Funkcje i ich własności Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 1 / 43
Zbiory liczbowe Zbiory Zbiór Iloczyn (część wspólna zbiorów) A B = {x : x A x B} Suma Różnica Zawieranie się A B = {x : x A x B} A \ B = {x : x A x / B} A B x (x A x B) Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 2 / 43
Zbiory liczbowe Zbiory liczbowe Zbiór liczb naturalnych Zbiór liczb całkowitych Zbiór liczb wymiernych N = {1, 2, 3,... }. Z = {,..., 1, 0, 1, 2, 3,... }. Q = { p q, p, q Z, q > 0 }. Zbiór liczb niewymiernych Zbiór liczb rzeczywitych IQ R = I IQ. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 3 / 43
Zbiory liczbowe Uwaga N Z Q R. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 4 / 43
Wartość bewzględna Warość bezwględna Wartość bezwględna liczby rzeczywistej a, oznacza się a i jest zdefiniowana { a, jeśli a 0 a = a, jesli a < 0 Własności wartości bezwględnej a = a ab = a b a b = a b, b 0 a + b a + b a b a b a + b Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 5 / 43
Funkcje Wprowadzenie Przykład Temperatura. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 6 / 43
Funkcje Definiicje Definicja funkcji Definicja Załóżmy, że X i Y są niepustym pozbiorami zbioru liczb R. Jeżeli każdemu elementowi zbioru X został przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru Y to mówimy, że istnieje funkcja odzworowująca zbiór X w zbiór Y ( f : X Y ). Dziedzinę funkcji oznaczamy D. Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f, a jego elementy argumentami funkcji f. Elment y Y, który został przyporządkowany argumentowi x X nazywamy wartością funkcji f dla argumentu x i oznaczamy y = f(x). Zbiorem wartości funkcji f : X Y nazywamy zbiór tych wszystkich y Y, dla których istnieje taki argument x X, że f(x) = y. Zbiór wartości oznaczamy f(d). Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 7 / 43
Funkcje Definiicje Wykres funkcji Wykresem funkcji f : X Y, gdzie X, Y R nazywamy zbiór punktów postaci (x, f(x)), gdzie x X. Miejscem zerowym funkcji f : X R, gdzie X R, nazywamy taką wartość agumentu x, dla której f(x) = 0. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 8 / 43
Funkcje Przykłady Przykłady Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 9 / 43
Funkcje Przykłady Przykłady Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 9 / 43
Funkcje Przykłady Przykłady Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 9 / 43
Funkcje Przykłady Przykłady Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 9 / 43
Funkcje Przykłady Przykłady Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 9 / 43
Funkcje Przykłady Przykłady Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 9 / 43
Funkcje Przykłady Przykłady Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 9 / 43
Funkcje Przykłady Przykłady Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 9 / 43
Funkcje Przykłady Przykłady Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 9 / 43
Funkcje Przykłady Przykłady Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 9 / 43
Funkcje Przykłady Własności funkcji Niech A X R. Funkcję f : X R nazywmay: rosnącą w zbiorze A,x 1, x 2 A zachodzi x 1 < x 2 = f(x 1 ) < f(x 2 ), malejąca w zbiorze A,x 1, x 2 A zachodzi x 1 < x 2 = f(x 1 ) > f(x 2 ), nierosnącą w zbiorze A,x 1, x 2 A zachodzi x 1 < x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ), niemalejąca w zbiorze A,x 1, x 2 A zachodzi x 1 < x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ), stałą w zbiorze A, jesli istnieje taka liczba c, że dla dowolnego x A zachodzi równość f(x) = c. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 10 / 43
Funkcje Ciągłość Ciągłość-wykres funkcji L = f(t) długość ryby t ilosć lat po wykluciu się z ikry ciągła Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 11 / 43
