PODSTAWY MECHANIKI I WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

ODSTAWY MECHANIKI I WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW MATERIAŁY DO WYKŁADU Opacował: d hab. inż. Zygmunt Lipnicki Instytut olitechniczny aństwowa Wyższa Szkoła Zawodowa W Głogowie.3.5

Liteatua wykozystana w opacowanych mateiałach:. Misiak Jan: Mechanika techniczna - statyka i wytzymałość mateiałów t., WNT, Waszawa, 6. Misiak Jan: Mechanika techniczna kinematyka i dynamika t., WNT, Waszawa,999 3. Osiński Zbigniew: Mechanika Ogólna cz. I i II, WN, Waszawa, 987 4. Kozeniewski Zygmunt: odstawy mechaniki ciała stałego, Wyd. olitechniki Waszawskiej, Waszawa, 974 5. Niziol Józef: Metodyka ozwiązywania zadań z mechaniki, WNT, Waszawa 6. Gubynowiczowa Janina: Wytzymałość mateiałów, WN, Waszawa, 969 7. Lejko Jezy, Szmeltea Jan: Zbió zadań z mechaniki ogólnej t., WN, Waszawa, 983 8. Kowalski J. Stefan, Mielniczuk Janusz, aszkowicz M. Agnieszka: Mechanika techniczna dla studentów kieunków niemechanicznych, WS, Zielona Góa, 998 9. Kaaśkiewicz Edmund: Zays teoii wektoów i tensoów, WN, Waszawa, 974

I. ELEMENTY RACHUNKU WEKTOROWEGO W MECHANICE.

Skalay i wektoy w mechanice. Skala. Wekto i jego odzaje: wekto swobodny, wekto posuwny. 3. Działania na wektoach: mnożenie wektoa pzez liczbę, dodawanie wektoów, iloczyn skalany wektoów, iloczyn wektoowy wektoów.

Skala Skalaami nazywamy wielkości, dla oznaczenia któych potzebne jest podanie jednej liczby, opisującej jej miaę. zykłady: objętość, masa, tempeatua, gęstość, paca, potencjał itp.

Wekto i jego odzaje z k w z w w i w ( w, w, w ) j w y y k w z z i α k γ j β jw y y y w w w w z i w cos α cos β cos γ

Mnożenie wektoa pzez liczbę w ( ) mw m w ( m ) m ( ) mw m

Dodawanie wektoów dodawanie dwóch wektoów: odejmowanie wektoów: w w w w w w w ( ) w

Dodawanie wektoów dodawanie n wektoów: w w w... w... i w n n i w i

Iloczyn skalany wektoów Iloczyn skalany dwóch wektoów: w i w w w cosα w w ww cosα α w cosα w w w w w w yw y w zwz

Iloczyn skalany wektoów iloczyn skalany jest pzemienny: w w w w iloczyn wektoów postopadłych: w w w w iloczyn wektoów jednakowych: w w w w

w w α w e e l α ( w e ) e e l Składowa wektoa wzdłuż osi l Wekto składowy wzdłuż osi l

Iloczyn wektoowy dwóch wektoów w w w Moduł wektoa, w α w w w sin Wekto jest postopadły do wektoów w w i w z y z y w w w w w w k j i w w w

Iloczyn wektoowy nie jest pzemienny. w w w w w w w w w Iloczyn wektoowy dwóch jednakowych wektoów. w w w

Funkcje wektoowe Wektoy mogą być stałe i zależne od czasu. v Wektoy zależne od czasu twozą funkcję wektoową czasu: w v ( ) w t z hodogaf funkcji wektoowej i k j w v w v t () y

ochodna wektoa z w v w v t () C w &v () t w&v () t C Δw v Δt dw t dt ( ) lim Δt Δw Δt i k j w&v w v w v t ( Δt) y ( t) w& ( t) i w& ( t) j w& ( t)k y z

( ) [ ] ( ) ( ) w w w w dt w d w dt w d const t w t w t w & & v. Kieunek pochodnej wektoa o stałej długości

II. ODSTAWOWE RAWA MECHANIKI. OGÓLNE ZASADY STATYKI.

ODSTAWOWE RAWA MECHANIKI.

iewsze pawo Newtona Jeżeli na ciało nie działajążadne siły lub siły działające ównoważą się, to uch tego ciała pzebiega niezmiennie, tzn. jest on spoczynkiem lub co najwyżej uchem jednostajnym postoliniowym. Dugie pawo Newtona Siła działająca na ciało wywołuje zmianę pędkości, czyli nadaje ciału pzyśpieszenie. zyśpieszenie to jest wpost popocjonalne do pzyłożonej siły. Tzecie pawo Newtona Jeżeli ciało A wywiea na ciało B pewną siłę, to wzajemnie, ciało B wywiea na ciało A siłę ówną co do wielkości i kieunku, lecz pzeciwnie skieowaną.

awo czwate Jeżeli na punkt mateialny o masie m lub układ punktów mateialnych działa jednocześnie kilka sił, to każda z nich działa niezależnie od pozostałych, a wszystkie azem działają tak, jak jedna tylko siła ówna wektoowej sumie wektoów danych sił. d dt n mu n i i i v i awo piąte ( gawitacji) Każde dwa punkty mateialne pzyciągają się wzajemnie z siłą wpost popocjonalną do iloczynu ich mas, i odwotnie popocjonalne do kwadatu odległości między nimi. Kieunek siły leży na postej łączącej te punkty. k m m

III. STATYKA

Statyka jest działem mechaniki i bada waunki ównowagi sił (czynnych i bienych) znajdujących się w stanie ównowagi, działających na punkt mateialny lub zbió punktów mateialnych względem układu odniesienia. Metody ozwiązywania zadań stosowane w statyce: metoda wykeślna, metoda analityczna, metoda wykeślno-analityczna.

