowe konstrukcje i nowe przykłady Przypomnimy krótko kilka najważniejszych dla nas pojęć algebry liniowej i ich podstawowe własności. Zaczniemy od pojęcia podprzestrzeni. Definicja 1.8(Podprzestrzeń przestrzeni wektorowej) Podprzestrzenią wektorową przestrzeni wektorowejv nad KnazywamytakipodzbiórW V,żedlakażdejparywektoróww 1,w 2 Wi każdejparyskalarówα,β Kkombinacjaliniowaαw 1 +βw 2 teżjestelementemw(jakmówimy,w jest zamknięta względem brania kombinacji liniowych swoich wektorów z dowolnymi wspólczynnikami). W konsekwencji tej definicji każdą podprzestrzeń wektorową możemy traktować jako samoistną przestrzeń wektorową, z działaniami przeniesionymi z zawierającej ją przestrzeni. Zkażdymukładem{v 1,...,v m }wektorówzprzestrzeniv związanajestpewnapodprzestrzeń wektorowa w V, zdefiniowana jako m lin{v 1,...,v m }={ t j v j t 1,...,t m K} (1.39) i nazywana podprzestrzenią rozpiętą przez ten układ. Pozostawiając czytelnikowi sprawdzenie, że jest to rzeczywiście podprzestrzeń wektorowa w V, zauważymy, że z samej kostrukcji tej przestrzeni wynika,żejestonazawartawkażdejpodprzestrzeniwektorowejzawierającejukład{v 1,...,v m }.Natej podstawiepowiadasię,żelin{v 1,...,v m }jestnajmniejsząpodprzestrzeniąwektorowąwvzawierającą ten zbiór wektorów. Interpretując szerzej tę konstrukcję możemy także rozważać przestrzeń skończonych kombinacji liniowych wektorów należących do danego zbioru E V. Tę przestrzeń będziemy także oznaczać symbolem lin{e} i nazywać przestrzenią rozpiętą(generowaną) przez ten zbiór. Ważnym punktem budowy teorii jakiejś struktury algebraicznej jest wyjaśnienie, w jaki sposób wprowadzane w niej pojęcia o charakterze algebraicznym zachowują sie w odniesieniu do czysto mnogościowych operacji części wspólnej i sumy zbiorów. W odniesieniu do pojęcia podprzestrzeni wektorowej sytuacja jest w pełni zadowalająca dla operacji brania części wspólnej, a dla sumy już nieco bardziej problematyczna. Stwierdzenie 1.6 Niech U, W będą dwiema podprzestrzeniami wektorowymi przestrzeni wektorowej V. (a)częśćwspólnau WjestpodprzestrzeniąwektorowąwV; (b)sumamnogościowau WjestpodprzestrzeniąwektorowąwV wtedyitylkowtedy,gdyu W lubw U. (c)zbióru+v ={x=u+w V u U, w W}jestnajmniejsząpodprzestrzeniąwektorową zawierającąkażdązpodprzestrzeniu,w.nazywasięjąsumąpodprzestrzeniuiw. Sformułowanie powyższe można uogólnić rozważając dowolne, niekoniecznie dwuelementowe, rodziny podprzestrzeni wektorowych ustalonej przestrzeni wektorowej V. Stwierdzenie1.7Niech{W j } j J będzierodzinąpodprzestrzeniwektorowychprzestrzeniwektorowej V.Wówczas: (a) W j jestpodprzestrzeniąwektorowąprzestrzeniwektorowejv; j J
Konspekt wykładów AFiW (wydruk 27 października 29 roku) 14 (b)najmniejsząpodprzestrzeniąwektorowąwvzawierającąsumęmnogościową lin{ j J W j }.Nazywamyjąsumąwektorowąrodzinypodprzestrzeni{W j } j J ioznaczamy W j =lin{ W j }. j J 1.3.4 Baza i wymiar przestrzeni wektorowej j J j J W j jestprzestrzeń Bodaj najważniejszą definicją elementarnej algebry liniowej jest definicja bazy przestrzeni wektorowej. Podamy tu takie jej sformułowanie, które naszym zdaniem najjaśniej wydobywa związek tego pojęcia z teorią układów równań liniowych i dzięki temu wiedzie najkrótszą drogą do praktycznych zastosowań. Definicja1.9(Bazaprzestrzeniwektorowej)Ciągwektorów{w 