Funkcje Ciągłość Ciągłość-wykres funkcji L = f(t) długość ryby t ilosć lat po wykluciu się z ikry c(t) koszt parkingu za t minut ciągła nieciągła w t = 0, 15, 30, 45, 60,... Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 11 / 43
Funkcje Przekształcenia wykres funkcji -wskazówki Wykresy funkcji i ich transformacja Dana fukcja f(x).pause 1 Przesunięcię o wektor na OY y = f(x) ± d Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 12 / 43
Funkcje Przekształcenia wykres funkcji -wskazówki Wykresy funkcji i ich transformacja Dana fukcja f(x).pause 1 Przesunięcię o wektor na OY y = f(x) ± d 2 Przesunięcie o wektor na OX y = f(x ± b) Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 12 / 43
Funkcje Przekształcenia wykres funkcji -wskazówki Wykresy funkcji i ich transformacja Dana fukcja f(x).pause 1 Przesunięcię o wektor na OY y = f(x) ± d 2 Przesunięcie o wektor na OX y = f(x ± b) 3 Powinowactwo prostokątne o osi OX y = cf(x) Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 12 / 43
Funkcje Przekształcenia wykres funkcji -wskazówki Wykresy funkcji i ich transformacja Dana fukcja f(x).pause 1 Przesunięcię o wektor na OY y = f(x) ± d 2 Przesunięcie o wektor na OX y = f(x ± b) 3 Powinowactwo prostokątne o osi OX y = cf(x) 4 Powinowactwo prostokątne o osi OY y = f(cx) Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 12 / 43
Funkcje Przekształcenia wykres funkcji -wskazówki Wykresy funkcji i ich transformacja Dana fukcja f(x).pause 1 Przesunięcię o wektor na OY y = f(x) ± d 2 Przesunięcie o wektor na OX y = f(x ± b) 3 Powinowactwo prostokątne o osi OX y = cf(x) 4 Powinowactwo prostokątne o osi OY y = f(cx) 5 Symetria osiowa wględem OX y = f(x) Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 12 / 43
Funkcje Przekształcenia wykres funkcji -wskazówki Wykresy funkcji i ich transformacja Dana fukcja f(x).pause 1 Przesunięcię o wektor na OY y = f(x) ± d 2 Przesunięcie o wektor na OX y = f(x ± b) 3 Powinowactwo prostokątne o osi OX y = cf(x) 4 Powinowactwo prostokątne o osi OY y = f(cx) 5 Symetria osiowa wględem OX y = f(x) 6 Symetria osiowa wględem OY y = f( x) Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 12 / 43
Funkcje Przekształcenia wykres funkcji -wskazówki Wykresy funkcji i ich transformacja Dana fukcja f(x).pause 1 Przesunięcię o wektor na OY y = f(x) ± d 2 Przesunięcie o wektor na OX y = f(x ± b) 3 Powinowactwo prostokątne o osi OX y = cf(x) 4 Powinowactwo prostokątne o osi OY y = f(cx) 5 Symetria osiowa wględem OX y = f(x) 6 Symetria osiowa wględem OY y = f( x) 7 Symetria osiowa względem osi OX ujemnych wartości funkcji f(x): y = f(x) Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 12 / 43
Funkcje Przekształcenia wykres funkcji -wskazówki Wykresy funkcji i ich transformacja Dana fukcja f(x).pause 1 Przesunięcię o wektor na OY y = f(x) ± d 2 Przesunięcie o wektor na OX y = f(x ± b) 3 Powinowactwo prostokątne o osi OX y = cf(x) 4 Powinowactwo prostokątne o osi OY y = f(cx) 5 Symetria osiowa wględem OX y = f(x) 6 Symetria osiowa wględem OY y = f( x) 7 Symetria osiowa względem osi OX ujemnych wartości funkcji f(x): y = f(x) 8 Symetria osiowa względem osi OY dodatnich wartości argumentów funkcji f(x) y = f( x ). Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 12 / 43
Funkcje Przekształcenia wykres funkcji -wskazówki Wykresy funkcji i ich transformacja Dana fukcja f(x).pause 1 Przesunięcię o wektor na OY y = f(x) ± d 2 Przesunięcie o wektor na OX y = f(x ± b) 3 Powinowactwo prostokątne o osi OX y = cf(x) 4 Powinowactwo prostokątne o osi OY y = f(cx) 5 Symetria osiowa wględem OX y = f(x) 6 Symetria osiowa wględem OY y = f( x) 7 Symetria osiowa względem osi OX ujemnych wartości funkcji f(x): y = f(x) 8 Symetria osiowa względem osi OY dodatnich wartości argumentów funkcji f(x) y = f( x ). Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 12 / 43