Aksjomaty statyki:..zasada ównoległoboku dowolne dwie siły i pzyłożone do jednego punktu O można zastąpić jedną siłą, pzyłożoną do tegoż punktu i będącą wektoem, któego miaą jest pzekątna ównoległoboku zbudowanego na wektoach sił składowych. W

. Zasada ównowagi dwóch sił dwie siły działające na ciało sztywne są w ównowadze, gdy działają wzdłuż jednej postej, są ówne i pzeciwnie skieowane. C C 3. Zasada ównoważności -działanie dowolnego układu sił pzyłożonych do ciała sztywnego nie ulegnie zmianie, jeśli dodamy do niego inny dowolny układ sił, ale ównoważny zeu (układ sił ównoważących się). F F B B A

4.Zasada zesztywnienia - ównowaga sił działających na ciało odkształcalne nie zostanie nauszona pzez zmianę go na ciało sztywne. Zasada ta może być stosowana w oganiczonym zakesie i pod pewnymi waunkami. 5. Zasada działania i pzeciwdziałania każdemu działaniu towazyszy ówne co do miay, leżące na tej samej postej i pzeciwnie skieowane pzeciwdziałanie. C G R R G

6. Zasada oswobodzenia z więzów -każde ciało nieswobodne można umownie oswobodzić z więzów, zastępując ich działanie siłami, zwanymi siłami eakcji i ozpatywać je jako ciało swobodne, na któe działają siły czynne i siły eakcji więzów. A G C A R R układ ównoważny G C A C k B F l C k F B l metoda pzecięć

STONIE SWOBODY, WIĘZY I UWALNIANIE OD WIĘZÓW.

Stopnie swobody okeślają liczbę współzędnych koniecznych i wystaczających do wyznaczenia położenia punktu mateialnego lub układu punktów mateialnych w pzestzeni.

unkt mateialny Stopnie swobody : z m Odcinek z Ciało sztywne y y A m B tzy liczby okeślą położenie punktu mateialnego - tzy stopnie swobody pięć liczb okeśla położenie odcinka AB -pięć stopni swobody m sześć liczb okeśla położenie ciała sztywnego - sześć stopni swobody z y tanslacja, otacja

Siły działające na ciało sztywne dzielimy na: siły czynne, siły eakcji (siły biene). Więzy twozą waunki oganiczające uch ciała w pzestzeni, dzielimy je na: obustonne, jednostonne, wewnętzne, zewnętzne i idealne (bez tacia). Rodzaje niektóych podpó stosowanych w paktyce: zegub kulowy z R zegub walcowy z swozeń R

odpoa pzegubowa i pzegubowo- pzesuwna R A A R B B ęt sztywny pzegubowy R G C R R 3 pęt pzegubowy

IV. RÓWNOWAGA STATYCZNA UNKTU I UKŁADU UNKÓW MATERIALNYCH.

Moment siły A l z, M z M l M γ y k M M l cosγ ( ) ( ) z y z y k j i z y k z j y i,, ;,, z y z y k j M Moment siły względem punktu O Moment siły względem osi l Wekto położenia i siła

zekształcenia momentu siły M M ( ) C M C z M C () biegun piewotny A y M C M ( ) M C ( ) Moment siły względem nowego bieguna C jest ówny momentowi siły względem bieguna piewotnego O plus moment względem nowego bieguna C siły (), pzeniesionej do punktu O.

Zbieżny układ sił W 5 3 4 W n i i 4 3 5 W

Zbieżny układ sił w ównowadze W n i i n,, iy i n i iz

Siły ównoległe o zgodnych zwotach C W W W W W S A D B W W S AD AD BD, AB, AD DB DB AB AB

Siły ównoległe o pzeciwnych zwotach D W S W A W S B W W DB DA, DB DA AB W C W AD AB, DB AB

aa sił nowy element w statyce W S W A B S aa sił jest układem dwóch sił ównych, ównoległych i pzeciwnie skieowanych. Nie da się jej zastąpić jedną siłą.

M p const płaszczyzna wyznaczona pzez paę sił M p const ( ) aa sił twozy swobodny wekto momentu.

Równoległe pzesunięcie siły paa sił M B A B A A B Metoda oinstona

Siły skośne - spowadzenie do pay sił i jednej siły W M W paa sił Układ dwóch sił skośnych można zawsze spowadzić do pay sił i siły wypadkowej.

Redukcja dowolnego układu sił do siły i pay sił układ piewotny sił układ zeowy sił i A n A i n i n i n Dodanie wektoów zeowych A n wekto sumy momentów M O W A n i A i n i i n wekto sumy sił Dodanie wektoów i pa sił A paa sił

Równowaga dowolnego płaskiego układu sił R W M,. n i i n,, iy i n i M i.

V. TARCIE.

Tacie jest zjawiskiem polegającym na powstawaniu sił eakcji na powiezchni kontaktu dwóch ciał. Siły tacia pzeciwstawiają się potencjalnemu uchowi. zyczyną tacia, pzede wszystkim, jest chopowatość powiezchni.

