Metody bezsiatkowe i inne metody komputerowe na tle MES

Transkrypt

1 Metody bezsatkowe nne metody komputerowe na tle MES Sławomr Mlewsk Potr Plucńsk

2 Wprowadzene Metoda Elementów Skończonyc MES Ogólna, najbardzej rozpowszecnona, najbardzej rozwnęta Podstawa wększośc programów komercyjnyc (Abaqus, Adna, Ansys, Dana, FEL, Feap, Mark, Robot, ) Stosowana przy wększośc zadań nżynerskc mecank fzyk Rozwnęte klasy typy elementów skończonyc, podstawy matematyczne, opracowane wynków, metody szacowana błędów

3 Wprowadzene Dlaczego mówmy o nnyc metodac komputerowyc? Względy storyczne (MES ne jest najstarsza ) Względy dydaktyczne (łatwej rozwązać zadane ręczne za pomocą np. metody różnc skończonyc) Względy praktyczne Nektóre zastosowana (analza płyt, rucomy brzeg, szczelna, ) Dostępne oprogramowane (własne lub komercyjne) Kombnacje metod (np. MES + BMRS) Potrzeba weryfkacj oblczeń MES nną metodą Efektywność szybkość algorytmu Potrzeba częstej przebudowy satk (adaptacja) Dokładność rozwązana jego pocodnyc (nadzbeżność) Końcowe opracowane wynków (podejśce ybrydowe) Aktualne trendy w nauce (metody bezsatkowe)

4 Krytera klasyfkacj metod oblczenowyc

5 Dyskretyzacja obszaru Ω Ω MEODA ELEMENÓW SKOŃCZONYCH MEODA ELEMENÓW BRZEGOWYCH MEODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH MEODY BEZSIAKOWE BEZSIAKOWA MEODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH MEODY RESIDUÓW WAŻONYCH MEODY ENERGEYCZNE INNE

6 Aproksymacja rozwązana Metody brzegowe Metody bezsatkowe Metody elementowe

7 Klasyfkacja metod komputerowyc NAZWA MEODY SFOR- -MUŁOWANIE PODSAWA DYSKREYZACJI SPOSÓB DYSKREYZACJI SPOSÓB APROKSYMACJI CAŁKOWANIE NUMERYCZNE OPRACOWANIE WYNIKÓW MEODA ELEMENÓW SKOŃCZONYCH SŁABE (WARIACYJNE / FUNKCJONAŁ) OBSZAR WĘZŁY + + ELEMENY INERPOLACJA F.KSZAŁU W ELEMENCIE W ELEMENCIE MES + INNE MEODA ELEMENÓW BRZEGOWYCH RÓWNANIE CAŁKOWE OBSZAR BRZEG ELEMENY INERPOLACJA BRZEGOWA NA BRZEGU (CAŁKI WŁAŚCIWE I NIEWŁAŚCIWE) MEB + INNE MEODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH MOCNE (LOKALNE) OBSZAR WĘZŁY WZORY RÓŻNICOWE NIE JES PORZEBNE APROKSYMACJA WARIACYJNA MRS SŁABE (WARIACYJNE) OBSZAR WĘZŁY WZORY RÓŻNICOWE DOOKOŁA LUB POMIĘDZY WĘZŁAMI APROKSYMACJA MEODY BEZSIAKOWE (BEZSIAKOWA MRS) MOCNE / SŁABE (WARIACYJNE) OBSZAR WĘZŁY MEODA MWLS RÓŻNE SPOSOBY MWLS MEODY RESIDUALNE (GALERKIN, NK, KOL.) SŁABE (WARIACYJNE) BRAK BRAK KOMBINACJA LINIOWA F.BAZOWYCH ANALIYCZNIE INERPOLACJA MEODY ENERGEYCZNE (RIZ) SŁABE (FUNKCJONAŁ) BRAK BRAK KOMBINACJA LINIOWA F.BAZOWYCH ANALIYCZNIE INERPOLACJA

