METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH, METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH Szkc rozwązana równana Possona w przestrzen dwuwymarowe. Równane Possona to równae różnczkowe cząstkowe opsuące wele zawsk o dużym znaczenu w technce: staconarny przepływ cepła, staconarny bezwrowy przepływ neścślwe nelepke ceczy, proste pola magnetyczne elektryczne. W teor sprężystośc równane Possona opsue rozkłady naprężeń w przekrou pręta skręcanego. Dla f ( x, x) 0 stae sę równanem Laplace a u u f ( x, x) 0 x x Rozpatruemy warunk brzegowe Drchleta Neumanna u( x) u, x 0 u( x) q( x) q0, x n gdze u 0 q 0 są funkcam danym na fragmentach brzegu. u q W prostych przypadkach (kształt obszaru warunk brzegowe) równane może być rozwązane analtyczne.
Metoda różnc skończonych Metoda różnc skończonych przyblża rozwązane równana różnczkowego przez zastąpene pochodnych odpowednm lorazam różncowym. Poneważ perwsza pochodną funkc f(x) est z defnc: f f(a + h) f(a) (x) = lm h e rozsądnym przyblżenem będze: dla małe wartośc h. f (x) f(a + h) f(a) h Analogczne est możlwe przyblżane pochodnych cząstkowych przez trzy różne operatory różncowe:
Ilorazy różncowe odpowadaące wyższym pochodnym: u u u u u x x h u u u u u y y g, k, k, k, k, k, k,. u u u 4u 6u 4u u x x h 4 4,,,,, 4 4 4 W każdym punkce (x, y) równane różnczkowe cząstkowe est przyblżane równanem algebracznym. W przypadku równana Possona ma ono postać: h u, u, + u, + g u, u, + u, + f(x, y ) = 0 Dla równana Laplace a eśl h=g dostaemy: u, = u, + u, + u, + u, 4 N punktów satk w obszarze, N równań, N newadomych Dyskretna postać warunków brzegowych Na neregularnym brzegu a.) u = b.) u =
Metoda elementów brzegowych Brzegowe równane całkowe równoważne równanu Possona z warunkam brzegowym ( ) c( ) u( ) u( x) q (, ) ( ) u x x d x u (, x) d( x) f ( x) u (, x) dr( x) n c( ) est współczynnkem o wartośc na brzegu wewnątrz obszaru u (, x) ln r gdze r ( x ) ( x ). Funkca q określona est przez pochodną kerunkową u : Dokonuąc różnczkowana otrzymamy u q (, x) u u q n n, x q (, x). (37) n x ( r n r n ), r Brzegowe równane całkowe wąże ze sobą neznane funkce u( x ) e pochodną normalną u( x) q( x) na konturze obszaru. n
Podeśce numeryczne. Dyskretyzaca brzegu (LE elementów). Aproksymaca u( x ) q( x) na brzegu (np. u(p ), q(p ) stałe) 3. Budowa układu równań lnowych u ( P ) u ( P, x ) q ( P ) d q ( P, x ) u ( P ) d LE LE f ( x) u ( P, x) dr,,.. LE LE LE u ( P ) U ( ) q P Q u ( P ) f,,... LE u U q Q n f LE równań lnowych z newadomym u(p ) lub q(p ) Ostateczne: [A]{y} = {b} x P r P x Rozwązane {y} reprezentue neznane wartośc brzegowe u q. Macerz A pełna, nesymetryczna. 4. Rozwązane dae pełną nformacę o u( x ) q( x) na brzegu Metoda elementów brzegowych zmnesza lczbę neznanych parametrów w porównanu z metoda różnc skończonych MES.
