Wykłady z Mechaniki Kwantowej

Wykłady z Mechaniki Kwantowej

Mechanika Kwantowa, Relatywistyczna Mechanika Kwantowa Wykład dla doktorantów (2017) Wykład 4 Najpiękniejszą rzeczą, jakiej możemy doświadczyć jest oczarowanie tajemnicą. Jest to uczucie, które stoi u kolebki prawdziwej sztuki i prawdziwej nauki. Ten, kto go nie zna i nie potrafi się dziwić, nie potrafi doznawać zachwytu, jest martwy, niczym zdmuchnięta świeczka. Marek Zrałek Zakład Teorii Pola i Cząstek Elementarnych Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski Katowice, 2017

Izomorfizm dwóch przestrzeni Φ oraz Φ z iloczynem skalarnym, istnieje jednoznaczne odwzorowanie: które posiada własności: v Φ w Φ v, Φ ' w, Φ ', αv + βw αv, + βw, (v,w) Φ = (v,,w, ) Φ ' Operatory liniowe: Operator sprzężony A + : A(αv) = αav (A + v, w)=(v, Aw) Operator samosprzężony: A + = A Operator Hermitowski: A + = A oraz D(A + ) = D(A) jest gęsta

Wektory i wartości własne operatorów: Av = λv Zdegenerowana wartość własna: Av = λv; Aw = λw Dla operatorów hermitowskich: 1) Wartości własne są rzeczywiste 2) Wektory własne należące do różnych wartości własnych są ortogonalne Operatory odwrotne: Operatory unitarne: Komutacja operatorów: Av = w; A 1 w = v UU + v = U + Uv = v [ A, B] = AB - BA def

Istotne elementy teorii przestrzeni liniowych i operatorów w nich działających Twierdzenie spektralne Jądrowe twierdzenie spektralne Właściwe i uogólnione wektory własne E n ) oraz x Rozwinięcie spektralne operatora jednostkowego Rozwinięcie spektralne H Jednoznaczne określenie wektora DYSTRYBUCJA Topologia przestrzeni Hilberta Nowa topologia H p Analogiczne relacje: (E m Φ) = δ Em E n (E n Φ) n=1 x Φ = + x y y Φ dy Odwzorowanie

Twierdzenie spektralne Dla każdego operatora hermitowskiego A w skończenie wymiarowej przestrzeni Φ istnieje układ jego wektorów własnych A e i ) = a i e i ) taki, że dla każdego wektora Iloczyn skalarny: N i=1 φ Φ φ = e i )(e i,φ). (e i,φ) e i φ i = 1,2,3,...N zachodzi: nazywamy składową wektora φ w bazie e ) i. W przestrzeniach wymiarowych powyższe twierdzenia nie jest w ogólności słuszne

W przestrzeniach wymiarowych zawsze istnieje ortonormalny układ wektorów bazy, ale nie każdy operator samosprzężony musi mieć przeliczalny zbiór wektorów własnych tworzących bazę Poza tym będziemy mieć także do czynienia z operatorami o widmie ciągłym, lub ciągłym i dyskretnym. Jądrowe twierdzenia spektralne (NST) Istnieją wymiarowe przestrzenie Φ (istnieją topologie w tych przestrzeniach) dla których twierdzenia spektralne można udowodnić dla każdego operatora samosprzężonego, które będą interesujące z fizycznego punktu widzenia Mechanikę kwantową będziemy formułować w takich przestrzeniach, w których NST zachodzi.

Weźmy dwie obserwable, energię H i położenie Q H E n ) = E n E n ); n = 1, 2, 3,... Q x = x x ; - m x M Dla każdego φ) Φ zachodzi; albo: n=1 φ) = E n )(E n φ) M φ) = dx x x φ. E n ) Φ -- właściwy wektor własny m x Φ -- przestrzeń ciągłych liniowych funkcjonałów określonych na Φ, wektory uogólnione.

{E n } -- dyskretne widmo operatora energii H {x} ciągłe widmo operatora położenia Q Rozwinięcia spektralne operatorów: I = E n )(E n n=1 M I = dx x x m H = E n E n )(E n Q = dx x x x n=1 Z fizycznego punktu widzenia interesują nas wektory jednoznacznie określone a więc unormowane: (φ φ) < (φ φ) =1 1= (φ φ) =(φ I φ) = (φ ( E n )(E n ) φ) = (φ E n ) 2 n=1 M m n=1