1,...,w n }nazywasiębaząuporządkowanąprzestrzeniwektorowejv nad K(K=Rlub C),jeślikażdywektorv V możnajednoznacznieprzedstawićwpostacikombinacjiliniowejwektoróww 1,...,w n.jeśli v= v j w j (1.4) toliczbyv j,,...,n(wyznaczonejednoznacznie)nazywamywspółrzędnymiwektoravwzględem bazy{w 1,...,w n }. Przypomnijmy także, że zbiór E V nazywamy zbiorem wektorów liniowo niezależnych(krócej, choć nie całkiem poprawnie mówi się, że jest zbiorem liniowo niezależnym), jeśli dla każdego skończonegopodzbioru{e 1,...,e k } Ejestprawdziwaimplikacja λ j e j = = λ 1 =λ 2...=λ k =. (1.41) Wniosek 1.7 Każda baza uporządkowana przestrzeni wektorowej V nad K jest zbiorem wektorów liniowoniezależnych.ponadto,jeśli{w 1,...,w n }jestbaząuporządkowanąwv,a{f 1,...,f m } V jestzbioremwektorówliniowoniezależnych,tom n. Uogólniając ten wniosek możemy powiedzieć, że baza jest maksymalnym zbiorem wektorów liniowo niezależnych w V. Konsekwentnie, wymiarem podprzestrzeni W V nazywamy największą liczbę liniowo niezależnych wektorów należących do tej podprzestrzeni. Łatwo zauważyć, że określony w ten sposób wymiar podprzestrzeni jest równy jej wymiarowi, jeśli traktować ją jako samodzielną przestrzeń wektorową. Przykłady 1.3.1 Bazy w przestrzeni kartezjańskiej. (a)ciągwektorów{e i },gdzie e 1 =(1,,,,...,), e 2 =(,1,,,...,), e 3 =(,,1,,...,),..., e n =(,,,...,1) (1.42) jestbaząwr n (takżewc n ),nazywanąbaząstandardową.współrzędnymiwektorav=(v 1,v 2,...,v n )względembazystandardowejsąliczbyv 1,v 2,...,v n.(b)pozostawiamyczytelnikowisprawdzenie,żenastępujący ciąg wektorów f 1 =(1,,,,...,), f 2 =(1,1,,,...,), f 3 =(1,1,1,,...,),..., f n =(1,1,1,...,1) (1.43) jesttakżebaząuporządkowanąw R n.
Konspekt wykładów AFiW (wydruk 27 października 29 roku) 15 1.3.5 Menażeria przestrzeni wektorowych Niżej opiszemy kilka często spotykanych przestrzeni wektorowych. Są one wszystkie, co warto podkreślić, podprzestrzeniami wektorowymi F(R, K) przestrzeni funkcji określonych na R i przyjmujących wartości w K. Przykłady1.3.2(a)Przestrzeńfunkcjiwielomianowychstopnia n.przypomnijmy,zefunkcjąwielomianową stopnia n w ciele liczb rzeczywistych R nazywamy funkcję postaci R t f(t)=f +f 1 t+f 2 t 2 +...+f n t n = f k t k R, gdzie f,f 1,...,f n R, f n. k= Dla uproszczenia, choć nie w pełni ściśle, funkcje te będziemy nazywać wielomianami zmiennej t. RozważmypodzbiórP n [t] F(R, R)złożonyzwielomianówstopnianiewiększegoniżn łatwosprawdzić, ze kombinacja liniowa takich wielomianów jest znowu wielomianem stopnia nie większego niż n(zauważmy jednak, że stopień kombinacji liniowej może być mniejszy niż stopień każdego ze składników), a więc zbiór ten jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni F(R, R). Nazywamy ją przestrzenią wielomianów rzeczywistych stopnia nie większego niż n i zazwyczaj traktujemy jako samodzielną przestrzeń wektorową. Pozostawiamy czytelnikowi sprawdzenie(oparte na wykorzystaniu standardowych własności działań w ciele R), że suma dwóch wielomianów wyraża się za pomocą ich współczynników wzorem f(t)+h(t)= f k t k + k= h k t k = k= Podobnie iloczyn wielomianu przez liczbę wyraża się wzorem ( n af(t)=a f k t )= k k= (f k +h k )t k (1.44) k= (af k )t k (1.45) k= Stąd wnioskujemy bez trudności, że P n [t]=lin{1,t,t 2,...,t n } (1.46) (b) Przestrzeń funkcji wielomianowych(dowolnego stopnia). Niech E={1,t,t 2,...,t n,...