8 Metoda różnc skończonyc - wersja lokalna

9 MRS (lokalna) na tle MES MRS lokalna MES Sformułowane problemu brzegowego u = Lokalne f P Ω u u = u ( P ) α u + β = g P Ω n - Waracyjne - Funkcjonał u u vdω + vd Ω = f v dω n Ω Ω Ω u I( u)= F u, d Ω, mn I( u) =? n ( u) Ω Generacja satk Aproksymacja Generacja równań dyskretnyc Całkowane Warunk brzegowe Macerz Układu równań yp (prostokątna, trójkątna) + moduł Generacja wzorów różncowyc dla pocodnyc z równana Kolokacja Brak Dodatkowe wzory różncowe brzegowe Na ogół nesymetryczna Specjalne programy - generatory Interpolacja rozwązana w elemence za pomocą funkcj kształtu Spełnene równana waracyjnego w elemence Kwadratury Gaussa w elemence Modyfkacja układu równań Symetryczna pasmowa

10 Etapy MRS generacja satk Źródło: Orksz J., Fnte Dfference Metod, part III n Handbook of Computatonal Mecancs, ed: Kleber, Sprnger, 998

11 Etapy MRS generacja wzorów różncowyc D: gwazda trójwęzłowa standardowa D:, j + gwazda pęcowęzłowa u u u + u gwazda pęcowęzłowa u u + u + u +, j +, j, j, j + + gwazda dzewęcowęzłowa Sposoby generacj wzorów różncowyc: - Składane wzorów złożonyc ze wzorów prostyc: - Wymuszene zgodnośc dla jednomanów - Interpolacja różnczkowane - Metoda współczynnków neoznaczonyc ( metoda aylora )

12 Generacja wzorów różncowyc przykłady oblczeń D - metoda współczynnków neoznaczonyc operator: u u au bu cu '' u = u u + u + u = u u u u u '.5 ''... + = + ' +.5 '' +... ( ) u '' u a + b + c + u ' ( a + c) + u '' (.5 a +.5 c) u + u + a = b = c = - metoda współczynnków neoznaczonyc operator: u '' au + bu ' + cu + u = u u ' = u ' u u u u + = + ' +.5 '' +... ( ) u '' u a + c + u ' ( b + c) + u ''.5 c u, u ' u + + a = b = c = - składane operatorów u+ u u u + u+ u ' u '' ( u ' )' = u ''' ( u '' )'...

13 Generacja wzorów różncowyc przykłady oblczeń D - metoda współczynnków neoznaczonyc operator: ( '' ) ( '' ) u, j = u xx + u, yy au bu cu du eu j, j, j +, j + +, j +, j+ +, j ( ) ( ) u, j = u, j u ' x +.5 u '', xx +... j, j u, j = u, j ( u ' y ) +.5 ( u '' )..., yy + j, j u+, j = u, j + ( u ' x ) +.5 ( u '' )..., j xx +, j u, j+ = u, j + ( u ' y ) +.5 ( u '' )..., j yy +, j u, j = u, j ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), j +, j, j +, j, j u u a b c d e u ' a c u ' b d ( u '' ), (.5.5 ) ( '' ) (.5.5 ) 4 xx a + c + u j yy b + d, j e =, j =, j x + +, j y + +, j a = b = c = d = - składane operatorów u u + u u u + u u + u + u + u 4u ( u '' xx ), ( u '' yy ), j, j +, j, j, j, j+, j, j ( '' ) ( '' ), j, j +, j, j+, j u, j = u xx + u, j yy, j

14 Etapy MRS generacja równań różncowyc L u = f u u ( P ) P Ω = G u = g P Ω Kolokacja we węzłac Lu G u = f P Ω = g P j Ω j Uwzględnene warunków brzegowyc Operator budowany tylko na węzłac wewnętrznyc Operator budowany na węzłac wewnętrznyc - z wykorzystanem uogólnonyc stopn swobody Operator budowany na węzłac wewnętrznyc zewnętrznyc fkcyjnyc węzłac

15 Zgnana belka równane II rzędu sformułowane matematyczne równane różnczkowe zwyczajne II rzędu EI L q(x) x y d y dx M ( x) = f ( x) =, y() =, y( L) = EI ( ) M ( x) = qlx qx = qx L x dla q = const.