Funkcje Przekształcenia wykres funkcji -wskazówki Przekształcenia wykresu funkcji Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 13 / 43
Funkcje Przekształcenia wykres funkcji -wskazówki Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 14 / 43
Funkcje Symetria Parzystość funkcji Funkcję f : X Y nazywamy funkcją parzystą jeśli dla kazdego x X x X f( x) = f(x), nieparzystą jeśli dla kazdego x X x X f( x) = f(x). Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 15 / 43
Funkcje Symetria Parzystość i nieparzystość Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 16 / 43
Funkcje Złożenie funkcji Złożeniem funkcji f : X Y i g : Y Z nazywamy funkcję h : X Z daną wzorem h(x) = g(f(x)). Oznaczenie h = g f (f-funkcja wewnętrzna, g- funkcja zewnętrzna). Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 17 / 43
Funkcje Złożenie funkcji Funkcja różnowartościowa (iniekcja) f : X Y gdy dla x 1, x 2 X (x 1 x 2 ) (f(x 1 ) f(x 2 )). Uwaga: Złożenie dwóch funkcji różnowartościowych jest funkcją różnowartościową, funkcja ściśle monotoniczna jest funkcją różnowartościową. Funkcja na (suriekcja) f : X Y jeśli f(d) = Y. Jesli funkcja jest jednocześnie iniekcją i suriekcją to nazywamy ją funkcją wzajemnie jednoznaczną. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 18 / 43
Funkcje Funkcja odwrotna Funkcja odwrotna Funkcja f : X Y jest bijekcją. Funkcję f 1 : Y X nazywamy funkją odwrotną do funkcji f jeżeli dla każdego x X i y Y f 1 (y) = x y = f(x). Funkcja dla której istnieje funkcja odwrotna nazywamy funkcją odwracalną. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 19 / 43
Funkcje Funkcja odwrotna Wykres funkcji odwrotnej jest symetryczny wzgędem y = x Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 20 / 43
Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa y = f(x) = mx + b Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 21 / 43
Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa y = f(x) = mx + b wykresem jest prosta Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 21 / 43
Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa y = f(x) = mx + b wykresem jest prosta jeżeli przechodzi przez dwa punkty P 1 (x 1, y 1 ), P 2 (x 2, y 2 ) wtedy y y 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) = m(x x 1 ) Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 21 / 43
Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa y = f(x) = mx + b wykresem jest prosta jeżeli przechodzi przez dwa punkty P 1 (x 1, y 1 ), P 2 (x 2, y 2 ) wtedy y y 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) = m(x x 1 ) y i przecina w : b = f(0) Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 21 / 43
Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa y = f(x) = mx + b wykresem jest prosta jeżeli przechodzi przez dwa punkty P 1 (x 1, y 1 ), P 2 (x 2, y 2 ) wtedy y y 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) = m(x x 1 ) y i przecina w : b = f(0) miejsce zerowe: x 0 = b/m Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 21 / 43
Funkcje Funkcja kwadratowa Funkcja kwadratowa y = f(x) = ax 2 + bx + c Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 22 / 43
Funkcje Funkcja kwadratowa Funkcja kwadratowa y = f(x) = ax 2 + bx + c Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 22 / 43
Funkcje Funkcja kwadratowa Funkcja kwadratowa y = f(x) = ax 2 + bx + c Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 23 / 43