ρ y ρ T - siła tacia stożek tacia R s T ϕ N G ρ - maksymalny kąt tacia T g - tacie ozwinięte T T g μn T g N tgρ Waunek spoczynku: ϕ ρ

Zależność między siłą tacia i siłą czynną T tacie ozwinięte, ganiczne spoczynek tacie ślizgowe statyczne uch tacie ślizgowe kinetyczne

TARCIE TOCZNE.

Bak odkształcenia podłoża i walca N G i T Waunek baku poślizgu T μ N μg Toczenie walca wywoła minimalna siła.

Odkształcalne podłoże Równania ównowagi: f -współczynnik opou toczenia h N G i T, h Nf T N f h f h μ N μ Tacie toczne jest badziej kozystne, niż posuwiste. μg Waunek toczenia walca bez poślizgu: f h << μ

Moment tacia w łożysku popzecznym Moment tacia: R G d R G d R G d d R G dt M R R R A T μ μ π π μ ϕ π μ π 3

TARCIE CIĘGNA O KRĄŻEK ównowaga w kieunku : dϕ ( S ds ) cos μ dn S cos dϕ, ds μdn ównowaga w kieunku y: dn dϕ dϕ ( S ds ) sin S sin. dn Sdϕ poównując ównania ównowagi otzymujemy ównanie óżniczkowe: ds μ Sdϕ

Rozdzielając zmienne w ównaniu óżniczkowym mamy: ds S μ d ϕ. Całkując powyższe ównanie otzymujemy wzó na siłę napięcia w linie: ln S μϕ lnc S C ep( μϕ). Stałą C wyznaczamy z waunku bzegowego: ϕ, S G C G. Napięcie w dowolnym punkcie cięgna wynosi: S G ep( μϕ).

zykład. Siła potzebna do podniesienia ciężau o masie m S S mg e μπ e μϕ

VI. WIADOMOŚCI WSTĘNE Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW.

. Cele nauki o wytzymałości mateiałów.. zedmiot badań wytzymałości mateiałów. 3. Elementy konstukcyjne. 4. ojęcia podstawowe. 5. Zasady wytzymałości mateiałów: Zasada de Saint-Venanta, Zasada supepozycji. 6. Rodzaje napężeń: Rozciąganie i ściskanie, Ścinanie, Skęcanie, Zginanie, Stany napężeń. 7. odstawy pojektowania.

Ad-. Cele nauki o wytzymałości mateiałów Badanie zachowania się mateiałów i konstukcji z nich wykonanych pod wpływem działających na nie óżnych obciążeń zewnętznych. Uwzględnienie ich zdolności do odkształceń. oznanie odpowiednich metod obliczeniowych.

Ad-. zedmiot badań wytzymałości mateiałów zedmiotem badań wytzymałości mateiałów są modele ciał stałych, zbliżonych własnościami do ciał zeczywistych. Modele ciał stosowane w wytzymałości mateiałów : ciała jednoodne - własności fizyczne i stuktua niezmienna w objętości ciała, ciała izotopowe - własności fizyczne ciał nie zależą od kieunku, ciała anizotopowe własności fizyczne ciał zależą od kieunku.

Ad-3. odstawowe elementy konstukcyjne badanych ciał: blok - wszystkie wymiay ciała są tego samego zędu, płyta - dwa wymiay pzeważają nad tzecim, pęt (belka, słup, oś, wał, cięgno) jeden wymia pzeważa nad pozostałymi. (Oś pęta: miejsce geometyczne śodków ciężkości pzekojów popzecznych)

Ad-4. ojęcia podstawowe - obciążenia zewnętzne q A R A G B R B

- obciążenia wewnętzne napężenie styczne napężenie p napężenie nomalne τ p cosα σ p sinα

Ad-5. Główne zasady wytzymałości mateiałów Zasada de Saint-Venanta Jeśli na pewien niewielki obsza ciała spężystego w ównowadze działa ją statycznie ównoważne obciążenia (siły skupione), to w odległości od obszau pzewyższającej wyaźnie jego ozmiay, powstają paktycznie jednakowe stany napężenia i odkształcenia. napężenia skupione napężenia ównomiene l

Zasada supepozycji: Skutek w okeślonym miejscu i kieunku, wywołany pzez zespół pzyczyn działających ównocześnie, można uważać za sumę algebaiczną skutków wywołanych w tym miejscu i kieunku pzez każdą pzyczynę z osobna.

Ad-6. Rodzaje napężeń ozciąganie i ściskanie płaszczyzna pzecięcia σ ± A siły wewnętzne Na pęt działają dwie siły ówne, pzeciwnie skieowane i działające wzdłuż osi pęta.

