Z zastosowań rachunku różnic skończonych w mechanice budowli

Transkrypt

1 A R C H I W U M M E C H A N I K I S T O S O W A N E J ARCHIVES DE MÉCANIQUE APPLIQUÉE W. NOWACKI Z zastosowań rachunku różnc skończonych w mechance budowl De l'applcaton du calcul des dfférences fnes aux problèmes de la mécanque de constructon Odbtka z Archwum Mechank Stosowanej" Tom III zeszyt 3 4 " "..'. WYDAWNICTWO... : ZAKŁADU MECHANIKI BUDOWLI POLITECHNIKI GDANSKIBJ GDANSK 95. :.-,:::/.t ',.

2 Tom III 95 Z zastosowań rachunku różnc skończonych 483 Z zastosowań rachunku różnc skończonych w mechance budowl De l'applcaton du calcul des dfférences fnes aux problèmes de la mécanque de constructon W. N o w a c k, Gdań jk A) W welu zagadnenach mechank budowl, dających sę opsać równanem różnczkowym, natrafamy na poważne trudnośc przy całkowanu tego równana. Na ogół mamy do czynena z równanam różnczkowym jednorodnym (np. zagadnena wyboczena drgana) oraz nejednorodnym (np. zgnane drgane wymuszone). W wypadku stałych współczynnków tych równań jednorodnych warunków brzegowych uzyskać możemy na ogół wzory zamknęte. Już jednak w tak prostym wypadku, jakm jest zgnane pręta o zmennym przekroju, otrzymujemy równane różnczkowe o zmennych współczynnkach; ścsłe rozwązane tego równana uzyskać można tylko w nelcznych wypadkach zmennośc pręta. Te trudnośc omjamy na rozmatych drogach, uzyskując rozwązane przyblżone metodą numerycznego czy wykreślnego rozwązywana równań różnczkowych, czy też stosując metody rachunku waracyjnego (metoda Rtza, Galerkna, Tretza). Spośród lcznych metod rozwązana, prostotą dużą zdolnoścą przystosowana do zmennośc rozmatych czynnków (zmana przekroju, masy, obcążena) wyróżna sę metoda rachunku różnc skończonych. Zastosowane jej do statyk belk prostej jest ogólne znane choć w odmennej trochę postac, jako zagadnene weloboku

3 484 W. Nowack Arch. Mech. Stos. sznurowego. Do problemów wyboczena zwchrzena prętów dostosował metodę różnc skończonych H. Hencky, do teor płyt N. J. Nelsen H. Marcus.*) W naszym kraju metoda ta znajduje coraz "szersze zastosowane, główne dzęk pracom prof. dr W. Wer/bckego jego ucznów. W nnejszej pracy autor stawa sobe za zadane przedstawć w sposób jednolty usystematyzowany rozwązana szeregu zagadneń typowych dla mechank budowl, oraz wskazać na analogę mędzy rozwązanem równań różncowych, a teorą ró wnań całkowych. We wszystkch omawanych zagadnenach, tak lnowych jak płaskch, starał sę] autor] uzyskać rozwązane na najprostszej drodze, przy pomocy macerzy sprzężonej trójczłonowego względne pęcoczłonowego układu równań. Przedstawone w tej pracy zagadnena ne wyczerpują, rzecz jasna, wszelkch możlwośc; omówono jedyne zagadnena, znajdujące najszersze zastosowane w mechance budowl. B) Jednoczesne zgnane ścskane (względne zgnane rozcągane pręta) t. Omówmy najperw wypadek najprostszy, manowce pręt na dwu podporach swobodne podparty. Obcążene p(x) oraz moment bezwładnośc J(x) nech będze zmenny w sposób cągły lub necągły (skokam). Znane równane różnczkowe tego zagadnena brzm '-T-fW ( Rys. *) II. Hencky ; Ueber. de angenhrte Losung von Stabltatsproblemen m. Raun. Der Esenbau 92. H. Marcus: De Théore elastscher Gewebe. Berln 924. N. J. Nelsen: Bcstemmelse af Spoendnger Plader ved Anvendelse af Dfferenslngnnger, Kopenhaga 92. W. Werzbck: Arthmètsaton des problèmes de flarabnge. Arcl. Mech. Stos. 949.

4 Tom III 95 Z zastosowań rachunku różnc skończonych 485 W równanu tym znak plus" przy welkośc P odnos sę do sły ścskającej, znak mnus" do rozcągającej sły P. Wprowadźmy oznaczena x = l ; -=T](I), gdze / jest porów- J(x) nawczym momentem bezwładnośc. Przy tych oznaczenach doprowadzamy równane () do postac bezwymarowej. a) Rozwązane tego równana przy zmennej funkcj r\( ) natrafa na ogół na duże często neprzezwycężalne trudnośc natury matematycznej. Rozwązane przyblżone tego równana najłatwej uzyskać można przez zastąpene pochodnych lorazam różncowym, a tym samym przez zamanę równana różnczkpwego na układ równań lnowych nejednorodnych. Równane (ta) możemy zastąpć układem dwu równań różnczkowych V q() (2a) EJ Ł ± y=f. (2b) Tl(6) d" EJ» Doprowadzlśmy w ten sposób zagadnene do postac analogcznej z metodą momentów wtórnych Mohra. Z perwszego bowem równana wyznaczamy momenty gnące (fp jest proporcjonalne do momentu zgnającego); z drugego równana wyznaczamy ugęce, traktując już cp jako funkcję znaną. Podzelmy teraz długość I na n równych częśc A*. Zatem Zastąpmy teraz pochodne Ax = ZA n lorazam różncowym c/ 2 cp d* d 2 y d k fc_ -2cp k - 2 2