Funkcje Funkcja kwadratowa Funkcja kwadratowa y = f(x) = ax 2 + bx + c wykresem jest parabola Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 23 / 43
Funkcje Funkcja kwadratowa Funkcja kwadratowa y = f(x) = ax 2 + bx + c wykresem jest parabola c = f(0) Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 23 / 43
Funkcje Funkcja kwadratowa Funkcja kwadratowa y = f(x) = ax 2 + bx + c wykresem jest parabola c = f(0) miejsca zerowe: = b 2 4ac (delta) x 1,2 = b ± 2a (pierwastki kwadratowe) Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 23 / 43
Funkcje Funkcja kwadratowa Funkcja kwadratowa y = f(x) = ax 2 + bx + c wykresem jest parabola c = f(0) miejsca zerowe: = b 2 4ac (delta) x 1,2 = b ± 2a (pierwastki kwadratowe) postać iloczynowa: y = a(x x 1 )(x x 2 ) Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 23 / 43
Funkcje Funkcja kwadratowa Funkcja kwadratowa y = f(x) = ax 2 + bx + c wykresem jest parabola c = f(0) miejsca zerowe: = b 2 4ac (delta) x 1,2 = b ± 2a (pierwastki kwadratowe) postać iloczynowa: y = a(x x 1 )(x x 2 ) postać kanoniczna: y = a(x p) 2 + q, p = b 2a, q = 4a Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 23 / 43
Wielominay Definicja Wielomiany Definicja Niech n N {0}i niech a n, a n 1,..., a 2, a 1, a 0 będą liczbami rzeczywistymi, gdzie a n 0. Funkcja f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 jest nazywana wielomianem stopnia n. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 24 / 43
Wielominay Definicja Wielomiany Definicja Niech n N {0}i niech a n, a n 1,..., a 2, a 1, a 0 będą liczbami rzeczywistymi, gdzie a n 0. Funkcja f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 jest nazywana wielomianem stopnia n. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 24 / 43
Wielominay Wykresy Wykres wielomianu Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 25 / 43
Wielominay Wykresy Wykres wielomianu Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 25 / 43
Wielominay Wykresy Wykres wielomianu Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 25 / 43
Wielominay Wykresy Wykres Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 26 / 43
Wielominay Wykresy Wykres Kiesy n jest nieparzyste Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 26 / 43
Wielominay Wykresy Wykres Kiesy n jest nieparzyste a n > 0 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 26 / 43
Wielominay Wykresy Wykres Kiesy n jest nieparzyste a n > 0 a n < 0 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 26 / 43
Wielominay Wykresy Wykres Kiesy n jest nieparzyste a n > 0 a n < 0 Kiedy n jest parzyste Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 26 / 43
Wielominay Wykresy Wykres Kiesy n jest nieparzyste a n > 0 a n < 0 Kiedy n jest parzyste a n > 0 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 26 / 43
Wielominay Wykresy Wykres Kiesy n jest nieparzyste a n > 0 a n < 0 Kiedy n jest parzyste a n > 0 a n < 0 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 26 / 43
Wielominay Wykresy Funkcje potęgowe, f(x) = x n Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 27 / 43
Wielominay Wykresy Funkcje potęgowe, f(x) = x n wykres funkcki potęgowej zależy od n, które jest parzyste lub nie Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 27 / 43
Wielominay Wykresy Funkcje potęgowe, f(x) = x n wykres funkcki potęgowej zależy od n, które jest parzyste lub nie Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 27 / 43
Wielominay Wykresy Funkcje potęgowe, f(x) = x n wykres funkcki potęgowej zależy od n, które jest parzyste lub nie Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 27 / 43
Wielominay Wykresy Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 28 / 43