16 Problemy brzegowe II rzędu - zamana pocodnyc ścsłyc na numeryczne + y ' y + y y y y + y + ''

17 Przykład: satka 5-co węzłowa EJ 4 L q(x) 5 x d y M ( x) = f ( x) = dx EI y() =, y( L) = = L 4 y zaps tradycyjny do oblczeń ręcznyc zaps macerzowy do oblczeń komputerowyc y y + y y y + y4 y y4 + y5 = f ( x ) ( ) = f x y y, y = f, 4 ( x ) 4 y y f x y ( ) ( ) ( x ) y f y y 5 y 5 A y = f x y = B y A B

18 Zgnany wspornk równane II rzędu sformułowane matematyczne równane różnczkowe zwyczajne II rzędu q EI x L y d y dx M ( x) = f ( x) =, y '() =, y() = EI M ( x) = q( L x)

19 Zgnany wspornk równane II rzędu - model oblczenowy MRS warant I węzeł fkcyjny L n- n = = const n y y + y x : = f x ( ) xn = L y y y = = y = y... y... y f ( x )... y f ( x ) y 4 = f ( xn ) y n f ( xn ) y n

20 Zgnany wspornk równane II rzędu - model oblczenowy MRS warant II ulepszony operator brzegowy L n- n = = const n xn = L y y ' + y = f x y = ( )... y... y f ( x )... y f ( x ) y 4 = f ( xn ) y n f ( xn ) y n ten sam układ równań, co dla warantu I

21 Ustalony przepływ cepła (D) Ω = '' xx + '' yy = w Ω = na = qn na n Ω Ω q f k q n Ω Ω q wartość operatora w węźle = '' xx + '' yy Ω = ( ) 4

22 Ustalony przepływ cepła D przykład oblczeń MRS m m = C = C = C Materał zotropowy kx = k y = k = 7 = C o J Cms Intensywność generacj cepła wewnątrz obszaru (na jedn. grubośc) J f ( x, y) = m s ( x y + ) = C m = C m

23 Ustalony przepływ cepła D przykład oblczeń MRS satka MRS 9 moduł satk ( węzłów) = [ m] Węzły wewnętrzne (5): 8, 9,,, 4 Węzły brzegowe (6): -6, 7,,, 5- m m (, ) (,) (,) (,) ( 4,) m m

24 Ustalony przepływ cepła D przykład oblczeń MRS układ równań początkowa postać układu równań ( x ) algebracznyc równane nr - węzeł nr - brzeg równane nr - węzeł nr - brzeg równane nr - węzeł nr - brzeg równane nr 4 - węzeł nr 4 - brzeg równane nr 5 - węzeł nr 5 - brzeg równane nr 6 - węzeł nr 6 - brzeg równane nr 7 - węzeł nr 7 - brzeg równane nr 8 - węzeł nr 8 - wnętrze równane nr 9 - węzeł nr 9 - wnętrze równane nr - węzeł nr - wnętrze równane nr - węzeł nr - wnętrze równane nr - węzeł nr - brzeg równane nr - węzeł nr - brzeg równane nr 4 - węzeł nr 4 - wnętrze równane nr 5 - węzeł nr 5 - brzeg równane nr 6 - węzeł nr 6 - brzeg równane nr 7 - węzeł nr 7 - brzeg równane nr 8 - węzeł nr 8 - brzeg równane nr 9 - węzeł nr 9 - brzeg równane nr - węzeł nr - brzeg równane nr - węzeł nr - brzeg =