Chcemy też, aby określone było działanie dowolnego operatora A na stan, tzn. : Jeżeli: to: ( Aφ Aφ) < ( Aφ Aφ) =1 A = H p (H p φ H p φ) = (φ H p ( E n )(E n ) H p 2 φ) = E p n (φ E n ) 2 n=1 n=1 < Tak więc interesują nas takie przestrzenie Φ, w której dowolne wektory φ) spełniają: nie tylko: (φ E n ) 2 2 <, ale także: E p n (φ E n ) 2 <. n=1 n=1

Dowolny wektor φ) Φ mogę przedstawić: φ) = E n )(E n φ) Φ n=1 lub: A a i i=1 Możemy więc określić przestrzenie izomorficzne: = a i a i φ) = a i )(a i φ) Φ C ( En ) = {(E n φ)}= (E 1 φ) (E 2 φ).. C (i) = {(a i φ)}= (a 1 φ) (a 2 φ).. Φ C ( En ) C (i) Tak jest zdefiniowana przestrzeń stanów kwantowych.

Ciągłe Funkcjonały (F; v Φ α v C ) ; (F;Φ C ) ; F(v)=α v C. Funkcjonał liniowy: F(αv + βw) = α F(v)+β F(w) Funkcjonał antyliniowy: F(αv + βw) = α * F(v)+β * F(w) Iloczyn skalarny jest funkcjonałem antyliniowym: F ψ (v) = (v,ψ ) Zapiszemy: F(v) = v F F ψ (αv) = α * (v,ψ )

Możemy określić liniową przestrzeń antyliniowych funkcjonałów: αf 1 + βf 2 (v) = αf 1 (v) + βf 2 (v) Co zapiszemy w trochę inny sposób: v αf 1 + βf 2 = α v F 1 + β v F 2 Przestrzeń dualna Zbiór antyliniowych funkcjonałów {F} na przestrzeni Φ tworzy przestrzeń liniową, nazywamy ją przestrzenią sprzężoną lub przestrzenią dualną do Φ i oznaczamy Φ *.

W przestrzeniach skończenie wymiarowych: Niech { e i ; i = 1,2,3,.N} f i = F(e i ) będzie bazą w Φ, określamy i = 1,2,3,.N. Dla dowolnego v możemy zapisać: Wtedy: N v = N i = 1 v i e i F(v) = F( v i e i ) = v i* F(e i ) = v i* f i i = 1 N i = 1 Funkcjonały antyliniowe N i = 1

Każdy funkcjonał jest określony przez zbiór liczb zespolonych {f i ; i=1,2,3,.,n} Możemy wtedy określić wektor należący do przestrzeni Φ: f = N f i e i i=1 Obliczmy iloczyn skalarny: N ( v,f ) = ( v i e i, f k e k ) = i = 1 F(v) = ( v,f ) N k=1 v i* f k (e i,e k ) = N i = 1 v i* f i Tak więc w przestrzeniach skończenie wymiarowych N i,k δ i,k = F(v) Istnieje jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy funkcjonałem F a wektorem f, czyli Φ = Φ *

Dla przestrzeni skończenie wymiarowych: Φ = Φ * Mówimy, że takie przestrzenie są samodualne W przestrzeniach wymiarowych taka identyfikacja nie jest na ogół możliwa. Dla przestrzeni nieskończenie wymiarowych (jak zobaczymy za chwilę): Φ Φ *

Topologia zbieżność nieskończonego ciągu (wystarczy dla naszych celów. Co to znaczy ϕ i ϕ? Ψ ---- przestrzeń liniowa bez żadnej topologii H ----- zawiera wszystkie granice ϕ i ϕ 0 ; Φ ---- zawiera granice ciągów ; A p (ϕ i ϕ) 0 Ψ H Nie zawiera punktów granicznych Ψ Φ H Zawiera p. graniczne według ostrzejszego warunku Zawiera p. graniczne według mniej ostrego warunku Dla przestrzeni dualnych będzie odwrotnie Tryplet Gelfanda H * Φ * Ψ * Ψ (Φ H = H * Φ * ) Ψ * (Rigged Hilbert Space)

(1) H zawiera Ψ oraz wszystkie punkty graniczne ϕ, dla wszystkich ciągów, które spełniają warunek (mniej ostry warunek): ϕ i ϕ 0 (2) Φ zawiera Ψ oraz wszystkie punkty graniczne ϕ, dla wszystkich ciągów spełniających warunki (A - dowolny operator, p =1,2,3, ) (ostrzejszy warunek): A p (ϕ i ϕ) 0 A p (ϕ i ϕ) 0 (ϕ i ϕ) 0 Jeżeli to ale nie odwrotnie, a to oznacza, że jest więcej ciągów spełniających pierwszy warunek (1), tak więc, Ψ Φ H