Wielominay Wykresy Wzór dwumianiowy Newtona Dla dowolnych a, b R oraz n N prawdziwy jest wzór (a + b) n = ( ) n a n + 0 ( ) n a n 1 b + + 1 ( ) n ab n 1 + n 1 ( ) n b n. n Uwaga: ( ) n = k n! k!(n k)!. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 29 / 43
Wielominay Rozwązywanie nierówności Nierówności wielomianowe równnanie wieomianu x 4 x 3 + x 2 3x 6 = 0 (x + 1)(x 2)(x 2 + 3) = 0 x = 1 x = 2 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 30 / 43
Wielominay Rozwązywanie nierówności Nierówności wielomianowe równnanie wieomianu x 4 x 3 + x 2 3x 6 = 0 (x + 1)(x 2)(x 2 + 3) = 0 x = 1 x = 2 nierówność x 4 x 3 + x 2 3x 6 0 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 30 / 43
Wielominay Rozwązywanie nierówności Nierówności wielomianowe równnanie wieomianu x 4 x 3 + x 2 3x 6 = 0 (x + 1)(x 2)(x 2 + 3) = 0 x = 1 x = 2 nierówność x 4 x 3 + x 2 3x 6 0 Jak rozwiązać? znajdź pierwiastki, narysuj wykres Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 30 / 43
Wielominay Rozwązywanie nierówności Funkcje wymierne Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 31 / 43
Funkcje wymierne Definicja Funkcje wymierne Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 32 / 43
Funkcje wymierne Definicja Funkcje wymierne f(x) = P (x) Q(x), P (x), Q(x) wielomiany Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 32 / 43
Funkcje wymierne Definicja Funkcje wymierne f(x) = P (x) Q(x), P (x), Q(x) wielomiany Dziedzina D f = {x : Q(x) 0} Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 32 / 43
Funkcje wymierne Definicja Funkcje wymierne f(x) = P (x) Q(x), P (x), Q(x) wielomiany Dziedzina D f = {x : Q(x) 0} Przykkładem jest hiperbola f(x) = 1 x Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 32 / 43
Funkcje wymierne Definicja Funkcje wymierne f(x) = P (x) Q(x), P (x), Q(x) wielomiany Dziedzina D f = {x : Q(x) 0} Przykkładem jest hiperbola f(x) = 1 x Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 32 / 43
Funkcje wymierne Definicja Jest dużo rodzajów funkcji wymiernych Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 33 / 43
Funkcje wymierne Definicja Jest dużo rodzajów funkcji wymiernych Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 33 / 43
Funkcje wymierne Definicja Jest dużo rodzajów funkcji wymiernych Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 33 / 43
Funkcje wymierne Definicja Jest dużo rodzajów funkcji wymiernych Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 33 / 43
Funkcje wymierne Definicja Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 34 / 43
Funkcje wymierne Definicja Przykład Znajdź dziedzinę f(x) = 2x + 4 3x 9 f(x) = x+2 x 2 x 6 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 34 / 43
Funkcje wymierne Równania i nierówności Równania Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 35 / 43
Funkcje wymierne Równania i nierówności Równania Ogólna zasada: zamień postać wymierną na postać wielomianową Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 35 / 43
Funkcje wymierne Równania i nierówności Równania Ogólna zasada: zamień postać wymierną na postać wielomianową Kroki Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 35 / 43
Funkcje wymierne Równania i nierówności Równania Ogólna zasada: zamień postać wymierną na postać wielomianową Kroki 1 Znajdź dziedzinę Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 35 / 43
Funkcje wymierne Równania i nierówności Równania Ogólna zasada: zamień postać wymierną na postać wielomianową Kroki 1 Znajdź dziedzinę 2 Pomóż obustronnie przez wspólny mianownik Przykład Znajdź rozwiązanie 2 x 2 + x x + 2 = 1 x 2 4 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 35 / 43