ścinanie technologiczne: od wpływem szczególnego obciążenia zewnętznego elementu konstukcji mogą powstawać napężenia styczne. powiezchnia ścinana τ T T τ T τ T A A

skęcanie: owodowane jest działaniem dwóch pa sił pzyłożonych do pęta w dwóch óżnych płaszczyznach postopadłych do jego osi. Moment taki nazywamy skęcającym. łaszczyzna tnąca l τ ma M s l τ ma

zginanie: płaszczyzna pzecięcia l l płaszczyzna pzecięcia l σ ma (ozciąganie) M g l σ ma (ściskanie) Na belkę działają dwie pay sił w płaszczyźnie belki, w pzekoju belki powstają zmienne napężenia nomalne.

stany napężeń: jednoosiowy płaski pzestzenny

Ad-7. odstawy pojektowania ojektowanie konstukcji opate jest na spełnieniu dwóch głównych waunków: wytzymałości i sztywności. Stan obciążenia ozciąganie lub ściskanie ścinanie lub skęcanie zginanie Napężenia dopuszczalne σ, c k, c τ k t, s σ g k g Waunki sztywności ε ε dop ϕ ϕdop y f dop σ ; τ;, c σ g ε; ϕ; y - napężenia: ozciągające (ściskające), ścinające zginające, - odkształcenie ozciągające (ściskające) i skęcające, ugięcie

VII. ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE RĘTÓW.

awo Hooke a. Odkształcenie pzy ozciąganiu i ściskaniu.

Odkształcenie pęta pzy ozciąganiu. d d l l Siły są ównoległe do osi pęta. -wydłużenie bezwzględne pęta: Δl l l - zmiana wymiaów popzecznych: -wydłużenie względne pęta: Δl l ε l l l - liczba oissona: ε pop Δd d d d d ε pop ν lub ε pop ε νε

ε Δl l ; σ A Δl awo Hooke a: l EA ε σ E - wydłużenie względne i napężenie nomalne N E m - moduł spężystości pzy ozciąganiu (moduł Younga ) A A A A l Δl Δl/ A l Δl Δl l l Δl A Δl - pzykłady ozciągania pęta

óba ozciągania.

Maszyna wytzymałościowa INSTRON

óbka ozciągana: d l óbka po ozciągnięciu: szyjka d l

σ σm R D E σ σ S H B C A σ u σ pl Wykes ozciągania pęta. ε

σ H. Ganica popocjonalności ( A-odcinek linii postej) σ. Ganica spężystości - s ( AB, po zdjęciu obciążenia póbka nie ma twałych odkształceń. Enegia nagomadzona w ciele podczas odkształcenia (paca odkształcenia ) zostaje w całości zwócona) 3. Fizyczna (wyaźna ) ganica plastyczności - pl (BC, pzy tym napężeniu następuje nagłe wydłużenie póbki: σ pl pl unkt C jest początkiem płynięcia plastycznego ( póbka wydłuża się bez wzostu siły odkształcającej). Dla mateiałów kuchych ten punkt ustala się umownie,% σ pl 4. Doaźna wytzymałość na ozciąganie R ma A wielkość ta jest potzebna do obliczenia napężeń dopuszczalnych. σ A

5. Rzeczywiste napężenie ozywające - σ u u A 6. Wydłużenie plastyczne po zewaniu - ( l l ) l % 7. zewężenie pzekoju popzecznego A A A u % d d % A u d - pole najmniejszego pzekoju po zewaniu, - najmniejsza śednica póbki w miejscu zewania.

aca odkształcenia pzy ozciąganiu aca odkształcenia okeśla odponość mateiału na udezenie. A Zakes stosowalności pawa Hooke a A L A A A d Δl A ( Δl) Δl A Δ l aca odkształcenia spężystego będzie zwócona po odciążeniu pęta.

VIII. ANALIZA STANU NARĘŻEŃ.

. Jednowymiaowy stan napężenia.. Dwuwymiaowy stan napężenia. 3. Tójwymiaowy stan napężenia. 4. Uogólnione pawo Hooke a. 5. Odkształcenia postaciowe a napężenie styczne.

Ad.-. Jednowymiaowy stan napężenia σ A σ α α α τ α

σ α σ σ A σ α A cosα τ cosα α A sinα cosα..8 τ α σ σ α σ y σ α A sinα τ cosα α A cosα cosα.6.4 τ α σ σ α σ cos sin α α i τ α σ. π 6 π 3 π α

σ ęt jest pzekojony dwiema płaszczyznami ( l ) i ( k ), obóconymi względem siebie o kąt π : α α' l α ; α α π - napężenia w piewszym pzekoju pęta (l) są identyczne jak w wyżej ozpatywanym pzypadku, - napężenia w dugim pzekoju (k ) wynoszą k π σ α σ cos α σ cos α σ sin α, π sin α sin α sin α τ σ σ σ σ Napężenia styczne w dwóch wzajemnie postopadłych pzekojach są sobie ówne co do modułu.

Ad -. Dwuwymiaowy stan napężenia σ Napężenia w pzekoju ( k ) : σ y α α σ l σ y y k zy obciążeniu płytki napężeniami σ w tym pzekoju napężenia nomalne i styczne są ówne: σ σ cos α, τ σ sin α σ y zy obciążeni płytki napężeniami w tym samym pzekoju napężenia nomalne i styczne są ówne: σ σ y sin α, τ σ y sin α

Całkowite napężenia nomalne: σ σ σ σ cos α σ y sin α całkowite napężenia styczne: σ sin α σ y sin α σ σ y τ τ τ sin α Watości ekstemalne napężeń: - dla 3π α π 4 sin α ; α sin α 4 τ ma σ σ y lub τ ma σ σ y

zekoje, w któych napężenia nomalne będą osiągały watości ekstemalne: dσ σ dα ( σ σ ) y α albo cosα sinα sin α σ y α π α cosα sinα albo α π. Napężenia nomalne są największe lub najmniejsze w pzekojach ównoległych i postopadłych do kieunków działania napężeń. σ i σ y