5 486 W. Nowack Arch. Mech. Stos. Równane (2) doprowadzamy zatem do postac:! ~ ~ (3a) (3b) Warunk brzegowe zagadnena (2) kształtują sę następująco y()=; y()-; <p()=; cp()=o. Dla układu równań (3a,b) otrzymamy 9o=; <p = ; y u = ; y =. Lewe strony równań (3) przedstawają prawe przyjmujemy jako wartośc znane. zwązk trójczłonowe, Rozwązane układu równań (3a) może nastąpć przy pomocy macerzy sprzężonej tego układu, = ~ 2 V EJ n 2 J^J (4) =l,2,,.., n l. Podobne rozwązane układu równań (3b) daje VI P r > l^pfe (5) n s Am J n2 EJ 2 Z n Jeśl teraz do równana (5) wstawmy zwązek (4), otrzymamy ostateczne > C ^ T > P (6) (*-,2,...', n-).

6 Tom III 95 Z zastosowań rachunku różnc skończonych 487 Tutaj Zauważmy, że ^=77 - } EJ v j przedstawa nam rzędne ugęca belk zgnanej bez udzału sły osowej. Równane (6) przedstawa analogę mędzy rozwązanem równana różncowego, a równanem całkowym Fredholma drugego rodzaju. Dla n-* równane (6) przechodz w równane całkowe, a welkośc Pk, ] 'k w odpowedne rdzene równana całkowego. Zanm przystąpmy do omówena macerzy fwj, Hotel doprowadzmy jeszcze wyrażene pod znakem sumy do postac symetrycznej. W analog do równań całkowych, pomnóżmy obe strony równana (6) przez y \ k. Wtedy gdze 7 4 v P/ 2 v - n4 Z-J EJ TPJL-I k =, 2, n, % / OF=/ "% ' Rozwązane równana (7) możemy uzyskać znanym z równań całkowych sposobem teracyjnym Neumanna. Jako perwsze przyblżene przyjmjmy postać ugęca pręta bez udzału sły osowej. Wstawając zatem 7 ( ) = w drugej sume równana (7) przyjmujemy jako perwsze przyblżene Wtedy _ PI 2 EJ rr

7 488 W. Nowack Arch. Mech. Stos. pod znak sumy w ostatnm wyrażenu równa- Wstawając 7k' 2 na (7) mamy jy 3 ) =7T fc + l [A =F XS F r f rl ] Pfc gdze PJS-SPrtPfcr. : r Postępując w ten sposób dalej, uzyskamy szereg =F A 2 }%> ± x Możemy zatem uzyskać Y k z dowolną dokładnoścą. Szereg ten jest szybkozbeżny do zastosowań praktycznych można poprzestać na trzech członach. Podobne operacje wykonać można równeż na równanu (6), bowem podane równane teracyjne można stosować równeż do' rdzen" nesymetrycznych. Podany tu sposób postępowana posada pewne zalety, manowce łatwego wyznaczana macerzy P«:, fl'«c td. Otóż rozwązane układu równań w postac (9) daje bardzo prostą postać wyrażeń (3 lfc. Manowce n-k n n n k dla dla.*,k k () * : H n-4 Rys. 2

8 Tom III 95 Z zastosowań rachunku różnc skończonych 489 Okazuje sę węc, że wartośc f^ leżą na ln trójkątowej" stoją w ścsłym zwązku z lną wpływową mo oaentów zgnających. Macerz fw otrzymamy przez mnożene macerzy l'fvcll przez macerz PMC. Oznaczmy to symbolczne ^ = P^d 2. Macerz P«e j Pl! Pl2> P.I3> Pl «- P2I î P22> P23> Pl «P3î I'S2! I J 33» P:l, n Macerz P«l. l Pn l î Pn,8.- - Pn l> n-. '2 ' "22' ^23> 2. n J 3î U 32> ' 33J ' "3, n ""n l. "n l 2, l 'n,8. Dla wyznaczena welkośc -O^ mnożymy wartośc Puc znajdujące sę r-tej k-tej kolumne przez sebe tak przemnożone dodajemy do sebe. Zauważmy jeszcze, że zarówno wyrażena P^ jak $«<; są symetryczne względem obu przekątnych macerzy. Macerz Hotel odpowada macerzy sprzężonej układu równań 2 =6! c M h=pà h..,. () które powstało przez przemnożene przez sebe macerzy układu równań (). Z drugej strony układ równań () odpowada przekształcenu równana różnczkowego d ll M T 6 na równane różncowe à. 4 M bu- Zatem macerz sprzężona, 9k zwązana będze (pomnąwszy czynnk proporcjalnośc) z lną wpływową ugęca belk. Dalsze macerze występujące w równanu (8) uzyskamy przez kolejne mnożene macerzy według podanego wzoru. :.