Funkcje wymierne Równania i nierówności Równania Ogólna zasada: zamień postać wymierną na postać wielomianową Kroki 1 Znajdź dziedzinę 2 Pomóż obustronnie przez wspólny mianownik Przykład Znajdź rozwiązanie 2 x 2 + x x + 2 = 1 x 2 4 2x + 3 x 2 2x 3 = 1 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 35 / 43
Funkcje wymierne Równania i nierówności Nierówności Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 36 / 43
Funkcje wymierne Równania i nierówności Nierówności Ogólna zasada: zamień postać wymierną na postać wielomianową Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 36 / 43
Funkcje wymierne Równania i nierówności Nierówności Ogólna zasada: zamień postać wymierną na postać wielomianową Kroki: Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 36 / 43
Funkcje wymierne Równania i nierówności Nierówności Ogólna zasada: zamień postać wymierną na postać wielomianową Kroki: 1 Znajdź dziedzinę Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 36 / 43
Funkcje wymierne Równania i nierówności Nierówności Ogólna zasada: zamień postać wymierną na postać wielomianową Kroki: 1 Znajdź dziedzinę 2 Przenieś wszystko na lewą stronę (zostaw tylko 0 po prawej stronie). Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 36 / 43
Funkcje wymierne Równania i nierówności Nierówności Ogólna zasada: zamień postać wymierną na postać wielomianową Kroki: 1 Znajdź dziedzinę 2 Przenieś wszystko na lewą stronę (zostaw tylko 0 po prawej stronie). 3 Znajdź wspólny mianownik. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 36 / 43
Funkcje wymierne Równania i nierówności Nierówności Ogólna zasada: zamień postać wymierną na postać wielomianową Kroki: 1 Znajdź dziedzinę 2 Przenieś wszystko na lewą stronę (zostaw tylko 0 po prawej stronie). 3 Znajdź wspólny mianownik. 4 Zamień iloraz na iloczyn. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 36 / 43
Funkcje wymierne Równania i nierówności Nierównośći z funkją wymierną Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 37 / 43
Funkcje wymierne Równania i nierówności Nierównośći z funkją wymierną e.g. 1 x + 2 2 x 3 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 37 / 43
Funkcje wymierne Równania i nierówności Nierównośći z funkją wymierną e.g. 1 x + 2 2 x 3 1 Znajdź dziedzinę x 2 x 3 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 37 / 43
Funkcje wymierne Równania i nierówności Nierównośći z funkją wymierną e.g. 1 x + 2 2 x 3 1 Znajdź dziedzinę x 2 x 3 2 Przenieś wszystko na lewą stronę (zostaw tylko 0 po prawej stronie) 1 x + 2 2 x 3 0 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 37 / 43
Funkcje wymierne Równania i nierówności Nierównośći z funkją wymierną e.g. 1 x + 2 2 x 3 1 Znajdź dziedzinę x 2 x 3 2 Przenieś wszystko na lewą stronę (zostaw tylko 0 po prawej stronie) 1 x + 2 2 x 3 0 3 Znajdź wspólny mianownik (x 3) 2(x + 2) (x + 2)(x 3) 0 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 37 / 43
Funkcje wymierne Równania i nierówności Nierównośći z funkją wymierną 4 Zamień iloraz na iloczyn Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 38 / 43
Funkcje wymierne Równania i nierówności Nierównośći z funkją wymierną 4 Zamień iloraz na iloczyn Właność P (x) > 0 P (x) Q(x) > 0 Q(x) Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 38 / 43
Funkcje wymierne Równania i nierówności Nierównośći z funkją wymierną 4 Zamień iloraz na iloczyn Właność P (x) > 0 P (x) Q(x) > 0 Q(x) P (x) 0 (P (x) Q(x) 0 Q(x) 0) Q(x) Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 38 / 43
Funkcje wymierne Równania i nierówności Nierównośći z funkją wymierną 4 Zamień iloraz na iloczyn Właność P (x) > 0 P (x) Q(x) > 0 Q(x) P (x) 0 (P (x) Q(x) 0 Q(x) 0) Q(x) Uwaga : możemy też zastosować dla < 0 i 0 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 38 / 43