τ Koło Moha Koło Moha służy do okeślania napężeń nomalnych w dowolnym ukośnym pzekoju nachylonym do płaszczyzn głównych. σ y σ α α D A C E B σ τ α σ τ α AC σ σ σ CD sin α y σ, y sin α, σ α OA AC CE σ cos α σ sin α y

Ad.-3 Tójwymiaowy stan napężeń σ σ 3 σ σ σ 3 σ

Ad.-4. Uogólnione pawo Hooke a. Związek między odkształceniami i napężeniami wielokieunkowymi. Kozystając z zasady supepozycji możemy napisać: -wydłużenie w kieunku : ( ) [ ] z y y y E E E E σ σ ν σ σ ν σ ν σ ε ( ) [ ] z y z y y E E E E σ σ ν σ σ ν σ ν σ ε ( ) [ ] y z y z z E E E E σ σ ν σ σ ν σ ν σ ε -wydłużenie w kieunku y: -wydłużenie w kieunku z:

Względny pzyost objętości: V V ( ε )( ε y )( ε z ) V o odzuceniu małych wyższego zędu mamy: V V ν ε ε y ε z y V E Jeżeli wszystkie napężenia są ówne: ( σ σ σ ) V V ν 3σ V E Współczynnik spężystości objętościowej (współczynnik ściśliwości spężystej): K Dla mateiału nieściśliwego σ E ΔV σ K ΔV V 3 V ( ν ) ( ν.5) współczynnik ściśliwości z K

Ad.-5 Odkształcenia postaciowe a napężenie styczne. σ y Czyste ścinanie d τ τ π 4 a c σ τ τ b σ y y Napężenia w pzekoju ab pzy czystym ścinaniu są ówne: σ σ σ y, σ, σ σ y τ sin α. Jaka występuje zależność między odkształceniem kątowym a skóceniem względnym pzekątnej db lub wydłużeniem względnym pzekątnej. σ y ac σ

d τ π γ d b b τ p γ a a c c e τ τ γ Wydłużenie połowy pzekątnej i połowy boku kwadatu: ε σ aa E ad ac ( ν ) aa' σ a' e E ( ν ) ad a'd' d' a' pa' Długość odcinka a' e ( ν ) Kąt odkształcenia postaciowego: γ a' e σ σ pa' E E σ τ γ E E ( ν ) ( ν ) ( ν ) (*)

. W stanie czystego ścinania wpowadzamy pojęcie współczynnika spężystości postaciowej G, któy nazywany jest modułem Kichhoffa. Współczynnik ten jest ówny stosunkowi spężystego odkształcenia postaciowego γ do napężenia stycznego. awo Hooke a dla czystego ścinania: τ γ τ G Zależność między modułem Younga i współczynnikiem spężystości postaciowej wynika ze wzou (*) G E ( ν )

IX. SKRĘCANIE WAŁÓW.

Skęcenie wału powstaje pod wpływem działania dwóch pa sił o pzeciwnych zwotach, znajdujących się w dwóch óżnych płaszczyznach postopadłych do osi wału i oddalonych od siebie o l. M S γ ϕ M S l d Model skęcania wału Kątem skęcenia wału ϕ nazywamy kąt, o jaki obócą się względem siebie pzekoje postopadłe do osi wału i oddalone o l, do któych pzyłożone są momenty skęcające. M s

Założenia modelowe: oś wału pozostaje linią postą; twozące, początkowo ównoległe do osi wału, po skęceniu pzyjmują kształt linii śubowej nachylonej pod kątem γ ; postokąty pzekształcają się w ównoległoboki; okęgi na powiezchni wału zachowują swój kształt i nie zmieniają swojej śednicy, pzekój czołowy dalej jest płaski; pomienie pzekojów czołowych po odkształceniu wału dalej są płaskie; pzekój utwiedzony jest nieuchomy, pozostałe pzekoje obacają się dookoła osi wału, kąt obotu względem siebie dwóch dowolnych pzekojów jest wpost popocjonalny do odległości między nimi; odległości pomiędzy pzekojami jest stała.

d a Związek między odkształceniami i napężeniami wału: γ c γ c b γ ρ b d dϕ dϕ o o ρ oównując długość łuku bb mamy: dϕ γ d dϕ γ d podobnie dla mniejszego pomienia ρ: γ d ρdϕ γ p p dϕ ρ d

τ ma o Zgodnie z pawem Hooke a napężenia styczne okeślają wzoy: dϕ τ ma Gγ G d τ ρ Gγ ρ dϕ Gρ d da. τ ρ da ρ o Suma elementanych momentów stycznych wynosi: dϕ dϕ τ ρ ρda Gρ ρda G ρ M s d d A dϕ G J d A A da, gdzie J jest biegunowym momentem bezwładności. zekształcając dalej otzymujemy wzó na kąt skęcenia na długości l: dϕ M M sd M sl s ϕ d GJ GJ GJ l

Napężenia styczne w zależności od momentu skęcającego okeślają wzoy : M s ρ M s τ ρ i τ ma J J Wpowadzając wskaźnik wytzymałości pzekoju pzy skęcaniu: J W Waunki wytzymałościowe ze względu na napężenia dopuszczalne i sztywność są odpowiednio ówne: τ ma M W s k t i ϕ M sl GJ ϕ dop, k t gdzie jest dopuszczalnym napężeniem na ścinanie, a ϕ dop dopuszczalnym kątem skęcenia.