9 49 W. Nowack Arch. Mech. Stos. Uwag dotyczące macerzy pozwolą nam już oszacować zbeżność szeregu Neumanna. A) W przedzale (,n) oszacujemy welkość (3 fó. gdze r\ jest najwększą wartoścą funkcj ] () w tym przedzale. Łatwo wykazać, źe Zatem szereg występujący w równanu (8) możemy przedstawć w postac: Prawa strona tej nerównośc przedstawa szereg geometryczny zbeżny w wypadku gdy t.j.gdy P< Poneważ szereg majoryzujący jest zbeżny, zbeżny jest równeż szereg występujący w równ. (8). Dodać należy, że oszacowane wartośc (3^ jest dość grube, na ogół szereg (8) będze wykazywał lepszą zbeżność nż szereg geometryczny (a). Wróćmy jeszcze do równana (5). Napszmy je w postac > 9ł l ^!c = z f y?c ± > TU y t Pfc. (2) Jeżel założymy, że ugęce belk jest znane, to rozwązane układu równań da nam odpowedź na pytane, jake pownno być obcążene belk odpowadające założonemu wygęcu. Równane {2} stanow analogę z.równanem całkowym Fredholma perwszego rodzaju. Jeżel P jest słą ścskającą, to równane (2) będze posadało sens jedyne w wypadku P mnejszego od sły krytycznej PK T.

10 Tom III 95 Z zastosowań rachunku różnc skończonych Układ równań (3a, 3b) można rozwązać równeż bez ucekana sę do teracj. Napszmy równana (3a, b) w odmennej trochę postac k--2<pa+<pmn=~~ EJ o r?. (3a) y fc _, - (2 ± l k ) yu+y^^^ (f 3b) TT ft =,2,..., n-rl. Rozwązanem tego układu równań będze Z- V (Hb) Tutaj PÂ; jest macerzą odwrotną układu równań (Hb). Układ równań (4a, b) zastąpć można jednym równanem k-,3 n-. Równane (5) jest jeszcze równanem nesymetrycznym. Przy oznaczenach znajdzemy Y k = \ Qy k. (6) LJ J Macerz fl,^ otrzymamy przez pomnożene macerzy 3

11 492 W. Nowack Arch. Mech. Stos. Zauważmy, że człony macerzy P& zależą od wartośc A fc. Jak sę późnej przekonamy, człony te dla pewnych wartośc P rosną neogranczene mamy wtedy do czynena z wypadkem wyboczena pręta. Na raze odczytajmy z równana (Ifo), że przy neogranczene rosnącym p\fc, ugęce ne zależy an od rodzaju, an welkośc obcążena q^. Dla ustalonej odszkałeonej, a w wypadku sły ścskającej ponadto przy założenu?< Pjcr równane (6) pozwol na wyznaczene obcążena q. Znajomość rzędnych ln ugęca pozwol na wyznaczene momentów zgnających sł tnących w każdym przekroju pręta M k =-EJ{ x )- EJ $ n (7) dx 3 EJ -\ 8 "*" - r (yk- 2 ~2yk-+2yk+ yk+ 2 )- (8) 3. Znaczne trudnej kształtuje sę zadane omówone w poprzednm ustępe w wypadku nejednorodnych warunków brzegowych. Są to wypadk zupełnego lub sprężystego zamocowana pręta względne wypadek wspornka. Rozbce równana () na układ dwóch równań (2) ne może tu znaleźć zastosowana neznane są bowem warunk brzegowe funkcj cp (nnym słjwy neznane są momenty utwerdzena). Punktem wyjśca może być jedyne równane (). Przy nowym oznaczenu -=Q ( ) przekształcmy równane () na równane różncowe yfc-2 Qfc- 2 yur- {Qh-+Qu)+yu (Ofc-+4 Qk+e fc+ )--2 y k+ [Q K + ) ±^{yk--2y k +y k+ ) = q k.a (9) = l, 2,... n-. I EJ o n*. rteja Warunk brzegowe kształtują sę następująco: Dla brzegu utwerdzonego zupełne d (yj^-yfc+)-o:' y-n-y". (2) fc-o 2, :