} (1.47) będzie zbiorem jednomianów wszystkich stopni zmiennej t. Oznaczmy P[t] = lin E elementami P[t] są, zgodnie z podaną wyżej definicją, wszystkie skończone kombinacje liniowe jednomianów zmiennej t, a więc funkcje wielomianowe dowolnego stopnia. Mamy tu prosty, ale bardzo ważny przykład przestrzeni wektorowej nieskończonego wymiaru. Oba powyższe przykłady można rozszerzyć rozważając funkcje wielomianowe na R o współczynnikach zespolonych. Czytelnikowi pozostawimy sprawdzenie, że wszystkie wymienione wyżej fakty dotyczące działań na wielomianach pozostają prawdziwe. (c)przestrzeńwielomianówtrygonometrycznychstopnia n.wielomianemtrygonometrycznymstopnianowspółczynnikachzciała Rnazywamyfunkcję R t w(t) R,gdzie w(t) = a +a 1 sint+b 1 cost+a 2 sin2t+b 2 cos2t+...+a n sinnt+b n cosnt = a + a k sinkt+ b k coskt, k=1 k=1 współczynnikia,a 1,b 1,...,a n,b n Roraz a n + b n.wielomianytrygonometrycznetworząpodprzestrzeń wektorową w F(R, R), którą rozpinają funkcje 1,sint,cost,sin2t,cos2t,...,sinnt,cosnt. (1.48)
Konspekt wykładów AFiW (wydruk 27 października 29 roku) 16 (d)przestrzeńzespolonychwielomianówtrygonometrycznychstopnia n.wtymprzykładzierozważamy funkcje o wartościach w ciele liczb C zespolonych i w konsekwencji dopuszczamy mnożenie przez skalary zespolone.funkcje R t w(t) Cpostaci w(t) = a n e int +...+a 1 e it +a +a 1 e it +...+a n e int = k= n a k e ikt, gdziedlak= n,...,nwspółczynnikia k Coraz a n + b n,nazywamyzespolonymwielomianem trygonometrycznym stopnia n. Nietrudno się przekonać, że funkcje e int,...,e it,1,e it,...,e int (1.49) są liniowo niezależne nad ciałem C, a zatem rozpatrywana przez nas przestrzeń ma wymiar(zespolony) 2n + 1. 1.4 Ogólne pojęcie iloczynu skalarnego i jego własności Własności iloczynu skalarnego wymienione w Stwierdzeniu(1.4) przyjmuje się jako własności definiująceiloczynskalarnywdowolnejprzestrzeniwektorowejnadciałemliczbrzeczywistych R( 5 ). Definicja 1.1(Iloczyn skalarny) Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem R, niekoniecznie skończenie wymiarową. Iloczynem skalarnym w przestrzeni V nazywamy odwzorowanie V V (v,w) (v w) R spełniającedlakażdychv 1,v 2,v,w Viα,β Rwarunki: i) (v w)=(w v); (symetria) ii) (αv 1 +βv 2 w)=α(v 1 w)+β(v 2 w); (liniowośćwzg.pierwszegoargumentu) iii) (v v) ; ponadto (v v)= v=; (dodatniaokreśloność). (1.5) Przestrzeń wektorową V nad ciałem R z wyróżnionym iloczynem skalarnym nazywamy(abstrakcyjną) przestrzenią euklidesową, lub rzeczywistą przestrzenią prehilbertowską. Dla podkreślenia, że rozważamy przestrzeń V z wybranym(i ustalonym) iloczynem skalarnym oznaczanym przez(w v) będziemy pisać (V,( )). Zauważmy, że z liniowości względem pierwszego czynnika i symetrii wynika, że iloczyn skalarny jest liniowy również jako funkcja drugiego argumentu. Rzeczywiście, mamy (w αv 1 +βv 2 ) = (αv 1 +βv 2 w)=α(v 1 w)+β(v 2 w)= = α(w v 1 )+β(w v 2 ) Wniosek 1.8 Dla dowolnych wektorów v, w V jest spełniona nierówność Schwarza (v w) (v v) 1/2 (w w) 1/2, (1.51) przyczymobiestronyw(1.51)sąrównewtedyitylkowtedy,gdywektoryviwsąwspółliniowe. 5 Własnościiloczynuskalarnegodlaprzestrzeniwektorowychzciałemliczbzespolonych Cjakociałemskalarówsą niecoinneiwtymmiejscuniebędziemyichomawiać.