Funkcje wymierne Równania i nierówności Nierównośći z funkją wymierną 4 Zamień iloraz na iloczyn Właność P (x) > 0 P (x) Q(x) > 0 Q(x) P (x) 0 (P (x) Q(x) 0 Q(x) 0) Q(x) Uwaga : możemy też zastosować dla < 0 i 0 UWAGA!!! P (x) > c nie implikuje P (x) Q(x) > c, c 0 Q(x) Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 38 / 43
Funkcje wymierne Równania i nierówności Nierównośći z funkją wymierną x 7 (x + 2)(x 3) 0 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 39 / 43
Funkcje wymierne Równania i nierówności Nierównośći z funkją wymierną x 7 (x + 2)(x 3) 0 ( x 7)(x + 2)(x 3) 0 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 39 / 43
Funkcje wymierne Równania i nierówności Nierównośći z funkją wymierną x 7 (x + 2)(x 3) 0 ( x 7)(x + 2)(x 3) 0 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 39 / 43
Funkcje wymierne Równania i nierówności Nierównośći z funkją wymierną x 7 (x + 2)(x 3) 0 ( x 7)(x + 2)(x 3) 0 x [ 7, 2) (3, ) Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 39 / 43
Potęgowanie i pierwiastkowanie Definicja i własności Potęga o podstawie a IR i wykładniku n N a n = a a a a, n N Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 40 / 43
Potęgowanie i pierwiastkowanie Definicja i własności Potęga o podstawie a IR i wykładniku n N a n = a a a a, n N a n = 1, dla a 0, an Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 40 / 43
Potęgowanie i pierwiastkowanie Definicja i własności Potęga o podstawie a IR i wykładniku n N a n = a a a a, n N a n = 1 a n, dla a 0, a0 = 1 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 40 / 43
Potęgowanie i pierwiastkowanie Definicja i własności Potęga o podstawie a IR i wykładniku n N a n = a a a a, n N a n = 1 a n, dla a 0, a0 = 1 n ty Pierwiastek z nieujemnej liczby a n a = x Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 40 / 43
Potęgowanie i pierwiastkowanie Definicja i własności Potęga o podstawie a IR i wykładniku n N a n = a a a a, n N a n = 1 a n, dla a 0, a0 = 1 n ty Pierwiastek z nieujemnej liczby a n a = x x n = a, z a, x 0 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 40 / 43
Potęgowanie i pierwiastkowanie Definicja i własności Potęga o podstawie a IR i wykładniku n N a n = a a a a, n N a n = 1 a n, dla a 0, a0 = 1 n ty Pierwiastek z nieujemnej liczby a n a = x x n = a, z a, x 0 Jeżeli a < 0 i n N, n nieparzysta liczba, wtedy n a = n a Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 40 / 43
Potęgowanie i pierwiastkowanie Definicja i własności Potęga o podstawie a IR i wykładniku n N a n = a a a a, n N a n = 1 a n, dla a 0, a0 = 1 n ty Pierwiastek z nieujemnej liczby a n a = x x n = a, z a, x 0 Jeżeli a < 0 i n N, n nieparzysta liczba, wtedy n a = n a Potęgowanie i pierwiastkowanie i a > 0 q a p = a p q gdzie p, q Z, q > 0 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 40 / 43
Funkcja potęgowa Definicja Funkcja potęgowa f(x) = x α, gdzie α R Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 41 / 43
Funkcja potęgowa Definicja Funkcja potęgowa f(x) = x α, gdzie α R Dziedzina, przeciwdziedzina i wykres zależą od α: n, p N D f Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 41 / 43
Funkcja potęgowa Definicja Funkcja potęgowa f(x) = x α, gdzie α R Dziedzina, przeciwdziedzina i wykres zależą od α: n, p N D f y = x n IR Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 41 / 43
Funkcja potęgowa Definicja Funkcja potęgowa f(x) = x α, gdzie α R Dziedzina, przeciwdziedzina i wykres zależą od α: n, p N D f y = x n IR y = x n = 1 x n IR {0} Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 41 / 43
Funkcja potęgowa Definicja Funkcja potęgowa f(x) = x α, gdzie α R Dziedzina, przeciwdziedzina i wykres zależą od α: n, p N D f y = x n IR y = x n = 1 x n IR {0} y = x 1 n = n x IR + {0} n parzyste IR dla n nieparzyste Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 41 / 43