Pojęcie ciągłości funkcjonałów: Gdy φ i φ to F(φ i ) F(φ) Ψ *, Φ * oraz H *, oznaczają odpowiednia przestrzenie dualne ciągłych antyliniowych funkcjonałów. Warunki, które musza spełniać ciągłe funkcjonały w H * są silniejsze od warunków nałożonych na funkcjonały z Φ * : (1) Φ * jest zbiorem wszystkich F o własnościach F(φ i ) (2) H * jest zbiorem F o własnościach F(φ i ) F(φ) dla wszystkich ciągów spełniających warunki F(φ) dla wszystkich ciągów zbieżnych w sensie przestrzeni Hilberta Warunki drugie są silniejsze, nie wszystkie funkcjonały F, które spełniają warunki pierwsze, spełniają także warunki (2)-ie, a to oznacza, że przestrzeń Φ * jest większa od przestrzeni H * : A p (ϕ i ϕ) 0 ϕ i ϕ 0 H * Φ * Ψ * Mniej warunków, większa przestrzeń Więcej warunków, mniejsza przestrzeń

Istnieje więcej ciągów spełniających warunek: ϕ i ϕ 0 niż ciągów które spełniają warunek: A p (ϕ i ϕ) 0

Twierdzenie Riesza Dla każdego ciągłego funkcjonału F nad przestrzenią Hilberta istnieje takie określone jednoznacznie i należące do przestrzeni Hilberta, iż zachodzi warunek: F(ϕ) ϕ F = (ϕ,f) f a to oznacza, że H = H *. ϕ F Symbol będzie więc rozszerzeniem iloczynu skalarnego na funkcjonały, które nie należą do przestrzeni Hilberta Możemy rozpatrywać antyliniowe funkcjonały na Φ. Zbiór tych nowych funkcjonałów oznaczymy jako Φ **. Dużej klasy liniowych topologicznych przestrzeni Φ (nazywanych zwrotnymi ) istnieje jednoznaczny związek pomiędzy elementami z przestrzeni Φ oraz z przestrzeni przestrzeni Φ ** ϕ F = zadany przez związek: * [ F ϕ ] Jak dla iloczynu skalarnego

Do liniowej przestrzeni Φ będą należeć stany układów fizycznych. Przestrzeń ta zależy od zbioru obserwabli dla rozpatrywanego układu fizycznego Φ(oscylatora harmonicznego) Φ(H ) Φ(H 2 ) Φ(He) Wektory w przestrzeni Φ (Φ H = H * Φ * ) Wektory w przestrzeni Φ * Fizyczne stany energii H[ E n ) = E [ n E n ) I = ψ ) n [ E n ) E n H = E n E n n ( ] [ )( E n ] v ψ Niefizyczne stany operatora położenia ˆQ x = x x I = dx x x ˆQ = dx x x x

W dalszym ciągu E n ) E n Różnica wynika z kontekstu E n E m = δ nm x y = δ (x y) [ δ (x y) ] = cm 1 x = 1 cm ψ = dx x x ψ = dxψ (x) x ϕ ψ = dx ϕ x x ψ = dxϕ(x) * ψ (x) ψ = ψ ψ = dx ψ x x ψ = dx ψ (x) 2

dx ψ (x) 2 < dx ψ (x) 2 = 1 Dla każdego układu fizycznego: Q p ψ = dx x 2 p ψ (x) 2 < ψ (x) Musi maleć w nieskończoności szybciej niż jakakolwiek potęga 1/x Przestrzeń Schwartza: przestrzeń funkcji zespolonych różniczkowalnych takich, że same funkcje i ich dowolne pochodne znikają w szybciej niż jakakolwiek potęga 1/x ( Laurent Schwartz - matematyk francuski, 1915-2002)

W przestrzeni Φ dowolny wektor różny sposób ψ można prezentować w A ψ = a n n a n ψ H ψ = E n n E n ψ Q ψ = dx x x ψ dx x 2 p ψ (x) 2 + < Np. dla oscylatora harmonicznego (E n ) 2 p E n ψ 2 < (2n +1) 2 p E n ψ 2 < n=1 n=1

Wektory uogólnione mają wymiar ( [ x ]= cm -1/2 ) Definicja naszej przestrzeni stanów Φ Realizacja przestrzeń Schwartza Często x ψ =ψ ( x) Izomorfizm przestrzeni Φ oraz C C (E n ) (a i ) Elementy teorii reprezentacji, przejście pomiędzy bazami Zagadnienie własne w bazie dyskretnej Przykłady przestrzeni Schwartza K(a): φ(x) = 0 dla x > a, Szereg Fouriera K(): - < x <, Wielomiany Hermite a K(-1,1): -1< x < 1, K(0, ): 0 < x <, Wielomiany Legendre a Wielomiany Laguerre a

Dziękuję za uwagę 29