25 Ustalony przepływ cepła D przykład oblczeń MRS równana różncowe = = f ( x8, y8 ) = k

26 Ustalony przepływ cepła D przykład oblczeń MRS równana różncowe / 7 = = f ( x9, y9 ) = k 7

27 Ustalony przepływ cepła D przykład oblczeń MRS równana różncowe / / 7 = = f ( x, y ) = k 4 7

28 Ustalony przepływ cepła D przykład oblczeń MRS równana różncowe / / 7 4 = 6 / = f ( x, y ) = k 7

29 Ustalony przepływ cepła D przykład oblczeń MRS równana różncowe / / 7 4 = 6 / / = f ( x4, y4 ) = k 7

30 Ustalony przepływ cepła D przykład oblczeń MRS warunk brzegowe = 9 9 = = = / / 7 4 = 6 / / = 8 = 5 = 6 = 7 = = = = = 4 = 5 = 6 =

31 Ustalony przepływ cepła D przykład oblczeń MRS układ równań końcowa postać układu równań ( x ) algebracznyc / / 7 4 = 6 / / =

32 Krzywolnowy brzeg? MRS klasyczna MRS dla satek neregularnyc

33 Blans MRS MES MRS: zalety: wady: Najstarsza metoda komputerowa Łatwość mplementacj Istnene wersj lokalnej Łatwa generacja satk Dydaktyczny carakter rudnośc przy krzywolnowym brzegu Ne można przeprowadzć adaptacj Ne można lokalne zagęszczać satk (naroża, obcążena skupone, ) rudna do automatyzacj MES: zalety: wady: Najbardzej powszecna metoda komputerowa Podstawa programów komputerowyc Szeroke pole zastosowań Ogromna bbloteka elementów skończonyc Duża dokładność rozwązana Kłopotlwa generacja satk dla obszarów o skomplkowanej geometr Mało efektywna przy częstej przebudowe satk Uwzględnane nelnowośc geometrycznyc (duże przemeszczena, ) rudnośc w analze rucomego brzegu, rozwoju szczelny Zjawsko blokady

34 Bezsatkowa metoda różnc skończonyc

35 Satk neregularne SIAKA REGULARNA W PODOBSZARACH SIAKA NIEREGULARNA, RZUOWANA Z SIAKI REGULARNEJ DOWOLNIE NIEREGULARNA SIAKA SIAKI O RÓŻNYM SOPNIU NIEREGULARNOŚCI

36 Bezsatkowa (Uogólnona) Metoda Różnc Skończonyc BMRS DOWOLNIE NIEREGULARNE CHMURY WĘZŁÓW (WĘZŁY NIE POWIĄZANE ZE SOBĄŻADNĄ SRUKURĄ YPU SIAKA REGULARNA CZY ELEMEN) KAŻDY WĘZEŁ MOŻE BYĆ USUNIĘY, DODANY, PRZESUNIĘY (ADAPACJA YPU, OBCIĄŻENIE SKUPIONE, SZCZELINA, WĘDRUJĄCY BRZEG,...) Ceca metod bezsatkowyc MB ZAMIANA OPERAORÓW RÓŻNICZKOWYCH NA RÓŻNICOWE Ceca metod różncowyc MRS APROKSYMACJA LOKALNA JES OPARA NA GRUPIE WĘZŁÓW, DOKONYWANA MEODĄ NAJMNIEJSZYCH WAŻONYCH KROCZĄCYCH KWADRAÓW MEODA ELEMENÓW SKOŃCZONYCH Ceca metody BMRS MEODA BEZSIAKOWA (np. BMRS)

37 Generacja węzłów opologa - welokąty opologa - trójkąty Generacja gwazd Generacja wzorów różncowyc (MWLS) f Du = u ( x, x ) K q u ( x, x) Całkowane numeryczne x x x x x x x x x x x x x x x x x x x u u u u j x Gauss ponts nodes central pont a) ntegraton over te Vorono polygons b) ntegraton over te Delaunay trangles c) ntegraton over te element of te ndependent mes d) ntegraton over te support of te approxmaton wegt x x Uwzględnene warunków brzegowyc ( x, u ) ( x, u ) j j Generacja równań różncowyc - kolokacja - mnmum funkcjonału - równane waracyjne Rozwązane układu Równań + Postprocessng