12 Tom. III 95 Z zastosowań rachunku różnc skończonych 493 Dla brzegu swobodnego otrzymamy z warunków M =; T ~ następujące zwązk brzegowych Stąd Rozwązane układu równań (9) nastąpć może dwojakm sposobem, podobne jak to uczynono w wypadku belk swobodne w dwóch punktach podpartej. a) Napszmy układ równań (9) tak, aby wyrażene ±Xk-y k znalazło sę po prawej strone równana (9). Rozwązanem wtedy będze y/c=a S <7 a h + IS A 2 y a lk (22) ft=l,2,, n. ' Ttaj one przedstawa składnk macerzy sprzężonej układu równań ft-l,2...,n-i., (23) Poneważ układ tych pęcoczłonowych równań zarówno dla warunków brzegowych (2) czy (2) jest symetryczny względem głównej przekątnej, węc macerz Ila^H będze symetryczna względem głównej przekątnej. Układ równań (22) rozwązać można sposobem teracyjnym omówonym w ustępe B ). b) Równanu możemy równeż nadać postać 2 =,2, n-{., (24) Rozwązujemy symetryczny układ równań (24) otrzymujemy yjc^asq- af k, (25)

13 494 W, Nowack Arch. Mech. Stos. Wszelke uwag dotyczące rozwązana równań analogcznego zagadnena o jednorodnych warunkach brzegowych znajdą tu zastosowane. Dla stałego przekroju (TIIC=) otrzymamy oczywśce znaczne uproszczena. C) Wyboczene pręta. W wypadku belk w dwóch końcach swobodne podpartej, rozwązane tego zagadnena otrzymamy z równana (6), kładąc w nm q= yfc=^e î'tpfc (26) lub też w postac zsymetryzowanej IWS^PA. (27) ' Wyznaczene sły krytycznej P kr może nastąpć przy użycu metod jake nam daje teora równań całkowych Fredholma drugego rodzaju. Podamy tu dwa sposoby, przystosowane do naszych rozwązań. a) Przyjmujemy jako perwsze przyblżene IV '=. Druge przyblżene znajdzemy z równana (26) *V s >=À2fô-. Parametr I doberamy tak, aby w dowolnym punkce przedzału / było F/ 2 ' = l. Stąd!-*'» V-^. (28) Dalszym przyblżenem będze łv 5 >=4 s p& Y^=\V s p,ï s PS =^' S P^(S). r Parametr X znowu doberamy tak, aby 2P$ ^m-rx'ïp^-. Stąd À" = ~. 2 3.(2) Postępując tak dalej otrzymamy dla p-tego kroku

14 Tom III 95 Z zastosowań rachunku różnc skończonych 495 W powyższych wzorach Py*> oznacza element macerzy P;}II P. Podany tu sposób pokrywa sę ze sposobem.wykreślnym L. Vanella, względne ze sposobem momentów wtórnych" prof. dr W. Werzbckego *). Sposób ten jednak prowadz do celu tylko wtedy, gdy postać wygęta pręta ne przecna os x mędzy początkem a końcem pręta (założylśmy, że F; C () T^). Dokładność wyznaczena parametru X wzrasta ze wzrostem przedzałów, na które podzellśmy długość /. Dla pręta o stałym przekroju, przy podzale na częśc, otrzymamy dla /=5: ïtëtf-2,5; ^ = 3,25; 2(3 l, 3 /= 345,625; (3$=3742,825, a ze wzoru (3a) X'-- ",8! V» 2 ' 5 =,952 2,5 3,25 V" =,9754; ^""-,97843 P fcr -^Vr"=9,7843~^ zamast wartośc ścsłej rj<; r =. b) Doberamy welobok y (^ tak, aby n Oblczamy ^ ' - ^ ^ - V C ( } - Z warunku, aby ^(Ff)^ Ł J- z warunku ^' 2^[C ( l ) 2 =l wyznaczamy X' ' ' ( 3 b ) Oblczamy dcalej K<«fc Podobne z warunku ^jy^ff^ wyznaczamy "T^Téff 3 ' *) W. Werzbck Sposób momentów wtórnych w zastosowanu do wyznaczena sły krytycznej". Przegląd Technczny 946. Nr 9.

15 496 W. Nowack Arch. Mech. Stos. Postępując tak dalej, otrzymamy przy p-tym kroku Dla pręta o stałym przekroju n= wylczymy przy przyjęcu dla yw symetrycznej parabol 2-go stopna V=,9795 X"=, Otrzymujemy tu szybszą zbeżność cągu X nż poprzednm sposobem. Przy tej sposobnośc warto omówć prosty wypadek wyboczena pręta o stałym przekroju ocenć jak od lośc przedzałów zależy dokładność wyznaczena wartośc krytycznej. Wychodzmy z równana (3b) przy T) = l, y kr - 2 (3) Rozwązanem tego równana różncowego przy warunkach brzegowych 2/j=; t/ n = będze v () A cjt. n ( I o n H2Ï y =/ sn ^,,..,n ;. I,J^; Wstawając powyższy zwązek do równana (32) dochodzmy (wyboczene wg jednej półfal) do zależnośc I = 2 ll-cos n (33) albo Pkr 2EJn. cos. p \ /I (33a) Przy jjrzejścu do grancy otrzymamy 7=2 7 = 3 7=4 n = 5 n=6 7=7 n=8 n = n=oo EJ 8, 9, 9,39 9,549 9,648 9,77 9,773 9,7886 (9.8696J Z powyższego zestawena wynka, że dla n=8 otrzymujemy dostateczne dokładną wartość P kr ; szacować należy, że lość ośmu przedzałów będze wystarczająca dla wypadku zmennego prze-