Skęcanie wałów obotowych Wał obotowy o pomieniu pzenosi moment M i moc N.. Stumień pacy L (moc ) pzenoszony pzez wał jest ówny: Śednia moc: N L & dl dt. N L t ϕ Mϕ M πn Mω t t 6, gdzie n oznacza ilość obotów na minutę.

Spężyny R

M S R Supepozycja napężeń stycznych oś spężyny τ ma τ R M s R τ ma i τ 3 W π A π R τ τ ma τ π

X. ZGINANIE RĘTÓW (BELEK) ROSTYCH.

Moment zginający i siła popzeczna: T > M g > M g < T <

Wykesy momentów zginających i sił popzecznych: R A M g A a l M g ma RB B pzedział : M T ( ) a ( l a) RA ( ) R pzedział: A l ( l a) l a l T R A _ R B M a A l a T ( ) RA l ( ) R ( a) ( l )

Zależności óżniczkowe pomiędzy obciążeniem zewnętznym, siłą popzeczną i momentem zginającym. q q( ) A B d

Zależności óżniczkowe pomiędzy obciążeniem zewnętznym, siłą popzeczną i momentem zginającym. qd X T ( ) qd ( T( ) dt( ) ) M () T () d M ( ) dm T () dt M o dt d ( ) q( ) T ( ) d M ( ) ( M ( ) dm ( ) ) qd d dm d M ( ) dt ( ) d ( ) T ( ) d d q ( )

Napężenia i odkształcenia pzy czystym zginaniu, da σ M o z σ da y y z σ da σ, M z M y σ A da A.

y d c z Zmiana długości włókna elementu: ( ds) ( ρ y) dα ds d Wydłużenie włókna wynosi: a ds b y d ( ds) ( ds d( ds) ) ds ( ρ y) ρdα ydα dα wastwa obojętna M y a d ρ ds dα ściskanie ozciąganie ds d( ds) c σ M b σ Wydłużenie względne: ε ( ds) d ds ydα ρdα y ρ Napężenie okeśla pawo Hooke a: y σ Eε E ρ.

Moment zginający w pzekoju belki jest ówny: M E M g ρ A y da E I ρ Wzó na kzywiznę zgiętej osi belki: i napężenie: ρ M EI g z z σ M I z g y Wzó powyższy okeśla napężenie w pzekoju belki w odległości y od osi obojętnej w zależności od zadanego obciążenia M g i momentu bezwładności I z pzekoju popzecznego belki.

Wskaźnik wytzymałości na zginanie : W z I z y ma, σ ma M W g z k g. Wskaźniki wytzymałościowe dla óżnych pzekojów: koła: 3 πd W z 3 -pieścienia: D π 3 -postokąta : bh W z 6 d D 4 4 W z.

Linia ugięcia belki Wielkość kzywizny okeśla się w geometii óżniczkowej ównaniem: ± ρ d d y dy d 3 ± d d y Różniczkowe ównanie uposzczone linii ugięcia ma postać: d d y ± M EI g z,

y M g >, d y d < y M g <, d y d > Dodatnim watościom momentu zginającego odpowiadają watość ujemna dugiej pochodnej linii ugięcia

Duga pochodna linii ugięcia: d y d M EI g z Śodek kzywizny jest umieszczony w kieunku dodatnich y Dwukotne scałkowanie powyższego ównania pzyjmuje postacie: y dy d M EI EI z z g d C [ ] M gd d C C Stałe całkowania wylicza się z waunków bzegowych (zgodności).

R A zykład: dy d M g RA d C EI z d y d M EI g z EI z C ~ y EI l z l. ~ y 3 6EI z C C - wielkości bezwymiaowe: ~ y y l, ~ l Kozystając z waunków bzegowych otzymujemy stałe: C, C Linia ugięcia belki w bezwymiaowej postaci ma postać: ~ ~ 3 yei z l 6

XI. WYBOCZENIE RĘTÓW.

Wzó Eulea Zależność kzywizny osi pęta od momentu zginającego: ρ M EJ kzywiznę osi pęta okeśla ównanie: y M y ( ) y l k ± ρ d y d [ ( dy d) ] 3 zybliżone ównanie osi pęta: M d y EI d M d y d y y EI k d d EI

Równanie óżniczkowe d d y k y gdzie k k EI będzie ozwiązane pzy waunkach bzegowych: dla y dla l y

Rozwiązanie ównania óżniczkowego y C sin k C cosk C kl n π k n π l EI nietywialne ozwiązanie dla n Wzó Eulea na siłę kytyczną k n π y l π C sin l EI min

Napężenie w pętach wybaczanych Napężenie kytyczne σ k k A spawdzenie na wyboczenie (stateczność) σ A k w k w σ k n w k w nw - napężenie dopuszczalne pzy wyboczeniu - współczynnik bezpieczeństwa pzy wyboczeniu

Ramię bezwładności i smukłość pęta okeślają ównania: A I i A i I i l s s E i l E l i E k π π π σ i a napężenia kytyczne zależność.