38 Generacja węzłów : Kryterum generacj: p - funkcja określająca żądaną gęstość satk ρ ρ max p

39 Podzał obszaru essalacja Vorono

40 Połączena węzłowe rangularyzacja Delaunay

41 Determnacja topolog Sąsedztwa węzłowe

42 Optymalna selekcja gwazd różncowyc Krytera selekcj sąsadów Vorono krzyża

43 Aproksymacja MWLS dea D 4 u( x, x ) 5 u( x, x ) n aproksymacja globalna rucoma lokalna aproksymacja Aproksymacja lokalna D zaps tradycyjny (welomanowy) ( ) ( ) ( ) ( ) u( x, x ) = a + a x x + a x x a x x = p+ p+ = a x x = Aproksymacja lokalna D zaps bezsatkowy (rozwnęce w szereg aylora) p a - matematyczne stopne swobody p p du d u d u p d u = p = dx dx p! dx =! dx u( x, x ) u... = x x d u - fzyczne (mecanczne) dx stopne swobody

44 Aproksymacja MWLS { u } u ' aproksymacja u( x, x) = p Du p =..., Du = lokalna [ p+ ] [ p+ ]... p ( p) u p! ważona funkcja błędu J = ( PDu q) W ( PDu q) q [ n ] P p ( ) ω( x x )... p ( ) =, W =... ω( x xn ) p ( n ) [ n p+ ] [ n n] = { u } [ u,..., u ] - występuje, gdy dany punkt ne jest węzłem n mnmalzacja błędu J Du ( u ) u ( ) = = = P W PD q D P W P P W q = Mq Du = M q ( ) [ p+ n] M = P W P P W Macerz wzorów różncowyc

45 FUNKCJE WAGOWE ( ) Aproksymacja MWLS ω x x = f ( d) d = x x powszecne stosowane KLASYFIKACJA osoblwe nterpolacja neosoblwe wygładzane nośnk neskończony (wygodne dla oblczeń) BMRS: operatory różncowe ω ( d ) = p+ s d + ε BMRS: wygładzane danyc nośnk skończony (wygodne dla matematycznyc dowodów) ω ( d ) = d + ε, x, BMRS: operatory różncowe ( ), x a, a p+ s ( a a) a EFG, metody jądrowe, p-clouds BMRS: wygładzane danyc a

46 Aproksymacja MWLS przykład oblczenowy D Zał: p = (aproksymacja lokalna za pomocą parabol) Szukane: w' =?, w'' =? w w w w4 w5 rozwnęce w szereg aylora wartośc funkcj w węzłac względem węzła (punktu) centralnego w = w w' + ( ) w'' +... w w = w w' + w'' +... w w = w w4 = w + w' + w'' +... w4 w = w + w' + ( ) w'' +... w 5 5 funkcja wagowa (dla D: d = ) ω ( d ) = ω ( ) = + d p+ s budowa funkcj błędu + ε J = ( w w ) + ( w w ) +... ( ) + + ( w4 w4 ) + ( w5 w5 ) ( )

47 Aproksymacja MWLS przykład oblczenowy D Zał: p = (aproksymacja lokalna za pomocą parabol) Szukane: w' =?, w'' =? w w w w4 w5 mnmalzacja funkcj błędu mn J ( w', w'' ) J = w' J = w'' J w w w4 w5 = 6 ( w w ) + 6 ( w w ) + 6 ( w4 w4 ) + 6 ( w5 w5 ) = w' 79 w' w' w' 79 w' J w w w w 4 ( w w ) ( w w ) ( w w ) ( w w ) 5 = = w'' 79 w'' w'' w'' 79 w'' ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) w w + 79 w w + 79 w w + w w = w w + 79 w w + 79 w4 w4 + w5 w5 = ( ) ( ) ( ) ( )