16 Tom III 95 Z zastosowań rachunku różnc skończonych 49 7 kroju. Jeśl porównamy jeszcze wartość X dla n = z wartoścam otrzymanym drogą teracj, to stwerdzmy, że sposób I-szy daje wartośc mnejsze, sposób Il-g wększe od wartośc uzyskanej z równana (33). 2. W wypadku ne jednorodny cl warunków brzegowych pręta podlegającego ścskanu, punktem wyjśca będze równane (22), w którym położymy q% = yfc-xsa«y,a««; (34) ; Iterowane tego równana można wykonać sposobem podanym w poprzednm ustępe. Ze względu na przegęce odkształconej w poblżu mejsca utwerdzena pręta należałoby przyjmować podzał pręta na conajmnej 8 częśc, aby uzyskać wartość sły krytycznej z dostateczną do zastosowań dokładnoścą. Wróćmy jeszcze do wypadku jednoczesnego ścskana zgnana pręta. Przy r = napszemy równane (3b) w postac n 2 (a) Wyraźmy funkcje fk yk przy pomocy funkcj właścwych równana jednorodnego fc=. (b) Oznaczmy rozwązana właścwe znormowane tego równana przez y$, a przynależne m wartośc właścwe przez V. Zatem napszemy*) Powyższe zależnośc wstawamy do równana (a); otrzymamy {c r [A 2 yw+ y^] - a r yjf> =. # (c) *) Fr. Blech E. Melan: De gewohnlchen und partellen Dfferenzengleclmngen der Baustatk. 927.

17 498 W. Nowack Arch. Mech. Stos. «Z równana (b) znajdujemy, że A 2 y[;' = Â< r > yw. Łatwo już z równana (c) otrzymamy dla dowolnego yw prosty zwązek Ostateczne węc n r = l yj r) X J«Z równana tego odczytamy, że dla À->À (r) ugęce y k dąży do neskończonośc. Z drugej strony X< r > jest zwązane z słą krytyczną P kr. Należy wykazać, że dla l-^'/s^ równeż welkość (3/Jt w równanu (4b) będze dążyła do neskończonośc. W tym celu wyraźmy u r przy pomocy funkcj tp fc yw, Z teor równań różncowych wadomo, że -l Zatem n ««y LV r=\ albo po przekształcenu sum n- n-l,«zj r-=l Porównywując ostatne równane z równanem (4b) otrzymamy przy założenu Ï =. n Wdzmy, że dla J->X (r) welkość P*. rośne ponad wszelką marę. Gdybyśmy rozpatrywal zjawsko jednoczesnego zgnana rozcągana pręta,.to (3*^ przyjme postać r=l

18 Tom III 95 Z zastosowań rachunku różnc skończonych 499 Wreszce przy zgnanu pręta należy położyć X=. n ( r > v (r) r = l Ostatne wyrażene jest odpowednkem blnearnej formy rdzena równana całkowego. Powyższe rozważane, przeprowadzone dla prostego przykładu pręta na dwóch podporach swobodne podpartego można w całej rozcągłośc przeneść na nne typy podparca, jak na dowolną zmenność przekroju. Trudnośc jednak wyznaczena wartośc A. (r) jak funkcj ym wzrastają newspółmerne, tak, że wyznaczene welkośc (3* A przy pomocy algorytmu Gaussa czy też sposobem krakow anowym wydaje sę drogą najprostszą najprędzej prowadzącą do celu. D) Drgane poprzeczne pręta Wele kłopotu nastręcza wyznaczane częstotlwośc drgań własnych pręta o zmennym przekroju. Zadane to da sę bez welkej trudnośc rozwązać przy pomocy rachunku różnc skończorys. 3 nych. Postaramy sę tu doprowadzć rozwązane do postac takej, z jaką melśmy do czynena przy wyboczenu pręta. Równane różnczkowe tego zagadnena przy przyjętych w ustępe B oznaczenach, przyjme następującą postać dx 2 J * Przy założenu x l, ~ -=rj ( ) y (x, ł) = y {x) sn cof równane ' J(x) powyższe przechodz na ^ Ą - a - (35) J y

19 5 W. Nowack Arch. Mech. Stos.: Dla jednorodnych warunków brzegowych y ()=y (l)=y"()= =y"(l)= rozbjamy równane (35) na dwa. Odpowedne równana różncowe przyjmą postać =l, 2,3,..., n-. Rozwązanem tego układu równań będze u u) 2 / 4 -F r T S yłptts (38a> yk=~\ -^TłttPłfc. (38b> Łącząc te dwa równana w jedno, otrzymamy yh=*sytà&tk (39) Symetryzacja rdzena" równana (39) daje *W2ftft h (4) Sprowadzlśmy węc zagadnene drgana pręta swobodnego, do takej samej postac, jak przy wyboczenu (wzory 26, 27). Poza parametrem a, różnca polega jeszcze na tym, że we wzorze (4) występuje macerz (3 tjc B w mejscu tam występującej macerzy (3 {fc.