Konspekt wykładów AFiW (wydruk 27 października 29 roku) 17 Podobniejakwprzypadku kropkowego iloczynuskalarnegowr n możnawykazać,wykorzystując miedzyinnymipowyższąnierównośćschwarza,żefunkcjav (v v) 1/2 mawszystkiewłasnościnormy euklidesowej. Stwierdzenie1.8NiechV będzieprzestrzeniąwektorowąnadciałem K(K=Rlub K=C)z iloczynem skalarnym oznaczanym(v w). Funkcja V v v =(v v) 1/2 R (1.52) ma własności dodatniej określoności i bezwzględnej jednorodności, a także spełnia nierówność trójkąta (por. Twierdzenie 1.4(c)). Definicja 1.11(Norma indukowana przez iloczyn skalarny) Jeśli w przestrzeni V wybrany jest iloczyn skalarny, to funkcję V v v =(v v) 1/2 R (1.53) nazywa się normą w przestrzeni V indukowaną przez iloczyn skalarny(v w). 1.4.1 Przykłady iloczynu skalarnego w przestrzeniach funkcyjnych. (a)jakoiloczynskalarnywprzestrzenip n [t]przyjmujemyzazwyczajwyrażenie P n [t] P n [t] (p,q) (p q)= 1 1 p(t)q(t) dt, (1.54) choć wybór przedziału całkowania po prawej jest sprawą konwencji i może być dopasowywany do konkretnego zastosowania. Pozostawiamy czytelnikowi łatwe sprawdzenie, że tak określona funkcja ma wszystkie wymagane od iloczynu skalarnego własności. (b) Jako iloczyn skalarny w przestrzeni wielomianów trygonometrycznych przyjmujemy zazwyczaj wyrażenie (w 1 w 2 )= choćitumożliwesąinnewybory. w 1 (t)w 2 (t)dt (c) Ogólniej, w przestrzeni funkcji o wartościach rzeczywistych, określonych i ciągłych na odcinku [a,b] R,jakoiloczynskalarnyprzyjmujesięwyrażenie (f g)= b a f(t)g(t)dt, f,g C([a,b]). (1.55) Własności algebraiczne(liniowość i symetria) dla tak określonego wyrażenia wynikają wprost z odpowiednich własności funkcji ciągłych i całki Riemanna. Dla wykazania dodatniej określoności formy dwuliniowej zdefiniowanej tym wzorem na przestrzeni C([ a, b]) potrzeba sprawdzić, że jeśli f C([a,b]),to b a f 2 (t)dt> f (tożsamościowo), (1.56) co jest również konsekwencją własności całki Riemanna, choć tym razem już nieco mniej trywialną. 1.4.2 Ortogonalność i ortogonalne dopełnienie w przestrzeniach euklidesowych. Wprowadzonądlaprzypadkuprzestrzenikartezjańskiej R n terminologiębędziemystosowaćrównież w szerszym kontekście dowolnych przestrzeni euklidesowych, nie wyłączając przypadku przestrzeni nieskończenie wymiarowych. Przyjmujemy zatem następujące określenia.
Konspekt wykładów AFiW (wydruk 27 października 29 roku) 18 Definicja 1.12(Ortogonalność wektorów) Niech(V,( )) będzie przestrzenią euklidesową. Będziemymówić,żewektoryv,w V sąortogonalne,jeśli(v w)=.jeślif jestpodzbiorem przestrzeniv,tozbiórf określonyrównością F ={v V (v w)=, w F} (1.57) będziemynazywaćortogonalnymdopełnieniemdof.jeślif ={},tj.ortogonalnedopełnieniedo Fzawieratylkowektorzerowy,tobędziemymówić,żezbiórFjestkompletnywV. Tak jak w przypadku przestrzeni kartezjańskich relacja ortogonalności wektorów, oznaczana jak poprzednio symbolem, jest symetryczna, a wektor zerowy jako jedyny jest ortogonalny do każdego wektora przestrzeni V. Następujący wynik jest bezpośrednim przeniesieniem do obecnego kontekstu znanego z elementarnej geometrii wzoru Pitagorasa dla kwadratu długości przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym.. Lemat1.2(WzórPitagorasa)Jeśliv w,to Dladowoduwystarczazauważyć,żewobec(v w)=mamy v+w 2 = v 2 + w 2. (1.58) v+w 