48 Aproksymacja MWLS przykład oblczenowy D Zał: p = (aproksymacja lokalna za pomocą parabol) Szukane: w' =?, w'' =? w w w w4 w5 ( w w ) ( w w ) ( w4 w4 ) ( w5 w5 ) ( w w ) + 8( w w ) + 8( w w ) + ( w w ) = = w w' + ( ) w'' w 4 w w' + w'' w w + w' + w'' w4 + w + w' + ( ) w'' w5 = w w' + ( ) w'' w + 8 w w' + w'' w w + w' + w'' w4 w ( ) + + w' + w5 = w''

49 Aproksymacja MWLS przykład oblczenowy D Zał: p = (aproksymacja lokalna za pomocą parabol) Szukane: w' =?, w'' =? w w w w4 w5 49 w' = w 4w + 4w + w w'' = w + 8w 64w + 8w4 + w5 w' w'' w 4w + 4w4 + w5 49 w + 8w 64w + 8w + w np. dla w( x) = sn( x) x =, x = π, x = π, x4 = π, x5 = π = π 6 w 4w + 4w4 + w5 w' = e = ( ) w + 8w 64w + 8w4 + w5 e.9 4% w'' =. 967 = = 9

50 Aproksymacja MWLS przykład oblczenowy D Zał: p = (aproksymacja lokalna za pomocą f.lnowej) Szukane: w =?, w' =? w w w4 w5 rozwnęce w szereg aylora wartośc funkcj w węzłac względem węzła (punktu) centralnego w = w w' +... w w = w w' +... w w4 = w + w' +... w4 w = w + w' +... w 5 5 funkcja wagowa ω p+ s d + ε ( d ) = ω ( ) = + budowa funkcj błędu J = ( w w ) + ( w w ) + ( ) + ( w4 w4 ) + ( w5 w5 ) ( ) mnmalzacja funkcj błędu mn J ( w, w' ) J = w J = w'

51 Aproksymacja MWLS przykład oblczenowy D Zał: p = (aproksymacja lokalna za pomocą f.lnowej) w w ' Szukane: w w w 4 ' 4 =?, w' =? rozwnęce w szereg aylora wartośc funkcj w węzłac względem węzła (punktu) centralnego w = w w' +... w, s = w' = w' w'' +... w', s = w = 4 w w4, s = w' w' 4 = w' + w'' +... w' 4, s = funkcja wagowa ω ( d ) = ω ( ) = d p+ s + ε + s budowa funkcj błędu J = ( w w ) + ( w' w' ) + + ( w4 w4 ) + ( w' 4 w' 4 ) mnmalzacja funkcj błędu mn J ( w, w' ) J = w J = w'

52 Aproksymacja MWLS dea D u j j ω funkcja wagowa ( d ) = = p+ s p+ s d + ε + + ε ( k ) k j d j X x, y ( ) Aproksymacja lokalna D du du d u d u d u u( x, y, x, y) = u + + k + + k + k +... dx dy dx dxdy dy p= p= p= = x x, k = y y

53 Aproksymacja MWLS przykład D a Dane: w, w, w, w4, w5 Zał: p = (aproksymacja lokalna za pomocą płaszczyzny) Szukane: w' =?, w' =? x,5 y,5 o 45 a 5 a a w = w5 aw' x, w π π w = w a cos w' + a sn w' +... w 4 4 w = w5 + aw' x, w w4 = w5 aw' y, w4 w5 = w5 5 x,5 y,5 4 J = ( w w ) + ( w w ) + a a + ( w w ) + ( w4 w4 ) + a a J = w' 5,x mn J ( w' 5, x, w' 5, y ) J = w' 5,y