20 Tom III 95 Z zastosowań rachunku różnc skończonych 5 jeżel drgana swobodne odbywają sę przy udzale sły osowej P ścskającej, lub rozcągającej, to równane różnczkowe (35) przyjme postać: a odpowedne rozwązane w rachunku różnc skończonych EJ ()- fc ± À S T U y { p lk (42) PP EJ Q n* Jeżel w równanu tym położyć X=, otrzymamy z równana (39),. rozwązane zagadnena drgana bez udzału sły osowej; jeśl natomast postawć co = o, otrzymujemy rozwązane zagadnena wyboczena. Równane (42) należy nterpretować w ten sposób, że przy stałym P sła ścskająca zmnejsza, a sła rozcągająca zwększa częstotlwość drgań własnych. Odczytamy równeż z równana (42), że dla ścskającej sły P dążącej do P kr [a węc dla wypadku, y k h S lłypłte~*"o (porównaj wzór 26)] częstotlwość drgań własnych zdąża do zera. Przy nejednorodnych warunkach brzegowych równane różnczkowe (39) doprowadzamy do następującego układu równań różncowych; (43) &=.2,...., n. Jk Qk Tv.o Rozwązane tego układu równań daje yk^alyok (44) gdze a«c jest macerzą sprzężoną układu równań (45)

21 W\ Nowack Arch. Mech. Stos. W wypadku jednoczesnego ścskana lub rozcągana pręta słą P otrzymamy S ^S 2 (46) Z porównana wzorów (44) (3) (46) wynka równeż, że przy wzrośce sły ścskającej (znak mnus przy ) częstotlwośc co maleją, na odwrót wzrost sły ścskającej powoduje zwększene częstotlwośc drgań własnych*). Rozważmy jeszcze wypadek belk swobodne podpartej o stałym przekroju, wykonującej drgana sw T obodne ścskanej stałą słą P. Równane różncowe przyjme tu postać A*y fc -RA a y fc -ay fc =. Rozwązanem tego równana jednorodnego będze (a) y k *=Asn$ k ( =,2,...,n. (b) Z warunku brzegowego y n = otrzymamy (3 (-,2,...,n-) (c) Wstawając p do równana (b), a to ostatne do równana (a) uzyskamy Jeśl A=, to «a)=2 2 (l~cos -V- 2 X ( I -cos -\ (d) \ nj \ nj Z tego zwązku wyznaczymy {n ) kolejnych częstotlwośc drgań co< 4 > własnych pręta przy P =. Jeśl natomast a=, to Z tego równana wyznaczymy {n ) kolejnych sł krytycznych P<«. Równane (d) możemy zatem napsać w postac: XW. *) Przy (/,( : > -welkość f A-

22 Tom III 95 Z zastosowań rachunku różnc skończonych 53 albo też Z powyższego wynka, że ze wzrostem sły P maleje częstotlwość drgań własnych dla P^Pjc zmerza do zera. Łatwo też wykazać, że dla n->co 5 ^ (l-la.-.n-l). W wypadku drgań wymuszonych przy udzale sły osowej równane różncowe przyjme postać P. (g) Rozwązane tego równana da sę przedstawć przy pomocy funkcj właścwych y^ wartośc właścwych a ( > równana (a). Na podstawe analogcznych rozważań jak w ustępe C- 2. otrzymamy n ll \.., ;> Tutaj =l r-l n~ jest członem macerzy sprzężonej do macerzy układu równań (g). E) Wyboczene płyt prostokątnych. Rozważmy płytę prostokątną dookoła swobodne podpartą, obcążoną na brzegu x = x a obcążenem q (I) rozłożonym w sposób cągły lub necągły. Równane różnczkowe zagadnena brzm (47) Zajmjmy sę najperw płytą swobodne wzdłuż brzegów podpartą. Warunk brzegowe są tu bardzo proste ; manowce wzdłuż wszystkch brzegó-w jest y 2 u; = w=^.

23 54 "W. Nowack Arch, Mech, Stos. My) Jeśl przez <p oznaczamy laplasjan dw dw _.» = - nr = \/ l W 3x 2 dy' 2 to równane (47) możemy napsać w postac układu dwu równań N (48a) (48b) Równana różnczkowe (48a, b) będą spełnone jeśl przyjmemy sn a w(x, y) = (49) Rys. 4 (m=l, 2,...co Spełnone będą*równeż, przy tym przyjęcu, warunk brzegowe u> (,y) = ; w{a,y)=; <p(, y)=; <p(a,y) = O. W ten sposób otrzymamy układ równań różnczkowych zwyczajnych a 2 <I>= Y n (y) (5a) dy N ŚlL-tfY^ (5b) a=- Zamenając pochodne lorazam różncowym przy podzale boku b na n odcnków Ay uzyskamy =22. Q 2 Y k (5 la) mrfe (5b)