XII. ELEMENTY KINEMATYKI.

ZARYS KINEMATYKI UNKTU MATERIALNEGO.

zedmiotem kinematyki jest geometia uchu (sam uch bez analizy pzyczyn jego powstania) punktu mateialnego i układu punktów mateialnych.

ołożenie punktu mateialnego - doga i wekto położenia punktu mateialnego: s s t ; t () () -pędkość i pzyśpieszenie punktu mateialnego: d v & i & jy& kz& i v jv y kvz dt d a v& & i && jy && kz && i a ja y ka z dt

łaszczyzna ściśle styczna binomalna płaszczyzna nomalna płaszczyzna postująca płaszczyzna styczna b N n t styczna to ρ nomalna głowna łaszczyzna najbadziej dopasowana do ozpatywanego tou punktu mateialnego.

Układ natualny z b N n płaszczyzna ściśle styczna t to k i nomalna główna j y

zyśpieszenie nomalne i styczne uch punktu N w płaszczyźnie ściśle stycznej N a t N n v v N N a n a to ρ N N ds ρdϕ dϕ a t -pzyśpieszenie styczne, C a n -pzyśpieszenie nomalne

a t dt hodogaf pędkości C dϕ dv v a t v dv dt a dt v, & a t dt Z analizy hodogafu pędkości Q wynika: a n dt Q a dt, Q t a dt, Q dv, n, Q C sin dϕ C dϕ vdϕ ds v, ρ ds v ds v v an dt v an v, ρ ρ dt ρ ρ zyśpieszenie punktu N jest ówne: a t a t n a n t v& n v ρ

Ruch złożony punktu.

zyśpieszenie punktu w uchu złożonym uch bezwzględny punktu : z k jy i ρ pędkość punktu : ( ), w u w v w kz jy i v w z i y i i v kz jy i kz jy i v O & & & & & & & & & & ρ ω ω ω ω ω ρ z y i j k O i j k z y ω ρ Wektoy jednostkowe obacają się

( ) ( ) ( ) a n w w kz jy i kz jy i kz jy i dt d v & & & & & & & ω ρ ω ω ω ω ω ω ρ ω ρ ε ρ ω & a to ( ) ρ ω ω a n zyśpieszenie: w v v a & & & & & ρ ω ρ ω pzyśpieszenie styczne: pzyśpieszenie nomalne:

( ) ( ) a w w k j i w k j i dt d w && && && & & & & ω ζ η ξ ω ζ η ξ pzyśpieszenie względne pzyśpieszenie względne:

zyśpieszenie punktu a a u a w a C pzyśpieszenie unoszenia: a u v& a a n t pzyśpieszenie względne: a w pzyśpieszenie Coiolisa: a C ω ( w)

zykłady z uchu złożonego: Wzdłuż południka kuli, obacającej się z pędkością kątową, ω pousza się punkt mateialny ze stałą pędkością ω w. ω w a u w ϕ a a u w R a C ϕ a w R a a w c w R, a u wω sinϕ ω R cosϕ,

( ) ( ) ( ) ( ) ϕ ω ϕ ω ω ϕ ϕ ω ϕ ω 4 4 sin cos cos cos cos w R w R w R w R R w R a a a C w u a u a w π ϕ ϕ a w a C a u ϕ C w u a a a a u a w Obliczenie pzyśpieszenia wypadkowego punktu :

Kinematyka ciała sztywnego ędkości punktów ciała sztywnego są ze sobą związane. AB B A d dt ( ) AB & AB AB AB & AB AB v A AB v B v cosα v cos β v cosα AB A AB B A v B cos β

Ruch obotowy ciała sztywnego Ciało sztywne w uchu obotowym ma jeden stopień swobody. () ϕ ϕ t ω ω & ϕ ε ε && ϕ -kąt obotu -pędkość kątowa -pzyśpieszenie kątowe

ϕ ϕ ϕ ω & & & j y i z y k j i v a n a v v a & τ ω ε ędkość i pzyśpieszenie w uchu obotowym

Ruch płaski ciała sztywnego W uchu płaskim punkty ciała pouszają się w płaszczyznach ównoległych do płaszczyzny kieującej. śodek obotu chwilowego Chwilowa pędkość kątowa odcinka AB : ω va AC C vb BC

v v v A AB A B ω ω pędkość punktu B: pzyśpieszenie punktu B: ( ) ( ) ω ε ω ω ω ε ω ω ε ω ω a a a dt d dt d dt dv a A A A A B ędkość i pzyśpieszenie w uch płaskim.

zykład uchu płaskiego (mechanizm kobowy): B y O ϕ ω n a A Rozwiązanie analityczne: a B t a A v A A ϕ t a BA a B cosϕ v d dt sinϕ dϕ dt ω sinϕ B B n a BA t a A ϕ n a A ( ) ( ω cosϕ dω dt sinϕ ω cosϕ ε sinϕ) dv dt B n a BA v B ω k v A v BA B

Wyznaczenie pędkości kątowej kobowodu: v v B BA va vba va ω, bo ω k k ωk, AB AB, π ϕ v BA ϕ v B v A tójkąt pędkości π ϕ Z twiedzenia sinusów dla tójkąta pędkości wynika: vb sin ϕ v v B BA v A v A sin ω v A ( π ϕ) sin( π ϕ) sin ϕ cosϕ v A ω ω sinϕ k v BA ω sinϕ,

.,,,,,, a a a a a a a a a a a a a k t BA k n BA t BA n BA BA t A n A t A n A A BA A B ε ω ε ω zyśpieszenie punktu B mechanizmu kobowego:

Składowa styczna pzyśpieszenia względnego jest nieznana, znany jest natomiast kieunek pzyśpieszenia punktu B. Wykozystując te infomacje i zutując składowe pzyśpieszenia na kieunek y i mamy: a ω sinϕ ε cosϕ ω sinϕ ε cosϕ, a t BA B cosϕ a a t BA n BA sinϕ a sinϕ a n BA cosϕ a cosϕ a sinϕ sinϕ a cosϕ ε sinϕ ω cosϕ ε sinϕ ω cosϕ ( ε sinϕ ω cosϕ). t A t A n A n A

XIII. DYNAMIKA UNKTU.

Równanie óżniczkowe uchu punktu mateialnego Ruch punktu mateialnego opisuje ównanie Newtona: m & &,, ( t) pzy danych waunkach początkowych: ( ), ( ). & v Zadania główne z dynamiki punktu mateialnego można podzielić na dwa odzaje:.zadania poste spowadzają się do wyznaczenia siły, wywołującej uch punktu mateialnego, na podstawie ównania uchu..zadania odwotne spowadza się do wyznaczenia ównania uchu, jeżeli znamy masę punktu i siłę

Szczególne pzypadki uchu, w zależności od siły wywołującej uch:.siła jest stała: const.siła zależy od czasu: 3.Siła zależy od pędkości: 4. Siła zależy od położenia: (t) ( &) ( )

Twiedzenie o pędzie i popędzie Ogólny zapis dugiej zasady Newtona: d dt ( mv ) Zmiana pędu ciała jest ówna popędowi pzekazywanemu temu ciału. n i m v i i const Jeżeli na układ ciał nie działają siły zewnętzne to suma pędów tych ciał jest stała.

XIII. ZASAD RÓWNOWAŻNOŚCI ENERGII KINETYCZNEJ I RACY.

aca i pole sił aca mechaniczna jest iloczynem skalanym siły i pzesunięcia. z y A m ϕ dl B d ( cosϕ ) ( d cosϕ) L d ( Xd Ydy Zdz ) AB AB dl W potencjalnym polu sił paca jest ówna óżnicy potencjałów. L AB ( V ) V L m m V ; A B

W pzypadku obecności więzów paca jest ówna: R T m ϕ. d s N π dl Rds Rds cos ϕ Rds sinϕ Tds

ochodna pacy, moc (siły) okeślona jest wzoem: N dl dt dt ( d ) v, gdy siła jest stała.

Zasada ównoważności enegii kinetycznej i pacy. m d v dt d dt mv d v m v v dt t d dt t d dt m d dt mv dt v v AB d dt d. o scałkowaniu otzymano: mv mv AB d, gdzie mv E Zasada ównoważności enegii kinetycznej i pacy: wyaża enegię kinetyczną. E E L

Zasada zachowania enegii mechanicznej E E E V V V E E V const. V W potencjalnym polu sił suma enegii kinetycznej i potencjalnej (enegia mechaniczna) punktu mateialnego jest stała.

aca i moc w uchu obotowym l M v C dϕ v M cosγ M l ω N ( d ) m A v dl dt ω M dt ( ω ) ω ( ) M v ω cosγ M l ω γ

XIV. DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ.

Ruch obotowy były dookoła osi stałej M z d dt Zmianę pędu punktu opisuje ównanie: ( m ω) M, l v ω l, ε ω. l I l v dm d dt l y ( Iω) M, Zmianę pędu całej były: d dt ( ) dm M, ω I ε M l masowy moment bezwładności były

Ruch płaski ciała sztywnego Ruch płaski ciała sztywnego opisują ównania: y ϕ C m && my && I C C C ϕ& & M C Cy C Enegia kinetyczna ciała (suma enegii kinetycznej uchu postępowego śodka masy i enegii kinetycznej uchu obotowego dookoła osi pzechodzącej pzez śodek masy): E k mvc ICω

zykład: koło o masie m i pomieniu toczy się bez poślizgu po poziomej płaszczyźnie pod wpływem siły : T gdzie : ϕ A C N f m Równania uchu: m && I C C ϕ& & mg IC m, & ϕ && & C, C T T a N Nf

XV. DRGANIA UNKTU MATERIALNEGO.

S k λ st - eakcja statyczna spężyny k λ mg st λst Dgania swobodne: mg k m & & mg S, S k ( λ ) st m && mg k ( λ ) st k, && ω ω k m

C cosω t C sin ω t Acos t ( ω ϕ ) Acosϕ, C Asinϕ, A C C, C tgϕ C C T π ω π m k π λst g

Waunki początkowe: t i & & C cosω t C sin ω t Cω sin ωt C ω cosω t C, C & ω zebieg dgań

Dgania swobodne tłumione m && k c&, ω k m, n c m, && n& ω

t e e t ( n ω ) ównanie chaakteystyczne: n ω, n ± i ω n

. Tłumienie nadkytyczne n ω [ ( ) ] [ ( ) ] n n ω t C n n ω t C ep ep. Tłumienie kytyczne n ω ( ω t) C ep 3. Tłumienie podkytyczne n ω ( ω t) ( ω ϕ ) A t ep cos ω ω n -częstość dgań tłumionych

Dgania swobodne tłumione

Dgania wymuszone ( ) t m t k t k mg m t S mg m st ω ω ω ω λ ω sin, sin sin, sin && && &&

t C t C sin cos ω ω t A ω sin t m t C t C ω ω ω ω ω sin sin cos t m t m t t ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω sin sin sin cos &