54 Całkowane w BMRS a) CAŁKOWANIE DOOKOŁA WĘZŁA PO WIELOKĄACH VORONOI (NAJLEPSZE DLA PARZYSYCH OPERAORÓW) AK JAK W KLASYCZNEJ MRS b) CAŁKOWANIE POMIĘDZY WĘZŁAMI PO RÓJKĄACH DELAUNAY (D) (NAJLEPSZE DLA NIEPARZYSYCH OPERAORÓW) AK JAK W MES c) CAŁKOWANIE PO SIACE ŁA NIEZALEŻNEJ OD WĘZŁÓW AK JAK W MEODACH BEZSIAKOWYCH d) CAŁKOWANIE PO SREFACH WPŁYWU FUNKCJI WAGOWYCH APROKSYMACJI MWLS AK JAK W ME. BEZSIAK. x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x punkt Gauss Gaussa ponts węzeł nodes punkt central centralny pont a) całkowane ntegraton po over welokące te Vorono Vorono b) b) całkowane ntegraton po over trójkące te Delaunay c) c) całkowane ntegraton po over nezależnej te element satce of d) całkowane d) ntegraton po nośnku over te funkcj support wagowej polygons trangles te ndependent mes of te approxmaton wegt

55 Warunk brzegowe w BMRS ( x, u ) użyce jedyne wewnętrznyc węzłów słaba jakość m u = a u j j j= użyce węzłów wewnętrznyc uogólnonyc stopn swobody m m ( k) = j j + j j j= j= u a u b u podejśce welopunktowe użyce wewnętrznyc dodatkowyc zewnętrznyc węzłów m m f = j j + k k j= k = u a u b u, f f ( x, u ) ( x, u ) użyce węzłów wewnętrznyc z warunkem brzegowym równanem z obszaru zapsanym na brzegu Lu = f, Gu = g, P Ω m kombnacje powyższyc sposobów m a u = b f j j j j j= j= k k j ( xj, uj, f j, gj) ( x, u ) ( x, u ) j ( x, u ) j j ( x, u ) j j

56 Rozwązane zadana D za pomocą BMRS w w w 7w + 4w 6w4 w5 w' 49w 56w + 464w + 59w + 4w w'' w4 w w 4w + 4w4 + w5 w' ( ) 49 w + 8w 64w + 8w4 + w5 w'' 9 w = w = 49w 56w + 464w + 59w4 + 4w5 5 ql = 4 7 ql 5( L EI ) w =.86 ql 6 EI w' =.6 4 EI w + 8w 64w + 8w4 + w5 ql ql = w =.4 w' = 9 8 EI EI ( L 6) ql.6 EI EI w = 5 w = 5 4 ql w' 4 = w w 4 = w 4 =.86 w 5 q sformułowane lokalne d w M ( x) = f ( x) = dx EI w() =, w( L) = ( ) M x = qlx qx = qx L x ql w'' =.694 EI ql w'' =.5 EI ql w'' 4 =.694 EI = L 6

57 Rozwązane zadana D za pomocą BMRS sformułowane waracyjne L w' v ' dx = f v dx w() = w( L) = L v() = v( L) = w w 4 5 w4 w w w v v w w v v + f v fv ( fv fv ) = w w w w w v + + v = v f + f + v f, v, v w 5 q = L 6 w w + = f w w = f w = w5 = ql w = w4 =.9 EI ql w =. EI 4 4

58 Rozwązane zadana D za pomocą BMRS sformułowane lokalne F '' + F '' = f ( x, y) xx yy F = na Ω sformułowane waracyjne F ' v ' + F ' v ' dω = f ( x, y) vdω Ω x x y y F = na Ω, v = na Ω Ω 8 9 F = Ω Ω /6 / /6 / / -/ /6 / /6 sformułowane lokalne sformułowane waracyjne F9 + F4 F8 + F v9 + v4 v8 + v F8 + F9 F + F4 v8 + v9 v + v4 L = + P = fv + f8v8 + f9v9 + f4v4 4 ( ) F 4