2 =(v+w v+w)=(v v)+2(v w)+(w w)= v 2 + w 2. W zastosowaniach, np. w fizyce lub statystyce, ortogonalność wektorów jest zwykle interpretowana jako brak korelacji między wielkościami opisywanymi przez te wektory. W ogólności jako miarę korelacji przyjmuje się w takim kontekście znormalizowany iloczyn skalarny wektorów, tj. wielkość cor(v,w)= (v w) v w nazywaną w statystyce współczynnikiem korelacji liniowej lub współczynnikiem Pearsona korelacji wektorówviw. Rozważmyterazogólniejsząsytuacjęciąguf 1,f 2,...,f k takichwektorówprzestrzeniv,żedla każdej pary wskaźników i, j mamy (f i f j )=, gdyi j. Wtakimprzypadkubędziemymówić,żef 1,f 2,...,f k jestukłademortogonalnym,lubżewektory {f i }sąparamiortogonalne.mogłobysięzdarzyć,żektóryśztychwektorówjestwektoremzerowym, ale jeśli wykluczyć tę sytuację, to można się łatwo przekonać, że współczynniki każdej kombinacji liniowejwektorówtakiegoukładusąjednoznaczniewyznaczone.istotnie,dlax= k λ j f j idowolnego p {1,...,k}mamy (x f p )= ( k ) ( ) λ j f j f p = λ j fj f p =λp f p 2. (1.59) Współczynnikprzywektorzef p wtejkombinacjiliniowejjestzatemdanywzorem λ p = 1 f p 2(x f p) (1.6)
Konspekt wykładów AFiW (wydruk 27 października 29 roku) 19 askładowawektoraxwkierunkuwektoraf p jestdanajako λ p f p =(x e p )e p, gdzie e p = 1 f p f p jestwektoremjednostkowymwkierunkuwektoraf p. W szczególności wynika stąd, że układ parami ortogonalnych wektorów(po ewentualnym wykluczeniu z układu wektora zerowego) jest liniowo niezależny. Podsumujemy te wnioski w formie następującego lematu. Lemat1.3WprzestrzeniVziloczynemskalarnym(v w)układortogonalny{f 1,...,f k }niezawierającywektorazerowegojestbaząpodprzestrzenilin{f 1,...,f k }.Dlakażdegowektoraztejprzestrzeni zachodzi równość λ j f j 2 = λ j 2 f j 2. Ponadtokażdywektorv lin{f 1,...,f k }ma(jednoznaczne)przedstawieniewpostaci Wprowadzimy teraz następującą definicję. v= (v f j ) f j 2 f j. (1.61) Definicja 1.13(Układy ortogonalne i ortonormalne) Niech(V,( )) będzie przestrzenią euklidesową.układwektorów{f 1,f 2,...} V(skończonylubnieskończony)będziemynazywać: układem ortogonalnym, jeśli dowolne dwa wektory tego układu odpowiadające różnym wskaźnikom są ortogonalne,tj.dlakażdejparyi,jzi jzachodzi(f i f j )=; układem ortonormalnym, jeśli jest on ortogonalny i norma każdego z wektorów układu jest równa 1. JeśliV jestprzestrzeniąskończeniewymiarową,topowiemy,żeukład{f 1,f 2,...,f k } V jest baząortonormalnąprzestrzeniv,jeślijestukłademortonormalnymiv=lin{f 1,f 2,...,f k }. Przypominając,żesymbolem(deltą)Kroneckeranazywamyfunkcjęδ ij określonązależnościąδ ij = gdyi jorazδ ij =gdyi=jmożemypowyższewyrazićkrótko: {f 1,f 2,...} jestukłademortonormalnym (f i f j )=δ ij, i,,2,... (1.62) 1.4.3 Ortogonalność funkcji trygonometrycznych. Podany niżej układ funkcji jest jednym z najważniejszych w matematyce nieskończonych układów ortonormalnych, znajdującym wielorakie zastosowania zarówno w teorii jak i zagadnieniach praktycznych. Stwierdzenie 1.9 W przestrzeni funkcji ciągłych C([, 2π]) z iloczynem skalarnym danym wzorem układ funkcji 1 2π, 1 π sint, 1 π cost, (f g)= 1 π sin2t, f(t)g(t)dt, (1.63) 1 π cos2t,..., 1 π sinnt, 1 π cosnt,... (1.64) jest układem ortonormalnym. Układ ten będziemy nazywali(unormowanym) układem trygonometrycznym.