Równoważne zagadnene mnmalzac funkconału: u u I ( u) f ( x, x ) u d q0ud, x x q gdze funkca u spełna warunek Drchleta u( x), u0 x u Metoda elementów skończonych. Dyskretyzaca obszaru na elementy, =, LE połączone w węzłach LE e 0,. Aproksymaca funkc poszukwane u( x) wewnątrz element skończonego welomanem LWE u( x, x ) N ( x, x ) u LWE - lczba węzłów elementu, u, =,...,LWE są wartoścam poszukwane funkc w węzłach, N(x,x) funkce kształtu 3. Dyskretna postać funkconału LE LK u u I ( u) f ( x, x ) u d q0ud x x
W każdym elemence u x u x LWE LWE N x N x u, u. Funkconał I est zastępowany przez funkcę neznanych wartośc u, =,,,LW, gdze LW to lczba węzłów modelu. W postac macerzowe: k k k3 klw u b k k k 3 u b I ( u) u, u, u3,..., u k LW 3 k 3 u3 u, u, u3,, ulw b3 klw k LW LW ulw blw I uk u ub LW LW LW LW LW LW LW Warunek koneczny ( dostateczny) mnmum: I 0,,, LW u stąd K u b (+ warunk brzegowe) m elementy zerowe LW - lczba stopn swobody m - szerokość półpasma macerzy Układ równań z neznanym wartoścam węzłowym poszukwane funkc.
Zasada mnmum całkowte energ potencalne. METODA RITZA Całkowta energa potencalna cała sprężystego V=U-W z Energa odkształcena sprężystego Praca potencalna sł zewnętrznych spręzystego Ω obszar cała, Γ brzeg, σ tensor naprężena, ε tensor odkształcena, u wektor przemeszczeń, p obcążena powerzchnowe, X obcążena obętoścowe Całkowta energa potencalna est funkconałem, którego argumentem est funkca opsuąca przemeszczena cała odkształcalnego. Pod wpływem obcążena w cele powstae take pole przemeszczeń, dla którego V przymue wartość mnmalną. Wówczas układ odkształcalny pozostae w stane równowag. V=U-W z =mn!
Całkowta energa potencalna belk obcążone wydatkem p [N/m], słam skuponym P [N] momentam skuponym M [Nm]: l l V ( ) EI w dx pwdx Pw M 0 0 w(x) lna ugęca belk o długosc l, w, Θ ugęca kąty ugęca w mescu przyłożena sł momentów Metoda Rtza. Lnę ugęca przyblżamy lnową kombnacą w postac: n w ( x) a ( x), gdze a są neznanym parametram, a są z góry założonym funkcam. Funkce muszą być lnowo nezależne, a w ~ ( x ) spełnać pownna przemeszczenowe warunk brzegowe.. Funkconał V est przyblżany przez funkcę n zmennych a V=V(a, a, a 3, a n ) 3. Współczynnk a są wyznaczane z mnmalzac funkc welu zmennych V 0,,..., n a [A]{a}={b} 4. Z rozwązana otrzymuemy wartośc a przyblżone rozwązane oraz sły wewnętrzne n w ( x) a ( x) M ( x) EIw ( x), q T ( x) EIw ( x).
PRZYKŁAD w(x) x p 0 Rozwązane ścsłe M g ( x) w ( x) M (x) = (l x) EI w(x = 0) = 0, w (x = 0) = 0 Po scałkowanu w(x) = Maksymalne ugęce w(l) = Rozwązane przyblżone (6l 4lx + x )x w ~ ( x) x 3 a ax a3x a4 mus spełnać warunk brzegowe stąd w(x = 0) = 0, w (x = 0) = 0 3 4 3 3 a3x a4 V (4a3l a3a4l a4l ) p( a3 a4 ) w ~ ( x) x EI l 3 l 4
Warunek mnmum energ potencalne: V a 3 V a 4 3 EI p0l 8la3 l a4 0, 3 4 EI 3 p0l l a3 4l a4 0. 4 dae współczynnk: a 5 p l p l 4 EI EI 0 0 3, a4 ostateczne rozwązane przyblżone: 5 p l 0 p 0 3 w ( x) x x, 4 EI EI 5 p0l M q ( x) p0l x, p0l T ( x).