24 Tom III 95 Z zastosowań rachunku różnc skończonych 55 Rozwązane układu równań (5la, 5b) daje v albo łw2km*». (52) N Sprowadzlśmy zatem tu rozwązane do ppstac analogcznej do jednorodnego równana całkowego Fredlolma drugego rodzaju. Z układu równań wylczymy macerz sprzężoną (3^ ze względu na trójczłonowość tych równań ne spraw to żadnego kłopotu. Przemnożene macerzy przez sebe daje macerz H^klj. Przez symetryzację rdzena" otrzymamy dogodną do dzałań arytmetycznych postać równana (52) r> Dla stosunku a/b ^ możemy sę spodzewać, że wyboczene nastąp według jednej półfal zarówno w kerunku x jak y. Położymy m=l. Dla wzrastającego stosunku - nadejdze wreszce b moment, gdy wyboczene jest możlwe zarówno w jednej jak w dwóch półfalach. Dla dalszego wzrostu stosunku otrzyo mamy postać wyboczena w kształce dwóch półfal (m=2) td. Gdy obcążene dzała zarówno w kerunku x jak y otrzymamy układ równań V! 2 (54a) N 3Ï 2 N 3y 2 V 2 u;=( P. (54b) Po zmane tego układu równań na układ równań różncowych, rozwązane otrzymamy w. postac: Y k =l q S TU Y ) k - Xp V B, A* Y 8 k (55)

25 5b W. Nowack Arch. Mech. Stos. N n- jeżel zważyć, że przy wygęcu w jednej półfal w obu kerunkach dla yc> zawsze będze A 2 F<, to ze wzoru (55) łatwo stwerdzmy, że ze wzrostem l p maleje sła krytyczna l Q na odwrót, (przy założenu, że oba obcążena są ścskające). Jeśl q(y) jest ścskanem, p(x) rozcąganem, to wzrost q(x) wywołuje powększene sły krytycznej. 2. Dla płyty prostokątnej swobodne podpartej w krawędzach x=; x=a, a utwerdzonej zupełne czy sprężyśce na pozostałych krawędzach, ne uda sę już rozbć równana (47) na układ dwóch trójczłonowych równań. Przy przyjęcu w=y(y) sn napszemy równane (47) w postac dy 4 dy"" mt a= a a po przejścu z pochodnych na lorazy różncowe Rozwązane tego układu równań daje N n' A-,2,.., n-l (56) fc+2 Warunk brzegowe tego zagadnena kształtują sę tu następująco. Dla brzegu utwerdzonego zupełne w krawędz y=; otrzymamy: K()=; 7'()= względne F =; Y^-=Y (58)

26 Tom III 95 Z zastosowań rachunku różnc skończonych 57 Dla brzegu swobodnego: m y =" -N ( -^+ \ jj ) =-V[7''()-[a 2 y()]sna.v= W rachunku różnc skończonych zatem: = -V [K'"(O)-(2-n) a 2 y'()] sn ax=. [3 + 2 (2-]) Q 2 ] 3. Płyta dookoła zupełne utwerdzona (59) Obcążene q (y) dowolne rozłożone na krawędzach x= x=a. Wychodzmy z równana różnczkowego (47). Zamenmy to równane na układ równań lnowych. Podzelmy bok a na m równych odcnków Ax, a bok b na n odcnków Ay. Otrzymamy X r (6) na Przyjmujemy postać wygęca płyty w przekroju y=const. Rzędne X r (r=l, 2..., m ) traktujemy jako znane. Sumujemy teraz równane (6) obustronne w kerunku os x. Otrzymamy I» -4-! _ 4-4. _ 4 I I T~" "~ "T~ t~ T~ -f - - l _* <. y\ ' ^r _ - 4 -? 4 _ j, _! I L. b-nóy _ II (6) Rys.. 5 gdze 2& m-v m l

27 -sjng W. Nowack Arch. Mech. Stos. Rozwązanem tego pęcoczłonowego równana w budowe swej podobnego do równana (55) będze Y k - k) S m Y a k (62) Z równana tego znajdzemy w znany sposób A (l) oraz wartośc Y k (k=u 2,, n-). Wartośc Yn są zatem znane. Sumujemy teraz równane (6) w kerunku os y. Otrzymamy ' 3 X r A + Q à* X r = ~ ^ 'lr A 2 X r (63) gdze «Rozwązane tego pęcoczłonowego równana daje dń (64) Z tego równana wyznaczamy A (2) oraz stosunk rzędnych X r. Sumując równane (6) ponowne w kerunku os x otrzymujemy nowe wartośc A, B z równana (6) wyznaczamy następną wartość A (s ). Iterując równane (62) (64) otrzymujemy cąg wartośc A (l ), À( 2 ) o znacznej zbeżnośc. Powyższe rozważana dadzą sę rozszerzyć na wypadk płyty, w których jedna, dwe lub trzy krawędze są swobodne. Duże zastosowane znajdze rachunek różnc skończonych do płyt o zmennej w sposób cągły lub necągły grubośc płyty oraz do wypadków obcążena płyt słam skuponym. Omówone tu rozwązane zagadneń wyboczena płyt, można także rozszerzyć na zagadnene drgań swobodnych płyt. #V - (65)