Konspekt wykładów AFiW (wydruk 27 października 29 roku) 2 Wistociełatwosprawdzić,żedlak,n Nzachodząrówności sin(kt) cos(nt) dt = sin(nt)dt = cos(nt) dt = (1.65) oraz sin(kt) sin(nt) dt =, k n, cos(kt) cos(nt) dt = π, k=n, dt=2π, (1.66) a stąd już ortonormalność układu(1.64) jest widoczna. 1.4.4 Bazy ortonormalne w przestrzeniach euklidesowych. Użyteczność baz ortonormalnych jest w dużym stopniu konsekwencją łatwości, z jaką wyznaczać można współrzędne wektora względem takiej bazy oraz obliczać normę i iloczyny skalarne. Stwierdzenie1.1Niech{e 1,e 2,...,e k }będzieukłademortonormalnymwprzestrzenieuklidesowej V iniechw=lin{e 1,...,e k }będzieprzestrzeniąrozpiętąnadtymukładem.wowczas: (i) każdywektorv Wwyrażasięwzorem w= (w e j )e j. (1.67) (ii) Dlakażdejparywektoróww 1,w 2 Wmamy (w 1 w 2 )= (w 1 e j )(e j w 2 ). (1.68) (iii) W szczególności dla każdego w W zachodzi uogólniony wzór Pitgorasa w 2 = (w e j ) 2 (1.69) Wzór(1.67) będziemy nazywali rozwinięciem wektora w bazie ortonormalnej. Wogólności,dladowolnegowektorav Viukładuortonormalnego{e 1,e 2,...,e k }wektor x=v (v e 1 )e 1 (v e 2 )e 2... (v e k )e k =v (v e j )e j (1.7) należydoortogonalnegodopełnieniaprzestrzeniw,x W.Rzeczywiście,obliczająckolejnoiloczyny skalarnexzwektoramie 1,e 2,...otrzymujemywobecwarunku(1.62) (x e p )=(v e p ) (v e j )(e j e p )=(v e p ) (v e p )=, p=1,...,k. Azatemx W,lubinaczej,składnikisumypoprawejstroniewzoru v= (v e j )e j +x są parami ortogonalne. Z wzoru Pitagorasa wynika więc ważny wniosek.
Konspekt wykładów AFiW (wydruk 27 października 29 roku) 21 Wniosek1.9(NierównośćBessela) Jeśli{e 1,...,e k }jestukłademortonormalnym,todlakażdegowektorav V zachodzi (v e j ) 2 v 2. Stwierdzenie 1.1 pokazuje, jak można sprowadzić obliczenie abstrakcyjnie określonych wielkości iloczynu skalarnego i normy do rachunków wykonywanych za pomocą współrzędnych względem bazy ortonormalnej. W szczególności widać stąd, że wyrażenia dla tych wielkości są dane takimi samymi formalnie wzorami, jakimi zadane są standardowy iloczyn skalarny i norma pitagorejska w przestrzeni kartezjańskiej. Nasuwające się w ten sposób przypuszczenie, że przestrzenie te są w jakimś sensie identyczne można sprecyzować przez wprowadzenie pojęcia izometrii przestrzeni euklidesowych, do którego omówienia przechodzimy. 1.4.5 Izometria przestrzeni euklidesowych. Definicja 1.14(Izometrie przestrzeni euklidesowych) Mówimy, że dwie abstrakcyjne przestrzenieeuklidesowe(v,( ))i(w, )sąizometryczne,jeśliistniejeliniowabijekcjaf:v W,taka żedlakażdejparywektorówv 1,v 2 Vzachodzi f(v 1 ) f(v 2 ) =(v 1 v 2 ) (1.71) Ze Stwierdzenia 1.1 wynika od razu, że dowolna(abstrakcyjna) przestrzeń euklidesowa wymiaru k jest izometrycznazprzestrzenią R k wyposażonąweuklidesowyiloczynskalarnyokreślonywzorem(1.17). Wniosek1.1Niech(V,( ))będzieprzestrzeniąeuklidesową,a{e 1,e 2,...,e k }baząortonormalną V. Odwzorowanie, przyporządkowujące każdemu wektorowi z V ciąg jego współrzędnych względem tej bazy dane wzorem V v f(v)=((v e 1 ),(v e 2 ),...,(v e k )) R k, (1.72) jestizometriąprzestrzeni(v,( ))zprzestrzeniąkartezjańską R k wyposażonąwpitagorejskiiloczyn skalarny. 1.4.6 Charakteryzacja baz ortonormalnych Z teoretycznego punktu widzenia jest bardzo ważne, że własności opisane we Stwierdzeniu 1.1 całkowicie charakteryzują bazy ortonormalne. W tym miejscu podamy sformułowanie odnoszące się jedynie do przypadku przestrzeni skończenie wymiarowych, odkładając na później przypadek przestrzeni nieskończonego wymiaru. Stwierdzenie1.1Niech{e 1,...,e n }będziezbioremortonormalnymwskończeniewymiarowejprzestrzeni euklidesowej(v,( )). Wówczas każdy z następujących warunków jest równoważny stwierdzeniu,że{e 1,...,e n }jestbaząprzestrzeniv: (a) {e 1,...,e n }jestzbioremkompletnymwv; (b) KażdywektorzV dajesięwyrazićwpostaci(1.67),tj. v= n (v e j )e j ; (c) Dlakażdegowektorav V mamy v 2 = n (v e j ) 2 ; (d) Dlakażdejparywektorówv,w V mamy (v w)= n (v e j )(e j w).