Funkcja potęgowa Definicja Funkcja potęgowa f(x) = x α, gdzie α R Dziedzina, przeciwdziedzina i wykres zależą od α: n, p N D f y = x n IR y = x n = 1 x n IR {0} y = x 1 n = n x IR + {0} n parzyste IR dla n nieparzyste y = x 1 n = n 1 IR + dla n parzyste x IR {0} dla n nieparzyste Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 41 / 43
Funkcja potęgowa Definicja Funkcja potęgowa f(x) = x α, gdzie α R Dziedzina, przeciwdziedzina i wykres zależą od α: n, p N D f y = x n IR y = x n = 1 x n IR {0} y = x 1 n = n x IR + {0} n parzyste IR dla n nieparzyste y = x 1 n = 1 n x IR + dla n parzyste IR {0} dla n nieparzyste y = x 0 IR {0} Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 41 / 43
Funkcja potęgowa Definicja Funkcja potęgowa f(x) = x α, gdzie α R Dziedzina, przeciwdziedzina i wykres zależą od α: n, p N D f y = x n IR y = x n = 1 x n IR {0} y = x 1 n = n x IR + {0} n parzyste IR dla n nieparzyste y = x 1 n = 1 n x IR + dla n parzyste IR {0} dla n nieparzyste y = x 0 IR {0} y = x α, α IQ IR + dla α < 0 IR + {0} dla α > 0 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 41 / 43
Funkcja potęgowa Równanie i nierówności Równania z pierwiastkami Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 42 / 43
Funkcja potęgowa Równanie i nierówności Równania z pierwiastkami Ogólna zasada: Jeślli masz n..., podnieś obustronnie do potęgi n Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 42 / 43
Funkcja potęgowa Równanie i nierówności Równania z pierwiastkami Ogólna zasada: Jeślli masz n..., podnieś obustronnie do potęgi n Ale uważaj kiedy n jest parzyste!!! Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 42 / 43
Funkcja potęgowa Równanie i nierówności Równania z pierwiastkami Ogólna zasada: Jeślli masz n..., podnieś obustronnie do potęgi n Ale uważaj kiedy n jest parzyste!!! Własności (Twierdzenie) a = b a n = b n Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 42 / 43
Funkcja potęgowa Równanie i nierówności Równania z pierwiastkami Ogólna zasada: Jeślli masz n..., podnieś obustronnie do potęgi n Ale uważaj kiedy n jest parzyste!!! Własności (Twierdzenie) a = b a n = b n dla n parzystego, a, b 0 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 42 / 43
Funkcja potęgowa Równanie i nierówności Równania z pierwiastkami Ogólna zasada: Jeślli masz n..., podnieś obustronnie do potęgi n Ale uważaj kiedy n jest parzyste!!! Własności (Twierdzenie) a = b a n = b n dla n parzystego, a, b 0 dla n nieparzystego, a, b R Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 42 / 43
Funkcja potęgowa Równanie i nierówności Nierówności Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 43 / 43
Funkcja potęgowa Równanie i nierówności Nierówności Ogólna zasada: Jeślli masz n..., podnieś obustronnie do potęgi n Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 43 / 43
Funkcja potęgowa Równanie i nierówności Nierówności Ogólna zasada: Jeślli masz n..., podnieś obustronnie do potęgi n Ale uważaj kiedy n jest parzyste!!! Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 43 / 43
Funkcja potęgowa Równanie i nierówności Nierówności Ogólna zasada: Jeślli masz n..., podnieś obustronnie do potęgi n Ale uważaj kiedy n jest parzyste!!! Własności (Twierdzenie) a < b a n < b n a b a n b n Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 43 / 43
Funkcja potęgowa Równanie i nierówności Nierówności Ogólna zasada: Jeślli masz n..., podnieś obustronnie do potęgi n Ale uważaj kiedy n jest parzyste!!! Własności (Twierdzenie) a < b a n < b n a b a n b n dla n parzyste, a, b 0 dla n nieparzyste, a, b R Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 43 / 43