28 Tom III 95 Z zastosowań rachunku różnc skończonych 5Q9 względne na zagadnene ogólnejsze, jak drgane płyt, podlegają cych ścskanu względne rozcąganu w jednym lub obu kerun kach os współrzędnych. Ponżej podajemy trzy proste przykłady, które pozwolą zorentować sę tak w toku postępowana, jak w korzyścach płynących z zastosowań rachunku różnc skończonych do statyk dynamk konstrukcj nżynerskch. (F Przykłady Wyboczene płyty. Płyta kwadratowa, na brzegach swobodne podpartą. Obcążene q dzała na brzegach x =, x a. Podzał boku b na 7 równych częśc. Zmenność obcążena określa wzór r h\ Rys. 6 J > Jako perwsze przyblżene przyjęto krzywą Y{, ) nesymetryczną dla [J,"a HYnetryczną dla (3 =. Rozpatrzono trzy wypadk a) P «2 ; b) _P - ; c) p -. Przy podzale na 7 częśc założenu, że wygęce nastąp w jednej półlal w kerunku os x y otrzymamy - =,242 2 = 2,242. a 2 n 2 49 Macerz układu równań (5 a, b) przyjmuje 2,242, 2,242, postać 2,242,, 2,242, 2,242, 2,242 Dla tego układu wyznaczono najperw przy pomocy skróconego algorytmu Gaussa, macerz sprzężoną (%cll

29 5 W. Nowack Arch. Mech. Stos. \ % 4 H 6,63894,4657,8953,2569,56377,985, ,64644,9853,8997.9H73,3467, ,487, ,4657,63894 Z macerzy tej wyznaczono macerz \ t , ,92,6686,8637,4245,8792,92,45596,43,259,4245,62,7777,84394,67359 a) Wypadek = 2 ; g h = gr -2- =<7 k. Obcążene q^ odpowada czystemu zgnanu płyty, jako perwsze przyblżene przyjmujemy krzywą nesymetryczną, przy czym rzędne jej ne są określone równanem przyjęto je operając sę jedyne na ntucj. Wartośc % F podajemy w ponższym zestawenu :,7424,3,224,42857,33,44,4286,4286,42857,7429,275,2,2,6 ',393,285,54,429 = Dalsze przyblżena wylczamy ze wzoru Podajemy zestawene tych przyblżeń Draż sumę rzędnych Yfc (r> k= V Yk (r) y fc m- y fc m-,256,244,244,3552, ,326,33,363,278,233.22, 5,246,7,335,59,325,272,343,269

30 Tom III 95 Z zastosowań rachunku różnc skończonych 5 Oblczamy parametry A kolejnych przyblżeń; ) - - -,95, vy, c (D ^=" --,9476 ' h'. V V, ( 2 ) X(»)= -L_=62 q kr =2bA77. Wartość q'fc,- wyznaczoną przez S. Tmoszenko *) metodą energetyczną wynos <7fc r 25,o n \ Jako perwsze przyblżene przyjęto welobok Yk () jak dla wypadku a).. * ,,, Y*< >=,8574,3,2657,7429,33,357,5747,275,57,42857,2,857,28572,2,343,4286,6,86 Podajemy dalsze przyblżena uzyskane ze wzoru (52) =!,5684,677 5,678,9286 2,8787 2,6892,3 3,357 4,549,925 3,2,9,673 2,3395 4,252,3493,2367,6229 4,4692 4,69 47,29,295. 4,4692 ) = ( 4,4692~ 3.45 ''^ 4,69 ~ 3,2368 X _ 4,6 c > (3 47,29 "3,22 ' Dla trzecego przyblżena otrzymamy jt 2 b A b 2 *). S Tmoszenko, Theory of Elnstc Stablty. 936, st. 355.

31 52 W. Nowack Arch. Mech. Stoâ. Metodą energetyczną otrzymuje S. Tmoszenko wartość c) Wypadek {3=. Obcążene <7=const. ï =l. Jako perwsze przyblżene przyjmujemy krzywą symetryczną. Przy dalszych przyblżenach wystarczy wyznaczać Yfc dla trzech perwszych punktów. K = Y () = y () = Yjc (2)»,454 2,79 7,46 2,782 4,93 3,78.X (l) 2,99 X (S! ) 3,734 Dla drugego przyblżena otrzymamy * 3.,9749 6,94 38,296 2,99 3,734 86,43 zamast wartośc scsej Resume De l'applcaton du calcul des dfférences fnes aux problèmes de la mécanque de constructon Ce mémore trate de l'applcaton du calcul des dfférences aux problèmes de la mécanque de constructon concernant le flambage et la vbraton des poutres et des plaques. La soluton du système des équatons lnéares qu'on obtent ensubsttuant les coeffcents dfférentels aux dérvées dans les équatons aux dfférences, y est amenée à l'expresson propre à l'tératon. L'auteur envsage l'analoge advenant dans la résoluton des dtes équatons et dans celle des équatons ntégrales, ans que des équatons aux dfférences. (Praca >plynęła do Redakcj, dna 6. I, 932 r.)