Konspekt wykładów AFiW (wydruk 27 października 29 roku) 22 1.4.7 Przykład rozwinięć względem układu ortonormalnego szeregi Fouriera. Niezwykle ważnym przykładem zastosowania możliwości rozwinięcia wektora względem układu ortonormalnego danego wzorem(1.67) są rozwinięcia względem układu trygonometrycznego(1.64), nazywane na cześć ich odkrywcy rozwinięciami Fourierowskimi. Wprowadźmy oznaczenia φ = 1 2, φ n(t)=cosnt, ψ n (t)=sinnt, n N, (1.73) dlaelementów(nieunormowanego)ortogonalnegoukładutrygonometrycznego( 6 ).WprzestrzeniC([,2π]) z iloczynem skalarnym danym wzorem(1.63) współczynniki rozwinięcia funkcji f względem układu (1.73), nazywane jej współczynnikami Fouriera, dane są wzorami(por. wzór(1.6)) Wyrażenie a n = 1 π (f φ n)= 1 π b n = 1 π (f ψ n)= 1 π a f(t)cosntdt, n=,1,2,..., (1.74) f(t)sinntdt, n=1,2,... (1.75) 2 + (a n cosnt+b n sinnt) (1.76) n=1 nazywane jest szeregiem Fouriera funkcji f. Badanie własności szeregów Fouriera, w szczególności ustalenie warunków ich zbieżności i wyznaczenie sumy szeregu stanowiło jeden z ważniejszych nurtów badań matematycznych w XIX i pierwszej połowie XX wieku. Na podstawie Wniosku 1.9 otrzymujemy tzw. nierówność Bessela dla szeregów Fouriera: współczynniki Fouriera dowolnej funkcji ciągłej f C([, 2π]) określone wzorami(1.74) spełniają nierówność a 2 2 + ( a n 2 + b n 2 ) f 2 = f(t) 2 dt. n=1 1.4.8 Ortogonalne dopełnienia i ich własności DlaopisaniazależnościmiędzyzbioremF V ijegoortogonalnymdopełnieniemf V wykorzystamydwaprostespostrzeżenia.jeśli{f 1,f 2,...,f k } V iv F,todladowolnychliczb λ 1,λ 2,...,λ k zachodzi (v λ j f j )= λ j (v f j )=, astądjużłatwowywnioskować,żezbiórfiprzestrzeńliniowarozpiętaprzezf,linf,majątosamo ortogonalne dopełnienie, F =(linf). Analogicznie,jeśli{v 1,v 2,...,v k } F if F,todladowolnychliczbλ 1,λ 2,...,λ k zachodzi ( λ j v j f)= λ j (v j f)=, awięcf jestpodprzestrzeniąliniowąprzestrzeniv.obserwacjeteprowadządonastępującego stwierdzenia. 6 Użyciewtymmiejscubazyortogonalnej,anieortonormalnejjestpodyktowanewyłączniechęciązachowaniatradycyjnego zapisu dla współczynników rozwinięcia(1.76).
Konspekt wykładów AFiW (wydruk 27 października 29 roku) 23 Stwierdzenie 1.11 Niech(V,( )) będzie skończenie wymiarową przestrzenią euklidesową i niech F V.OrtogonalnedopełnienieF dofjestpodprzestrzeniąliniowąwv,takąże F linf={} oraz dimf +dimlinf=dimv. (1.77) Wszczególności,zbiórFjestkompletnywtedyitylkowtedy,gdyFzawierabazęprzestrzeniV. Dla dowodu tego stwierdzenia posłużymy się pojęciem macierzy Grama układu wektorów w dowolnej przestrzeni euklidesowej. Definicja 1.15(Macierz Grama układu wektorów) Macierzą Grama skończonego układu wektorów{f 1,f 2,...,f k } V będziemynazywaćmacierzkwadratowąisymetrycznąstopniak,oznaczanąg(f 1,f 2,...,f k )(wskrócieg),zdefiniowanąjako G(f 1,f 2,...,f k )=[(f i f j )]. Zauważmy,że{e 1,e 2,...} V jestukłademortonormalnymwtedyitylkowtedy,gdyjegomacierz Grama[(e i e j )]jestmacierząjednostkową(byćmożenieskończoną).bardziejogólnie,zachodzi następujący: Lemat1.4Układwektorów{f 1,f 2,...,f k } Vjestliniowoniezależnywtedyitylkowtedy,gdyjego macierzgramajestnieosobliwa,tj.detg(f 1,f 2,...,f k ). Dowód. Dladowodurozważmyukładrównańoniewiadomychx 1,x 2,...,x k, x j (f j f 1 )=, x j (f j f 2 )=, (1.78)... x j (f j f k )=. JeślimacierzGramaGjestosobliwa,totenukładmarozwiązanieniezerowe,powiedzmyy 1,y 2,...,y k. Przyjmujący= k y j f j ikorzystajączliniowościiloczynuskalarnegowzględempierwszegoczynnika wyprowadzamyzrównańtegoukładurówności(y f i )=dlai=1,...,k.mnożącjekolejnoprzez y 1,y 2,...,y k idodającdosiebieotrzymamy = y i (y f i )=(y y i f i )=(y y). i=1 i=1 Azatemkombinacjawektorówf j oniezerowychwspółczynnikachjestwektoremzerowym,codowodzi liniowejzależnościwektorówf 1,f 2,...,f k. Z drugiej strony, jeśli macierz Grama G jest nieosobliwa, to powyższy układ ma jedynie rozwiązanie zerowe.załóżmy,żekombinacja k λ j f j wektorów{f 1,f 2,...,f k }jestwektoremzerowym.ponieważ wówczasdlakażdegoi {1,...,k}zachodzi =( λ j f j f i )= λ j (f j f i ) więcukładliczbλ 1,λ 2,...,λ k jestrozwiązaniemukładurównań(1.78),azatemkażdaztychliczb musibyćrównazeru,codowodziliniowejniezależnościukładu{f 1,f 2,...,f k }.
Konspekt wykładów AFiW (wydruk 27 października 29 roku) 24 MożemyterazwykazaćStwierdzenie1.11.Niech{f 1,f 2,...,f n }będzietakąbaząprzestrzeniv,że jejpierwszewektory{f 1,f 2,...,f k }tworząbazęwprzestrzenilinf.wówczasx= n x j f j F wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są równości =(f i x)= x j (f i f j ), dlai=1,2,...,k. (1.79) Azatemliczbyx 1,x 2,...,x n sąrozwiązaniamiukładurównań(1.79),któregomacierz[(f i f j )]ma rządrównyk.ponieważprzestrzeńrozwiązańtegoukładumawymiardimv k,akażdemurozwiązaniu tego układu odpowiada wzajemnie jednoznacznie(z zachowaniem liniowości) wektor przestrzeni F,towtensposóbwykazaliśmyrównośćdotyczącąwymiarówwewzorze(1.77).Zdrugiejstrony, wektornależącyjednocześniedofif jestprostopadłydosiebiesamego,atakijesttylkowektor zerowy. Wykazaliśmy powyżej, że w skończenie wymiarowej przestrzeni euklidesowej każda baza jest zbiorem kompletnym. W przypadku przestrzeni o nieskończonym wymiarze będziemy często posługiwali się następującym warunkiem dostatecznym kompletności zbioru. Stwierdzenie1.12JeśliF Vjesttakimpodzbioremwprzestrzenieuklidesowej(V,( )),żekażdy wektorzv jestskończonąkombinacjąliniowąwektorówzf,tofjestzbioremkompletnym. Dowód. Rzeczywiście,namocyzałożeniadowolnyv F możnazapisaćwpostaciv= k λ j f j, gdzief j F dla,...,k bezograniczeniaogólnościmożnaprzyjąćteż,żewektoryf j są liniowo niezależne. Mamy zatem =(v f i )= λ j (f j f i ), dla i=1,...,k, cowobecwynikającejzlematu1.4nieosobliwościmacierzygramaukładu{f 1,f 2,...,f k }pociąga zasobąznikaniewszystkichwspółczynnikówλ j. Wniosek1.11(a)WprzestrzeniwielomianówP[t](bezograniczenianastopień)jednomiany{1,t,t 2,...,t n,...}tworząukładkompletny. (b) W przestrzeni wielomianów trygonometrycznych T[, 2π](bez ograniczenia na stopień) funkcje {1,sint,cost,...,sinnt,cosnt,...}tworząukładkompletny.